新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 学案(知识点考点汇总及配套练习题)

第1页，共11页2020-2021

学年新教材人教A

版高一数学必修第一册

函数的概念与性质单元测试题

时间：120

分钟满分：150

分命卷人：审核人：

一、选择题（每小题5分，共8小题40分）

1.

在越野赛中,

甲乙两选手的行程(

单位:)

随时间(

单位:)

变化的图象如图所示,

根据图

中提供的信息,

有下列说法:

①两人相遇前,

甲的速度小于乙的速度；

②出发后小时,

两人行程均为；

③出发

后小时,

甲的行程比乙

多；④甲比乙先到达终点.

其中正确的有

(

)A.

个B.

个C.

个D.

个

2.

下列函数中,

既是偶函数,又在上单调递减的函数是（）A.B.C.D.

3.

已知函数是幂函数,

且

在上单调递减,则实数()A.B.C.D.或

4.

设是定义在上的偶函数，则的值域是（）

A.与有关，不能确定B.C.D.

5.已知为奇函数，当

时，，那么当时，的最大

值为（）

A.

-5B.

1C.D.

5

第2页，共11页6.

函数的单调递增区间为()

A.

B.

,

C.

,

D.

,

7.

已知偶函数

在区间

上是增函数，则

与的大小关系是（）

A.

B.

C.

D.

8.

已知函数，则不等式的解集是（）A.B.C.D.

二、多选题（每小题5分，共4小题20分）

9.

已知函数的定义域为,

则实数的可能取值是()A.

B.

C.D.

10.

下列给出函数

与的各组中,

不是相等函数的是()

A.

,

B.

,

C.

,

D.

,

11.

已知函数

有两个零点

,,

以下结论正确的是()A.

B.

若,

则

C.

D.

函数有四个零点

第3页，共11页12.

已知函数

满足对任意的

都有成立,

下列各选项正确的是()

A.

函数

关于中心对称

B.

C.

D.

三、填空题（每小题5分，共4小题20分）

13.

设函数,

则的值为__________.

14.

已知,若，则实数的取值范围是__________

．

15.已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则__________.

16.

给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③函数

的递增区间为；④定义在上的函数对任意两个不等实数，总有

必修 第一册 第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示

1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；

②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

③初中学过的几种基本函数的定义域与值域：

函数 定义域 值域

)0(kbkxy R R

0,2acbxaxy R

}44|{.0}44|{.022abacyyaabacyya时，时，

0,kxky {x|x≠0} {y|y≠0}

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3．常用的函数表示法

（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a

（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];

函数的定义域和值域

（１）函数f（x）＝错误!＋（３x—１）0的定义域是（ ）

Ａ．错误!

Ｂ．错误!

Ｃ．错误!

Ｄ．错误!∪错误!

（２）已知函数y＝f（x＋１）的定义域是[—２，３]，则y＝f（２x—１）的定义域是（ ）

Ａ．错误! Ｂ．[—１，４]

Ｃ．[—５，５] D．[—３，7]

（３）求下列函数的值域：

１y＝错误!；

２y＝x＋４错误!；

３y＝错误!—２x，x∈错误!. 【解】 （１）选Ｄ．由题意得，错误!

解得x<１且x≠错误!.

（２）选Ａ．设u＝x＋１，由—２≤x≤３，得—１≤x＋１≤４，所以y＝f（u）的定义域为[—１，４]．再由—１≤２x—１≤４，

解得0≤x≤错误!，即函数y＝f（２x—１）的定义域是错误!.

（３）１y＝错误!＝错误!＝２＋错误!，显然错误!≠0，

所以y≠２．故函数的值域为（—∞，２）∪（２，＋∞）．

２设t＝错误!≥0，则x＝１—t２，

所以原函数可化为y＝１—t２＋４t＝—（t—２）２＋５（t≥0），所以y≤５，所以原函数的值域为（—∞，５]．

３因为y＝错误!—２x在错误!上为减函数，

所以ymin＝错误!—２×错误!＝—１．

ymax＝错误!—２×（—２）＝错误!.

所以函数的值域为错误!.

错误!

