高中数学第三章函数概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册
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3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准:借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x 1<x 2; (3)属于同一个单调区间. 知识点二 单调性与单调区间如果函数y =f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接. 如函数y =1x 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减. [教材解难]1.教材P 77思考f (x )=|x |在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增; f (x )=-x 2在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.2.教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )=-1x,在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递增的,在整个定义域上不是单调递增的.(2)函数f (x )=x 在(-∞,+∞)上是单调递增的.f (x )=x 2在(-∞,0]上是单调递减,在[0,+∞)上是单调递增的.[基础自测]1.下列说法中正确的有( )①若x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)<f (x 2),则y =f (x )在I 上是增函数; ②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1x在定义域上是增函数;④y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A .0个B .1个C .2个D .3个解析:由于①中的x 1,x 2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确. 答案:A2.函数y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则( ) A .m >12 B .m <12C .m >-12D .m <-12解析:使y =(2m -1)x +b 在R 上是减函数,则2m -1<0,即m <12.答案:B3.函数y =-2x 2+3x 的单调减区间是( ) A .[0,+∞) B.(-∞,0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞ 解析:借助图象得y =-2x 2+3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,+∞,故选D.答案:D4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),则x1,x2的大小关系为________.解析:∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),∴x1>x2.答案:x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为( )A.(-3,1)∪(1,4) B.(-5,-3)∪(-1,1)C.(-3,-1),(1,4) D.(-5,-3),(-1,1)【解析】在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).【答案】 C观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间.跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示,则( )A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数解析:函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A.答案:A根据图象上升或下降趋势判断.题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.【证明】 ∀x 1,x 2∈(1,+∞), 且x 1<x 2,有y 1-y 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+1x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 2=(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1-1x 2=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1). 由x 1,x 2∈(1,+∞),得x 1>1,x 2>1. 所以x 1x 2>1,x 1x 2-1>0. 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0. 于是x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-1)<0, 即y 1<y 2.所以,函数y =x +1x在区间(1,+∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,再判断f(x 1)-f(x 2)的符号. 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注:作差变形是解题关键.跟踪训练2 利用单调性的定义,证明函数y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 证明:设x 1,x 2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+2x 1+1-x 2+2x 2+1=x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1), ∵-1<x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 1+1>0,x 2+1>0. ∴x 2-x 1(x 1+1)(x 2+1)>0.即f (x 1)-f (x 2)>0,f (x 1)>f (x 2).∴y =x +2x +1在(-1,+∞)上是减函数. 利用四步证明函数的单调性.题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a 的取值范围.【解析】 ∵f (x )=x 2-2(1-a )x +2=[x -(1-a )]2+2-(1-a )2, ∴f (x )的减区间是(-∞,1-a ]. ∵f (x )在(-∞,4]上是减函数,∴对称轴x =1-a 必须在直线x =4的右侧或与其重合. ∴1-a ≥4,解得a ≤-3. 故a 的取值范围为(-∞,-3].