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a8_1_.7_方向导数与梯度

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方向导数与梯度公式关系

方向导数与梯度公式关系

方向导数与梯度公式关系方向导数和梯度是微积分中两个常用的概念,它们之间的关系可以用以下公式表示:方向导数 = 梯度 / 权重其中,梯度是指目标函数对变量的导数,权重是指变量的系数。

具体来说,假设我们有一个线性回归模型$$y = x"beta + epsilon$$其中$y$是输出变量,$x$是输入变量,$beta$是模型的参数,$epsilon$是噪声。

那么,$beta$的梯度可以表示为:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{partial y}{partial beta}x" - frac{partial x"}{partial beta}frac{y}{x"beta} = frac{y"beta - x"betay}{x"beta}$$其中,$frac{partial y}{partial beta}$表示$beta$对$y$的导数,$frac{partial x"}{partial beta}$表示$x"beta$对$x$的导数。

现在,如果我们想要计算$beta$的方向导数,可以使用上述公式:$$frac{partial}{partial beta}left(frac{y}{x"beta}ight) = frac{y"beta - x"beta y}{x"beta} = frac{y"}{x"}beta - frac{x"}{x"}beta = frac{y-x"beta"}{x"}$$其中,$beta" = x"(beta)$。

因此,$beta$的方向导数可以通过计算它与其他变量的差来得到。

第九章第七节方向导数与梯度

第九章第七节方向导数与梯度

z z z f f cos cos cos cos l x y x y
记： {
f f , } gradf ( x, y ) ~~~~ z f ( x, y ) 在 ( x, y ) 点 处 的 梯 度 向 量 ， 简 称 为 梯 度 ； 记 ： x y {cos , cos } e 是与 l 同方向的单位向量，则 z f f cos cos gradf ( x, y ) e | gradf ( x, y ) | | e | cos( gradf , e ) l x y z | gradf ( x, y ) | cos l （ ( gradf , e ) ）
2
⑵注意到曲线

y2 b
2
1 恰 好 是 曲 面 z 1 (

y2 b
2
) 当 z 0 时的一条等高线，而曲面 x2 a
2
z 1 (
x2 a
2

y2 b
是凸曲面； 从而曲线 2 ) 是开口向下的椭圆抛物面，

y2 b
2
1 在点 P0 (
a b , )处 2 2
的内法线方向恰好就是其梯度方向，因此就是要求在 P0 ( 已求得： gradf ( x, y ) {
1，
P0
u y
1，
P0
u z
1；
P0
1 3 1 3 l P0 P 9 4 3 4 ， l 0 l { , , } ，故 1 {3, 2, 3} ， l l 4 2 4
2
《高等数学》下册教案
第九章
多元函数微分学
刘伟庆
cos

线代方向导数与梯度

线代方向导数与梯度
y + ∆y) − f ( x, y) ∂f = lim . ρ ∂l ρ→0
依定义， 依定义，函数 f ( x, y)在点P沿着x轴正向e1 = {1, 0}、
y轴正向 e2 = {0, 1} 的方向导数分别为 f x , f y ；
轴负向、 沿着x轴负向、y轴负向的 方向 数 − f x , − f y. 导 是
θ 其中 = ( grad f ( x, y), e )
∂f 有最大值. 当 cos(grad f ( x, y), e ) = 1 时， 有最大值. ∂l
结论
函数在某点的梯度是这样一个向量， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方 向与取得最大方向导数的方向一致, 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的 模为方向导数的最大值． 模为方向导数的最大值．梯度的模为
上的单位向量， 设e = cosϕi + sinϕ j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f cosϕ + sinϕ = { , }⋅ {cosϕ,sinϕ} = ∂l ∂x ∂y ∂x ∂y
= grad f ( x, y) ⋅ e = | grad f ( x, y) | cosθ ,
解
这里方向l 即为PQ = {1, − 1},
故x轴到方向l 的转角ϕ = − π . 4
z = 1; 由 ∂ = e2y (1,0) ∂x (1,0)
∂z 2xe2 y = 2, = (1,0) ∂y (1,0)
y
o
P
ϕ x
Q
方向导数 ∂z = 1⋅ cos(− π ) + 2⋅ sin(− π ) = − 2 . ∂l 4 4 2
定义 设函数z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有 一阶 连续偏导数， 则对于每一点P( x, y) ∈ D，都 连续偏导数， ∂f ∂f j， 向 称 函 可定出 一个向 量 i + 这 量 为 ∂x ∂y 梯度， 数z = f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为

数学分析-方向导数与梯度

数学分析-方向导数与梯度
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk , 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p


x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z

, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )

存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z

方向导数和梯度-PPT文档资料

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体课件 PPT文档
二、梯度的概念
定义 2 若 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 0 0 0 0
存在偏导数 ， 则称向量 ( f ( P ), f ( P ), f ( P ) x 0 y 0 z 0
为函数 f在点 P 的梯度 ， 记为 0
grad f ( f ( P ), f ( P ), f ( P )) x 0 y 0 z 0
x
0
y
P0
y
x
x
y
P
程序设计 网络课件 多媒 上一页 下一页 主教学设计 页 返回 退出
l
体课件 PPT文档
2 u x yz 在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向 例1. 求函数
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
2 co s , 2 2 2 14 2 ( 1 ) 3 2
o ( ) f ( P ) cos fy( P ) co s fz(P cos x 0 0 0)





令 ρ→0 取极限，得
f ( P ) f ( P ) cos f ( P ) cos f ( P ) co l 0 x 0 y 0 z 0
z
z



l
y
P0 x y
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体课件 PPT文档
f在 数 P 点 ( x ,y , z ) 处可 , 微 定理17.6: 若 函 0 0 0 0
则函数在该点沿任意方向cos , cos , cos 为方向 l 的方向余弦 .

方向导数及梯度参考资料

方向导数及梯度参考资料
1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y

第七节 方向导数与梯度课件


到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P



x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.

方向导数与梯度-34页精选文档


（如图）
令|PP| (x)2(y)2,
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ), 考虑 z ,
当 P沿着 l 趋于P时，
l i0m f(x x,y y)f(x,y)
或 li m 0f(xco s,y co s)f(x ,y) 是否存在？
x
y
或
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
cos sin
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数
都存Байду номын сангаас，且有 f f cos f sin ，
思考题解答
x z(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )
lim| x|. x0 x
同 理 ： y z(0,0) ly i0m | y y|
故 两 个 偏 导 数 均 不 存 在 .
沿 任 意 方 向 l { x , y , z } 的 方 向 导 数 ,
两边同除以 , 得到
f( x x ,y y ) f( x ,y ) f x f y o () x y
故有方向导数
cos
cos
f l
f(x x,y y)f(x,y)
lim
0

f cosf cos
x
在几何上 zf(x,y)表示一个曲面
曲面被平面
zc所截得
z z

f c
(x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图

方向导数与梯度


设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)

方向导数与梯度


f l
(x0, y0)
=|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),^el). , .
函数在一点的梯度是这样一个向量, 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ . >>>
函数f(x, 在点 沿方向l 在点P 的方向导数: 函数 , y)在点 0沿方向 (el=(cosα, cosβ))的方向导数: 的方向导数
f l
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ .
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、总结
一、方向导数
设函数z= , 在点 在点P 的某一邻域U(P0)内有定义, 内有定义, 设函数 =f(x, y)在点 0(x0, y0)的某一邻域 的某一邻域 内有定义 l是xOy平面上以 0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单 平面上以P 为始点的一条射线, 是 平面上以 为始点的一条射线 同方向的单 位向量为el=(cosα, cosβ). 位向量为 . 方向导数
1 n= ( fx(x0, y0), f y(x0, y0)) . 2 2 fx (x0, y0)+ f y (x0, y0)
提示: 等值线f(x, = 是曲面 是曲面z= , 被平面 所截得的曲线 被平面z= 提示: 等值线 , y)=c是曲面 =f(x, y)被平面 =c所截得的曲线
z = f (x, y) z =c
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f x ( x, y)x f x ( x, y)y o( )
8.7 方向导数与梯度
f ( x x , y y ) f ( x , y )
f x ( x, y)x f x ( x, y)y o( )
y


x

l
P
y

P
f lim f ( x x, y y ) f ( x, y ) l 0
f x f y y 0 x

fx gradf f x , f y 1 f x ( ) f y 0 fy gradf
所以梯度为曲线 f ( x , y ) c 上点 ( x, y ) 处的法向量.
8.7 方向导数与梯度
梯度的几何意义
y
gradf f x , f y
f f ( x , y y ) f ( x , y ) lim y y 0 y
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线的 变化率. Δx、Δy可正可负！
8
8.7 方向导数与梯度
பைடு நூலகம்
2. 关于方向导数的存在及计算公式
定理(充分条件)
设 f ( x, y )在( x, y ) 可微,
则函数 在( x, y)沿任意方向 的方向 l 导数都存在 ,
f ( x x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ), f lim x x i x 0 y
同理 f ( x, y )沿y轴正向
j (0,1) 的方向导数存在,
且值为f y .
O
x 0
y 0
( x, y) ( x x, y)
O
x
x y o( ) lim f x ( x, y ) f x ( x, y ) [ ] 0
cos
cos
l 的方向余弦
f x ( x , y ) cos f y ( x , y ) cos
8.7 方向导数与梯度
说明
(1) 可微
方向导数存在
P0
1 2 81 ) 54 27 ( 5 5 5
1 cos , 5 2 cos 5
8.7 方向导数与梯度
推广可得三元函数方向导数的定义
u f ( x , y, z ) 在点 P ( x , y , z ) 沿 方 向l 的方向导数为
f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim 0 l
cos cos cos
14
8.7 方向导数与梯度
6x 8 y 函数u z 2 3 1 cos , cos . P (1,1,1) , cos 14 14 14 u 6x 6 ; 2 2 x P z 6 x 8 y P 14
2
2
u 8y 8 ; 2 2 y P z 6 x 8 y P 14





grad f ( x , y )
( x, y )
f ( x, y) c
x
函数 z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) O 的梯度的方向与点 P 的等 高线 f ( x , y ) c 在这点的法 线的一个方向相同，且从数 值较低的等高线指向数值较 高的等高线，而梯度的模等 于函数在这个法线方向的方 向导数．
O
x
lim 定义如果极限 P P lim
0
f ( x x , y y ) f ( x , y )