求函数定义域的类型与方法

（１）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

（２）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

（３）复合函数问题：

１若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；

２若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域．

[注意] （１）f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同．

（２）定义域所指永远是自变量的范围．

１．设函数f（x）的定义域为[１，５]，则函数f（２x—３）的定义域为（ ）

1

（2019）人教版高中数学必修第一册 第三章 函数概念与性质

3.1.1函数的概念

一、选择题（60分）

1．函数11yxx的值域为（ ）

A．[1, 2] B．[1,2] C．[ 262,2] D．[2,2]

2．已知函数()(0)1xafxxax，若210ax，则()fx的取值范围是（ ）

A．(22,1) B． [21,1) C．[22,1) D．(2,0)

3．函数y2019xx2018的值域是（ ）

A．0,2 B．0,2 C．1,2 D．1,2

4．函数(1)yxxx的定义域为（ ）

A．|0xx B．|1xx C．|10xx D．|01xx

5．已知函数242txtfxx在区间［－1,2］上的最大值为2，则t的值等于（ ）

A．2或3 B．－1或3 C．1 D．3

6．设函数2()(0)fxaxbxca的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）

A．2 B．4 C． D．8

7．已知定义在0,上的函数fx满足2fxfxx，且当0,2x时,8fxx，则93f（ ）.

A．2019 B．2109 C．2190 D．2901

8．记号[x]表示不超过实数x的最大整数，若2()[30]30xfxx，则1232930fffff的值为（ ）

A．899 B．900 C．901 D．902 2

9．函数21222fxxxxx的最大值为（ ）．

A．2 B．32 C．52 D．2

word

- 1 - / 10 第三章单元测试卷 一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为( )

A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)

C．[1,2) D．[1,2)∪(2，＋∞)

2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝ 0，x∉Q1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )

A．1 B．0

C．πD．－1

3．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x2－2x＋1，则f(－1)＝( )

A．3 B．－3

C．2 D．－2

4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f－x2x＋1的定义域是( )

A．[－4,0] B．[－4,0)

C．[－4，－1)∪(－1,0] D．(－4,0)

5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象不过原点，则m的取值X围为( )

A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2

C．m＝2 D．m＝1

6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )

A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)

C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)

7．已知函数f(x)＝ x2＋1，x≤0，1，x>0，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值X围是( )

A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1) word

- 2 - / 10 C．(－1,4) D．(－∞，1)

8．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

1 3.1.1 函数的概念

最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

知识点一 函数的概念

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域和值域

函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．

显然，值域是集合B的子集．

状元随笔 对函数概念的3点说明

(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．

(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

知识点二 区间的概念

1．区间的几何表示

定义 名称 符号

数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]

{x|a

{x|a≤x

{x|a

2.实数集R的区间表示

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”． 2 3．无穷大的几何表示

定义 符号 数轴表示

{x|x≥a} [a，＋∞)

{x|x>a} (a，＋∞)

{x|x≤b} (－∞，b]

{x|x

状元随笔 关于无穷大的2点说明

(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．

(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．

知识点三 同一函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

1 单元素养检测(二)(第三章)

(120分钟 150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)

1．已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]等于( )

x 1 2 3 4

f(x) 2 3 4 1

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】选A.因为f(3)＝4，所以f[f(3)]＝f(4)＝1.

2．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )

A．－2，f(2) B．2，f(2)

C．－2，f(5) D．2，f(5)

【解析】选C.由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时有最大值f(5).

3．已知f(x)是一次函数，且f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为( )

A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2

C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3

【解析】选B.设f(x)＝kx＋b(k≠0)，

所以f(x－1)＝k(x－1)＋b＝3x－5，

即kx－k＋b＝3x－5，

所以k＝3，b－k＝－5， 解得k＝3，b＝－2，

所以f(x)＝3x－2.

4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )

A．f(x)＝x＋1 x－1 ，g(x)＝x2－1

B．f(x)＝x2 ，g(x)＝(x )2 2 C．f(x)＝x2－1x－1 ，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝x2，g(x)＝3x6

【解析】选D.A.f(x)的定义域为[1，＋∞)，g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故不是同一函数；

B．f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，故不是同一函数；

C．f(x)的定义域为{x|x≠1}，g(x)的定义域为R，故不是同一函数；

D．f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且两函数解析式化解后为同一解析式．

第1页，共6页 新人教A版必修第一册单元测试卷

第三章 函数的概念与性质

本试卷共6页, 22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1. 如图所示的4个图象中, 与所给3个事件最吻合的顺序为

(1)我离开家后, 心情愉悦, 缓慢行进, 但最后发现上学快迟到了, 加速前进；

(2)我骑着自行车上学, 但中途车坏了, 我修理好又以原来的速度前进；

(3)我快速地骑着自行车去上学, 最后发现时间充足, 又减缓了速度.