状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x =1-a ,利用对称轴应在直线x =4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I ,指的是函数递减的最大范围为区间I ,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.跟踪训练3 例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a 为何值?解析:由例3知函数f (x )的单调递减区间为(-∞,1-a ], ∴1-a =4,a =-3.求出函数的减区间,用端点值相等求出a.一、选择题1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )a -b>0,则必有( )A .函数f (x )先增后减B .f (x )是R 上的增函数C .函数f (x )先减后增D .函数f (x )是R 上的减函数 解析:由f (a )-f (b )a -b>0知,当a >b 时,f (a )>f (b );当a <b 时,f (a )<f (b ),所以函数f (x )是R 上的增函数.答案:B2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) A .y =-3x +2 B .y =3xC .y =x 2-4x +5D .y =3x 2+8x -10解析:显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数,排除;对C 项,函数在(-∞,2)上为减函数,也不符合题意;对D 项,函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,+∞上为增函数,所以在(0,2)上也为增函数,故选D.答案:D3.函数f (x )=x |x -2|的增区间是( ) A .(-∞,1] B .[2,+∞) C .(-∞,1],[2,+∞) D.(-∞,+∞)解析:f (x )=x |x -2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥2,2x -x 2,x <2,作出f (x )简图如下:由图象可知f (x )的增区间是(-∞,1],[2,+∞). 答案:C4.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-3) B .(0,+∞)C .(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:因为函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),所以2m >-m +9,即m >3.答案:C 二、填空题5.如图所示为函数y =f (x ),x ∈[-4,7]的图象,则函数f (x )的单调递增区间是____________.解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6]. 答案:[-1.5,3]和[5,6]6.若f (x )在R 上是单调递减的,且f (x -2)<f (3),则x 的取值范围是________. 解析:函数的定义域为R .由条件可知,x -2>3,解得x >5. 答案:(5,+∞)7.函数y =|x 2-4x |的单调减区间为________.解析:画出函数y =|x 2-4x |的图象,由图象得单调减区间为:(-∞,0],[2,4].答案:(-∞,0],[2,4] 三、解答题8.判断并证明函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上的单调性.解析:函数f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x 1,x 2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 1+1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x 2+1=x 1-x 2x 1x 2,由x 1,x 2∈(0,+∞),得x 1x 2>0, 又由x 1<x 2,得x 1-x 2<0, 于是f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),∴f (x )=-1x+1在(0,+∞)上是增函数.9.作出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象,并指出函数的单调区间.解析:f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x -3,x ≤1,(x -2)2+3,x >1的图象如图所示.由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞).[尖子生题库]10.已知f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -2)<f (1-x ),求x 的取值范围. 解析:∵f (x )是定义在[-1,1]上的增函数, 且f (x -2)<f (1-x ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x -2≤1,-1≤1-x ≤1,x -2<1-x ,解得1≤x <32,所以x 的取值范围为1≤x <32.。
新教材高中数学第3章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值教学案新人教A 版必修第一册第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准:1.理解函数最大(小)值的含义并会用符号语言表达函数的最大(小)值.2.会求简单函数的最大(小)值.3.会运用函数的图象理解和研究函数的最值.教学重点:1.函数最大(小)值的含义及其几何意义.2.求一些简单函数的最值. 教学难点:求较复杂函数的最值.【知识导学】知识点一 函数的最大值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有□01f (x )≤M ; ②∃x 0∈I ,使得□02f (x 0)=M . 那么,称M 是函数y =f (x )的最大值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最大值是图象□03最高点的纵坐标. 知识点二 函数的最小值(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足: ①∀x ∈I ,都有□01f (x )≥M ; ②∃x 0∈I ,使得□02f (x 0)=M . 那么,称M 是函数y =f (x )的最小值.(2)几何意义:函数y =f (x )的最小值是图象□03最低点的纵坐标. 【新知拓展】(1)并不是每一个函数都有最值,如函数y =1x,既没有最大值,也没有最小值.(2)有些函数只有最大(小)值,没有最小(大)值,如函数y =-x 2(y =x 2). (3)特别地,对于常函数f (x )=C ,它的最大值和最小值都是C .1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何函数都有最大值或最小值.( ) (2)函数的最小值一定比最大值小.( )(3)若函数y =f (x )有最大值,则这个最大值唯一.