主成分分析(数学建模)

数学建模之主成分分析法

主成分分析

主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。

1、主成分分析的应用

（1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。

（2）投资效益的分析和排序等。

2、主成分分析法的步骤

①对原始数据进行标准化处理

用12,,,mxxxL表示主成分分析指标的m个变量，评价对象有n个，ija表示第i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值ija转化为标准化指标ija%，即

,(1,2,,;1,2,,)ijjijjaainjms%LL

式中：11njijian，211()1njijjisan

相应地，标准化指标变量为

,(1,2,,)jjjjxxjms%L

②计算相关系数矩阵R

()ijmmRr

1,(,1,2,,)1nkikjkijaarijmn%%L

其中：1,iiijjirrr，ijr是第i个指标和第j指标之间的相关系数。

③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量

解特征方程0RI，得到特征值(1,2,,)iimL12,0mL；再求出相对应的特征值i的特征向量(1,2,,)iuimL，其中12(,,,)TjjjmjuuuuL,由特征向量组成的m个新的指标变量为

11112121212122221122mmmmmmmmmmyuxuxuxyuxuxuxyuxuxux%%%L%%%LM%%%L

其中：1y为第1主成分，2y为第1主成分，⋯，my为第m主成分

④选择p（p≤m）个主成分，计算综合评价值。

（1）计算特征值(1,2,,)jjmL的信息贡献率和累积贡献率

Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　Ｖｉｓｉｏｎ　科技视界　科技・探索・争鸣　数学建模中的主成分分析法　Ｔｈｅ　Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　刘佳　（淄博职业学院，山东淄博２５５３１４）　【摘要】本文通过介绍主成分分析法的基本知识，使学生在短时间内了解在数学建模中怎样利用主成分分析的思想、方法建立数学模型　作一个初步的探讨　【关键词】主成分分析；数据分析；累计贡献率　【Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｂａｓｉｃ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ　ｏｆ　ｔｈ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ，ＳＯ　ｔｈａｔ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｉｎ　ａ　ｓｈｏｒｔ　ｐｅｒｉｏｄ　ｏｆ　ｔｉｍｅ　ｔｏ　ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｏｕｇｈｔ，ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ａ　ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｈｏｗ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ．　【Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ　ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｄａｔａ　ａｎａｌｙｓｉｓ；Ｔｈｅ　ｃｕｍｕｌａｔｉｖｅ　ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｒａｔｅ　全国大学生数学建模竞赛．已经成为许多高校学生课外科技活动　的重要项目，人们也越来越关注数学建模竞赛。数学规划、微分方程、　图论等是较为常见的建模方法　而近年来．越来越多的数据处理题目　出现在数学建模竞赛当中．数据处理的任务是降低数据的维数．保留　数据的有用信息。主成分分析法作为一种主要的数据处理方法，能够　提取变量信息．减少分析的维度，使问题变得更简单、直观。