山东省郓城县实验中学高中数学1.2.1任意角的三角函数(2)导学案(无答案)苏教版必修4

1.2.1任意角的三角函数＜第一课时＞学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义理解正弦、余弦、正切函数的定义域。

2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值相关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。

教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号教学过程(一)提出问题问题1:在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗如图，设锐角a的顶点与原点0重合,始边与X轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限•在a 的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r= a2 b2＞0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段0M的长度为a线段MP的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义，我们有MP b OM a MP bsin a= =—，cos a= =—，tan a= =—OP r OP r OP a问题3:如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化(二)新课导学1、单位圆的概念:.在直角坐标系中，我们称以__________ 为圆心,以 ___________ 为半径的圆为单位圆2、三角函数的概念我们能够利用单位圆定义任意角的三角函数.如图2所示，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)y叫做a的正弦，记作sin即sin a =y;(2)X叫做a的余弦，记作cos a即cos a =X；(3)—叫做a的正切，记作tan o即卩tan a= (x工0).X X所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数注意：(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量 ，以比值为函数值的函数•(2)由相似三角形的知识，对于确定的角 a 这三个比值不会随点 P 在a 的终边上的 位置的改变而改变•3、例1 求 5的正弦、余弦和正切值•思考：若把角5、探究三角函数值在各象限的符号三角函数 定义域sincostan探究三角函数的定义域 4、 练习1:已知角B 的终边经过点 P( 12,5)，求角B 正弦、余弦和正切值。

第二课时 任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、 三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π 2．练习三角函数线的作图.。