( )(4)若函数y =f (x )的最大值是M ,则使f (x 0)=M 的x 0是唯一的.( )(5)对于函数y =f (x ),如果它的函数值都不小于3,那么该函数的最小值是3.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数f (x )=x 2在[0,1]上的最大值是________.(2)函数y =1x在[2,6]上的最大值与最小值之和等于________.(3)函数y =2x 2+2,x ∈N *的最小值是________. 答案 (1)1 (2)23 (3)4题型一 利用图象求函数最值例1 (1)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-1≤x ≤1,1x,x >1.求f (x )的最大值、最小值;(2)画出函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x,x ∈(-∞,0),x 2+2x -1,x ∈[0,+∞)的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.[解] (1)作出函数f (x )的图象(如图).由图象可知,当x =±1时,f (x )取最大值为f (±1)=1;当x =0时,f (x )取最小值f (0)=0,故f (x )的最大值为1,最小值为0. (2)f (x )的图象如图所示,f (x )的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f (0)=-1.金版点睛图象法求最值的一般步骤[跟踪训练1] 求函数y =|x +1|-|x -2|的最大值和最小值.解 y =|x +1|-|x -2| =⎩⎪⎨⎪⎧3,x ≥2,2x -1,-1<x <2,-3,x ≤-1.作出函数的图象,如图所示.由图可知,y ∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3. 题型二 利用单调性求函数最值例2 求函数f (x )=x +4x在x ∈[1,3]上的最大值与最小值.[解] 设1≤x 1<x 2≤3,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-x 2+4x 1-4x 2=(x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-4x 1x 2.又因为x 1<x 2,所以x 1-x 2<0. 当1≤x 1<x 2≤2时,1-4x 1x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)>0, 所以f (x )在[1,2]上单调递减.当2<x 1<x 2≤3时,1-4x 1x 2>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0.所以f (x )在(2,3]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (2)=2+42=4.又因为f (1)=5,f (3)=3+43=133<f (1),所以f (x )的最大值为5. 金版点睛利用单调性求函数最值(1)利用函数的单调性求函数最值是常用方法,特别是当函数图象不易作出时,单调性几乎成为首选方法.(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析;注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.[跟踪训练2] 求函数y =x 2x -3在区间[1,2]上的最大值和最小值.解 令f (x )=x 2x -3,∀x 1,x 2∈[1,2],且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 21x 1-3-x 22x 2-3=x 21x 2-3x 21-x 1x 22+3x 22(x 1-3)(x 2-3)=(x 2-x 1)[3(x 1+x 2)-x 1x 2](x 1-3)(x 2-3),因为1≤x 1<x 2≤2, 所以2<x 1+x 2<4,即6<3(x 1+x 2)<12,又1<x 1x 2<4,x 2-x 1>0, 故f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数y =x 2x -3在区间[1,2]上单调递减,所以y max =f (1)=-12,y min =f (2)=-4.题型三 求二次函数的最值例3 (1)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[0,2],求函数f (x )的最值; (2)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[t ,t +2],求函数f (x )的最值;(3)已知函数f (x )=x 2-2ax +2,x ∈[-1,1],求函数f (x )的最小值; (4)已知函数f (x )=x -2x -3,求函数f (x )的最值.[解] (1)∵函数f (x )=x 2-2x -3图象的开口向上,对称轴x =1, ∴f (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f (0)=f (2). ∴f (x )max =f (0)=f (2)=-3,f (x )min =f (1)=-4.(2)由(1)知对称轴x =1, ①当1≥t +2即t ≤-1时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (t +2)=t 2+2t -3.②当t +t +22≤1<t +2,即-1<t ≤0时,f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (1)=-4.③当t ≤1<t +t +22,即0<t ≤1时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3, f (x )min =f (1)=-4.④当1<t ,即t >1时,f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3, f (x )min =f (t )=t 2-2t -3.设函数最大值为g (t ),最小值为φ(t ),则有g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t -3,t ≤0,t 2+2t -3,t >0,φ(t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2+2t -3,t ≤-1,-4,-1<t ≤1,t 2-2t -3,t >1.(3)f (x )=x 2-2ax +2=(x -a )2+2-a 2的图象开口向上,且对称轴为直线x =a .当a ≥1时,函数图象如图①所示,函数f (x )在区间[-1,1]上单调递减,最小值为f (1)=3-2a ;当-1<a <1时,函数图象如图②所示,函数f (x )在区间[-1,1]上先单调递减后单调递增,最小值为f (a )=2-a 2;当a ≤-1时,函数图象如图③所示,函数f (x )在区间[-1,1]上单调递增,最小值为f (-1)=3+2a .(4)设x =t (t ≥0),则x -2x -3=t 2-2t -3.