《含参数的一元二次不等式的解法》专题

3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。

解一元二次不等式的步骤：1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集二．自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。

分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。

下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。

【题型一】对根的大小讨论例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).对应练习：解关于的不等式2x a x a--<0 (a R ∈ ).【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈对应练习：012<+-ax x【题型三】对首项系数a 的讨论例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈训练（2）：函数()f x =R ，则实数m 的取值范围.课堂小结：含参数的一元二次不等式需讨论一般分为1：对二次项系数进行讨论；2：对所对应方程根的个数进行讨论；3：对所对应方程根的大小进行讨论；注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.三．巩固性练习及作业1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）A.（-3a, 4a ）B.(4a , -3a)C.(-3, 4)D.(2a , 6a)2、22210x xx m -+->解关于的不等式32(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。

含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。

当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。

本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。

首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。

我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。

步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。

若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。

若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。

步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。

对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。

此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。

- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。

然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。

2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。

此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。

- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。

然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。

我们以一个具体的例子来说明。

例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。

含参数的一元二次不等式的求解方法解析冯婷含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。

含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。

一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0,0,0∆>∆=∆<三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根12,x x 表示的形如12()()a x x x x --的形式时，往往需要对其根分121212,,x x x x x x >=<三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。

一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于x 的不等式220x kx k +-≤。

解：28(8)k k k k ∆=+=+① 当0∆>即08k k ><-或时，方程220x kx k +-=有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭。