因此，尽快　掌握主成分分析法的基本知识．显得尤为迫切。下面介绍主成分分析　法的基本知识．利用主成分分析法的思想方法建立数学模型　１　主成分分析的基本思想和数学模型　１．１主成分分析简介　主成分这个概念由美国统计学家Ｋａｒｌ　Ｐｅａｒｓｏｎ在１９０１年提出．当　时只是进行了非随机变量的讨论．．是从多指标分析出发．运用统计分　析原理与方法提取少数几个彼此不想关的综合性指标而保持其原指　标所提供的大量信息的一种统计方法　１９３３年Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ则将此概念推广到了随机变量中。主成分分析　的原理．是以较少数的综合变量取代原有的多维变量．使数据结构简　化．把原指标综合成较少几个主成分．再以这几个主成分的贡献率为　权数进行加权平均．构造出一个综合评价函数　作为一种多指标分析　方法．在综合评价函数中．各主成分的权术为其贡献率，它反映了该主　成分包含原数据的信息量占全部信息量的比重．这样确定权术是客　观、合理的．它克服了某些评价方法中人为确定权术的缺陷，这种方法　的计算比较规范．便于在计算机上实现　１．２主成分分析基本思想　在许多实际问题中．为了全面系统的反应问题．我们通常用多个　变量来刻画某一事物．但由于这些变量间具有较强的相关关系．变量　间存在大量的重复信息．直接用它们分析问题时．往往会引起极大的　误差。因此人们希望用较少的新指标代替原来较多的旧变量，同时要　求这些新指标尽可能的反应原来的信息。　一般来说．主成分与原始变量之间的关系：　（１）各主成分都是原始变量的线性组合。　（２）主成分的个数远小于原始变量的个数。　（３）各主成分之间互不相关。　（４）主成分保留了原始变量的绝大部分信息　１＿３主成分分析的模型　假设有ｎ个样本，有Ｐ个观测指标（ｐ＜ｎ），得到原始数据矩阵ｘ＝　（　．．　：，…，　），其相关系数矩阵为　。数学上通常的做法是将原来Ｐ　个指标做线性组合，作为新的综合指标。记这些新的综合指标为ｚ１，　Ｚ２，…，磊。最经典的方法就是用方差来表示。Ｚｌ，Ｚ２，…，五这些新指标　之间互不相关，且方差递减。　因此．计算相关系数矩阵的特征值为Ａ，≥Ａ　≥…≥Ａ　，向量ｆ．，ｆ　，　…．ｆ。为相应的单位特征向量，则第　个主成分为　Ｚ／＝ｌ　Ｘ（ｉ＝１，２，。。　）　一般是按累计贡献量的大小取前ｋ个．多数情况下前几个主成分　已代表了原来指标的大部分信息　２主成分分析法的计算步骤　主成分分析法做多指标评价的基本步骤如下　（１）对原来的ｐ个指标进项标准化，　＝垃。　Ｊ　ｉ＝１，２，…，ｎ，ｊ＝ｌ，２，…，Ｐ；（其中，ｎ为样本个数，Ｐ为原始指标的　个数，　为原始指标样本值，ｓ为样本标准差。）　（２）根据标准化后的数据矩阵求出相关系数矩阵Ｒ。　（３）求出相关系数矩阵Ｒ的特征根Ａ和特征向量ｚ．以及贡献率　０　ｉ　（４）确定主成分　，　，…，　。　（５）计算综合评价值　Ｐ　Ｐ　Ｐ　（Ａ　／∑Ａ　）Ｅ＋（Ａ　／∑Ａ　）　＋…＋（Ａ　／∑Ａ　）　３利用Ｓｐｓｓ进行主成分分析的实例　在进行多指标评价时，由于要求评价结果客观、全面．就需要从各　个方面用多个指标进行测量．但这样就使得观测指标间存在信息重　叠，同时还会存在量纲、累加时如何确定权重系数等问题。为此．就可　以使用主成分分析法进行信息的浓缩．并解决权重的确定问题　本文　以全国各市城镇单位就业人员工资水平这一问题来说明主成分评价　的用法。　这里引用的是２０１２年山东省各市按行业分城镇单位就业人员平　均工资这一数据．希望对各地市工资水平给出分析与评价　数据源自　《山东省统计年鉴２０１３版》。　在Ｓｐｓｓ软件中打开文件之后，操作步骤如下：　（１）选择“分析”一“降维”一“因子分析”选项　（２）依次选中变量并点向右的箭头按扭　（３）在“描述”对话框中．选中“相关系数”选项组组中的“系数”复　选框。　（４）在“抽取”对话框中，选中“因子固定数量”输入数字５。　（５）在“得分”对话框中，选中“显示因子得分系数矩阵”　（６）单击“确定”按钮。　得到输出结果表１　表１公因子方差　初始　提取　农林牧渔　１．０００　８３８　采矿业　１．Ｏ００　．８４２　制造业　１．Ｏｏｏ　．７９６　电力、燃气及水的生产供应业　１．Ｏ００　．８３４　建筑业　１．ｏｏＯ　８３０　批发和零售业　１．ｏ０Ｏ　８９０　作者简介：刘佳（１９８６一），女，山东淄博人，从事高等数学教学、数学建模竞赛指导等工作。　ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎ。ｌ。ｇｙ　Ｖｉｓｉ。ｎ科技视界Ｉ　

