数学---广东省揭阳市普通高中2017-2018学年高二上学期期末模拟试题02

2017-2018学年度第一学期高二数学试题1（必修五第一章）一、选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ． 3．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 4．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221C ．28D ．36 5．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ）A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 26．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．不能确定D ．等腰三角形 7．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A ．090 B ．060 C ．0135 D ．01508．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.359．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32 km10．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2D. 311．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ）A ．sin cos A A >B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B > 12．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.14．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。

广东省揭阳市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合U={1,2,3,4,5,6}集合P={1,2,3,4}，Q={3,4,5}，则（）A . {1,2,3,4,6}B . {1,2,3,4,5}C . {1,2,5}D . {1,2}2. （2分） (2019高一下·郑州期末) 如图，在平行四边形中，点满足，与交于点，设，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高一下·武邑期中) 在等差数列{an}中，an＞0，且前10项和S10=30，则a5a6的最大值是（）A . 3B . 6C . 9D . 364. （2分） (2016高二上·襄阳期中) 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为me ，众数为mo ，平均值为，则（）A . me=mo=B . me=mo＜C . me＜mo＜D . mo＜me＜5. （2分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=﹣x2 ，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A . 7个B . 8个C . 9个D . 10个6. （2分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1 ，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为（）A . 2B .C . 2D . 47. （2分） (2017高一上·武清期末) 已知函数f（x）= ，当x1≠x2时，＜0，则a的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ， ]C . （0， ]D . [ ， ]8. （2分）使得函数f（x）=log2x+x﹣5有零点的一个区间是（）A . （1，2）B . （2，3）C . （3，4）D . （4，5）9. （2分） (2017高一上·怀柔期末) 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A . 向左平行移动1个单位长度B . 向右平行移动1个单位长度C . 向左平行移动π个单位长度D . 向右平行移动π个单位长度10. （2分） (2019高二上·水富期中) 直线与直线互相垂直，则a的值为（）A . 2B . －3或1C . 2或0D . 1或011. （2分） (2016高二上·湖州期中) 若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（）A . [1﹣，1+ ]B . [1﹣，3]C . [1﹣2 ，3]D . [﹣1，1+ ]12. （2分）若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分）设一圆弧所对的圆心角为α弧度，半径为r，则弧长l=________；这扇形面积S=________.14. （1分）(2017·深圳模拟) 若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=________．15. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知函数，设函数的最小值为，若不等式有解，则实数的取值范围为________.16. （1分） (2019高一上·鸡泽月考) 函数的单调减区间为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）已知函数f（x）=是定义域R上的奇函数，且f（2）=﹣，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明，（Ⅲ）若g（2a）＞g（a﹣1）+2，求实数a的取值范围．18. （10分）(2018高一下·涟水月考) 在中，分别是角A、B、C的对边，，且．（1）求角A的大小；（2）求的值域．19. （10分） (2015高二上·湛江期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角M﹣QB﹣C为30°，求线段PM与线段MC的比值t．20. （10分） (2017·新课标Ⅲ卷文) 设数列{an}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）an=2n．（12分）（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{ }的前n项和．21. （10分） (2016高一下·佛山期中) 在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c．已知acosB ﹣ b= ﹣．（1）求角A；（2）若a= ，求b+c的取值范围．22. （10分）(2017·白山模拟) 如图，椭圆 =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2 ，直线x=﹣a与y=b交于点D，且|BD|=3 ，过点B作直线l交直线x=﹣a于点M，交椭圆于另一点P．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