② 当0∆=即08k k ==-或时，方程220x kx k +-=有两个相等的实数根，则该不等式的解集为{}|0,2x x x ==或。

③ 当0∆<即80k -<<时，方程220x kx k +-=无实数根，则该不等式的解集为∅。

注：本题由于方程220x kx k +-=根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。

例2 解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。

解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

高一数学复习考点题型专题讲解 第8讲 一元二次不等式的解法（含参数及恒成立问题）一、单选题1． “22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ）A ．132x -<<B ．16x -<<C ．132x -<<D ．102x -<< 【答案】B【分析】由集合的包含关系直接判断即可.【解析】212530(3)(21)032x x x x x --<⇔-+<⇔-<<，因为1{|3}{|16}2x x x x -<<-<<Ü，所以16x -<<是22530x x --<的必要不充分条件. 故选：B.2．不等式()()224510x x x --+<的解集是（ ）A ．{}15-<<x xB ．{1x x <-或}5x >C ．{}05x x <<D ．{}10x x -<< 【答案】A【分析】根据题意，等价转化不等式为2450x x --<，再求二次不等式即可求得结果.【解析】因为210x +>，故()()224510x x x --+<等价于2450x x --<，即()()510x x -+<，解得{|15}x x x ∈-<<. 故选：A.3．已知全集U =R ，集合{}24A x x =>，301x B xx +⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则U AB ð等于（ ）． A ．{}21x x -≤<B ．{}32x x -<<C ．{}22x x -<<D ．{}32x x -≤≤ 【答案】A【分析】通过解二次不等式求出U A ð和集合B ，再求交集即可.【解析】{}24{|2A x x x x =>=<-或2}x >{}|22U A x x ∴=-≤≤ð()(){}{}30310311x B x x x x x x x +⎧⎫=<=+-<=-<<⎨⎬-⎩⎭， {}21U A B x x ∴⋂=-≤<ð 故选：A.4．不等式()()5326x x +-≥的解集是（ ）A ．912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．912x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．92x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥D ．{1x x ≤-或92x ⎫≥⎬⎭【答案】A【分析】解一元二次不等式时，若不等号右侧不是0，应先把右侧化为0，再解不等式．【解析】不等式()()5326x x +-≥可化为22790x x +-≤，即()()1290x x -+≤，解这个不等式，得912x -≤≤，所以该不等式的解集是912x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．5．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是（ ） A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n } 【答案】B【分析】不等式变形为最高次项系数为正，然后比较相应二次方程两根的大小后可不等式的解集．【解析】不等式变形为()()0x m x n -+<，方程()()0x m x n -+=的两根为,m n -，显然由0m n +>得m n >-，所以不等式的解为n x m -<<． 故选：B ．6．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +的值是（ ）A ．10B ．10-C ．14D ．14- 【答案】D【分析】根据题意可得方程220ax bx ++=的两根为12-和13，且0a <，由根与系数的关系列方程组，解方程组求得a 、b 的值即可求解．【解析】因为一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以方程220ax bx ++=的两根为12-和13，且0a <，所以112311223b a a⎧⎛⎫-+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：12a =-，2b =-，所以14a b +=-，7．已知p ：2230x x +-≤，q ：01x ax a -≤--，且p 的一个充分不必要条件是q 则的取值范围是（ ）A ．[]3,0-B ．(][),30,-∞-⋃+∞C ．()3,0-D ．()(),30,-∞-⋃+∞ 【答案】A【分析】先化简命题,p q 对应的不等式，由p 的一个充分不必要条件是q 确定包含关系，建立不等式即可求解.【解析】p ：2230x x +-≤，解得31x -≤≤． q ：01x ax a -≤--，解得1a x a ≤<+．若p 的一个充分不必要条件是q ， 则[)[],13,1a a +-Ü，故11,3,a a +≤⎧⎨≥-⎩，解得[]3,0a ∈-，故选：A ．8．若关于x 的不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，5)B ．(5，+∞)C ．(−4，+∞)D ．(−∞，4) 【答案】A【分析】设2()4f x x x a =--，由题意可得(5)0f >，从而可求出实数a 的取值范围 【解析】设2()4f x x x a =--，开口向上，对称轴为直线2x =， 所以要使不等式240x x a -->在区间(1，5)内有解，只要(5)0f >即可， 即25200a -->，得5a <， 所以实数a 的取值范围为(,5)-∞，9．