新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质

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第1页，共48页 新教材人教A版高一数学必修一知识点总结

第三章 函数的概念与性质

【考纲要求】

序号 考点 课标要求

1

函数的概念 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。 了解

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 了解

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。 了解

通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 理解

2 函数的性质 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意义 理解

结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 了解

3 幂函数 通过具体实例，结合，，,，，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 了解

4 函数的应用（一） 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。 掌握

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第2页，共48页 3.1 函数的概念及其表示

知识点总结

3.1.1 函数的概念

一、函数的概念

1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值。函数值的集合叫做函数的值域。

（1）判断一个对应关系是不是函数：

①两个集合均为非空数集；

②对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。

注意：可以一对一，多对一，不可一对多。

（2）判断一个图形是不是函数的图象

作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，反之不是。

2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。

3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，则这两个函数相等。

二、区间的概念及函数定义域的求法

1.区间的表示方法 学好高中数学，成就美好人生

第3页，共48页

2.函数的定义域求法

（1）具体函数的定义域

①如果是整式，则定义域为；

②如果是分式，则定义域是使分母不为的实数集合；

③如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的实数集合；

④如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

（2）抽象函数和复合函数的定义域

①已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围为，求的取值范围。

②已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为，求的值域。 学好高中数学，成就美好人生

第4页，共48页 3.简单函数的值域求法

（1）观察法：对于一些简单的函数，通过其定义域和对应关系用观察法可以确定，如、等等；

（2）配方法：对于含二次函数的有关问题，常常根据问题需要，采用配方法求值域，如等；

（3）判别式法：将函数转化为一元二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些分式函数，无理函数等，如等；

（4）换元法：对于一些无理函数常通过换元的方法转化为有理函数，在通过上述方法求值域，如；

（5）分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域，如,（其中为常数）。

（6）图像法

3.1.2 函数的表示法

一、三种表示法的比较

表示法 优点 缺点

解析法 1.简明、全面地概括了变量间的关系；

2.通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直接、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示，如每天的气温变化

列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示出自变量取较少的值时的对应关系

图像法 1.能形象、直观地表示出函数的变化情况；

2.便于数形结合的应用。 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大。

二、函数解析式的求法

1.待定系数法：已知函数类型，求函数解析式；

2.配凑法

3.换元法 学好高中数学，成就美好人生

第5页，共48页 4.消元法（解方程组法）：抽象函数解析式的求法；

5.赋值法

三、函数图象的作法

1 列表 先找出一些（有代表性）自变量的值，再计算出与这些自变量的值相对应的函数值，用表格形式表示出来

2 描点 从表格中得到一系列的点，在平面直角坐标系中描出这些点

3 连线 用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来

四、分段函数

1.分段函数是一个函数，而不是几个函数；

2.写分段函数各段的取值范围时，注意不重不漏；

3.处理分段函数问题时，首先要确认自变量的取值范围，再选取相应的对应关系；

4.分段函数的定义域是各段定义域的并集；同样的，值域是各段函数值域的并集；分段函数的最大（小）值是各段函数分别求得最大（小）值之后的最大（小）值。

考法突破

【知识点一 函数的概念】

例1，下列能表示是的函数的是( )

① ② ③ ④

A.①②④

B.①③④

C.②③④

D.①②③ 学好高中数学，成就美好人生

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变式训练例1

下列各式为函数解析式的是( ).

A.

B.

C.

D.

【知识点一 函数的概念之图像理解】

例2

下列四个图象中，能表示是的函数图象的个数是( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个 学好高中数学，成就美好人生

第7页，共48页

变式训练例2 下列图象中表示函数图象的是( )

A.

B.

C.

D.

【知识点一 相等函数的概念】

例3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(.)

A.

B.

C.

D. 学好高中数学，成就美好人生

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变式训练例3

下列各组中的两个函数是同一函数的为( )

A.与

B.与

C.与

D.与

【知识点二 函数定义域的求法】

例1.已知函数的定义域是集合,则使的集合( )

A.或

B.或

C.

D.

变式训练例1

已知函数的定义域为， 的定义域为，则__________．

答案. 学好高中数学，成就美好人生

第9页，共48页 【知识点二 函数定义域的求法】

例2.

已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．

答案.

变式训练例2

已知函数的定义域为,则函数的定义域是__________.

答案.

【知识点二.函数定义域的求法】

例3

.函数的定义域为,则函数的定义域是__________.

答案

变式训练例3

已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）

A.

B.

C.

D. 学好高中数学，成就美好人生

第10页，共48页 【知识点二 函数定义域的求法】

例4

已知函数的定义域为，则实数的值构成的集合是__________；若函数在上有意义，则实数的值构成的集合是__________.

答案；

变式训练例4

(2018广西南宁高一期末)若函数的定义域为,则的取值范围为__________.

答案

【知识点三 函数值域的求法】

例1。函数的值域是__________.

答案

变式训练例1 函数的值域是__________.

答案

【知识点三 函数值域的求法】

例2。已知集合,,求 . 学好高中数学，成就美好人生

第11页，共48页 答案,

变式训练例2

函数的定义域为__________，值域为__________．

答案；．

【知识点三 函数值域的求法】

例3已知函数满足方程，则函数的值域为__________.

答案

变式训练例3

已知函数满足方程，那么函数的值域是__________.

答案

【知识点三 函数值域的求法】

例4函数的值域为__________.

答案

变式训练例4

函数的值域为__________.

答案 学好高中数学，成就美好人生

第12页，共48页 【知识点三 函数值域的求法】

例5函数的值域为__________.

答案

变式训练例5 函数在的值域为__________.

答案．

【知识点四 函数表示法】

例1。口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如表所示的一组数据：

（1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力随温度变化的图像.

（2）根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？

（3）如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？

变式训练例1

根据下表写出函数解析式（ ）

A.