广东省揭阳市普通高中2017-2018学年高二上学期期末模拟试题05第Ⅰ卷（共50分）一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1.函数sin y x =的导函数为（ ）.A sin y x = .B cos y x =- .cos C y x = .sin D y x =-2.下列命题:①有一个实数不能做除数； ②棱柱是多面体；③所有方程都有实数解； ④有些三角形是锐角三角形；其中特称命题的个数为（ ）.A 1 .B 2 .3C .4D3.双曲线221x y -=的渐近线为( ).A 0x y -= .B 0x y += .1C x y ±= .0D x y ±=4.若2()3f x x x =+,则(0)f '=（ ） .A 0 .B 2 .1C .1D -5.抛物线y x 42=的焦点坐标为（ ） .A )0,1( .B )0,0( )1,0.(C )2,0.(D6.“2a b c +>” 的一个充分条件是（ ）.A a c >>或b c .B a c b c ><或 .C a c b c ><且 .D a c b c >>且7.曲线2x y =在1x =处的切线方程为( ) .A 012=--y x .B 012=+-y x.C 012=-+y x .D 012=++y x8.若平面上两定点之间的距离为5cm ,一动点到这两定点的距离之和为5cm ，则该动点的轨迹为( ).A 椭圆 .B 一段线段 .C 圆 .D 不确定9.函数()ln f x x x =-的增区间为（ ）.(,1)A -∞ .(0,1)B .(1,)C +∞ .(0,)D +∞10.椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右顶点分别为A 、B ，左右焦点分别为1F 、2F ，若 1AF ，12F F ,1F B 成等差数列，则此椭圆的离心率为（ ） 1.2A 5.5B 1.4C .52D - 第Ⅱ卷（共80分）二、填空题:（本题共5小题，每题5分，共25分）11.已知2:3,:9p x q x ==,则p 是q 的 条件. （填：充分不必要、必要不充 分、充要、既不充分又不必要）12.函数1()f x x x=+，则=')(x f . 13.若一条抛物线以原点为顶点，准线为1x =-，则此抛物线的方程为 .14.函数()2sin f x x x =-在[]0,2x π∈上的最大值为 .15.若双曲线2215y x m-=的离心率()1,2e ∈,则m 的取值范围为 . 三、解答题：（本题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.(10分)设原名题为“若,a b <则a c b c +<+”. （ 其中a 、b 、c R ∈）（1）写出它的逆命题、否命题和逆否命题；（2）判断这四个命题的真假；（3）写出原命题的否定.17.（10分）讨论方程22152x y m m+=--（3m <）所表示的曲线类型.18．（12分）求函数32()25f x x x =-+在区间[]2,2-上的最值.19.（13分）已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点为(2,0)A ，离心率为22,直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N .(1) 求椭圆C 的方程;(2) 当AMN ∆的面积为103时，求k 的值.参考答案一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）二、填空题: （本题共5小题，每题5分，共25分）11. 充分不必要 12. 221xx - 13. 24y x = 14. 4π 15. ()0,15三、解答题：（本题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．(10分)当()2,3m ∈时，此方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当(),2m ∈-∞时，此方程表示焦点在x 轴上的椭圆.18. (12分)min ()(2)11f x f =-=-；max ()(0)(2)5f x f f ===.19. （13分） (1)22142x y +=; (2) 1k =±.。

揭阳市上学期高二数学期末模拟试题01第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）1.命题“若1=x ，则0232=+-x x ”以及它的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是 A.0 B.2 C.3 D.42.设a R ∈，则01a <<是2a <成立的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知椭圆的离心率为21，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为A ．1362722=+y xB ．1273622=-y xC ．1273622=+y xD ．1362722=-y x 4. 抛物线210y x =的焦点到准线的距离是A.25 B .5 C . 215D. 10 5. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形6. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则79a a =A.1B. 1C. 3+D.3-7. 曲线x e y =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A ．249e B ．22e C ．2e D ．22e8. 如果函数y=f(x)的图象如右图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是9. 设双曲线12222=-by a x （0<．．a ．<b ．．）的半焦距为c ，直线l 过A （a ，0），B （0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．332 C ．2或332 D ．3或332 10．（A 题）已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋13y的最小值是A ．2B ． 4C ．2 2D ．2 3（B 题）.设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为 A ．83 B ．256C ．113D ．4第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题（每小题5分，共5小题，满分25分） 11. 命题“对于任意的03,2>+-∈x x R x ”的否定．．是___________________________．12 .已知x x x f cos ln )(+=，则=')2(πf ．13. 在数列{}n a 中，若n a n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S = .14．（A 题）已知双曲线的渐近线方程是12y x =±，焦点在x 轴上，焦距为10，则它的标准方程为_______.（B 题） 已知双曲线的渐近线方程是12y x =±，焦距为10，则它的标准方程为_________.15. （A 题）已知抛物线22y x =和定点103,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上有一动点P ， P 到抛物线准线的距离为d ，则PA d +的最小值是_________.（B 题）已知抛物线)0(22>=p py x 的焦点的弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ，且AB 的倾斜角为α.则下列各个结论中：（1）p y y AB ++=21 ；（2） α2sin 2p AB =；（3）2214py y =，221p x x -=； （4）pBF AF 211=+； （5）以焦点弦AB 为直径的圆与准线相交．．. 其中正确的结论的序号是___________________（要求写出所有正确结论的序号）。