1．2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.任意角的正弦、余弦、正切的定义【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )①终边相同的角的同名三角函数的值相同②终边不同的角的同名三角函数的值不等③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角，且P （x,y ）是其终边上一点，则cos α=22y x x+-A.1B.2C.3D.4思路分析：运用概念判断.解析：由任意角三角函数定义知①正确；对②，我们举出反例sin3π=sin 32π； 对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，应是cos α=22y x x +. 综上选A.答案：A温馨提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.2．角、实数和三角函数值之间的对应关系【例2】 判断下列各式的符号.（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°；(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cos θ)·cos(sin θ)(θ是第二象限角).思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sin θ、cos θ为弧度数. 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0. (3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜2π, ∴cos(sin θ)＞0.同理，-2π＜-1＜cos θ＜0, ∴sin(cos θ)＜0,故sin （cos θ）·cos(sin θ)＜0.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sin θ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cos θ、sin θ视为角的弧度数.【例3】求函数y=)1cos 2lg(sin )4tan(-∙-x x x π的定义域.思路分析：运用等价及集合的思想.解：只需满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-<≥+≠⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≥∈+≠-,11cos 20,0sin 43,0)1cos 2lg(,0sin ,,24x k x x x Z k k x πππππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≠+<<-∈+≤≤∈+≠⇔.,2,3232,,)12(2,,43Z k k x k x k Z k k x k Z k k x πππππππππ且∴函数的定义域为{x|2k π＜x ＜2k π+3π,k∈Z }. 温馨提示利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.各个击破类题演练1已知角α的终边经过点P （-6，-2），求α的三个三角函数值.解：已知x=-6,y=-2,所以r=102,于是sin α=10101022-=-=r y , cos α=,101031026-=-=r x tan α=3162=--=x y . 变式提升1已知角α的终边经过点P （2t,-3t ）(t ＜0),求sin α,cos α,tan α.解：∵x=2t,y=-3t ∴r=||13)3()2(22t t t =-+- ∵t＜0 ∴r=t 13-∴sin α=,13133133=--=t t r y cos α=13132132-=-=t t r x , tan α=2323-=-=t x y . 类题演练2判断下列各式的符号（1）sin105°·cos230°;(2)sin87π·tan 87π; (3)cos6·tan 6;(4)sin4·tan(π423-). 解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0.cos230°＜0.sin105°·cos230°＜0. (2)∵2π＜87π＜π,∴87π是第二象限角. ∴sin 87π＞0,tan 87π＜0. ∴sin 87π·tan 87π＜0. (3)∵23π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角. ∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.(4)∵π＜4＜23π,∴sin4＜0. 又π423-=-6π+4π,∴π423-与4π终边相同. ∴tan(π423-)＞0. ∴sin4·tan(π423-)＜0. 变式提升2已知α是第三象限角，试判断sin （cos α）·cos（sin α）的符号.解：∵α是第三象限角.∴cos α＜0,sin α＜0.又|sin α|＜1,|cos α|＜1,∴-1＜cos α＜0,-1＜sin α＜0,∴sin(cos α)＜0,cos(sin α)＞0.∴sin(cos α)·cos（sin α）＜0.类题演练3已知角α的终边在直线y=-3x 上，求10sin α+3cos α的值.解：设α终边上任意一点P （k,-3k ）,则 r=|,|10)3(2222k k k y x =-+=+当k ＞0时，r=k 10,∴sin α=103103-=-kk, cos α=10110=kk . ∴10sin α+3cos α=10102710103103-=+-. 当k ＜0时，r=-10k,∴sin α=103103=--k k,cos α=101010110-=-=-k k. ∴10sin α+3cos α=10102710103103=-. 变式提升3已知α∈(0,2π),试比较α、sin α、tan α的大小. 解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 延长线于T ，并过点P 作PM⊥x 轴，则|MP|=sin α，|AT|=tan α，的长为α.连PA ，∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， 即21|OA |·|MP|＜21|OA|2·a＜21|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|, ∴sin α＜α＜tan α.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握有向线段以及三角函数线的概念，会利用三角函数线表示三角函数值，体会数形结合的数学思想方法.（二）学习目标1．掌握有向线段的概念.2．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念，并能利用三角函数线（几何形式）在单位圆中表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.3．三角函数线的运用，如利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.（三）学习重点1．三角函数线的概念及其运用.2．三角函数线的作法.3．理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性.（四）学习难点1．利用与单位圆有关的有向线段将任意角的三角函数值用几何形式表示.2．三角函数线的运用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页“练习”以下部分至第17页“阅读与思考”以上部分，并完成下列问题：①有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点，字母顺序不能任意调换)的线段，并规定：与坐标轴正方向同向时为正，与坐标轴正方向反向时为负.②如下图所示，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.③当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.2．预习自测（1）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么α的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D解析：【知识点】正切线的概念.【数学思想】数形结合、分类讨论思想.【解题过程】当角α的正切线是单位长度的有向线段时，此时角α的终边落在直线y=x或y=-x 上.点拨：明确正切线的位置.（2）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)①α一定时，单位圆的正弦线一定. （）②在单位圆中，有相同正弦线的角必相等. （）③α与α＋π有相同的正切线. （）答案：(1)√(2)×(3)√解析：【知识点】三角函数线概念辨析.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①α一定时，sinα一定，正确；②当sinα一定时，角α不唯一，错误；③tanα=tan(α＋π)，正确.点拨：正确理解三角函数线的概念. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）单位圆的定义：以原点O 为圆心，单位长度为半径作的圆。

1.2 导数的运算【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【自主学习】1.基本初等函数的导数公式是什么？2.幂函数与指数函数的求导公式的区别是什么？3.导数的运算法则及推论是什么？4.求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应怎么做？当函数解析式不能直接用公式时，应怎么做? 【自主检测】1.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = . 2.已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 . 3.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 . 【典型例题】例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+； （2）1111y x x=-+- （3）sin ln y x x =⋅； （4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x-=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x y x x -=+ 21(8)x y x+=【课堂检测】 1.函数()22212+=x x y 的导数是 （ ）（A ） ()()32321814+-+='xx x x y （B ） ()()32221414+-+='x x x x y （C ） ()()32321812+-+='x x x x y （D ） ()()3221414+-+='x xx x y2.若直线y x b =-+为函数1y x =图象的切线,求b=_________和切点坐标为___________. 3．已知曲线C:y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程______________.4.求过曲线y=cosx 上点P(1,32π) 的切线的直线方程.【总结提升】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。