在下列不等式中，与22x >同解的不等式是（ ）．A ．211233x x x +>+--B ．22x >C ．2(1)2(1)x x x -->--D ．2(2)2(2)x x x ->- 【答案】C【分析】求出每个选项中不等式的解，和原不等式对照其解是否相同即可.【解析】22x >的解为x <x >A.2221123330x x x x x ⎧>+>+⇒⇒⎨---≠⎩x <x 3x ≠，与22x >不同解；B.222210x x x x ⎧>⇒>⎨-≥⎩22x >不同解； C.22(1)2(1)2x x x x -->--⇒>，与22x >同解；D.()22220(2)2(2)2(2)020x x x x x x x ⎧->->-⇒-->⇒⎨->⎩或220220x x x ⎧-<⇒>⎨-<⎩或x <，与22x >不同解.故选：C.10．已知p ：x m ≥，q ：220x x +-<，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞- 【答案】B【分析】解一元二次不等式，写出命题p ，q 所对集合，再由集合的包含关系即可列式求解.【解析】解不等式220x x +-<得：1x <-或2x >，记命题p 所对集合[,)A m =+∞，命题q 所对集合(,1)(2,)B =-∞-⋃+∞， 由p 是q 的充分不必要条件得：A B ，于是得2m >， 所以实数m 的取值范围是()2,+∞. 故选：B11．若不等式222424mx mx x x +-<+对任意x ∈R 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(22]－,B ．(2,2)-C ．())2[2∞⋃-∞,-,+D ．(,2]-∞ 【答案】A【分析】等价于2(2)2(2)40<m x m x -+--，再对m 分类讨论得解. 【解析】解：原不等式等价于2(2)2(2)40<m x m x -+--， ①当2m =时，40,-<对任意的x 不等式都成立；②当20m <－时，24(2)16(2)0m m ∆=-+-<，所以22m -<<； ③当20m >－时，显然不能成立.综合①②③，得m 的取值范围是(22]－，. 故选：A12．已知集合{}240A t t =-≤，对于任意的t A ∈，使不等式221x tx t x +->-恒成立的x 的取值范围为（ ）A ．{1x x <或}3x >B ．{1x x <-或}3x >C ．{}1x x <-D ．{}3x x > 【答案】B【分析】解不等式求出集合A ，原不等式可转化为()()110x t x +-->对t A ∈恒成立，由1010x x t ->⎧⎨+->⎩或1010x x t -<⎧⎨+-<⎩即可求解.【解析】由240t -≤，得22t -≤≤，所以{}22A t t =-≤≤， 由不等式221x tx t x +->-对于任意的22t -≤≤恒成立，即不等式()2210x t x t +-+->对于任意的22t -≤≤恒成立，所以即不等式()()110x t x +-->对22t -≤≤恒成立， 所以只需1010x x t ->⎧⎨+->⎩或1010x x t -<⎧⎨+-<⎩对于任意的22t -≤≤恒成立，只需11x x t >⎧⎨>-⎩或11x x t <⎧⎨<-⎩对于任意的22t -≤≤恒成立. 因为113t -≤-≤，所以只需3x >或1x <-， 故选：B.二、多选题13．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞ 【答案】ABD【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【解析】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确；且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .14．对于给定的实数a ，关于x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ） A ．φB ．{}1x x a -<<C ．{}1x a x <<-D ．{1x x <或}x a > 【答案】ABC【分析】根据题意，通过讨论a 与0的大小关系，求出解集即可. 【解析】根据题意，易知0a ≠．当0a >时，函数()()1y a x a x =-+的图象开口向上，故不等式的解集为{1x x <-或}x a >． 当0a <时，函数()()1y a x a x =-+的图象开口向下，若1a =-，不等式的解集为φ； 若10a -<<，不等式的解集为{}1x x a -<<；若1a <-，不等式的解集为{}1x a x <<-． 故选：ABC ．15．设全集U =R ，集合{}260A x x x =-++>，{}2230B x x x =+-<，则（ ）A ．{}21AB x x ⋂=-≤<B ．{}33A B x x ⋃=-<<C ．(){}13R A B x x ⋂=<<ðD ．(){3R A B x x ⋃=≤-ð或}2x >- 【答案】BD【分析】先通过一元二次不等式的计算可得{}23A x x =-<<，{}31B x x =-<<，再根据集合的运算逐项计算即可得解.【解析】由题知{}23A x x =-<<，{}31B x x =-<<，{3R B x x =≤-ð或}1x ≥，所以{}21A B x x ⋂=-<<，故A 错误；{}33A B x x ⋃=-<<，故B 正确；(){}13R A B x x ⋂=≤<ð，故C 错误； (){3R A B x x ⋃=≤-ð或}2x >-，故D 正确.故选：BD ．16．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<，则能使不等式21()12()a x b x c ax ++-+<成立的x 可以为（ ）A ．{}|03x x <<B ．{}|0x x <C ．{}|3x x >D ．