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2014年上海市高考数学考试大纲（考试手册）一、考试性质上海市数学科高考的指导思想是有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育和对学生创新精神与实践能力的培养。
它是2012年全日制高中阶段毕业生和具有同等学力的考生报考理工农医类、文史类各专业的选拔性考试。
二、考试目标考查学生的数学基本知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力，以及数学探究与创新能力。
具体考察目标为：Ⅰ.数学基本知识和基本技能Ⅰ.1理解或掌握初等数学中有关数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何的基本知识。
Ⅰ2.领会集合、对应、函数、算法、数学建模、概率、统计以及化归、数形结合、分类讨论、分解与组合等基本数学思想，掌握坐标法、参数法、逻辑划分和等价转换等基本数学方法。
Ⅰ.3能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理；掌握数学阅读、表达以及文字语言、图形语言、符号语言之间进行转换的基本技能，会使用函数型计算器进行有关计算。
Ⅱ.逻辑思维能力Ⅱ.4能从数学的角度有条理地思考问题。
Ⅱ.5具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力。
Ⅱ.6会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。
Ⅱ.7会正确而简明的表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性。
Ⅲ.运算能力Ⅲ.8理解数和式的有关算理。
Ⅲ.9能根据法则准确地进行运算、变形。
Ⅲ.10能够根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。
Ⅲ.11能通过运算，对问题进行推理和探求。
Ⅳ.空间想象能力Ⅳ.12能根据条件画出正确的图形。
Ⅳ.13能根据图形想象出直观形象。
Ⅳ.14能正确地分析图形中的基本元素和相互关系。
Ⅳ.15能对图形进行分解、组合和变形。
Ⅳ.16会选择适当的方法对图形的性质进行研究。
Ⅴ.分析问题与解决问题的能力Ⅴ.17能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步运用。
2019年贵州师范大学硕士研究生入学考试大纲《高等数学》（科目代码：601）一、考试形式与试卷结构1. 试卷满分及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2. 答题方式答题方式为闭卷、笔试。
试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸（由考点提供）相应的位置上。
二、复习要求全日制攻读硕士学位研究生入学考试高等数学科目考试内容包括高等数学上、下册基础课程，要求考生系统掌握相关学科的基本知识、基础理论和基本方法，并能运用相关理论和方法分析、解决相关的一些实际问题。
三、考试内容与要求第一部分极限与连续1、考试内容函数概念及其表示法，函数的几种特性，反函数，复合函数，初等函数，双曲函数与反双曲函数；数列极限，函数极限，极限运算法则，无穷小与无穷大量，无穷小的比较，极限存在准则及两个重要极限，函数的连续性，函数的间断点，初等函数的连续性，闭区间上函数连续的性质。
2、考试要求2.1 理解函数的概念;了解函数的单调性、周期性、奇偶性等。
2.2. 理解反函数和复合函数的概念。
2.3. 理解基本初等函数的性质及图形。
2.4. 能列出简单实际问题中的函数关系。
2.5.了解极限的ε-N,ε-δ定义，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。
2.6 掌握极限的四则运算。
2.7 理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会用两个重要极限求极限。
2.8 理解无穷小,无穷大的概念,掌握无穷小的比较。
2.9 理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。
2.10 了解初等函数的连续性,知道连续函数在闭区间上的连续性(介值定理和最值定理) 等。
第二部分一元函微分学1、考试内容导数概念，函数求导法则，基本初等函数的导数及初等函数的求导问题，高阶导数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，函数微分的概念，基本初等的微分及微分运算法则，微分在近似计算及误差估计中的应用；中值定理，罗必塔法则，泰勒公式，函数单调性的判定法，函数极值及其求法、最大值、最小值的求法，曲线的凹凸与拐点，函数图形的作法。
2014高考数学大纲——知识点总结(一)必考内容与要求1. 集合(1) 集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。
②能用自然语言、图形语言、几何语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。
(2) 集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
(3) 集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会要求给定及子集的补集。
③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系与运算。
2. 函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数。
幂函数)(1) 函数①了解构成函数的要素，会简单求一些简调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。
③知道对数函数是一类重要的函数模型。
④了解指数函数与对数函数互为反函数(a﹥0，且a≠1)(4) 幂函数①了解幂函数的概念。
②结合函数的图像，了解它们的变化情况。
(5) 函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
③根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
(6) 函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对数增长等不同函数类型增长的含义。
②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
3.立体几何初步(1)认识空间几何①认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物理的结构。
②能画出简单空间图形(长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的指示图。
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同形式。
④会画某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)。
601高等数学考试大纲一、课程概述高等数学是理工科专业学生的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维和分析问题的能力。
本课程内容广泛，涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等数学分支，为学生进一步学习专业课程打下坚实的数学基础。
二、考试目标通过本课程的学习和考核，学生应能够：1. 掌握微积分的基本理论、方法和应用。
2. 理解线性代数的基本概念和运算规则。
3. 熟悉常微分方程的求解技巧和实际应用。
4. 培养解决实际问题时的数学建模能力。
三、考试内容1. 微积分部分- 极限与连续性：理解极限的概念，掌握极限的运算法则，理解函数的连续性。