揭阳市上学期高二数学期末模拟试题02满分150分 时间120分钟一、选择题（每题5分，共计60分）1、若集合{A x x =≤3，}x ∈Z ,{243B x x x =-+≤0，}x ∈Z ，则（ ） A. “x A ∈”是“x B ∈”的充分条件但不是必要条件 B. “x A ∈”是“x B ∈”的必要条件但不是充分条件 C. “x A ∈”是“x B ∈”的充要条件D. “x A ∈”既不是“x B ∈”的充分条件，也不是“x B ∈”的必要条件 2、 命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是（ ） A. 20,0x x x ∃>+>B.20,x x x ∃>+≤0C. 20,x x x ∀>+≤0D.x ∀≤20,0x x +>3、如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23D ．34、曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( )．A 、31y x =-B 、35y x =-+C 、35y x =+D 、2y x =5、已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，6、函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）A 、[]0,1-B 、[]8,2C 、[]2,1D 、[]2,07、已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．11B ．10C ．9D ．168、函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( )．A 、2B 、1C 、 0D 、由a 确定9、已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．710、过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11（ ） A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4 11、若x 2sin 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为（ ）A 、8331+ B 、8331- C 、8331± D 、421- 12、已知函数2()ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，则a 的取值范围是.A 、[1,)-+∞B 、 (1,)-+∞C 、 (,1)-∞-D 、 (,1]-∞-二、填空题（每题5分，共计20分）13、命题P ：关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对x ∈R 恒成立;命题Q ：f(x)=－(1－3a －a 2)x 是减函数.若命题PVQ 为真命题,则实数a 的取值范围是________. 14、若),(191+∈=+R y x yx ，则y x +的最小值是 15、点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是16、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．该双曲线的标准方程为三、解答题（共计70分，其中17题10分，其它各题均为12分）17、若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x 满足()()()xf f x f y y=-.（1）求)1(f 的值;（2）若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<--xf x f .18、设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．19、用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？20、已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21、设函数f(x)= 1)1(3223+--x a x ,其中1≥a（1）求f(x)的单调区间； （2）讨论f(x)的极值22、设21,F F 分别是椭圆的1422=+y x 左，右焦点。

揭阳第三中学2017-2018学年第一学期高二数学阶段练习四考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题： （每小题5分，共60分）1. 如果在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，那么B 等于（ ）A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

2．在等差数列错误！未找到引用源。

中，若前5项和错误！未找到引用源。

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等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2 D ．-23．若错误！未找到引用源。

下列不等式正确的是 ( )A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

4. 在ABC ∆中，6=a ， 30=B ，120=C ，则ABC ∆的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．318 5. 错误！未找到引用源。

的最小值是（ ）A.2B. 错误！未找到引用源。

C. 4D.86. 不等式错误！未找到引用源。

的解集为错误！未找到引用源。

，那么 （ ） A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

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7．不等式错误！未找到引用源。

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B 错误！未找到引用源。

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8．等比数列错误！未找到引用源。

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的前6项和为 （ ）A ．128B ．126C ．140D ．1929．在直角坐标系内，满足不等式错误！未找到引用源。

