曲线积分与曲面积分习题及答案

曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ， 其中D 为229x y +≤。

(2)⎰-++Ly ydy y xe dx y e)2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ。

*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA u u u r围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u u r*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。

作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰Ñ，故 22222222222sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdyx y x y r r r d rπθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰蜒?2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin x xP e y Q e y =-=，2sin x P Q e y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x x x AOe y dx e ydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。

的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L

P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.

49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积

(x2 y 2 z )2 3

第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。

(1) (2x y 2z) dS，其中 为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr

第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

曲线积分与曲面积分习题详解1计算下列对弧长的曲线积分： (1)/ = J c 7ydy. 是抛物线y = x 2±.点0(0,0)到 A(l,l)之间的一段弧:解:由于C 由方程y = x 2 (0<x<l )给出，因此/ =+=卜』+ 4耳」1>心2［詁(5俣］)•解：C = AB 的参数方程为:其中C 是圆X + y 2 = 1中A(0J)到“5"0-討誇),于是[\ cos & J(-sin &)，+ cos ，(3) 切.Cr + y + l)d.其中C 是顶点为0(0,0)/(1・0)及B(0J)的三角形的边界:解：厶是分段光滑的闭曲线，如图9一2所示，根据积分的可加性, 则有(^(x + y + \)c/s=L (x + y + \)ds + J# (x + y + \)cls +1。

(x + y + V)ds ,由于 OA: y = 0 0<x< 1,于是ds = J(—)2+(—)2dx = W+0认=dx , V dxdxL (x + y + l)tZy = £(x + 0 + \)dx =寸，而AB: y = l-x, OSSI,于是 + (-厅dx = dlx ・之间的一段劣弧;ds =[^(x + y + l)cls= [ [x + (\-x) + \]y/2dx = 2y/2 »同理可知BO：x = 0(0<y<l), ds = 1(—)2 + (—)2 Jv = Vo2 + l2c/y = Jv > 则Y ay dyL(x+y + l)〃$= (JO+y + lk/y = [・综上所述df r(x-y + l)J5 = - + 2V2 + - = 3 + 2>/2 ・( 2 2(4)y/x2 + y2ds ,其中C 为圆周x2 + y2 = x :解直接化为左积分.C』勺参数方程为JC =1+J>COS&, y = -sin& ( Q<0<2TT ),2 2 - 2且ds =加⑹ F +[y(e)F〃e=”& •于是(5)[r x\yzds,英中T为折线段ABCD.这里A,3・C\D的坐标依次为(0,0.0), (0,0,2), (1,0,2), (1,2,3)：解如图所示，^x2yzcls = \_x2yzds+ \_x2yzJs+ [_・线段殛的参数方程为x = 0,.y = 0,z = 2r(0<r<l),则T份+%+(少= V0:+02 +22Jr = 2r/r,= J 0 • 0 • 2/ • 2clt = 0线段BC 的参数方程为x = /,y = 0,z = 2(0<r<l),则ds = jF+O'+oTud?,故f _Fyzd$ = f ・0・2d/ = 0, J RC - J o线段丽的参数方程为x = l,y = 2/,z = 2 + r (0<r<l),则 ds = Jo, +2, + Fdf = yj5dt , 故J-x 2yzds = f 'l 2-2t (2 + t)-甌=2x/5j ；⑵ +12= |点所以L 疋 gds = |*_x 2 yzcls + [—yzds + J 而yzjds = ->j5 .2 2 2 2(6)f rds,其中「为空间曲线广+ G/>o ).JrX + z =",»解：F 在x,y 平而的投影为：x 2+y 2+(a-x)2=a 2 ,即 2x 2 + y 2-2t/x = 0 ,从而利用椭圆的苓奴方程得F 的参数二x = —a + — acos 0. 2 22设一段曲线y = lnx (0<a<x<b)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的 平方，求其质量.解 依题意曲线的线密度为p = x 2,故所求质疑为M=\(X 2ds,英中0 <(9 < 2^.由于则ds = y]x ,2 + y t2 +z t2d0 =d&.sin 2 ede = ^=.2V2/ c 2nC ：y = \nx (Q<a<x<b)・则C 的参数方程为片=片(0 < < x < b) > y = In x所以M = £—V1 + A -\Z Y = [*(1 + d = *[(1 +戻)；一(1 + “2)訂3求八分之一球面x 2 + r + z 2=l(x>0,y>0.z>0)的边界曲线的重心，设曲线的密 度 ° =解 设曲线在xOy^yOz^Ox 坐标平而的弧段分别为厶、L 「厶，曲线的重心坐标为2「xdx _ 2 _ 4 =A/JoTf-x 2=A/=3^'故所求重心坐标为［二.二、学.\37T 3龙 3〃 丿4. 径为川 中心角为加的圆弧C 对于它的对称轴的转动惯応/ (设线密度解：如右图建立坐标系，则I = J c y 2^ •为了便于计算，利用c 的参数方程C ：x = Rcost,y = Rsint (-a <t <a).于是I = Jc y 2(^s =「R‘ sin 2 tyj(-Rsinty +(/?cos/)2dr =R 、[a sin 2 tdt = /?'(a-sintzcostz).J-ajv=HS Jv=(订习lx — — \l\ + x 2dx , X由对称性可得重心坐标则曲线的质量为出=j ds诂卩严+o+J 严卜為严习题9・21设L为xOy直线y = b (b为常数),证明J g, y)dy=o。