- 导数与微分：掌握导数的定义、几何意义及物理意义，理解高阶导数，掌握微分法则。
- 微分中值定理及其应用：理解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，掌握洛必达法则。
- 积分学：掌握不定积分和定积分的计算方法，理解积分的几何意义和物理意义，掌握换元积分法和分部积分法。
- 级数：理解级数的收敛性，掌握几何级数、调和级数等常见级数的求和方法。
2. 线性代数部分- 矩阵理论：理解矩阵的运算规则，掌握矩阵的转置、逆矩阵和行列式。
- 线性方程组：掌握高斯消元法和克拉默法则，理解线性方程组的解的结构。
- 向量空间：理解向量空间的概念，掌握基、维数和坐标变换。
3. 常微分方程部分- 一阶微分方程：掌握可分离变量方程、齐次方程和非齐次方程的解法。
- 高阶微分方程：理解特征方程法、降阶法和常系数线性微分方程的解法。
- 微分方程的应用：理解微分方程在物理、工程等领域的应用。
四、考试形式考试将采用闭卷笔试的形式，题型包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
考试将全面考察学生对高等数学知识的掌握程度和应用能力。
五、评分标准1. 选择题和填空题：主要考察学生对基本概念和基本运算的掌握。
2. 计算题：考察学生的计算能力和对公式的熟练运用。
3. 证明题：考察学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
4. 应用题：考察学生将数学知识应用于实际问题的能力。
2014高考考试大纲2014年的高考考试大纲是针对中国普通高中毕业生参加的全国统一考试的指导性文件。
它详细规定了各科目的考试内容、考试形式、题型和分值分布，为考生提供了复习和准备的方向。
语文：语文考试大纲强调了对考生阅读、写作和语言表达能力的考查。
考试内容包括现代文阅读、古诗文阅读、语言知识运用和写作四个部分。
现代文阅读部分要求考生能够理解和分析文章内容，古诗文阅读则考查对古代文学的理解与鉴赏。
语言知识运用部分测试考生对汉语语法、修辞等知识的掌握。
写作部分则要求考生能够根据给定材料或题目，写出符合逻辑、语言流畅的文章。
数学：数学考试大纲分为文科数学和理科数学两部分。
文科数学主要考查基础数学知识，如函数、几何、概率统计等，而理科数学则在此基础上增加了更深入的数学内容，如微积分、线性代数等。
考试形式包括选择题、填空题和解答题，旨在考查学生的数学思维和解题能力。
英语：英语考试大纲注重考生的听说读写能力。
考试内容涵盖词汇、语法、阅读理解、写作和听力。
阅读理解部分要求考生能够理解不同文体的文章，并从中提取信息。
写作部分则考查考生的英语表达能力，要求考生能够根据给定的题目或材料，写出结构清晰、语言准确的短文。
文科综合：文科综合考试包括政治、历史、地理三个学科。
考试大纲要求考生对这三个学科的基础知识有全面的了解，并能够运用这些知识分析和解决实际问题。
考试形式可能包括选择题、填空题、简答题和论述题。
理科综合：理科综合考试包括物理、化学、生物三个学科。
考试大纲强调对基础科学原理和概念的理解，以及科学探究和实验技能的掌握。
考试形式多样，旨在考查学生的科学思维和实验操作能力。
考试形式与分值：高考考试通常为闭卷考试，考试时间一般为两天。
语文、数学和英语各科满分为150分，文科或理科综合满分为300分。
考试形式可能包括选择题、填空题、简答题、论述题和作文等。
复习建议：考生在复习时应该注重基础知识的掌握，同时加强练习，提高解题速度和准确率。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（大纲版）数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1.设z=，则z的共轭复数为( )A. -1+3iB. -1-3iC. 1+3iD. 1-3i解析：∵z==，∴.答案：D.2.设集合M={x|x2-3x-4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=( )A. (0，4]B. [0，4)C. [-1，0)D. (-1，0]解析：由x2-3x-4＜0，得-1＜x＜4，∴M={x|x2-3x-4＜0}={x|-1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|-1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4).答案：B.3.设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则( )A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. c＞a＞b解析：由诱导公式可得b=cos55°=cos(90°-35°)=sin35°，由正弦函数的单调性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a答案：C4.若向量、满足：||=1，(+)⊥，(2+)⊥，则||=( )A. 2B.C. 1D.解析：由题意可得，(+)•=+=1+=0，∴=-1；(2+)•=2+=-2+=0，∴b2=2，则||=，答案：B.5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种解析：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有15×5=75种；答案：C.6.已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A. +=1B. +y2=1C. +=1D. +=1解析：∵△AF1B的周长为4，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1.答案：A.7.曲线y=xe x-1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 1解析：函数的导数为f′(x)=e x-1+xe x-1=(1+x)e x-1，当x=1时，f′(1)=2，即曲线y=xe x-1在点(1，1)处切线的斜率k=f′(1)=2，答案：C.8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.B. 16πC. 9πD.解析：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=(4-R)2+()2，∴R=，∴球的表面积为4π•()2=.答案：A.9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=( )A.B.C.D.解析：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|-|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===，答案：A.10.等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于( )A. 6B. 5C. 4D. 3解析：∵等比数列{a n}中a4=2，a5=5，∴a4·a5=2×5=10，∴数列{lga n}的前8项和S=lga1+lga2+…+lga8=lg(a1·a2…a8)=lg(a4·a5)4=4lg(a4·a5)=4lg10=4答案：C11.已知二面角α-l-β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，∵AB⊥l，∴∠BAE=60°，又∠ACD=135°，∴∠EAF=45°，在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===.答案：B.12.