山东省郓城县实验中学高中数学1.2.3三角函数的诱导公式(3)导学案(无答案)苏教版必修4

5.6.4 三角函数的诱导公式课题三角函数的诱导公式项目内容理论依据或意图教材分析教学目标1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题。

2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想。

3.情感、态度与价值观通过数学史教学，提高学生爱国热情，激发学生责任感，提高民族自尊心和自信心。

《高中数学课程标准》要求：“倡导通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。

发展学生的创新意识，体会蕴含其中的思想方法。

”因此，依据教材地位与作用及我校高一学生的实际情况，确定此教学重、难点教学重点、难点:1.重点：诱导公式二、三、四的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值，提高对数学内部联系的认识。

2.难点：发现圆的对称性与任意角终边的坐标之间的联系；诱导公式的合理运用。

依据教材的地位与作用及教学目标，确定本节课的教学重点、难点。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图活动一：课题问题1：任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？问题2：求下列三角函数值：（1）sin，（2）cos，（3）tan。

1.给学生3分钟左右的时间独立思考，1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x,tan=(x≠0)2.学生独立思考，尝试用定义解答。

1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础。

2.设置问题情境，教师请名学生到黑板上展示其答题情况。

2.的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《三角函数的诱导公式》。

活动二：合作探究公式二1.根据学生黑板上用定义求角的三角函数值的情况，引导学生思考：问题3：（1）角和角的终边有何关系？（2）设角与角的终边分别交单位圆于点P1、P2，点P1的坐标为P1(x，y) ，则点 P2的坐标如何表示？（3）它们的三角函数值有何关系？2.教师用几何画板演示角α可以是任意角，引导学生体会从1.学生观察图形，结合教师的问题发现：角和角数量上相差，图形上它们的终边关于原点对称，与单位圆的交点坐标互为相反数。

高一数学三角函数的诱导公式教学目标：1.借助于单位圆，推导出正弦、余弦的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。

2.能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析和解决问题的能力。

教学重点：诱导公式的推导及应用教学难点：相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识．教学过程:问题情境引导学生观察、联想，导入课题,提问：三角函数定义、诱导公式(一)及其结构特征．板书：诱导公式(一)．sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα．tan(k·360°＋α)＝tanα，(k∈Z)结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等．②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题引:角终边的位置决定了三角函数值, 终边相同的角的同一三角函数值相等．终边具有某种特殊关系(如对称)的角的之间具有什么样的关系?问题:(1) α与-α的终边关系?α与π -α的终边关系?α与π +α的终边关系?(2) 终边具有某种特殊关系(如对称)的角之间三角函数具有什么样的关系?学生活动，理论建构:（1）若角α与β的终边关于x轴对称,则角α与β的的三角函数值之间有什么关系？结论：（2）若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β的的三角函数值之间有什么关系？结论：（3）若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β的的三角函数值之间有什么关系？结论：思考：（1）由公式二、三，你能推导出公式四吗？根据公式二，三，四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？（2）如何熟记公式？函数名不变，符号看象限例1求值：1）sin67π（2）cos411π（3）tan（-1560°）。

练习：p21 E1，2思考并总结：是否可以将任意角的三角函数转化为求锐角的三角函数？试总结出一般算法，并化出算法流程图。

第1课时诱导公式二、三、四1.掌握π±α，－α,错误!－α的终边与α的终边的对称性.2。

理解和掌握诱导公式二、三、四的内涵及结构特征,掌握这三个诱导公式的推导方法和记忆方法.3。

会初步运用诱导公式二、三、四求三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明.1。

特殊角的终边对称性（1)π＋α的终边与角α的终边关于对称，如图①;(2）－α的终边与角α的终边关于对称,如图②；（3）π－α的终边与角α的终边关于对称,如图③；(4）错误!－α的终边与角α的终边关于直线对称，如图④。

【做一做1】已知α的终边与单位圆的交点为PA. P11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭B.P2错误!C.P3错误!D。

P4错误!2.诱导公式诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名,“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时等式左边三角函数值的符号。

【做一做2－1】 若cos α＝m ，则cos(－α)等于( ）A 。

mB 。

－mC 。

|m ｜D 。

m 2【做一做2－2】 若sin(π＋α）＝错误!，则sin α等于( )A.错误!B.－错误!C.3 D 。

－3【做一做2－3】 已知tan α＝4，则tan(π－α)等于（ )A.π－4 B 。

4 C.－4 D 。

4－π3.公式一～四的应用【做一做3】 若cos 61°＝m ，则cos （－2 041°)＝（ )A.m B 。

－m C 。

0 D.与m 无关 答案：1．(1)原点 （2）x 轴 （3）y 轴 (4）y ＝x【做一做1】 C 由于π＋α，－α，π－α，错误!－α的终边与α的终边分别关于原点、x轴、y轴、直线y＝x对称，则P1错误!，P2错误!，P3错误!，P4错误!。