第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。

射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。

如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。

这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。

4．象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。

为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。

那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

1.2.1 任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tanα的值怎样表示？[提示] sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.二、三角函数在各象的限符号 三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线 1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α与α＋π有相同的正切线．( )[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－22 22 －1 [由题意可知|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 三角函数的定义及应用【例1】 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x x 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四 [∵α是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0. 应用三角函数线解三角不等式 [探究问题]1．在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.2．满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .【例3】 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －22的定义域．思路点拨：借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z. 1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上．由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．3 [由三角函数的定义可知－b b 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.]3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三 角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cosα>1.]4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t－5t＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。

1.2.1 任意角的三角函数< 第二课时>班级姓名学习目标1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.重点难点教学重点终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.教学过程（一）复习提问1、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。

（两个定义）2、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。

3、三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符。

4、<小结>常见常用角的三角函数值（二）新知探究1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？2、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2) sin60°3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”. 4.例题讲解例1、确定下列三角函数值的符：（1）sin(-392°) (2)tan(-611π)练习(1)、确定下列三角函数值的符： （1）tan(-672°) (2)sin1480°10¹ (3)cos 49π例2、求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos 613π; (3)tan(-690°).练习(2)、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2)cos 625π; (3)tan(-330°).5、由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.三角函数线（定义）：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P (,)x y 。

临清三中数学组 编写人：郭振宇 审稿人： 庞红玲 李怀奎1.2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离220r a b =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP rα==; cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似yP （a ，b ）r错误！未找到引用源。

某某省某某市三水区实验中学高中数学 1.2 任意角的三角函数导学案新人教A版必修4【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义。

2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。

【重点难点】1. 熟练求值。

2. 理解任意角的三角函数的定义。

【预习指导】1．阅读教材第11～13页。

2．回顾初中学过的锐角三角函数的定义？（如图）在Rt△ABC中，sinA= ,cosA= , tanA= .3．思考：你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？点的位置对这三个比值有影响吗？4．在平面直角坐标系中，我们称以______为圆心，以__________为半径的圆为单位圆。

【合作探究】1. 例题研讨：例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值：π、4π、3π、53π(讨论求法→试求（学生板演）→订正)ABC→小结：画角的终边与单位圆，求交点，求值.例2：已知角α的终边经过点P(-4,-3)，求角α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法）2. 任意角的三角函数的定义：①思考：已知角α终边上任意一点P (x, y)，如何求它的三角函数值呢?②定义：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为P (x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝；cosα＝；tanα＝.③讨论：这三个比值与点P的位置是否有关？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是都有三角函数值？为什么？【达标测评】(参考《全优》P7)1.若角α终边上有一点P(0,3)，则下列函数值无意义的是() A．tan α B．sin αC．cos α D．无法确定2.已知角α的终边经过点P(m,-3)，且cosα=-45,则m等于( )A．－114 B.114C．-4 D．43.若点P(4，y)是角α终边上一点，且sin α＝－35，则y的值是________．【归纳小结】单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数；【巩固练习】（各班可按实际情况安排）1．练习：教材P15：1，3；2．作业：教材P15：2.第二课时：任意角的三角函数（二）【学习目标】1. 掌握各象限的三角函数值的符号。

1.2.3三角函数的诱导公式（2）【学习目标】1、 能进一步运用诱导公式求出任意角的三角函数值2、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程3、 进一步准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值。

口诀：奇变偶不变，符号看象限【重点难点】诱导公式的推导和应用【自主学习】1、复习四组诱导公式：函数名不变，符号看象限2、已知：,3tan =α求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--的值1、 若角α的终边与角β的终边关于直线y=x 对称（如图），（1） 角α与角β的正弦函数与余弦函数值之间有何关系？ （2） 角α与角β有何关系？（3） 由（1），（2）你能发现什么结论？角当角α的终边与角β的终边关于y=x 对称时，α与β的关系为：_________________ 公式五（ ）：__________________________________________;__________________________________________; ___________________________________________.思考：若角α的终边与角β的终边关于直线x y -=对称，你能得到什么结论？ 当角α的终边与角β的终边关于x y -=对称时，α与β的关系为：_________________ 公式六（ ）：__________________________________________;__________________________________________; ___________________________________________.思考：这六组公式可以用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、 求证：ααπcos 23sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，ααπsin 23cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+．例2、 化简：（1）0000800cos 260sin 440cos 280sin 21++（2）)2cos()23sin()27cos()2sin()23sin()sin()3tan(απαππααπαπαπαπ++--+---例3、已知()3175cos =+α，且 90180-<<-α，求()α-15cos ．【课堂练习】1、 求证：ααπsin 23cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，ααπcos 23sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-．2、 化简：20020sin 170cos 160cos 200sin 21)1(--- （2）)tan()2cos()2sin(1)(tan 12απααα+--+-3、已知31)75cos(0=+α，α是第三象限角，求)105sin()105cos(00-+-αα的值4、判断函数)23cos()23sin(1cos sin )(44x x x x x f -+-+=ππ的奇偶性5、求值：90sin 89sin 3sin 2sin 1sin 22222+++++．【课堂小结】。