≥0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是（ ）10. 在等比数列错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

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B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

上学期高二数学期末模拟试题05一、选择题：1、下列命题中为真命题的是（ ） A ．若11x y=，则x y =. B ．若21x =，则1x =. C ．若x y =．若x y <，则22x y <.2、已知00<<<<d c b a ，，那么下列判断中正确的是（ ） A ．ac bd -<-B ．a c b d> C ． a d b c<D ．a d b c> 3、设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）234、 在ΔABC 中, 角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 已知A =3π, 3=a , 1=b ，则=c ( ) A ．1 B ．2 C1 D5、已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11k -<< B ．0k > C ．0k ≥ D ．11k k ><-或6、一元二次方程2210(0),ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a >7、若双曲线122=-y x 的右支上一点P （a ,b ）到直线x y =的距离为a 则,2+b 的值（ ）A ．21-B ．21 C ．－2 D ．28、如图F 1，F 2分别是椭圆22221(0,0)x y a b ab+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为：A2 B ．12C．219、数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12，其前n 项和S n ＝32164，则项数n =A ．13B ．10C ．9D ．610、在ABC ∆中，若cos a B c =，则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 11、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数nA ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值32D ．有最小值3212、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=⋅，则P 点的轨迹方程是（ ）A.()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132322>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,0123322>>=+y x y x二、填空题： 13、不等式21xx ≥+的解集为 . 14、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令n T =12nS S S n+++ ，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列100321,,,a a a a 的“理想数”为101，那么数列2，100321,,,a a a a 的“理想数”为___________. 15．设x y 、均为正实数，且111223x y +=++，则xy 的最小值为 ． 16、已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则d 1+d 2+…+d n =_____________ 三、解答题：17、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,6a b c B π=，3cos ,25A b ==。