函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，则y=f(x)的反函数是( )A. y=g(x)B. y=g(-x)C. y=-g(x)D. y=-g(-x)解析：设P(x，y)为y=f(x)的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′(y，x)一点在y=f(x)的图象上，又∵函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x+y=0对称，∴P′(y，x)关于直线x+y=0的对称点P″(-x，-y)在y=g(x)图象上，∴必有-y=g(-x)，即y=-g(-x)∴y=f(x)的反函数为：y=-g(-x)答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.的展开式中x2y2的系数为.(用数字作答)解析：的展开式的通项公式为 T r+1=·(-1)r•·=·(-1)r··，令 8-=-4=2，求得 r=4，故展开式中x2y2的系数为=70，答案：70.14.设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为.解析：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C(1，1).化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得. 由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大.此时z max=1+4×1=5.答案：5.15.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于.解析：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A(1，3)在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，答案：.16.若函数f(x)=cos2x+asinx在区间(，)是减函数，则a的取值范围是. 解析：由f(x)=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=-2t2+at+1.∵x∈(，)时f(x)为减函数，则y=-2t2+at+1在t∈(，1)上为减函数，∵y=-2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=.∴，解得：a≤2.∴a的取值范围是(-∞，2].答案：(-∞，2].三、解答题17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B.解析：由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)即可得出.答案：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=.∴tanB=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=-1，∵B∈(0，π)，∴B=点评：本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公18.(12分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4.(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=，求数列{b n}的前n项和T n.解析：(Ⅰ)由题意得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得d=-3，即可写出通项公式；(Ⅱ)利用裂项相消法求数列和即可.答案：(Ⅰ)由a1=10，a2为整数，且S n≤S4得a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0，解得-≤d≤-，∴d=-3，∴{a n}的通项公式为a n=13-3n.(Ⅱ)∵b n==(-)，∴T n=b1+b2+…+b n=(-+-+…+-)=(-)=.19.(12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2.(Ⅰ)证明：AC1⊥A1B；(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的大小.解析：(Ⅰ)由已知数据结合三垂线定理可得；(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，解三角形由反三角函数可得. 答案：(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，由三垂线定理可得AC1⊥A1B；(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，由三垂线定理可得A1F⊥AB，∴∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD==1可知D为AC中点，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1-AB-C的大小为arctan20.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解析：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)P(D)=P()，代入计算即可，(Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PX i，再利用数学期望公式计算即可.答案：记A i表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备(Ⅰ)D=，P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i)=所以P(D)=P()=P(A1·B·C)+P(A2•B)+P()=0.31 (Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25P(X=4)=P(A2•B•C)=0.52×0.6×0.4=0.06，P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38.故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.21.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.解析：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0，4)，把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x=my+1 (m≠0)，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|= |MN|，求得m的值，可得直线l的方程.答案：(Ⅰ)设点Q的坐标为(x0，4)，把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px(p＞0)，可得x0=，∵点P(0，4)，∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=-2(舍去).故C的方程为 y2=4x.(Ⅱ)由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，设l的方程为 x=my+1 (m≠0)，代入抛物线方程可得y2-4my-4=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=-4.∴AB的中点坐标为D(2m2+1，2m)，弦长|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又直线l′的斜率为-m，∴直线l′的方程为 x=-y+2m2+3.过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y-4(2m2+3)=0，∴y3+y4=，y3•y4=-4(2m2+3).