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数学建模中的主成分分析法

作者：刘佳

来源：《科技视界》2014年第15期

【摘要】本文通过介绍主成分分析法的基本知识，使学生在短时间内了解在数学建模中怎样利用主成分分析的思想、方法建立数学模型作一个初步的探讨。

【关键词】主成分分析；数据分析；累计贡献率

【Abstract】By introducing the basic knowledge of th principal component analysis method,so

that students in a short period of time toto understand the use of thought, the method of principal

component analysis to establish the mathematical model for a preliminary discussion of how in

mathematical modeling.

【Key words】Principal components analysis；Data analysis；The cumulative contribution rate

全国大学生数学建模竞赛，已经成为许多高校学生课外科技活动的重要项目，人们也越来越关注数学建模竞赛。数学规划、微分方程、图论等是较为常见的建模方法。而近年来，越来越多的数据处理题目出现在数学建模竞赛当中，数据处理的任务是降低数据的维数，保留数据的有用信息。主成分分析法作为一种主要的数据处理方法，能够提取变量信息，减少分析的维度，使问题变得更简单、直观。因此，尽快掌握主成分分析法的基本知识，显得尤为迫切。下面介绍主成分分析法的基本知识，利用主成分分析法的思想方法建立数学模型。

叶工业控制计算机曳圆园员愿年第猿员卷第苑期

鄢国家自然科学基金青年基金项目渊员员缘园员园愿园冤和大连民族大学大学生创新创业训练计划项目渊圆园员苑员圆园圆远圆怨怨冤支持主成分分析也称主分量分析袁是由匀燥贼藻造造蚤灶于员怨猿猿年首先

提出的咱员暂遥主成分分析是利用降维的思想袁在损失很少信息的前

提下把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法咱圆原源暂遥时间

序列分析作为数理统计的一个专业分支袁是处理动态数据的一

种重要方法袁也就是通过对时间序列进行观察尧研究袁寻找它变

化发展的规律袁预测它将来的走势的一种常用方法咱缘原苑暂遥目前对

于平稳时间序列的分析方法我们已经熟知袁但是在实际生活中

绝大部分序列都是非平稳的袁因此对非平稳时间序列的分析具

有更普遍更重要的意义遥

本文收集整理了辽宁省圆园年的郧阅孕数据袁并预测了辽宁

省未来缘年郧阅孕的走势遥我们没有使用常用的灰色预测理论袁

而是利用主成分分析的方法进行主要变量的提取袁并通过时间

序列分析的方法建模进行预测和分析袁利用统计软件进行计算

和图表的实现遥员样本与数据处理

在本文所研究的问题中袁原始变量为辽宁省郧阅孕值袁郧阅孕

包含很多经济指标袁例如一尧二尧三产业增加值袁农林牧副渔业增

加值袁而我们要从原始变量中提取影响郧阅孕的主要影响因素遥

利用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量遥以辽宁省近圆园年的数据为依据袁利用数据样本建立一个圆园行员圆列的矩

阵遥利用杂孕杂杂软件求解出了方差分析表遥由表员解释总方差

表袁我们可以看到袁第一个总成分的方差占总方差的比例为怨苑援怨猿远豫遥因此完全有理由选取第一产业增加值为第一主成分遥

在这里用第一主成分近似代替原始变量遥在不考虑其他经济因素的情况下袁将第一产业增加值视为影响该地区生产总值的主

要因素遥圆模型构建与预测

圆援员观察数据并判断序列的平稳性

画出第一产业增加值的时序图袁由时序图渊图员冤显示可以看

出袁从员怨怨远年到圆园员缘年辽宁省地区生产总值呈平稳上升趋势袁