《曲线积分与曲面积分》测试题一、选择题（共15分，每小题3分）1.设L 为抛物线21y x =-上介于0x =与1x =之间的一段弧，则L xds =⎰（ ）( A)33112-；(B) 55112- ； (C) 3316- ； (D)5516-2.均匀曲面222z a x y =--的形心坐标为（ ）( A)1(0,0,)2a ；(B) 1(0,0,)3a ； (C) 1(0,0,)4a ； (D)10,0,5a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.星形线：33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围平面图形的面积为（ ）( A)235a π；(B) 253a π ； (C) 238a π ； (D)283a π 4.设[()]sin ()cos x Lf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，且()f x 有一阶连续导数，(0)0f =，则()f x =（ ）( A)2x x e e -- ； (B) 2x x e e -- ；(C) 12x x e e -+- ； (D)12x xe e -+- . 5. 设∑为球面222x y z R ++=的内侧，则曲面积分 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰（ ）( A)54R π-；(B) 54R π ； (C) 5125R π ； (D)5125R π- 二、填空题（共15分，每小题3分）1.设L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则22(234)L xy x y ds ++=⎰ .2. 设Γ为曲线0cos sin (0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则zds Γ=⎰ .3．设L 为一条不过原点的光滑闭曲线，且原点位于L 内部，其走向为逆时针方向，则曲线积分222L xdy ydx x y -=+⎰__________________. 4.设∑为平面1x y z ++=位于球面2221x y z ++=内的上侧，则曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ .5.全微分方程2201xdx ydy xdy ydx x y +++=++的解为 .三、计算积分222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为界于0z =与(0)z H H =>之间的柱面：222x y R +=。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

x y
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得

L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0

L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分

曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分⎰ABxydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部分。

解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -=，)0(≤≤-x R ，于是得dx xR R dx y dl 2221-='+=，故232222R xdx R dx xR Rx R x xydl R R AB -==-⋅-=⎰⎰⎰--。

法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy yR R dy x dl 2221-='+=，故2)(32222R ydy R dy yR R y R y xydl RRAB-=-=-⋅--=⎰⎰⎰。

法3 将弧AB 化为参数方程 )2(sin cos πθπθθ≤≤ ⎩⎨⎧==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(，⎰⎰⎰⎰-===ππππππθθθθθθθθ23232cos cos sin cos sin cos d R d R Rd R R xydl AB2]2cos [3223R R -=-=ππθ。

例2计算⎰Ldl xy ||，L 是圆周222R y x=+的闭路。

解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则32032sin cos 44||1R tdt t R xydl dl xy L L===⎰⎰⎰π例3设L ：cos ,=sin ,02=≤≤x a t y a t t π，则第一型曲线积分2L=2⎰ds aπ例4计算⎰++ABCDA y x dydx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正方形。

（1|||:|=+y x ABCDA ）解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1；在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到1； 于是22)]1([2)]1([)1(2)1(11010011001=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---dx dx x x dx x x dx dx x x dxx x dx dx DA CD BC AB ABCDA例5计算⎰+--+Lyx dyy x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x 222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