2．tan α－sin αcos α－cos α－tan α同名函数值【做一做2－1】A【做一做2－2】B【做一做2－3】C【做一做3】B cos（－2 041°)＝cos 2 041°＝cos(5×360°＋241°）＝cos 241°＝cos(180°＋61°)＝－cos 61°＝－m。

x1. 2. 1任意角的三角函数（2）【学习目标】1、 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、 会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1•单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以 ___________________ 为圆心，以 __________ 为半径的圆。

2•有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为 __________________________________ ；规定了 ______________ （即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。

3 .有向线段的数量：若有向线段 AB 在有向直线I 上或与有向直线I ________________ ，根据 有向线段 AB 与有向直线I 的方向 _______________________ 或 _________________ ，分别把它的长度添 上 _______ 或 _________ ，这样所得的 _______________ 叫做有向线段的数量。

4•三角函数线的定义：设任意角 的顶点在原点0,始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P （x,y ）,过点P 作x 轴的垂线，垂足为 M ;过点A （1,0）作单位圆的切线，设它与 的终边（当 为第 ___________ 象限角时）或其反向延长线（当 为第 __________________ 象限角时）相交于 点T 。

根据三角函数的定义：sin y _____________________ ； cos x ___________ ；tan6【典型例题】 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: 例2•利用三角函数线比较大小1 sin 30 a23 cos 3 _____ s in 150 4cos- 5 2 sin 25 ____ sin1502 2 4 tan tan —3 3 例3.解下列三角方程1 sin x2 cosx3 ta n x 1 变题1.解下列三角不等式 1 sin x 3 12 cosx 一2 23 ta n x 1变题2.求函数y lg 2sin x 1 ..1 2cosx 的定义域. 【巩固练习】1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线22 2 .利用余弦线比较 cos64°,cos285°的大小;5.当角，满足什么条件时，有 sin sin6 .若 cos 怎,sin 2 彳，写出角 的取值范围。

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）1．教学目标知识与技能（1）掌握三角函数诱导公式二～四的推导方法，体验数学知识的“发现”过程；（2）掌握三角函数诱导公式二～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步理解掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力及运算能力。

过程与方法（1） 借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角α的三角函数值与α- ，πα- ，πα+ 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；（2） 体会未知到已知、复杂到简单的转化过程。

情感态度与价值观通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。

2．教学重点：用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、化归思想在解决数学问题中的指导作用。

教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与α的终边关于原点、x 轴、y 轴对称的角与α之间的数量关系，并提出研究方法。

3．教学方法与教学手段：引导合作探究式教学并结合多媒体教学4．教学过程：（一）复习引入：1．利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值；2．画出一组特殊角的图象（体会特殊到一般的思想）（二）新课讲解：问题1：360?k αα+⋅角与的正弦,余弦,正切值有什么关系公式一: ααsin )360sin(=︒⋅+k ααcos )360cos(=︒⋅+kααtan )360tan(=︒⋅+k （其中Z ∈k ）诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

1.2 导数的运算【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【自主学习】1.基本初等函数的导数公式是什么？2.幂函数与指数函数的求导公式的区别是什么？3.导数的运算法则及推论是什么？4.求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应怎么做？当函数解析式不能直接用公式时，应怎么做? 【自主检测】1.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = . 2.已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 . 3.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 . 【典型例题】例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+； （2）1111y x x=-+- （3）sin ln y x x =⋅； （4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x-=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x y x x -=+ 21(8)x y x+=【课堂检测】 1.函数()22212+=x x y 的导数是 （ ）（A ） ()()32321814+-+='xx x x y （B ） ()()32221414+-+='x x x x y （C ） ()()32321812+-+='x x x x y （D ） ()()3221414+-+='x xx x y2.若直线y x b =-+为函数1y x =图象的切线,求b=_________和切点坐标为___________. 3．已知曲线C:y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程______________.4.求过曲线y=cosx 上点P(1,32π) 的切线的直线方程.【总结提升】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。

