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曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第十一章 曲线曲面积分一、填空1、L 为下半圆21y x =--，则22()L x y ds +=⎰___π_______。
2、L 为222x y R +=，则3(2)L x y ds +=⎰____0____。
3、L 为圆22(2)(2)2x y -+-=的逆时针一周，则L ydx xdy +⎰=_0_。
4、设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L 所围的平面闭区域D 的面积为A ，(2)(43)8L x dx x y dy -++=-⎰，则A=___2_______。
5、分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰= 3V 。
二、选择题1、设是一光滑曲线，为了使曲线积分(,)(,)L yF x y dx xF x y dy +⎰与积分路径无关，则可微函数 应满足条件（ A ）。
A 、B 、C 、D 、2、OM 是从(0,0)(1,1)O M 到的直线段，则22x y OM e ds +⎰不等于（D ）。
A 、1202x e dx ⎰B 、1202y e dy ⎰C 、20r e dr ⎰D 、102r e dr ⎰ 3、∑：2221x y z ++=外侧，1∑：上半面上侧，则正确的是（B ）。
A 、12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ B 、12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ C 、1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰ D 、zdxdy ∑⎰⎰=0 4、∑：222(),0z x y z =-+≥，则ds ∑⎰⎰等于（ C ）。
A 、220014r d r rdr πθ+⋅⎰⎰ B 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ C 、2220014d r rdr πθ+⋅⎰⎰ D 、2 5、∑：222,12x y R z +=≤≤外侧，则下列不正确的是等于（B ）。
一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。
高等数学曲线曲面积分 单元测试题第一部分 本试卷满分100分，其中卷面分10分，后面附有详细的解答过程。
一 单选题（每题 4 分 共12 分）1 下列说法正确的是( ).A 格林公式建立了某些第二类曲线积分与三重积分之间的联系。
B 高斯公式建立了某些第二类曲面积分与二重积分之间的联系。
C 斯托克斯公式建立了某些第二类曲线积分与二重积分之间的联系。
D 以上说法都不对。
2 下列积分是第二类曲线积分的是 ( ).A ⎰10sin xdyB ()⎰+L ds y 12C ()⎰+L dx x 12D ⎰10sin xdx3 设Ω是空间区域(){}()0,,2222>≤++a a z y x z y x ，有向曲面∑是球面2222a z y x =++的外侧，∑在xoy 平面上的投影区域(){},,222a y x y x D xy ≤+=，下列曲面积分等式成立的是( )。
A 、⎰⎰⎰⎰=∑xy D zdxdy y x zdS y x 2222，B 、⎰⎰⎰⎰−−=∑xy D dxdy y x a y x zdxdy y x 2222222，C 、()022=+⎰⎰∑dxdy y x ，D 、()52222333433a dv a dv z y x dxdy z dzdx y dydz x π==++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∑。
二 填空题（每题5分，共计15分）1 已知L 为圆：x y x 222=+的正方向,则曲线积分()()Lx y dx y x dy −+−=⎰________. 2 已知平面区域D 是圆322≤+y x ，L 是D 的边界曲线并取正向，依据格林公式可得()()⎰=+++Ldy x y dx y x sin cos ________. 3 已知平面曲线L 是圆222x y +=，则=⎰Lds _______. 三、解答题（每题7分，共计63分）1 求曲线积分⎰Lxds ，其中L 为抛物线2x y =上从(0,0)到(1,1)的一段。
曲线与曲面积分测试题2答案一、选择题1、C2、D3、C4、A5、C二、填空题1、;a2、113;303、22;a 4、22(,);2x y u x y = 5、44;a π 三、计算曲线积分 ⎰+=Lds y x I )( L 为以点O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的整个边界。