{|2x x <-或}1x > 【答案】BC【分析】根据不等式的解集求出,2b a c a =-=-，0a <，再把,,a b c 的关系代入不等式21()12()a x b x c ax ++-+<即得解.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x -<<， 所以1-和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <， 所以121,122b c aa-=-+==-⨯=-. 则,2b a c a =-=-.由21()12()a x b x c ax ++-+<，得230ax ax -<， 因为0a <，所以230x x ->， 解得0x <或3x >，所以不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0x x <或3}x >. 故选：BC17．(多选)若方程()22100ax x a ++=≠有两个不等的实数根1x ，2x 且12x x <，则( )A ．当0a >时，不等式2210ax x ++<的解集为{}12x x x x <<B ．当0a >时，不等式2210ax x ++<的解集为{1x x x <或}2x x >C ．若不等式2210ax x ++>的解集为{}12x x x x <<，则1>0xD ．若不等式2210ax x ++>的解集为{}12x x x x <<，则20x > 【答案】AD【分析】结合已知条件，分析一元二次函数221y ax x =++的开口方向以及与y 轴的交点即可求解.【解析】当0a >时，函数221y ax x =++的图象开口向上，所以不等式2210ax x ++<的解集为{}12x x x x <<，故A 正确，B 错误； 若不等式2210ax x ++>的解集为{}12x x x x <<，则0a <，函数221y ax x =++的图象开口向下，又函数221y ax x =++的图象过定点()0,1， 则10x <，20x >．故C 错误，D 正确． 故选：AD ．18．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）A ．224a b -≤B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c = 【答案】ABD【分析】根据集合{}20,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.【解析】由于集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，由于0a >，所以0b >.A ，()22224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==A 正确.B ，21144a b bb+=+≥，当且仅当114,,2b b a b ===B 正确.C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，则()()22212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确， 故选：ABD三、填空题19．不等式2120x x --≤的整数解构成的集合是_______． 【答案】{}3,2,1,0,1,2,3,4--- 【分析】解出不等式即可求出．【解析】由不等式2120x x --≤解得34x -≤≤，所以不等式2120x x --≤的整数解构成的集合是{}3,2,1,0,1,2,3,4---．故答案为：{}3,2,1,0,1,2,3,4---． 20．关于x 的不等式101mx mx +>-的解集为,1(),)1(-∞-⋃+∞，则实数m =______． 【答案】±1【分析】由分式不等式的解法，可将其等价变形为一元二次不等式求解，并通过解集待定系数得解 【解析】解：101mx mx +>-等价于(1)(1)0mx mx +->，即2210m x ->，若0m =,显然不等式无解，因此0m ≠ 解得()1,(,)1m x m-∞-⋃+∞∈,由已知解集为,1(),)1(-∞-⋃+∞ 可知1,1m m ==± 故答案为：±121．关于x 的不等式22(21)0()x a x a a a -+++≤∈R 的解集是_______． 【答案】[],1a a +【分析】因式分解后利用积的符号法则直接求解. 【解析】原不等式22(21)0()x a x a a a -+++≤∈R 可化为：()[](1)0x a x a --+≤解得：1a x a ≤≤+，所以原不等式的解集为：[],1a a + 故答案为：[],1a a +.22．不等式22911721x x x x -+≥-+的解集为______． 【答案】14,11,23⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【分析】将分式不等式通过移项，通分，转化为二次不等式求解，但要注意除去使分母为零的数值即可【解析】()()()22222222134911911647700021212115x x x x x x x x x x x x x x x +--+-+-≥⇔-≥⇔≤⇔≤-+-+---+ 即()()()22134010x x x ⎧+-≤⎪⎨-≠⎪⎩解得不等式的解集为14,11,23⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故答案为：14,11,23⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦23．不等式()()110x x -+>的解集是________． 【答案】(,1)(1,1)-∞-⋃-【分析】利用一元二次不等式的解法，分0x ≥和0x <讨论求解. 【解析】当0x ≥时，不等式化为()()110x x -+>，即()()110x x -+<， 解得01x ≤<，当0x <时，不等式化为()210x +>， 解得0x <且1x ≠-，综上：原不等式的解集是(,1)(1,1)-∞-⋃-， 故答案为：(,1)(1,1)-∞-⋃-24．