① ② ③ ④

A. ③①② B. ③④② C. ②①③ D. ②④③

2. 下列函数是奇函数的是

A. 35()fxxxx B. 2()1fxx C. ()1fxx D. 2(),[1,3]fxxx

3. 函数1()12fxxx的定义域为

A. [1,2)(2,+) B. (1,) C. [1,2) D. [1,) 离开家的距离时间O离开家的距离时间O离开家的距离时间O离开家的距离时间O第2页，共6页 4. 已知幂函数()fxx的图象过点(2,2), 则下列说法正确的是

高中数学人教A版必修第一册知识点总结

本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。接下来将对这四个单元的知识点进行总结。

一.集合与常用逻辑

1.集合与元素

-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法

-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集

2.集合的运算

-并集、交集、差集、补集

-嵌套集合的化简

-运算律：交换律、结合律、分配律

3.常用逻辑关系

-全称量词、存在量词

-逻辑运算：与、或、非

-条件命题、充分条件、必要条件

4.命题及命题的逻辑运算

-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础

-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价 二.函数与方程

1.函数的概念

-自变量、因变量、函数值

-射影函数、指示函数

2.函数的表示方法

-函数的解析式

-函数的图像

3.函数的性质

-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性

-奇函数、偶函数

-反函数

4.一次函数

-一次函数的解析式及图像

-平移变换、伸缩变换

5.二次函数

-二次函数的解析式及图像

-平移变换、伸缩变换

-最值、对称轴、零点及判别式

三.数列与数学归纳法 1.数列的概念

-有限数列、无限数列、数列的一般表示

2.等差数列

-等差数列的概念及公式

-等差数列前n项和公式

-通项公式的推导

3.等比数列

-等比数列的概念及公比

-等比数列前n项和公式

-通项公式及其推导

4.递推数列

-递推数列的概念及表示

-递推公式

5.数学归纳法

-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提

四.几何与向量

1.向量的概念

-向量的定义、表示方法、相等与运算

-向量的数量表示 -零向量、单位向量

2.向量的线性运算

-加法、减法、数乘

-加减法运算律、数乘运算律

3.向量的坐标表示

-坐标运算、线性变换

4.向量的数量积

新教材高一数学必修第—册知识点

第一章 集合与常用逻辑用语

1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无,,,cba

序性．

2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,CBA

3集合相等：两个集合的元素一样，记作． BA,BA

4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：． AaAa

5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集． N

NN或*

ZQR

6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方

法；

②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(xPx})(|{xPAx

③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法． Venn

7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就BA,AB

称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且AAABBABxAx

，就称集合是集合

的真子集，记作，读作真包含于． ABABAB

8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子

集．

9集合的根本运算：并集；交集； },|{BxAxxBA或},|{BxAxxBA且

补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{AxUxxAC

U且U

运算性质：；；；； BABBABAABAAAA

，． UCUCAACC

UUUU,,)()()()(),()()(BACBCACBACBCAC

UUUUUU

10充分条件与必要条件：一般地，“假设p，则q〞为真命题，p可以推出q，记作，称p是q的qp

充分条件，q是p的必要条件；p是q

的条件的四种类型：假设，则p是q的充分不必要qqp,p

条件；

假设，则p是q的必要充分不条件；假设，则p是q的充要条件； ppq,qqp

1

高中数学 §1.2.1函数的定义学案 新人教A版必修1

学习目标：

1、能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；

2、了解构成函数的要素；

3、会求一些简单函数的定义域。

学习重点：函数的概念及求函数的定义域

学习难点： 求函数的定义域

知识链接：

一、函数的定义：设A、B是 的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应。那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)， x∈A 其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做 ，与x的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)︳x∈A}叫做 。

注意1、 A、B必须是 的数集；且对于集合A中的任意一个数x，在集合B中只有有 确定的数f(x)和它对应；

2、f(x)的符号含义：y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，表示集合A到集合B的一个特殊对应，并非表示f(x)是f与x相乘 ；

3、函数必须具备三个要素： 、 、 缺一不可。

4、常见函数的定义域与值域.

函数 解析式 定义域 值域

一次函数 (0)yaxba

二次函数

反比例函数 (0)kykx

二、区间定义：设a、b是两个实数，且a

实数集R用区间表示为 ，其中“∞”读“无穷大”； “－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.

例题剖析：

例1、已知函数

（1）求函数的定义域； （2）求 的值；

（3）当a>0时，求f(a), f(a-1)的值。

例2、求下列函数的定义域

（1）1()47fxx （2）()131fxxx （3）3()4xfxx

高中数学新教材必修第一册知识点总结

第一章 集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念

1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.

2.集合的三个特性：

（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.

（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.

（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.

3.集合中元素的三个特性：

（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一. 数学 数学 数学

数学 数学 数学 2 （2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.

（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.

4.集合的符号表示

通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.

5.集合的相等

当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作AB.

6.元素与集合之间的关系

（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作aA，读作a属于A.

（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA，读作a不属于A.

7.集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x的实数根组成的集合.

（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x的解组成的集合.