y解 ⎰+=Lds y x I )(⎰⎰⎰++=BABOA0 B⎰⎰+-+=101])1[(2dy y y xdx ⎰+=+1021ydy 四、计算曲线积分()dy x dx y xy I OAB⎰+-=22 其中20sin :π≤≤=x x y OA 与直线段 πππ≤≤-=x xy AB 222:所组成。
解 dy x xydx I OAB⎰+=22⎰-OABydx 在第一个积分中xQ x y P ∂∂==∂∂2 积分与路径无关，可沿x 轴积分 0⎰=OBI ⎰-OABydx ⎰⎰---=ππππ220)22(sin 0dx x xdxππ241π-- 五、计算曲线积分()dy x y x x dx x y y I L⎰+++-=)cos (cos sin sin 2 其中L 是沿着曲线 21x y -= 从点A(0,1)到点B(1,0)的一段圆弧段x x yxQx y 2sin cos sin +-=∂∂- x yP2=∂∂- ⎰⎰⎰--ABOABOA0⎰⎰⎰⎰-+=11002dy dx xdxdy D311cos 210220-=-=⎰⎰dr r d πθθ六、计算曲线积分()dy y e dx xy y e I L x x ⎰-+-=)3cos 21(sin 22 其中L 是沿着圆周 422=+y x 从点A(2,0)到点B(0,2)的一段圆弧段y exQx y e x x cos cos 22=∂∂- x yP=∂∂- ⎰⎰⎰--=ABOABOAI 00)3cos 21(20--+=⎰⎰⎰dy y xdxdy D31022sin 02)3sin 21(cos 2022-=-+=⎰⎰y y dr r d πθθ七、计算曲线积分()dy x y e dx x y y e I Lx x ⎰-++-=)2cos (23sin 其中L 是沿着圆周 x y x 222=+ 从点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆弧。
曲线积分与曲面积分试题及解答B(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--曲线积分与曲面积分 测试题B一、选择（每题6分，共24分） 1、曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系( )2、C 为沿以)3,1(),2,2(),1,1(C B A 为顶点的三角形逆时针方向绕一周，则 I=⎰=⋅+++cdy y x dx y x 222)()(2( )（A ）⎰⎰--x xdy y x dx 421)( （B ）⎰⎰--xxdy y x dx 421)(2（C ）[]⎰⎰⎰++-+++1.3212222122)1()4(2)2()2(2dy y dx x x dx x dx x（D ）{}[]⎰⎰⎰+++-+-++1.321222212)1()4()4(28dy y dx x x x x dx x3、C 为沿222R y x =+逆时针方向一周，则I=⎰+⋅-σdy xy dx y x 22用格林公式计算得( )（A ）⎰⎰Rdr r d 0320πθ （B ）⎰⎰Rdr r d 0220πθ（C ）⎰⎰-R dr r d 0320cos sin 4θθπ（D ）⎰⎰Rdr r d 0320cos sin 4θθπ4、 ∑为)(222y x z +-=在xoy 平面上方部分的曲面，则⎰⎰∑dS = ( )(A)rdr r d r ⎰⎰+πθ200241 (B)rdr r d ⎰⎰+πθ2020241(C)rdr r r d ⎰⎰+-πθ20202241)2( (D)rdr r d ⎰⎰+πθ2020241二、填空（每题6分，共24分） 1、设是M (1，3)沿圆(x －2)2+(y －2)2=2到点N (3，1)的半圆，则积分.2、设f (x )有连续导数，L 是单连通域上任意简单闭曲线，且 则f (x )= .3、由物质沿曲线10,3,2,:32≤≤===t t z t y t x C 分布，其密度为y 2=γ，则它的质量=M. (化为定积分形式即可不必积出)4、=++⎰⎰Sdxdy z dzdx y dydz x 333 ，S 为球面2222a z y x =++的外侧.三、（18分）计算曲线积分，式中L为由点O(0，0)沿直线y=x到点A(1，1)再由点A沿曲线到点B(0，2)的路径.四、（18分）设C为由抛物线y=x2的从(0，0)到(1，1)的一段弧和从(1，1)到(0，0)的直线段组成.试求曲线积分.五、（16分）求向量yz i+xz j+xy k穿过圆柱体x2+y2≤R2,0≤z≤H的全表面∑的外侧的通量.参考答案及评分标准(B)一、1、B2、B 解：利用格林公式)(24,21:y x yP x Qxy x x D xy -=∂∂-∂∂-≤≤≤≤.3、A 解：22222,:y x y Px Q R y x D xy +=∂∂-∂∂≤+利用极坐标化二重积分⎰⎰+xyD dxdy y x )(22 为累次积分⎰⎰R dr r d 0320πθ.4、D 解：dxdy y x ds y x D xy 2222441,2:++=≤+.