专题：同角三角函数关系及诱导公式※知识要点1．同角三角函数关系(1)平方关系： (又名 式)； (2)商数关系： (又名 式)； 注：和积转换式： ； 2．诱导公式(1)诱导口诀： ； (2)诱导步骤：第一步：判断是否变名：以 为诱导单位，观察其倍数情况，若其倍数为 ，则诱导后的名称 ，若其倍数为 ，则诱导后的名称 ；第二步：判断是否变号：把诱导单位以外的部分看成 ，并以此判断 三角函数正负，并将符号作为诱导后符号． (3)常见诱导公式(其中k ∈Z )注：诱导公式的作用是把任意角三角函数转化为 三角函数，具体步骤如下：※题型讲练【例1】已知α∈(－π2，π2)，sin α＝513，求tan α和cos α 的值．变式训练1：1．若tan α＝m ，α∈(π2，π)，求sin α和cos α 的值．2．已知角α满足tan α＝2，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α (2)sin 2α＋2sin αcos α (3)sin 2α＋1角2k π＋απ＋α－απ－απ2－α π2＋α 正弦余弦 正切【例2】已知sin θ－cos θ＝12，求值：(1)sin θcos θ； (2)sin θ+cos θ； (3)sin 4θ＋cos 4θ．变式训练2：1．已知sin α＋cos α＝15，且α∈(0，π)，求值：(1)sin α－cos α； (2)tan α．【例3】化简：22sin sin cos sin cos tan 1+---x x xx x x .变式训练3： 1．化简：cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α，α∈(π2，π).【例4】化简与求值：sin(－1200°)·cos 1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan 945°变式训练4：1．化简求值： .2．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．13sin 330tan()319cos()cos 6906ππ︒⋅--⋅︒3．若sin (π－α)=35，求值：sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)【例5】已知θ为锐角，sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－(a＋1)x －2a 2＋2a ＝0(a ∈R )的两个根，求下列各式的值： (1)cos(θ－π2)＋cos(3π+θ)； (2)tan(π－θ)－1tan θ．。

(2) 例1、 已知 tan 3,求下列各式的值
3 cos
(1)妙 4 sin 9 cos
2 3 cos 9 cos 2 (3)2sin 2 3 cos 2
例2、求证：（1） sin 1 cos tan sin tan sin 1 cos sin
tan sin tan sin 122同角三角函数的关系（2）
【学习目标】
1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明
2、 掌握“知一求二”的问题
【重点难点】 奇次式的处理方法和“知一求二”的问题
【自主学习】
一、 复习回顾：
1、同角三角函数的两个基本关系式：
课前练习
【典型例题】
2、 sin cos ,sin cos , sin cos
有何关系？（用等式表示） 1、 已知sin cos 丄,则 sin cos
3
2、 若ta n ,15， cos
；sin
【课堂练习】
1、已知0 ,sin a cos a = 12 ,则cos a- sin a 的值等于
25
1、求证：1 2sin co ：也二
sin cos tan 1
【课堂小结】 例3、已知0 ,sin cos 求tan 的值 5 例4、若sin k 1
,cos k 3 (1 )求k 的值; 「(k 3),
k 3
(2)求回 --------- 1的值 tan 1
2、已知 是第三象限角，且 si n 4 cos 4
，贝U sin cos
9 3、如果角 满足sin cos ■. 2 ,那么tan 1
tan 的值是
、右 sin cos 是方程4x 2 2mx m 0的两根，则 m 的值为。