1．2．1任意角的三角函数（2）【学习目标】1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号【学习重点、难点】 会用三角函数线表示任意角三角函数的值【自主学习】一、复习回顾1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。

2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。

3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。

4．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。

根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；tan y xα==__________。

【典型例题】例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：()31π ()π652 ()π323- ()64π-例2．利用三角函数线比较大小()ο30sin 1______ο150sin : ()ο25sin 2______ο150sin : ()π32cos 3_____π54cos ; ()π32tan 4_____π32tan例3．解下列三角方程()23sin 1=x ()21cos 2=x ()1tan 3=x变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()21cos 2≤x()1tan 3>x变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.【巩固练习】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 ()π6111- ()π3222．利用余弦线比较cos 64,cos 285o o 的大小；3．若42ππθ<<，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：（1）3cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2θ>-5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =6．若3cos 2θ<，3sin 2θ>-，写出角θ的取值范围。

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1。

2。

1任意角的三角函数（第二课时）【学习目标】1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；2。

了解角α的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域;3. 掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题。

【新知自学】知识回顾：1。

三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),那么：(1)____叫做α的正弦，记作____,即____；（2）___叫做α的余弦,记作____，即____；(3）___叫做α的正切，记作___,即_____。

2．三角函数的符号正弦值y对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y〈0，r〉0）r对于第一、四象限为_____(x>0,r〉0),对于第二、三象限为___ (x<0，r>0)余弦值xry对于第一、三象限为____(x，y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．正切值x新知梳理：1。

诱导公式终边相同的角的_________________相等.公式一： ____ ___=sinα，__________ __=cosα，_____ ____=tanα.(其中，k Z∈）2．正弦线、余弦线、正切线:如上图，分别称有向线段,,MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线.对点练习:1、比较sin 1 155°与sin（－1654°)的大小．2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小,结果是_______________．3．利用三角函数线比较下列各组数的大小（用“>”或“<”连接）：（1）sin 错误!π________sin 错误!π；（2)cos 错误!π________cos 错误!π;（3)tan 错误!π________tan 错误!π。

(2) 例1、 已知 tan 3,求下列各式的值
3 cos
(1)妙 4 sin 9 cos
2 3 cos 9 cos 2 (3)2sin 2 3 cos 2
例2、求证：（1） sin 1 cos tan sin tan sin 1 cos sin
tan sin tan sin 122同角三角函数的关系（2）
【学习目标】
1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明
2、 掌握“知一求二”的问题
【重点难点】 奇次式的处理方法和“知一求二”的问题
【自主学习】
一、 复习回顾：
1、同角三角函数的两个基本关系式：
课前练习
【典型例题】
2、 sin cos ,sin cos , sin cos
有何关系？（用等式表示） 1、 已知sin cos 丄,则 sin cos
3
2、 若ta n ,15， cos
；sin
【课堂练习】
1、已知0 ,sin a cos a = 12 ,则cos a- sin a 的值等于
25
1、求证：1 2sin co ：也二
sin cos tan 1
【课堂小结】 例3、已知0 ,sin cos 求tan 的值 5 例4、若sin k 1
,cos k 3 (1 )求k 的值; 「(k 3),
k 3
(2)求回 --------- 1的值 tan 1
2、已知 是第三象限角，且 si n 4 cos 4
，贝U sin cos
9 3、如果角 满足sin cos ■. 2 ,那么tan 1
tan 的值是
、右 sin cos 是方程4x 2 2mx m 0的两根，则 m 的值为。