二、1、0 解：由x Q y P ==,知xQ y P ∂∂=∂∂，故03113)1,3()3,1(=+=+=+⎰⎰⎰⎰⋂dx dy xdy ydx xdy ydx MN .2、c x +2 解：由题意知y y xe yPx f e x Q 222)(=∂∂='=∂∂，即x x f 2)(='，故c x x f +=2)(. 3、⎰++10421dt t t t 解：⎰⎰++==14212dt t t t ds y M C.4、5512a π 解：由高斯公式得原式⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x )(3222 54022051212sin 3a dr r rdr r d d aa ππθϕϕππ==⋅=⎰⎰⎰⎰. 三、解：xQ y y P xy Q y x P ∂∂=-=∂∂-=-=2,2,22，故积分与路径无关……………………………6分 取OB 为从O 到B 的直线段，则⎰--Lxydy dx y x 2)(22……………………………12分 02)(22=--=⎰OBxydy dx y x …………………………………………………………18分四、解：由于y x P 2+=，y x Q 2-=，故由格林公式 …………………………………………6分()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=DDDyx y x y x y P x Q I d d d d 21d d ⎰⎰⎰-=-=1210d )(d d 2x x x y xxx…………12分12323⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 612131-=-= …………………………………………………………18分 五、证明：⎰⎰∑++=Φxydxdy xzdzdx yzdydz ……………………………………………………6分由∑围成立体Ω，用高斯公式得…………………………………………………10分⎰⎰⎰Ω=++=Φ0)000(dv ……………………………………………………………16分。
曲线积分与曲面积分测试题1. 计算曲线积分 $\int_C e^{x^2} dx + 2xy dy$，其中 $C$ 为从点 $(0,0)$ 到点 $(2,1)$ 的直线段。
答案：$\frac{1}{2}(e^4-1)$2. 计算曲面积分 $\iint_S (x+y+z)\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=9$ 的上半部分。
答案：$\frac{27\pi}{2}$3. 计算曲线积分 $\int_C xy\ dx + x^2y^2\ dy$，其中 $C$ 为以原点为中心，半径为 $3$ 的圆周。
答案：$0$4. 计算曲面积分 $\iint_S x^2\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=4$ 的下半部分。
答案：$\frac{4\pi}{3}$5. 计算曲线积分 $\int_C (y+z)\ dx + (z+x)\ dy + (x+y)\ dz$，其中 $C$ 为从点 $(0,0,0)$ 到点 $(1,2,3)$ 的直线段。
答案：$8$6. 计算曲面积分 $\iint_S yz\ dS$，其中 $S$ 是球面$x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧。
答案：$0$7. 计算曲线积分 $\int_C x\ dy - y\ dx$，其中 $C$ 为以原点为中心，半径为 $2$ 的圆周。
答案：$-4\pi$8. 计算曲面积分 $\iint_S z\ dS$，其中 $S$ 是柱面$x^2+y^2=1$ 的侧面，$z$ 在 $[0,2]$ 之间。
答案：$2\pi$9. 计算曲面积分 $\iint_S xy\ dS$，其中 $S$ 是抛物面$z=x^2+y^2$ 在 $z\leq 1$ 的部分。
答案：$\frac{8}{3}$10. 计算曲线积分 $\int_C \frac{x\ dy - y\ dx}{x^2+y^2}$，其中$C$ 为以原点为中心，半径为 $2$ 的逆时针方向圆周。
曲线积分与曲面积分单元练习题一、 填空题：1．设L 为122=+y x 上点)0,1(到)0,1(-的上半弧段，则2d Ls ⎰= π2；2．⎰+Cds y x z 22= 285π ，其中C 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y tx sin 2cos 2介于0=t 到π=t 一段； 3．L 为逆时针方向的圆周:4)3()2(22=++-y x ,则=-⎰Lxdy ydx π8-；4．设C 是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则⎰=-Cxdy ydx1-；5． 第一类曲面积分⎰⎰∑dS =的面积∑；6． 设曲面∑为：2222x y z a ++=，则222()xy z dS ∑++=⎰⎰44a π；7．设∑：2222a z y x =++．则dS z ⎰⎰∑2=434a π； 8．格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。