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集. 【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13，即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.四、解答题 25．解下列不等式 (1)22730x x ++> ； (2)2830x x -+-> ；【答案】(1)12x x ⎧-⎨⎩或}3x <-(2){|44x x <【分析】（1）先判断判别式，进而求对应方程22730x x ++=的实数根，再结合对应二次函数图像求解即可；（2）先判断判别式，进而求对应方程2830x x -+-=的实数根，再结合对应二次函数图像求解即可； (1)解：因为27423250∆=⨯⨯=>-，所以方程()()22732130x x x x +=++=+有两个不等实根13x =-，212x =-.又二次函数2273y x x =++的图象开口向上，所以原不等式的解集为12x x ⎧-⎨⎩或}3x <-(2)解：因为2()(8413520)---⨯=∆=⨯>，所以方程2830x x -+-=有两个不等实根，4x ==即14x =24x =又二次函数283y x x =-+-的图象开口向下，所以原不等式的解集为{|44x x <． 26．解不等式： (1)3036x x -<-+； (2)1232x x +≥-． 【答案】(1){2x x <或}3x >；(2)}213x x ⎧<≤⎨⎩.【分析】（1）由题可得()()3360x x -->，即求；（2）由题可得()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，即得.(1) 由3036x x -<-+，可得3036x x ->-， ∴()()3360x x -->， 解得2x <或3x >，所以原不等式的解集为{2x x <或}3x >. (2) 由1232x x +≥-可得，155203232x x x x +-+-=≥--， ∴()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为}213xx ⎧<≤⎨⎩. 27．解下列一元二次不等式： (1)2210x -+>； (2)210x x +-<； (3)23540x x -+-≥； (4)()2214x -<；(5)()()()()12121x x x x ++<+-+；(6)()()3224x x ++>．【答案】(1)x x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭(2)x ⎧⎪<⎨⎪⎪⎩⎭(3)∅(4)1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(5)x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭(6)83x x ⎧<-⎨⎩或}0x >【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可. (1)二次方程221=0x -+有二重根，12x x ==则不等式2210x -+>的解集为x x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭(2)二次方程21=0x x +-有二根，12x x ==则不等式210x x +-<的解集为x ⎧⎪<⎨⎪⎪⎩⎭(3)不等式23540x x -+-≥可化为235+40x x -≤由()25434230--⨯⨯=-<可知，二次方程235+4=0x x -无根，则不等式235+40x x -≤的解集为∅ 故不等式23540x x -+-≥的解集为∅ (4)不等式()2214x -<可化为24430x x --< 二次方程2443=0x x --有二根，1213,22x x =-=则不等式24430x x --<的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故不等式()2214x -<的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(5)不等式()()()()12121x x x x ++<+-+可化为22+210x x -<二次方程22+21=0x x -有二根，12x x则不等式22+210x x -<的解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭故不等式()()()()12121x x x x ++<+-+的解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭(6)不等式()()3224x x ++>可化为23+80x x > 二次方程23+8=0x x 有二根，1280,3x x ==-则不等式23+80x x >的解集为83x x ⎧<-⎨⎩或}0x >故不等式()()3224x x ++>的解集为83x x ⎧<-⎨⎩或}0x >28．若不等式20x ax b --<的解集是{}23x x <<，求不等式210bx ax --≥的解集．【答案】1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【分析】根据不等式的解集求得,a b 的值，把不等式210bx ax -->化为26510x x --->，结合不等式的解法，即可求解.【解析】由题意，不等式20x ax b --<的解集是{}23x x <<， 可得2和3是一元二次方程20x ax b --=的两个实数根，所以2323a b+=⎧⎨⨯=-⎩，解得5a =，6b =-，所以不等式210bx ax -->化为26510x x --->，即()()265131210x x x x +=++<+，解得1123x -<<-，∴不等式210bx ax --≥的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．29．设:1p x ≤-或3x ≥，()2:10q x a x a +++≥．