8.常用数集及其记法 数学 数学 数学

2020年新高一数学必修一知识点总结

第三章函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。

2.函数问题的共同特征：定义域、值域均为非空数集；定义域和值域间有一

个对应关系；对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数

与之对应。3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号

f统一表示对应关系。

【注】函数符号

yfx是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。

4.函数定义

一般地，设,AB是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按

照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就

称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作

,yfxxA。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对

应的y值叫做函数值，函数值的集合fxxA叫做函数的值域。

5.函数的三要素：定义域；对应关系；值域。

6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是

由它的定义域和对应关系决定的。

（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范

围。如yx，则默认定义域是

0xx（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.

如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：

stvt,隐含着0t。

6.几个特殊函数的定义域和值域

（1）正比例函数

0ykxk，定义域和值域都为全体实数R。

（2）一次函数

0ykxbk，定义域和值域都为全体实数R。

（3）反比例函数

0k

yk

x，定义域为

0xx，值域为

0yy。

（4）一元二次函数20yaxbxca，定义域为R。

当0a

时，值域为24

4acb

yy

a







；

当0a

时，值域为24

4acb

yy

a







。7.区间及其表示

设,ab是两个实数，且ab（注意：a不能等于b）。我们规定：

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高中数学必修 1 知识梳理（新教材）

第一章 集合与常用逻辑用语

一、集合的概念

1. 集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫

集合的元素。

2. 元素的性质：

(1)确定性。给定一个集合，集合中的元素是确定的；

(2)互异性。集合里不允许有相同的元素重复出现；

(3)无序性。集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4. 集合的表示方法：

(1)列举法。把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。如用 Venn 图表示 A 包

含于 B。

②数轴法。

5. 集合的分类

(1)有限集。含有有限个元素的集合； A

B

2 (2)无限集。含有无限个元素的集合；

(3)空集∅。不含任何元素的集合。

6. 常用集合

(1)N：非负整数集 (或自然数集)

(2)N*或N

+：正整数集

(3)Z：整数集

(4)Q：有理数集

(5)R：实数集

二、集合间的基本关系

1. 包含关系：

（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的

元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B(或 B⊇A)。

规定：

① 任何一个集合是它本身的子集。对于集合A，B，C，如果𝐴⊆𝐵

，且𝐵⊆𝐶，

那么𝐴⊆𝐶

。

② 空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素 x∈B，且 x∉A，就称集合 A 是集合 B

的真子集，记作 A⊊ B

2. 相等关系：

例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，

记作：{𝐴⊆𝐵

𝐵⊆𝐴⟺𝐴=𝐵。即A，B中的元素是一样的。

3. 关于子集的结论：

一般地，一个集合元素若为n

个，则其子集数为2n

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（2019新教材）人教A版必修第一册知识点

第一章集合与常用逻辑用语

〖1.1〗集合的概率

（1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

N表示自然数集，*N或N表示正整数集，Z表示整数集，

Q表示有理数集，R表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.

②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集.

〖1.2〗集合间的基本关系

（1）子集、真子集、集合相等

名称 记号 意义 性质 示意图

子集 BA

或BA A中的任一元素都属于B (1)AA

(2)A

(3)若BA且BC，则AC

(4)若BA且BA，则AB A(B)或BA

真子集 AB

或BA BA，且B中至少有一元素不属于A （1）A（A为非空子集）

(2)若AB且BC，则AC BA

集合

相等 AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB

(2)BA A(B)

（2）已知集合A有(1)nn个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.

2

〖1.3〗集合的基本运算

〖1.4〗充分条件与必要条

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.

高中数学第一册［新教材］人教A版（2019）必修一

第三章 函数的概念和性质

3.1函数的概念及其表示

3.1.1函数的概念

【学习目标】

1.在初中的基础之上，进一步体会函数描述的是变量之间的依赖关系，会用集合与对应的语言来刻画函数,

2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域

3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义

【核心素养】

1，通过学习函数的概念，培养数学抽象素养

2，借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．

3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养

【知识导学】

知识点一 函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

【名师点拨】

(1)对应中的两个集合A，B是非空的实数集，

（2）函数概念中明确要求对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．注意其中的(任意性)、(存在性)、(唯一性)

（3）集合A是函数的定义域，因为给定A中每一个x值都有唯一的y值与之对应；集合B不一定是函数的值域，因为B中的元素可以在A中没有与之对应的x，也就是说，B中的某些元素可以不是函数值，即{f(x)|x∈A}⊆B.

（4）在函数定义中，我们用符号y＝f(x)表示函数，其中f(x)表示“x对应的函数值”，而不是“f乘x”，也就是说：对应关系f是函数的本质特征，好比计算机的某种程序（或解决某问题的方法），当我们在f( )中括号里面放入某个x，就会按照这个程序得到一个结果即y值

（5）函数的三要素，从函数的定义可以看出，函数有三个要素：定义域、对应关系、