2018-2018学年广东省揭阳市普宁二中高二（上）期末数学试卷（文科）一.本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．2．函数f （x ）=1﹣e x 的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为（ ）A ．y=﹣e•x +1B ．y=﹣x +1C ．y=﹣xD ．y=﹣e•x3．又曲线﹣=1上一点P 到它的一个焦点的距离等于3，那么点P 与两个焦点所构成三角形的周长等于（ ） A ．42 B ．36 C ．28 D ．264．在棱长为2的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则=（ ）A ．0B ．﹣2C ．2D ．﹣35．已知函数y=x n e ﹣x ，则其导数y'=（ ） A ．nx n ﹣1e ﹣x B ．x n e ﹣xC ．2x n e ﹣xD ．（n ﹣x ）x n ﹣1e ﹣x6．已知直线l 的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l 与平面α所成的角为（ ）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150°7．当x 在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x ）的符号变化如下表：则函数f （x ）的图象的大致形状为（ ）A．B．C．D．8．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．910．已知函数f（x）=x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1DC的距离之和为2，∠CPC1=60°，则点P到直线CC1的距离为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二.填空题（每题5分，共20分）13．（x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为．14．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为．16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，求球O 的表面积．三.解答题（共6题，共70分）=2S n+1（n∈N*），等差数列{b n}满足17．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1b3=3，b5=9．（1）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设C n=（n∈N*），求证C n+1＜C n．18．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．19．某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P1；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．20．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p 的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．21．在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P，过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N，试证明线段MN的长为定值，并求出这个定值．选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．（选修4-5：不等式选讲）23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．2018-2018学年广东省揭阳市普宁二中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】该抛物线的方程是x2=2py（p＞0）的形式，由此不难得到2p=1，=，所以抛物线的焦点坐标为：（0，）．【解答】解：∵抛物线y=x2的标准形式是x2=y，∴抛物线焦点在y轴上，开口向上，可得2p=1，=因此，抛物线的焦点坐标为：（0，）故选D2．函数f（x）=1﹣e x的图象与x轴相交于点P，则曲线在点P处的切线的方程为（）A．y=﹣e•x+1 B．y=﹣x+1 C．y=﹣x D．y=﹣e•x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）与x轴的交点坐标，再求出原函数的导函数，得到函数在x=0处的导数，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=1﹣e x，可令f（x）=0，即e x=1，解得x=0可得P（0，0），又f′（x）=﹣e x，∴f′（0）=﹣e0=﹣1．∴f（x）=1﹣e x在点P（0，0）处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即y=﹣x．故选：C..3．又曲线﹣=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成三角形的周长等于（）A．42 B．36 C．28 D．26【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，再确定P的位置为上支上一点，再由双曲线的定义，即可得到所求的周长．【解答】解：双曲线﹣=1的a=8，b=6，则c==10，设P到它的上焦点F的距离等于3，由于3＞c﹣a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，则由双曲线的定义可得PF'﹣PF=2a=16，（F'为下焦点）．则有PF'=19．则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42．故选A．4．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则=（）A．0 B．﹣2 C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用中线的性质表示出向量与，求出它们的数量积即可．【解答】解：如图所示，棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则=（+）•（+）=（•+•+•+•）=（2×2×cos120°+2×2×2×cos90°+2×2×2×cos180°+2×2×cos120°）=﹣3．故选：D．5．已知函数y=x n e﹣x，则其导数y'=（）A．nx n﹣1e﹣x B．x n e﹣x C．2x n e﹣x D．（n﹣x）x n﹣1e﹣x【考点】导数的运算．【分析】利用导数乘法法则进行计算，其中（e﹣x）′=﹣e﹣x，【解答】解：y′=nx n﹣1e﹣x﹣x n e﹣x=（n﹣x）x n﹣1e﹣x，故选：D．6．已知直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，则直线l与平面α所成的角为（）A．120°B．60°C．30°D．150°【考点】直线与平面所成的角．【分析】利用面积向量的数量积，直接求解直线l与平面α所成的角的正弦值即可得出结果．【解答】解：直线l的方向向量，平面α的一个法向量为，直线l 与平面α所成的角的正弦值=|cos ＜，＞|===．直线l 与平面α所成的角为：30°． 故选：C ．7．当x 在（﹣∞，+∞）上变化时，导函数f′（x ）的符号变化如下表：则函数f （x ）的图象的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数零点的判定定理；函数的零点．【分析】f′（x）在（﹣∞，1）上小于，在（1，4）上大于0，故f （0）是函数的极小值，同理可得f （4）是函数的极大值，由此得出结论．【解答】解：由图表可得函数f′（x ）在（﹣∞，1）上小于0，在（1，4）上大于0，即函数f （x ）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，4）上是增函数，故f （0）是函数的极小值．同理，由图表可得函数f′（x ）在（1，4）上大于0，在（1，4）上小于0， 即函数f （x ）在（1，4）上是增函数，在（4，+∞）上是增函数，可得f （4）是函数的极大值，故选C．