《1.2.3三角函数的诱导公式(二)》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式五、六．(2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六．(2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”．(3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式五、六的推导．难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.教学方案设计●教学建议关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线y＝x对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式五、六.⇒引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法.⇒通过完成例2及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.⇒完成例3及其变式训练，总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学【问题导思】 若α为锐角，sin (π2－α)与cos α，cos (π2－α)与sin α有何关系？ 【提示】 sin (π2－α)＝cos α，cos (π2－α)＝sin α. 终边关于直线y ＝x 对称的角的诱导公式(公式五) sin (π2－α)＝cos _α；cos (π2－α)＝sin _α.【问题导思】 利用公式二和公式五，能否确定sin (π2＋α)与cos α，cos (π2＋α)与sin α的关系？【提示】 sin (π2＋α)＝sin [π2－(－α)]＝cos (－α)＝cos α，cos (π2＋α)＝cos [π2－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α.π2＋α型诱导公式(公式六) sin (π2＋α)＝cos _α； cos (π2＋α)＝－sin _α. 当堂双基达标例1 (1)已知sin (π＋A)＝－12，则cos (32π－A)的值是________． (2)已知sin (π3－α)＝12，则cos (π6＋α)的值是________．【思路探究】 (1)先化简sin (π＋A)＝－12得sin A ＝12，再利用诱导公式化简cos (3π2－A)即可．(2)探索已知角π3－α与π6＋α之间的关系，根据诱导公式将cos (π6＋α)化为π3－α的三角函数求解．【自主解答】 (1)sin (π＋A)＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos (3π2－A)＝cos (π＋π2－A)＝－cos (π2－A)＝－sin A ＝－12. (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2， ∴π6＋α＝π2－(π3－α)，∴cos (π6＋α)＝cos [π2－(π3－α)]＝sin (π3－α)＝12. 【答案】 (1)－12 (2)12 规律方法1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等． 互动探究若本例(2)中条件不变，如何求cos (56π－α)的值？ 【解】 ∵(5π6－α)－(π3－α)＝π2， ∴5π6－α＝π2＋(π3－α)，∵cos (5π6－α)＝cos [π2＋(π3－α)]＝－sin (π3－α)＝－12.化简问题例2 化简： sin3π2－α·cos 3π－α·tan π－αcos －α－π·cos α－π2. 【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式． 【自主解答】 原式＝sin[π＋π2－α]·cos π－α·－tan αcos π＋αcos π2－α ＝－sin π2－α·－cos α·－tan α－cos α·sin α ＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 规律方法用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 变式训练 化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π. 【解】 原式＝sin[－6π＋π＋θ]cos[－π2＋θ]cos －θsin[－2π＋π2＋θ]sin －θ ＝sin π＋θcos π2＋θcos θsin π2＋θ－sin θ ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.证明三角恒等式例3 求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2sin 2θ＝ tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1.【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．【自主解答】 左边＝2sin[－32π－θ]cos π2＋θ－11－2sin 2θ ＝－2cos θ·sin θ－11－2sin 2θ＝1＋2sin θcos θ2sin 2θ－sin 2θ＋cos 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1.右边＝tan 8π＋π＋θ＋1tan θ－1＝tan π＋θ＋1tan θ－1＝tan θ＋1tan θ－1. ∴左边＝右边，原式成立． 规律方法三角恒等式的证明策略：(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．变式训练求证：tan 2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α. 【证明】 左边＝tan －α·cos[π＋π2－α]cos －αsin[π＋π2＋α]cos[π＋π2＋α] ＝－tan α·[－cos π2－α]·cos α－sin π2＋α·[－cos π2＋α] ＝tan αsin αcos α－cos α·sin α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立. 思想方法技巧三角函数问题中的方程思想典例 (14分)是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使⎩⎨⎧ sin 3π－α＝2cosπ2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．【规范解答】 将已知方程组化 为{ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②2分①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12. 4分∵α∈(－π2，π2)，∴cos α＝22，∴α＝π4或－π4， 6分将α＝π4代入②得cos β＝32，8分 ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.将α＝π4，β＝π6代入①，符合条件.10分 将α＝－π4代入②得cos β＝32， ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.12分将α＝－π4，β＝π6代入①，不符合条件，舍去． 综上可知存在满足条件的角α，β，α＝π4，β＝π6. 14分首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin 2α＋cos 2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．1.π2±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．3．k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的取值是奇数还是偶数. 当堂双基达标1．sin 95°＋cos 175°＝________.【解析】 ∵sin 95°＝sin (90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos (180°－5°)＝－cos 5°， ∴sin 95°＋cos 175°＝0. 【答案】 02．化简sin (π＋α)cos (3π2＋α)＋sin (π2＋α)cos (π＋α)＝________. 【解析】 原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 【答案】 －13．已知tan θ＝2，则sin π2＋θ－cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝________. 【解析】 原式＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －24．求证：cos α－π2sin 5π2＋αsin (α－π)cos (2π－α)＝－sin 2α. 【证明】 ∵左边＝－cos π2－αsin π2＋αsin αcos (－α)＝－sin αcos αsin αc os α＝－sin 2α＝右边，∴原等式成立. 课后知能检测 一、填空题1．sin 480°的值为________．【解析】 sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (90°＋30°)＝cos 30°＝32.【答案】 322．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________. 【解析】 由已知得，sin α＝－1－152＝－265.所以cos (α＋π2)＝－sin α＝－(－265)＝265. 【答案】 2653．若sin (θ＋3π2)＞0，cos (π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．【解析】 sin (θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos (π2－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角． 【答案】 二4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72. 【答案】 725．(2013·宁波高一检测)已知sin (α－π4)＝13，则cos (π4＋α)＝________. 【解析】 ∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴cos (π4＋α)＝cos [π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13. 【答案】 －136．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos (A ＋B)＝cos C ；②sin (A ＋B)＝－sin C ； ③cos (A 2＋C)＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A2.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos (A ＋B)＝－cos C ，sin (A ＋B)＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin (π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的． 【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知cos (π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.【解析】 cos (π2＋φ)＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 【答案】 － 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0， 则cos －α－πsin 2π＋αtan 2π－αsin 3π2－αcosπ2＋α＝________.【解析】 原式＝－cos α·sin α·－tan α－cos α·－sin α＝tan α，∵cos α＝13 ，－π2＜α＜0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 －2 2 二、解答题9．已知cos (75°＋x )＝13，其中x 为第三象限角，求cos (105°－x )－2cos (x －15°)的值． 【解】 由条件，得cos (105°－x )＝cos (180°－75°－x )＝－cos (75°＋x )＝－13， cos (x －15°)＝cos (－90°＋75°＋x )＝sin (75°＋x )． 又x 为第三象限角，cos (75°＋x )＞0， 所以x ＋75°为第四象限角． 所以sin (75°＋x )＝－223. 于是原式＝－13－2×(－223)＝1. 10．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin α＋3π2sin 3π2－αtan 22π－αtan π－αcos π2－αcos π2＋α的值． 【解】 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α·tan 2α－tan αsin α·－sin α＝tan α＝±34.11．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值． 【解】 (1)∵P (45，－35)，|OP |＝1， ∴sin α＝－35.(2)sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54. 教师备课资源备选例题 已知f (α)＝sinα－3πcos 2π－αsin －α＋3π2cos －π－αsin －π－α. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α－3π2)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【思路探究】 利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值． 【自主解答】 (1)f (α)＝－sin αcos α－cos α－cos αsin α＝－cos α. (2)∵cos (α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限角，∴cos α＝－52－15＝－256， ∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－5×2π－π3，∴f (－31π3)＝－cos (－31π3)＝－cos (－5×2π－π3)＝－cos (－π3)＝－cos π3＝－12. 规律方法此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解． 备选变式 已知f (θ)＝cos θ－3π2·sin 7π2＋θsin －θ－π. (1)化简f (θ)；(2)若f (θ)＝13，求tan θ的值；(3)若f (π6－θ)＝13，求f (5π6＋θ)的值．【解】 (1)f (θ)＝cos 3π2－θ·sin 3π2＋θ－sin π＋θ＝－sin θ·－cos θsin θ＝cos θ. (2)由题意得f (θ)＝cos θ＝13＞0，故θ为第一或第四象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22； 当θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－223，tan θ＝sin θcos θ＝－2 2. (3)由题意得f (π6－θ)＝cos (π6－θ)＝13，∴f (5π6＋θ)＝cos (5π6＋θ)＝cos [π－(π6－θ)]＝－cos (π6－θ)＝－13.。