(1)若3a =-时，p 是q 的什么条件？(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 【答案】(1)充要条件； (2)(,3)-∞-.【分析】（1）根据解一元二次不等式的方法，结合充分性、必要性的定义进行求解判断即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可. (1)因为3a =-，所以2230x x --≥，解得1x ≤-或3x ≥， 显然p 是q 的充要条件；(2)()210()(1)0x a x a x a x +++≥⇒++≥，当1a =时，该不等式的解集为全体实数集，显然由p q ⇒，但q p ⇒不成立，因此p 是q 的充分不必要条件，不符合题意；当1a >时，该不等式的解集为：(,][1,)a -∞--+∞，显然当1x ≥-时，3x ≥不一定成立， 因此p 不是q 的必要不充分条件，当1a <时，该不等式的解集为：(,1][,)a -∞-+∞，要想p 是q 的必要不充分条件， 只需33a a ->⇒<-，而1a <，所以3a <-， 因此a 的取值范围为：(,3)-∞-.30．已知关于x 的不等式组22302x x x a ⎧--≤⎪⎨-≤⎪⎩．(1)当01a <<时，求该不等式组的解集；(2)若该不等式组的解集为空集，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)[]1,2a -+ (2)3a <-或5a >【分析】（1）根据题意列式子得到1322x a x a -≤≤⎧⎨-≤≤+⎩，再根据01a <<，两者取交集即可；（2）不等式解集为空集，即这两个不等式1322x a x a -≤≤⎧⎨-≤≤+⎩无交集，即21a +<-或23a ->.(1)解不等式组得1322x a x a -≤≤⎧⎨-≤≤+⎩．因为01a <<，所以,)21(2a --∈-，()22,3a +∈，所以不等式组的解集为[]1,2a -+(2)由不等式组的解集为空集，得这两个不等式1322x a x a -≤≤⎧⎨-≤≤+⎩无交集， 即21a +<-或23a ->，解得3a <-或5a >.31．{}13A x x =≤≤，()(){}10B x x x a =--≤，若B A ⊆，求a 的取值范围．【答案】13a ≤≤【分析】根据B A ⊆可知B 是A 的子集，再分类讨论1a >、1a =、1a <三种情况，最后取并集.【解析】(1)当1a >时，{}1B x x a =≤≤，{}13A x x =≤≤．∵B A ⊆，∴13a <?．(2)当1a =时，(){}{}2101B x x =-≤=，满足B A ⊆，∴1a =也适合题意．(3)当1a <时，{}1B x a x =≤≤，B A ⊆不成立．综上所述，13a ≤≤．32．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围．【答案】(1)13k = (2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解；（2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根，所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =；(2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max 12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭ 因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=， 所以2max 1132x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 33．已知关于x 的不等式()()2440kx k x --->，其中k ∈R .（1）当2k =时，求不等式的解集A ；（2）当2k ≠时，求不等式的解集A ；（3）对于k ∈R 时，不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）.试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由.【答案】（1）(,4)4+A =-∞∞（，）（2）答案见解析（3）能，{}3,2,1,0,1,2,3B =---【解析】（1）直接解一元二次不等式即得；（2）根据k 的正负，两根44,k k+的大小分类讨论求解不等式即可；（3）对k 分类讨论，若0k ≥，则B 中会有无穷个数，当0k <时，不等式的解集是一区间4(,4)k k +，从而B 有有限个数． 【解析】（1）当2k =时，不等式为(28)(4)0x x -->，即2(4)0x ->，∴4x ≠，即解集为(,4)4+A =-∞∞（，）；（2）当0k =时，由原不等式可得40x -<，4x ∴<，(,4)A ∴=-∞，当k >0且k ≠2时，44,k k <+由()()2440kx k x --->得4x <或4x k k>+， 4(,4)(,)A k k∴=-∞++∞ 当k<0时，44k k +<，由()()2440kx k x --->可得44k x k+<<， 4(,4)A k k∴=+. （3）由(1)(2)知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限;当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集.因为44k k+≤-，当且仅当2k =-时取等号，所以当k =―2时，集合B 的元素个数最少.此时(4,4)A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---.【点睛】关键点点睛：本题考查解一元二次不等式，解一元二次不等式通常要掌握“三个二次”之间的关系．要注意分类讨论二次项系数的正负，要利用判别式讨论相应的二次方程是否有实数解，在有实数解的情况下还要讨论两根的大小，这样才能得出正确的结论．。