∵y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴当t =1,即x =1时,f (x )min =-4,无最大值. 金版点睛二次函数最值的求法(1)探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y =f (x )的草图,然后根据图象判断函数的单调性.对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况,特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.(2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:①对称轴在定义域的右侧;②对称轴在定义域的左侧;③对称轴在定义域区间内.(3)对某些函数,可通过换元,转化为二次函数,如函数f (x )=x -2x -3.[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )=x 4-2x 2-3,求函数f (x )的最值; (2)求二次函数f (x )=x 2-2ax +2在[2,4]上的最小值; (3)求函数f (x )=x 2-2x +2在区间[t ,t +1]上的最小值g (t ). 解 (1)设x 2=t (t ≥0),则x 4-2x 2-3=t 2-2t -3.令y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t =1,即x =±1时,f (x )min =-4,无最大值. (2)∵函数图象的对称轴是x =a , ∴当a <2时,f (x )在[2,4]上单调递增, ∴f (x )min =f (2)=6-4a .当a >4时,f (x )在[2,4]上单调递减, ∴f (x )min =f (4)=18-8a .当2≤a ≤4时,f (x )min =f (a )=2-a 2. ∴f (x )min =⎩⎪⎨⎪⎧6-4a ,a <2,2-a 2,2≤a ≤4,18-8a ,a >4.(3)f (x )=x 2-2x +2=(x -1)2+1,x ∈[t ,t +1],t ∈R ,对称轴为x =1.当t +1<1,即t <0时,函数图象如图①所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上单调递减,∴最小值为g (t )=f (t +1)=t 2+1;当t ≤1≤t +1,即0≤t ≤1时,函数图象如图②所示,最小值为g (t )=f (1)=1; 当t >1时,函数图象如图③所示,函数f (x )在区间[t ,t +1]上单调递增,∴最小值为g (t )=f (t )=t 2-2t +2.综上可得,g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2+1,t <0,1,0≤t ≤1,t 2-2t +2,t >1.题型四 应用题中的最值问题例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400x -12x 2,0≤x ≤400,80000,x >400,其中x 是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润表示为关于月产量的函数f (x );(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)[解] (1)月产量为x 台,则总成本为(20000+100x )元, 从而f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-12x 2+300x -20000,0≤x ≤400,60000-100x ,x >400.(2)当0≤x ≤400时,f (x )=-12(x -300)2+25000,当x =300时,f (x )max =25000;当x >400时,f (x )=60000-100x 是减函数,f (x )<60000-100×400=20000<25000. ∴当x =300时,f (x )max =25000.即每月生产300台仪器时公司所获利润最大,最大利润为25000元. 金版点睛解实际应用题的四个步骤(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围). (4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.[跟踪训练4] 某水厂蓄水池有水450吨,水厂每小时向蓄水池注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t 小时内供水量为8020t 吨,现在开始向池中注水并同时向居民供水,多少小时后蓄水池中水量最少?解 设t 小时后,池中水量为y 吨,则y =450+80t -8020t =4(20t -10)2+50, 当20t =10,即t =5时,y min =50,所以,5小时后蓄水池中水量最少,只有50吨.1.函数f (x )在[-2,+∞)上的图象如图所示,则此函数的最大、最小值分别为( )A .3,0B .3,1C .3,无最小值D .3,-2答案 C解析 观察图象可以知道,图象的最高点坐标是(0,3),从而其最大值是3;另外从图象看,无最低点,即该函数不存在最小值.故选C.2.已知函数f (x )=x 2-2,其中x ∈[0,2],这个函数的最大值和最小值分别为( ) A .-2和1 B .2和-2 C .2和-1 D .-1和2答案 B解析 ∵f (x )=x 2-2在区间[0,2]上单调递增, ∴y max =f (2)=2,y min =f (0)=-2.3.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时,面积S 最大,此时x 的值为( )A.12 B .1 C.32 D .2 答案 B解析 ∵S =(4+x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3-x 2=-12x 2+x +12=-12(x -1)2+252,又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0,3-x2>0,即0<x <6,∴当x =1时,S 取最大值252.故选B.4.函数f (x )=6x -2(x ∈[3,5])是________函数(填“增”或“减”),它的最大值是________,最小值是________.答案 减 6 2解析 易知函数是减函数,从而f (x )的最大值是f (3)=6,最小值是f (5)=2. 5.已知二次函数y =x 2-4x +5,分别求下列条件下函数的最小值: (1)x ∈[-1,0];(2)x ∈[a ,a +1].解 (1)∵二次函数y =x 2-4x +5图象的对称轴为x =2且开口向上, ∴二次函数在x ∈[-1,0]上单调递减. ∴y min =02-4×0+5=5.(2)当a ≥2时,函数在x ∈[a ,a +1]上单调递增,y min =a 2-4a +5;当a +1≤2,即a ≤1时,函数在[a ,a +1]上单调递减,y min =(a +1)2-4(a +1)+5=a 2-2a +2;当a <2<a +1,即1<a <2时,y min =22-4×2+5=1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2-2a +2,a ≤1,1,1<a <2,a 2-4a +5,a ≥2.。