曲线积分与曲面积分单元练习题一、填空题：1设L为x'+y2=1上点（1,0）到（_1,0）的上半弧段，贝U ]2ds = 2兀;x = 2 cost2.f_ ds = —兀2,其中C是曲线《y = 2sint介于t = 0到t =兀一段；C X + y 8--------- z = t3.L为逆时针方向的圆周：（x -2）2• （y • 3）2=4 ,贝y J ydx_ xdy= _8兀；L4.设C是由x轴、y轴与直线x + y =1围成的区域的正向边界，贝U :，ydx_ xdy =C5.第一类曲面积分dS^的面积；6.设曲面为：x2y2z^a2,则11 （x2y2z2）dS 二4 a4；Z7•设 3 ：x2y2z2= a2.则■j'：i z2dS = - ~ a4；i J—&格林（Green）公式指出了下列两类积分：「平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。

高斯（Gauss）公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分—之间关系。

二、计算题：1.计算.yds,其中L是抛物线y =x2上自点（0, 0）到（1, 1）的一段弧。

L1 2 1 2 于 1 5 5「1解x 1 4 x dx （1 4x ）2|0=012 122.计算.xyds,其中L为从（0, 0）到（2, 0）的上半圆弧：x2• y2二2x（ y 一0）。

L解jxyds= （（1 +cost）sintdt = 2L 33 .已知平面曲线弧段L是圆x2y^4上从点2,0到0,2的有向弧段，试计算I = L xydx解 I 22cost2sintd 2cost = -8 ^costsin 2tdt =4•计算|二j (x 2 2xy)dx (x 2 y 4)dy ,其中L 为由点0(0,0)到点A(1,1)的曲线JIy = sin — x .2I = j (x 22xy)dx (x 2y 4)dy1 1 二 0x 2dx0(1 y4)dy解法二：根据第二类曲线积分计算。

