新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 重点难点归纳总结

第三章 函数的概念与性质

3.1 函数的概念及其表示 .............................................................................................. 1

3.1.1 函数的概念 ................................................................................................... 1

第一课时 函数的概念(一） .......................................................................... 1

第二课时 函数的概念(二) ............................................................................ 5

3.1.2 函数的表示法 ............................................................................................. 12

第一课时 函数的表示法 ............................................................................. 12

第二课时 分段函数 ..................................................................................... 16

3.2 函数的基本性质 .................................................................................................... 23

3.2.1 单调性与最大(小)值 .................................................................................. 23

第一课时 函数的单调性 ............................................................................. 23

第二课时 函数的最大(小)值 ...................................................................... 29

3.2.2 奇偶性 ......................................................................................................... 33

第一课时 奇偶性的概念 ............................................................................. 33

第二课时 函数奇偶性的应用 ..................................................................... 37

3.3 幂函数 .................................................................................................................... 40

3.4 函数的应用(一) ..................................................................................................... 47

3.1 函数的概念及其表示

3.1.1 函数的概念

第一课时 函数的概念(一）

知识点 函数的概念

概念 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A

定义域 x的取值范围

值域 与x的值相对应的y的

值的集合{f(x)|x∈A}

对函数概念的再理解

(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数；

(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．

1．在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？

提示：确定．

2．对应关系f必须是一个解析式的形式吗？

提示：不一定．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )

(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )

(3)定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )

(4)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．( )

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×

2．下图中能表示函数关系的是________(填序号)．

解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．

答案：①②④

3．函数f(x)＝14－x的定义域是________．

解析：由4－x＞0，解得x＜4，所以原函数的定义域为{x|x<4}．

答案：{x|x<4}

4．已知f(x)＝x2＋1，则f(－1)＝________． 解析：∵f(x)＝x2＋1，∴f(－1)＝(－1)2＋1＝2.

答案：2

题型一 函数关系的判断

[例1] (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

(2)(多选)下列两个集合间的对应中，是A到B的函数的有( )

A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方

B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数

D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A中的数的2倍

[解析] (1)①中，因为在集合M中当1

(2)A中，可构成函数关系；B中，对于集合A中元素1，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系；C中，A中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，因此不是函数关系；D中，可构成函数关系，故选A、D.

[答案] (1)B (2)AD

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空实数集；

(2)A中的任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应． 2．根据图形判断是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l；

(2)在定义域内平行移动直线l；

(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．

[注意] 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

题型二 求已知函数的定义域

[例2] 求下列函数的定义域：

(1)y＝x－1·1－x；

(2)y＝(x－1)0＋2x＋1.

[解] (1)由题意得，x－1≥0，1－x≥0⇒x＝1，

∴函数的定义域为{1}．

(2)由题意得，x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1，且x≠1，

∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}．

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合；

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集；

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

题型三 求函数值 [例3] 已知f(x)＝11＋x(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．

[解析] ∵f(x)＝11＋x，

∴f(2)＝11＋2＝13.

又∵g(x)＝x2＋2，

∴g(2)＝22＋2＝6，

∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17.

[答案] 13 17

求函数值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f(g(a))的值应遵循由里向外的原则．

第二课时 函数的概念(二)

知识点一 区间的概念

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义 名称 符号 数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]

{x|a

{x|a≤x

闭区间 [a，b)

{x|a

闭区间 (a，b]

2．特殊区间的表示

定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x

符号 (－∞，

＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

用区间表示下列数集：

(1){x|x≥1}＝________；

(2){x|2＜x≤3}＝________；

(3){x|x＞－1且x≠2}＝________；

(4)R＝________；

(5){x|x≤－1}∩{x|－5≤x＜2}＝________；

(6){x|x＜9}∪{x|9＜x＜20}＝________．

答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，3] (3)(－1，2)∪(2，＋∞)

(4)(－∞，＋∞) (5)[－5，－1] (6)(－∞，9)∪(9，20)

知识点二 同一个函数

前提条件 定义域相同

对应关系完全一致

结论 这两个函数是同一个函数

定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．( )

(2)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．( )