8．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是[1，+∞）．故选：D．9．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．10．已知函数f（x）=x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）内单调递减转化成f′（x）≤0在（2m，m+1）内恒成立，得到关于m的关系式，即可求出m的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，∴f'（x）=3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．故，即成立．解得：﹣1≤m＜1，故选：D．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，正方形BCC1B1所在平面内的动点P到直线D1C1DC的距离之和为2，∠CPC1=60°，则点P到直线CC1的距离为（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】由已知面BCC1B1内的点P到直线C1、C的距离之和为2，由椭圆的定义即知点P的轨迹是椭圆的一部分，以CC1所在的直线为x轴，线段CC1的中心为坐标原点，建立直角坐标系，设P（x，y），得椭圆的方程为： +y2=1．由∠CPC1=60°，求出，由此能求出点P到直线CC1的距离．【解答】解：在面BCC1B1内到直线D1C1、DC的距离即为P到点C1，C的距离，故有面BCC1B1内的点P到直线C1、C的距离之和为2，由椭圆的定义即知点P的轨迹是椭圆的一部分．以CC1所在的直线为x轴，线段CC1的中心为坐标原点，建立直角坐标系，则C（﹣1，0），C1（1，0），∴c=1，a=，b=1．设P（x，y），得椭圆的方程为： +y2=1．∵∠CPC1=60°，∴=1×tan30°=，设点P到直线CC1的距离为h，则=，解得h=，∴点P到直线CC1的距离为．故选：A．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式为：f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且仅有一个；③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】利用导数研究函数的极值；导数的几何意义．【分析】先求出函数的导数，因为曲线过原点，所以c=0，因为在x=±1处的切线斜率均为﹣1，所以函数在x=±1处的导数等于﹣1，再利用导数等于0求极值点，以及函数的最大值与最小值，逐一判断三个命题即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲线过原点，∴c=0对函数f（x）求导，得，f′（x）=3x2+2ax+b，∵在x=±1处的切线斜率均为﹣1，∴f′（1）=1，f′（﹣1）=1，即，3+2a+b=﹣1，3﹣2a+b=﹣1解得a=0，b=﹣4∴（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]，①正确．f′（x）=3x2﹣4，令f′（x）=0，得，x=，∴f（x）的极值点有两个，②错误f（﹣2）=0，f（﹣）=，f（）=﹣，f（2）=0∴f（x）的最大值为，最小值为﹣，最大值与最小值之和等于零．③正确．故选B二.填空题（每题5分，共20分）13．（x2+x+2）5的展开式中，x7的系数为50．【考点】二项式定理的应用．【分析】根据（x2+x+2）5的展开式的含x7的项由两类构成，然后求出各类的含x7的项，再将各个项加起来，即可得到所求的项的系数．【解答】解：（x2+x+2）5的展开式的含x7的项由5个括号中的两个括号出x2，三个括号出x，或三个括号出x2，一个括号出x，一个括号出2，故含x7的项是C52（x2）2 x3 +C53（x2）3 C21 •x•2=10x7 +40x7=50x7，故含x7的项的系数是50，故答案为：50．14．已知直线AB：x+y﹣6=0与抛物线y=x2及x轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt△AOB区域内任取一点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型；定积分在求面积中的应用．【分析】欲求所投的点落在阴影内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出阴影图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S=∫18x2dx+∫26（6﹣x）dx==，又Rt△AOB的面积为：所以p==．故答案为：．15．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么（x+1）2+y2的取值范围为（，8] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，设P （x，y）、M（﹣1，0），可得（x+1）2+y2=|QP|2表示M、P两点距离的平方，因此运动点P并加以观察得到|MP|的最大、最小值，即可得到（x+1）2+y2的取值范围．【解答】解：画出表示的平面区域如图：，而（x+1）2+y2的表示区域内点P（x，y）与点M（﹣1，0）的距离的平方，由图知：|MC|2=（1+1）2+22=8最大；M到直线2x+y﹣2=0的距离的平方：最小．由于2x+y﹣2＞0不取等号，所以不是最小值，故答案为：（，8]．16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC为球O的直径，且SC⊥OA，SC⊥OB，△OAB为等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，求球O 的表面积．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r．利用截面的性质即可得到三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个小三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，求出r，从而求球O的表面积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，球的半径r．∵SC⊥OA，SC⊥OB，∴SC⊥平面AOB，三棱锥S﹣ABC的体积可看成是两个小三棱锥S﹣ABO和C﹣ABO的体积和．=V三棱锥S﹣ABO+V三棱锥C﹣ABO=××r2×r×2=，∴V三棱锥S﹣ABC∴r=2，∴球O 的表面积为4π×22=16π．三.解答题（共6题，共70分）17．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +1=2S n +1（n ∈N *），等差数列{b n }满足b 3=3，b 5=9．（1）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设C n =（n ∈N *），求证C n +1＜C n．【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）①利用，及等比数列的通项公式即可得出a n ；②利用等差数列的通项公式即可得出b n ；（2）由即可得到c n +1＜c n ；利用二项式定理可得3n =（1+2）n ≥3n ，即可证明．【解答】解：（1）①当n ≥2时，由a n +1=2S n +1，a n =2S n ﹣1+1，得a n +1﹣a n =2a n ，即a n +1=3a n ．由a 1=1，∴a 2=2a 1+1=3=3a 1．∵a 1=1≠0，∴数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列． ∴．②等差数列{b n }满足b 3=3，b 5=9．设公差为d ，则，解得．∴b n=﹣3+（n﹣1）×3=3n﹣6．（2）由（1）可得=．∴=c n．∵3n=（1+2）n=…+2n≥3n，∴．18．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．19．某校高三数学竞赛初赛考试结束后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分为六组，第一组．