十 曲线积分与曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t .解32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x Lπππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(1214121210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L. 3．计算⎰Lyds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧.解⎰L y d s ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 )122(34)4(4412202-=++=⎰y d y . 4．计算⎰+Lds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段.解⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰Lx y z d s ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143216.6．计算L⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解L⎰ ＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L＝dx e dt t a t a edx eax aa x⎰⎰⎰+++++024022222201)sin ()cos (11π＝(2)14ae a π+-7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y . 解 （1）⎰=Lx dS yI 2μ ⎰=Ly dS x I 2μ（2）⎰⎰=L L dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lx d y y d x ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+Lydx xdy ，其中L 分别为（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B .解 （1）⎰=+=122)24(dx x x x I .（2）2)22(1=+=⎰dx x x I .（3）⎰+Lydx xdy ＝⎰⎰⎰++BOABOA＝210(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.3．计算⎰-+++Ldz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.13])13(3)12(2)1[(1=+++++=⎰dt t t t I .4．计算2()Lxydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-∙=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [)(222b a a +=π.5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分.解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411c o s y x ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓΓ++=++⎰⎰＝dS yx yR xQ P ⎰Γ++++2294132.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-= ()122017sin sin 246I x x x x dx =---=-⎰ 3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b +=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=⎰⎰-=+11L L L I ＝2aD adxdy dx ab a π--=-⎰⎰⎰4. 计算3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧． 解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+ ⎰⎰⎰--=+211L L L L I ＝0)4321(00122-+--⎰⎰⎰y y dxdy D π＝42π5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， yPy x y x x Q ∂∂=+-=∂∂)(22222 L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(，故不能直接用格林公式.选适当小的0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 与l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l 取逆时针方向.所以⎰+-L y x xdyydx )(222＝⎰+-l y x xdy ydx )(222＝πθθπ=--⎰20222222cos sin r r r . 6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值.解 （1）42y xy P -=，324xy x Q -=xQy x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关.（2）⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u .解 （1）验证略；（2）y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u=y x x ydy x xdx yxsin cos 220+=+⎰⎰+C.(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x)(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+21＝⎰⎰⎰⎰+++++xyxyD D y x dxdy y x dxdy z z y x )(1)(222222 ⎰⎰++=xyD dxdy y x )()12(22＝π212+. 2. 计算⎰⎰∑++dS zy x )223(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分.解 d x d y y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(， ＝⎰⎰⎰⎰-+=+x D dy y dx dxdy y xy 23302)265(361)265(361 ＝614)42741549(361202=+-⎰dx x x . （x y x D xy 2330,20:-<<<<） 3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++. 解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxyD D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a2222222221)(2＝42022342a d a d a aπρρρθπ=-⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题 解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(＝⎰⎰⎰⎰--+--+xyxyD D dxdy y x a dxdy y x a y x )()(222222 ＝πρρρθπ2)(002220=-+⎰⎰ad a d 5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=. 解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222＝24220cos sin Rd πθρθρ⎰⎰ ＝72105R π2．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydzxzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 4321∑+∑+∑+∑=∑0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⎰⎰⎰⎰--=++∑xyD dxdy y x x yzdzdx xydydz xzdxdy )1(34＝dy xy x x dx x⎰⎰---10102)(3＝85. 3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为已知连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:表面的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dydz a f dydz f dydz x f I )()0()(1＝bc f a f )]0()([-⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dxdz b g dxdz g dxdz y g I )()0()(2＝ac g b g )]0()([-ab h c h I )]0()([3-=所以321I I I I ++=＝ab h c h ac g b g bc f a f )]0()([)]0()([)]0()([-+-+-. 4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x＝0)()(222222=-----⎰⎰⎰⎰dydz z y a dydz z y a yzyzD D 同理：02=⎰⎰∑dzdx y 4202222222)()(a d a d dxdy y x a dxdy z aD xyπρρρθπ=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π. 5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∑1032211dz y dy dydz y xdydz yzDπθθθθππ43)2cos 1(23cos 320202=+==⎰⎰d d同理：π43=⎰⎰∑ydzdx 故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23. 6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. （1）3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积； （2）3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积. 解 （1）正确；（2）错误.正确解法是：()x z dxdy a dxdy ∑∑+=⎰⎰⎰⎰＝3adxdy a xyD π=⎰⎰.(六) 高斯公式利用高斯公式计算: 1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x=++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰2403sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=- 2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 部分的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑和3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑+∑+∑+∑---++321zdxdy ydzdx xdydz＝003+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩzxxyD D dzdx dxdy dv＝ππρρθρπ=+⎰⎰⎰43110202dz d d .3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的表面并取外侧,其中 {(,,)|0,0,0}x y z x a y a z a Ω=≤≤≤≤≤≤.解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝400)(a dz y x dy dx aaa=+⎰⎰⎰ 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦. 解 2()2()2I x y z d x d y d z x y d x d y d z z d x d y d zΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2220()xyxyh D D dxdy zdz h x y dxdy +=--⎰⎰⎰⎰=412h π.(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1. 2．计算⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 和),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝2242222a dxdy dxdy dydz dxdy dydz xyxyyzD D D ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑. (八) 曲线积分与曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤)d s d d a θθθ==cos r a θ==ds y x L⎰+22=222cos 2a ad a ππθθ-=⎰ .(2)⎰Lzds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===；解d s t d t=⎰Lz d s=0322(2)3t t +-=⎰ (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lx d y dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰=2220sin 2at tdt a ππ=-⎰. (4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y2222)(=14623220[()1223]t t t t t t t dt -+-⎰=16401(3)35t t dt -=⎰(5)⎰-+-Lx x dyy e dx y y e )2cos ()2sin (，其中L为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x 从0到2a. sin 2,cos 2xxP e y y Q e yy =-=-11(s i n 2)(c o s 2)xx LL L L ey y dx e y dy +-+-=-⎰⎰⎰=220()(sin 020)0ax D Q Pdxdy e dx a x y π∂∂---+=∂∂⎰⎰⎰2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS ，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+； 解x =，dS ==⎰⎰∑++222z y x dS=12∑∑+⎰⎰⎰⎰=yzD+yzD=221yzD R z =+⎰⎰=2arctanHR π. (2) ⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q Rdxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰2()xyD x y dxdy --⎰⎰ =44044h h ππ-=-.(3)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰0xyD dxdy -⎰⎰ =3302dv R πΩ-=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧；解 0I = （利用高斯公式） (5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰=12022cos sin xyD d r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰=215. 3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 是单连通域.在G 内，222()Q xy Px x y y ∂-∂==∂+∂， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→(,)22222(1,0)10(,)x y yx xdx ydy x y u x y dx dy x y x x y +==+++⎰⎰⎰=221ln()2x y +. 4．计算⎰Γ-+-++dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中Γ为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标.解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y ==2200xyaD M dS πρρ∑===⎰⎰⎰=22a πρ2112xyD z zdS Ma ρπ∑==⎰⎰=2a 故重心的坐标为(0,0,)2a .。