存在,
则将这个极限值称为函数在点 P沿方向l 的方向导数 ,
8.7 方向导数与梯度
P P
lim
f ( P) f ( P )

lim
0
y
f ( x x , y y ) f ( x , y )


i
x
8.7 方向导数与梯度
f ( x, y))沿x轴负向 ( i ) ( 1,0) 的方向导数
f f ( x x , y ) f ( x , y ) lim f x ( x , y ), ( i ) x 0 x
y f ( x, y )沿y轴负向( j ) (0,1)
P0
例 考虑函数 z x y ,定点P0(3,1), P1(2,3).求
3 2
函数在 P0沿 P0 P1方向的方向导数. 解
zx
( 3 ,1 )
3 x 2 y 2 ( 3,1) 27,
P0 P1 (1,2),
| P0 P1 | 5 ,
zy
z l
( 3 ,1 )
2 x 3 y ( 3,1) 54
⒈ 函数沿某一方向的变化问题——方向导数
⒉ 变化最快的方向——梯度方向
一、方向导数概念与计算公式
y
8.7 方向导数与梯度
由点P发出的一条射线, l
在点P( x, y )附近于上取 l


x

l
P
y
一点P( x x, y y),
f ( P) f ( P )

P
2 2 记 | PP | . 即 ( x ) ( y ) ,
如, 函数 z x y 在点(0, 0)处沿方向 l i
2 2
的方向导数:
f f ( x )2 02 0 x lim lim 1, l ( 0 , 0 ) i ( 0 , 0 ) x 0 | x | x 0 x

| x | ( x ) 0 0 f lim , 但 lim x 0 x x 0 x x ( 0 , 0 ) 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在.
0
T gradf ( x0 , y0 )
f ( x 0 , y0 ) f ( x 0 , y0 )
2 x 2 y
问题： 最小方向导数的方向？
-( f x , f y ) P
0
8.7 方向导数与梯度
沿梯度方向, 函数的增长最快!
grad z P
f f , x y P
f f x ( x , y ) cos f y ( x , y ) cos . 且 l 其中、分别为方向与x轴、y轴正向 l 的夹角 .
证 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 存在,
f ( x x, y y) f ( x, y)
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它 的模为方向导数的最大值(最大的变化率).
2 梯度的模为 2 f f | grad z |P x y
P
grad z P 称为函数z = f (x, y)在点P(x, y)处的 负梯度.
8.7 方向导数与梯度
8.7 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式
梯度概念与计算
小结
思考题
作业
1
第8章 多元函数微分法及其应用
8.7 方向导数与梯度
问题的引出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标 是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有 一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处 的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到 达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方 向（即梯度方向）爬行．
的方向导数为 f y ( x, y).
x 0 i ( xx, y) (y) x,
O
y 0
x
8.7 方向导数与梯度
f f f f f f 或 存在时, 或 反之, 当 或 j ( j ) y i ( i ) x ff lim ( f ( ΔxΔx , ) )f x ,(y ), y ) f x x , y y Δy ( f x 是否一定存在 lim 0 Δx Δx lx 0
( ( x ) 2 ( y ) 2 ( z ) 2 )
计算公式
f l
[ f x cos f y cos f z cos ] P
P
其中cos , cos , cos 是l的方向余弦.
8.7 方向导数与梯度
2 2 2 例 设n是曲面2 x 3 y z 6在点P (1,1,1) 6 x2 8 y2 处指向外侧的法向量. 求函数u z 在P点处沿方向n的方向导数. 解 令 F ( x, y, z ) 2 x 2 3 y 2 z 2 6
(2)在定点 P0 ( x0 , y0 ) 的方向导数为
f l
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
P0
cos , cos 为l 的方向余弦
8.7 方向导数与梯度
f l
f x ( x0 , y0 ) cos f y ( x0 , y0 ) cos
8.7 方向导数与梯度
梯度的几何意义
z f ( x , y ) 表示空间一张曲面,
而 f ( x , y ) c 表示一条平面曲线,
fx 所以任意点处的切向量为： 1, y 1, x fy gradf
x x 其参数形式： y y( x )
函数沿负梯度的方向减少最快.
18
8.7 方向导数与梯度
一般来说, 在几何上z = f (x, y)表示一个曲面,