如图为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（2）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y．若|x﹣y|≥10，则称此二人为“黄金帮扶组”，试求选出的二人为“黄金帮扶组”的概率P1；（3）以此样本的频率当作概率，现随机在这组样本中选出3名学生，求成绩不低于120分的人数ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）依题意可得：第四组人数为：=12，可得P1=．（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.18+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，即可得出．【解答】解：（1）频率分布直方图见解析，M=95×0.2+118×0.15+115×0.35+125×0.15+135×0.1+145×0.18=114.5；（2）依题意可得：第四组人数为：=12，故P1==；（3）依题意可得：样本总人数为：=80，成绩不低于120分的人数为：80×（0.18+0.10+0.15）=24，故在样本中任选1人，其成绩不低于120分的概率==．由已知ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ～B，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．ξ的分布列如下故Eξ==．20．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p 的最小值．（3）证明不等式：（n∈N*）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）≤x，令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：，从而可得．利用叠加法可得结论．【解答】（1）解：依题意得f（x）max≥m，x∈[0，e﹣1]∵，而函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）∴f（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）在[0，e﹣1]上为增函数，∴∴实数m的取值范围为m≤e2﹣2（2）解：g（x）=f（x）﹣x2﹣1=2x﹣2ln（1+x）=2[x﹣ln（1+x）]，∴显然，函数g（x）在（﹣1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数∴函数g（x）的最小值为g（0）=0∴要使方程g（x）=p至少有一个解，则p≥0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2[x﹣ln（1+x）]≥0在（﹣1，+∞）上恒成立所以ln（1+x）≤x，当且仅当x=0时等号成立令，则x∈（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2﹣ln1＜1，，，…，将以上n个等式相加即可得到：21．在空中，取直线l为轴，直线l与l′相交于O点，夹角为30°，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．已知直线l∥平面α，l与α的距离为2，平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ．在平面α内，以双曲线Γ的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为y轴，建立直角坐标系．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）在平面α内，以双曲线Γ的中心为圆心，半径为2的圆记为曲线Γ′，在Γ′上任取一点P ，过点P 作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M 、N ，试证明线段MN 的长为定值，并求出这个定值．【考点】平面与圆柱面的截线．【分析】（Ⅰ）由已知推导出双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4），由此能求出双曲线的标准方程．（Ⅱ） 设点P 的坐标为（x 0，y 0），令过点P 的切线方程为y=k （x ﹣x 0）+y 0，与椭圆联立，再利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能证明线段MN 的长为定值，并能求出这个定值． 【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如右图，O'为双曲线的中心，OO'为轴l 与平面α的距离|OO'|=2，A 为双曲线的顶点，∠AOO'=60°，∴．…在轴l 上取点C ，使得|OC |=4，过C 作与轴l 垂直的平面，交圆锥面得到圆C ，圆C 与双曲线相交于D 、E ，DE 的中点为B ，由题意知，|CB |=2，|CD |=4，得|BD |=2，从而双曲线的实半轴长为2，且过点（2，4）．…设双曲线的标准方程为，将点（2，4）代入方程得b 2=4，所以双曲线的标准方程为…证明：（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，双曲线Γ的两切线PM 、PN 都不垂直x 轴，… 设点P 的坐标为（x 0，y 0），令过点P 的切线的斜率为k ，则切线方程为y=k （x﹣x0）+y0，：…由△=0，化简得：…令PM、PN的斜率分别为k1、k2，，…因点P（x0，y0）在圆Γ'上，则有，得：，∴k1k2=﹣1，…知PM⊥PN，线段MN是圆O的直径，|MN|=4．…选做题（从22、23题中任选一题作答，共10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，设M是圆C上任一点，连结OM并延长到Q，使|OM|=|MQ|．（Ⅰ）求点Q轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与点Q轨迹相交于A，B两点，点P的直角坐标为（0，2），求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，把代入即可得直角坐标方程：x2+y2=4x，设Q（x，y），则，代入圆的方程即可得出．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入点Q的方程可得，利用根与系数的关系及其|PA|+|PB|=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，化为ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4x，配方为（x﹣2）2+y2=4，设Q（x，y），则，代入圆的方程可得，化为（x﹣4）2+y2=16．即为点Q的直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入（x﹣4）2+y2=16．得令A，B对应参数分别为t1，t2，则，t1t2＞0．∴．（选修4-5：不等式选讲）23．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）对x讨论，分当x≥4时，当﹣≤x＜4时，当x＜﹣时，分别解一次不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，求得F（x）=f（x）+3|x﹣4|的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（1）当x≥4时，f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0，得x＞﹣5，所以x≥4成立；当﹣≤x＜4时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4成立；当x＜﹣时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以x＜﹣5成立．综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣5}；（2）令F（x）=f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当﹣时等号成立．即有F（x）的最小值为9，所以m≤9．即m的取值范围为（﹣∞，9]．2018年2月22日。