解含参数的一元二次不等式例1.解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.【解】易知原不等式可化为()(1)0x a x -+<,其对就方程的两根为1,a -,所以(1)当1a =-时,则不等式2(1)0x +<, 则x ∈∅;(2)当1a <-时,则不等式的解集为(,1)x a ∈-;(3)当1a >-时,则不等式的解集为(1,)x a ∈-.例2.解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R ---<∈.【解】(1)当0a =时,不等式可化为10x -<,即1x <;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x +-<,其对应方程两根为11,a -,所以 ①当0a >时,显然101a -<<,所以原不等式的解为1(,1)x a ∈-; 当0a <时,有10a->,所以, ②当1a =-时,11a-=,原不等式可化为2(1)0x --<,其解为1x ≠; ③当10a -<<时,有11a ->,则不等式的解为1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ④当1a <-时,有11a -<,则不等式的解为1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; 综上(1)(2)可知,原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集)①当1a <-时,有1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; ②当10a -≤<时,有1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ③当0a =时,有(,1)x ∈-∞;④当0a >时,有1(,1)x a∈-. 例3.解关于x 的不等式220ax x a -+<.【解】(1)当0a =时,原等式可化为20x -<,即有0x >;(2)当0a ≠时,不等式对应方程的24(1)a ∆=-,所以,1)当0∆<,即1a >或1a <-时,有①当1a >时,不等式的解为x ∈∅;②当1a <-时,不等式的解为x R ∈;2)当0∆=,即1a =±时,有③当1a =时,不等式的解为x ∈∅;④当1a =-时,不等式的解为1x ≠-;3)当0∆>,即10a -<<或01a <<时,对应方程的两根为x =所以⑤当01a <<时,,故不等式的解为;⑥当10a -<<时,,故不等式的解为:()x ∈-∞+∞ . 综上(1)、(2)可知原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集) ①当1a <-时,有x R ∈;②当10a -≤<时,有()x ∈-∞+∞ ; ③当0a =时,有(0,)x ∈+∞;④当01a <<时有x ∈; ⑤当1a ≥时,有x ∈∅.〖小结〗一般地,关于x 的不等式2()()()0(0)p a x q a x r a ⋅+⋅+>≤(其中(),(),()p a q a r a 都是关于a 的简单多项式)的解法———分类讨论法,过程如下:(1)首先,讨论二次项系数()p a 符号(等于0优先);(2)其次,当()0p a ≠时,对应方程因式分解或讨论其判别式∆的符号(0,0∆<∆=优先);(3)再次,当0∆>时,讨论对应方程两根12(),()x a x a 的大小.(4)最后,按参数a 从小到大的顺序将不等式的解集分别陈述总结,能合并则合并起来. 〖巩固练习〗1.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<.【解】(1)当0a =时,不等式为10x -+<,得1x >;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x --<,其对应方程两根为1,1a; ①当0a <时,显然101a <<,则不等式的解为1x >或1x a<; ②当0a >时,1)当1a =时,不等式为2(1)0x -<,即x ∈∅;2)当01a <<时,11a >,则不等式的解为11x a<<; 3)当1a >时,11a <,则不等式的解为11x a<<. 综上可知,不等式的解集为①当0a <时,1(,)(1,)x a∈-∞+∞ ; ②当0a =时,(1,)x ∈+∞;③当01a <<时,1(1,)x a∈; ④当1a =时,x ∈∅;⑤当1a >时,1(,1)x a∈. 2.解不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 【解】原不等式可化为(1)(2)0[(1)(2)](2)02a x a a x a x x --->⇔---->- 由于1a ≠,故其对应的方程两根为212,111a a a -=---,所以 (1)当1a >时,显然11121a -<<-,故不等式的解为2{|,2}1a x x x a -<>-或; (2)当1a <时,所以①当0a =时,有221a a -=-,故不等式2(2)0x -->的解为x ∈∅; ②当01a <<时,有221a a ->-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; ③当0a <时,有221a a -<-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; 综上(1)、(2)可知,原不等式的解为:①当0a <时,有2{|2}1a x x a -<<-;②当0a =时,有x ∈∅; ③当01a <<时,有2{|2}1a x x a -<<-;④当1a >时,有2{|,2}1a x x x a -<>-或.。