1.3《三角函数的诱导公式一》导学案整体设计三维目标1.通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用.3.进一步领悟把未知问题化归为问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力.重点难点教学重点:三个诱导公式的推导和四个组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:四组诱导公式的灵活运用.教学过程导入新课思路1.①利用单位圆定义任意角的正弦值、余弦值和正切值.②复习诱导公式一及其用途.思路2.通过公式一我们可以将任意角的三角函数值转化到[0,2π〕以内，我们解决了形如sin750°，如果遇到sin150°，sin210°，sin330°。

我们又该怎样求解呢？推进新课新知探究1由公式一我们知道sin750°=sin〔720°+30°〕=sin30°=2提出问题①锐角α的终边与 απ+、-α、π-α角的终边位置关系如何？ ②它们与单位圆的交点的位置关系如何？ ③任意角α与απ+、-α、π-α呢？活动:以απ+为例，在单位圆中作出α、π+α的终边，并标出终边与单位圆的交点P 、P ´，如图1.ααπααπtan )tan(cos )cos(==+-=-=+x yx学生活动：参照公式二的推导过程，在以下第一个单位圆中分别画出α和-α终边，并标出α终边与单位圆交点，-α终边与单位圆交点P ´，写出-α与α三角函数的关系.参照公式二的推导过程，在以下第二个单位圆中分别画出α和π-α终边，并标出α终边与单位圆交点，π-α终边与单位圆交点P ´，写出π-α与α三角函数的关系.请结合单位圆中三角函数的定义通过上图中各角终边与单位圆交点坐标写x出-α、π-α的三角函数值，观察找出他们与α角三角函数值的关系。