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揭阳市上学期高二数学期末模拟试题03时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．椭圆2212516x y +=的焦距为（ ） A 、10 B 、9 C 、8 D 、62、设有一个回归方程∧y =2-2.5x ，变量x 增加一个单位时，变量y 平均（ ） A 、增加2.5个单位 B 、增加2个单位 C 、减少2.5个单位 D 、减少2个单位 3．下列有关样本相关系数的说法不正确．．．的是 ( ) A ．相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度 B ．1||≤r ，且||r 越接近于1，相关程度越大 C ．1||≤r ，且||r 越接近于0，相关程度越小 D ．1||≥r ，且||r 越接近于1，相关程度越大4．函数)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是（ ）A ．x x y 22-= B.2331x x y +=C ．x x y 22+= D ．2331x x y -=5． 已知点A （3，1）是直线l 被双曲线22143x y -=所截得的弦的中点，则直线l 的方程是（ ）A ．94230x y --=B ．94310x y +-=C ．410x y -+=D ．470x y +-=6．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=( )A ．9B ．6C ．4D ．37．中心在原点，有一条渐近线方程是230x y +=，对称轴为坐标轴，且过点(2,2)的双曲线方程是（ ）A.22194x y -= B.221188x y -= C.2291205y x -= D.225499x y -=8．已知点(1,2)A ，过点(5,2)-且斜率为k 的直线与抛物线24y x =交于点B 、C ，那么ABC∆的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.与k 的值有关9．双曲线2214x y k+= 的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） A 、0k < B 、120k -<< C 、30k -<< D 、6012k -<<- 10.若函数()3211()1(2)332f x x f x f x ''=+-+，则)(x f 在点())0,0(f 处切线的倾斜角为 （ ） A.4π B.3π C.32π D.43π11．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a>c>0)，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ）A ．2(a+c )B ．2(a-c)C ．4aD ．以上答案均有可能12.已知()()()321111132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则 （ ）A.3a b -<-B.3a b -≤-C.3a b ->-D. 3a b -≥- 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平面直角坐标系xOy 中，“0ab >”是“方程221ax by +=的曲线为椭圆”的______条件。