高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分__之间关系。
二、计算题： 1．计算⎰Lds y ，其中L 是抛物线2x y =上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。
解12155|)41(121411023212-=+=+⎰x dx x x 。
2．计算⎰Lxyds ，其中L 为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：)0(222≥=+y x y x。
解2sin )cos 1(0=+=⎰⎰πtdt t xyds L3．已知平面曲线弧段L 是圆 4 22=+y x 上从点 ()0,2到()2,0的有向弧段，试计算⎰=Lxydx I .解 ()t d t t I cos 2sin 2cos 220⎰π=dt t t ⎰π-=202sin cos 838-=4．计算224(2)()LI x xy dx x y dy =+++⎰,其中L 为由点(0,0)O 到点(1,1)A 的曲线sin2y x π=.解法一：由于2242,P x xy Q x y =+=+，2P Q x y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关。
224(2)()LI x xy dx x y dy =+++⎰11240(1)x dx y dy =++⎰⎰ =2315解法二：根据第二类曲线积分计算。
5．利用格林公式计算⎰-Lx y x y xy d d 22，其中L 是圆周222a y x =+（按逆时针方向）.解：L 所围区域D ：222a y x ≤+,由格林公式，可得⎰-Lx y x y xy d d 22=y x y y x x xy Dd d ))()((22⎰⎰∂-∂-∂∂=⎰⎰+D y x y x d d )(22=4π20022πd a r r r d a ⎰⎰=⋅θ. 6．利用格林公式计算(e sin )d e cos d x x LI y y x y y =-+⎰，其中L 是圆周 222 x y a +=上从点(,0)a 到(,0)a -的上半圆有向弧段.解 令e sin x P y y =-，e cos xQ y =，令:0,l y a x a =-≤≤由格林公式知(e sin d e cos d )x x L lI y y x y y +=-+⎰()d d DQ P x y x y∂∂=-∂∂⎰⎰ 2πd d 2Da x y ==⎰⎰其中222:D x y a +≤. 又(e sin )d e cos d 0x x ly y x y y -+=⎰，所以2π(e sin )d e cos d 2xxL a I y y x y y =-+=⎰7．⎰+-Cxydy x dx y xy y sin )sin (，其中C 为从点)1,1(-A 沿抛物线2x y =到原点)0,0(O ，再沿直线x y =到点)1,1(B 。
解 111:1-=到从x y L 。
原式＝2)1(sin 11111-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+yyDL L C dx dy dx x dxdy＝65-8．下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。
计算曲线积分⎰+-=Lyx ydxxdy I 224，其中L 为从A （-1，0）到C （0，1），再到B （1，0）的曲线，AC 为直线：1+=x y ，CB 为直线：1+-=x y ，计算过程为：因为224y x y P +-=,224y x x Q +=,x Qy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)4(4，所以积分与路径无关，从而⎰+-=Ly x ydx xdy I 224=⎰+-ABy x ydxxdy 224=0(其中AB 为直线段：)11(0≤≤-=x y )。
不正确，因为xQ y x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)4(4 ,要求0422≠+y x ，所以这样做是错误的。
设l 是从A 到C '),21,0(，再到B 的半椭圆周：t y t x sin 21,cos ==，则⎰+-=Ly x ydx xdy I 224=⎰+-l yx ydx xdy 224=2210π-=⎰πdt 。
9．计算积分⎰⎰∑zdS ，其中∑是上半球面222y x a z --=。
解dxdy z z y x a I y x D222221++⋅--=⎰⎰=⎰⎰⎰⎰π==--⋅--DDa adxdy dxdy y x a a y x a 322222210． 求⎰⎰∑++222zy x dS 其中∑是界于平面H z z ==及0之间的圆柱面222R y x =+. 解 柱面按∑对称面zox 划分为两块，方程分别为2222x R y x R y --=-=和它们在zox 面上的投影均为},0|),{(R x R H z x z D zx ≤≤-≤≤=，且都有22221xR R y y x z -=++于是⎰⎰∑++222z y x ds σ-⋅+=⎰⎰d x R z R 2222112 dzz R dx x R HRR⎰⎰+-=-02222112 =R H arctan 2π11．计算22()d d I x y x y ∑=+⎰⎰,其中∑是圆锥面的一部分z =,0x ≥,0y ≥, 01z ≤≤的下侧外表面.解 2222()d d ()d d xyD I x y x y x y x y ∑=+=-+⎰⎰⎰⎰ ， 令cos ,sin ,01πx r y r ,0r 2θθθ==≤≤≤≤ 2222()d d ()d d xyD I x y x y x y x y ∑=+=-+⎰⎰⎰⎰1320d d r r π=-θ⎰⎰π8=-12．求曲面积分222()()()yz dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧.解 由于∑在xoy 面上的投影区域222{(,)|}xy D x y x y h =+≤x y z z ==，又∑取下侧，故由投影法得222()()()yz dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰=2222[(()(()]xyD y x y x x y d σ-++-+-⎰⎰注意到xy D 关于y 轴对称，故上式第一项与第二项在xy D 上的二重积分为0，于是222()()()yz dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰ =2()xyD x y d σ--⎰⎰=2220(cos sin )d r r rdr πθθθ--⎰⎰=414h π- 13． 计算曲面积分⎰⎰∑-+-,)()(xdydz z y dxdy y x其中∑为柱面122=+yx及平面0=z，3=z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。
解 由于 ,,0,)(y x R Q x z y p -==-=,0,0,=∂∂=∂∂-=∂∂zRxQz y xP 利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分：⎰⎰∑-+-xdydzz y dxdy y x )()(⎰⎰⎰-=Ωdxdydz z y )(⎰⎰⎰Ωθ-θ=dz rdrd z r )sin (dz z r rdr d ⎰⎰⎰-θθ=π32010)sin (.29π-=14．计算积分⎰⎰∑-+-+-dxdyy x dzdx x z dydz z y )()()(其中)0(22h z y x z ≤≤+=∑：的下侧。
解 设)(221h y x h z ≤+=∑：的上侧, 则⎰⎰∑+∑-+-+-1)()()(dxdy y x dzdx x z dydz z y =00=⎰⎰⎰Ωdv (高斯公式),而⎰⎰∑-+-+-1)()()(dxdy y x dzdx x z dydz z y =⎰⎰-xyD dxdy y x )(=0, 所以, I=015．计算zdxdy ydzdx x dydz xy++⎰⎰∑22，其中∑为曲面22y x z +=被平面1=z 所截下的下面部分，且它的方向向下（注：坐标系的z 轴正向是向上的）。
解⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++dv x y zdxdy ydzdx x dydz xy )1(22221=⎰⎰⎰πρ+ρρρϕ2010122)1(dz d d =π32， ⎰⎰⎰⎰π==++∑Ddxdy zdxdy ydzdx x dydz xy 221。
⎰⎰⎰⎰∑∑+∑π-=-=1213I 16．设∑为)20(222≤≤+-=z y x z 上侧，计算曲面积分⎰⎰∑+zdxdy dydz x 2。
解 设)4(0:221≤+=∑y x z 下侧，4:;20:2222≤++-≤≤Ωy x D y x z原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=-=Ω∑∑+∑Ddxdy dxdydz x 0)12(1138)1cos 2(20220π=+ϕρρρϕ=⎰⎰⎰ρ-πdz d d。