故线段MN的中点E的坐标为(+2m2+3，)，∴|MN|=|y3-y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4(m2+1)2++=，化简可得 m2-1=0，∴m=±1∴直线l的方程为 x-y-1=0，或 x-+y-1=0.22.(12分)函数f(x)=ln(x+1)-(a＞1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设a1=1，a n+1=ln(a n+1)，证明：＜a n≤.解析：(Ⅰ)求函数的导数，通过讨论a的取值服务，即可得到f(x)的单调性；(Ⅱ)利用数学归纳法即可证明不等式.答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1，+∞)，f′(x)=，①当1＜a＜2时，若x∈(-1，a2-2a)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，a2-2a)上是增函数，若x∈(a2-2a，0)，则f′(x)＜0，此时函数f(x)在(a2-2a，0)上是减函数，②当a=2时，f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，③当a＞2时，若x∈(-1，0)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(-1，0)上是增函数，若x∈(0，a2-2a)，则f′(x)＜0，此时函数f(x)在(0，a2-2a)上是减函数，若x∈(a2-2a，+∞)，则f′(x)＞0，此时函数f(x)在(a2-2a，+∞)上是增函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a=2时，此时函数f(x)在(-1，+∞)上是增函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)＞f(0)=0，即f(x+1)＞，(x＞0)，又由(Ⅰ)知，当a=3时，f(x)在(0，3)上是减函数，当x∈(0，3)时，f(x)＜f(0)=0，f(x+1)＞，下面用数学归纳法进行证明＜a n≤成立，①当n=1时，由已知，故结论成立.②假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，a n+1=ln(a n+1)＞ln()，a n+1=ln(a n+1)＜ln()，即当n=k+1时，成立，综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
西安财经学院硕士研究生入学考试初试考试大纲考试科目：理学数学考试科目代码：601适用专业：统计学参考书目：[1] 同济大学数学系主编. 高等数学（上、下）（第六版），高等数学出版社.[2] 同济大学数学系主编. 线性代数（第五版），高等数学出版社.[3] 《概率论与数理统计》（第四版）.浙江大学盛骤.谢式千.潘承毅编.高等教育出版社.考试总分：150分考试时间：3小时考试内容之高等数学函数、极限、连续考试要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.了解数列极限和函数极限的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最值定理、介值定理)，并会应用这些性质.一元函数微分学考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒定理和柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用.6.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.一元函数积分学考试要求1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿——莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题.4.了解反常积分的概念，会计算简单反常积分.多元函数微积分学考试要求1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题.5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标和极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.无穷级数考试要求1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及P -级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛域的和函数.6.了解 x e 、x sin 、x cos 、)1ln(x +及α)1(x +的麦克劳林(Maclaurin)展开式.常微分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.会用微分方程求解简单的经济应用问题.考试内容之线性代数行列式考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.矩阵考试要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法.5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则.向量考试要求1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则.2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法.线性方程组考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组.2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法.3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.矩阵的特征值和特征向量考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法.2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为对角矩阵的方法.3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.二次型考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.考试内容之概率论与数理统计随机事件和概率考试要求1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等.3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.随机变量及其分布考试要求1.理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用.3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用.5.会求随机变量函数的分布.多维随机变量及其分布考试要求1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质.2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布.3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系.4.掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义.5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布.随机变量的数字特征考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.3.了解切比雪夫不等式.大数定律和中心极限定理考试要求1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律).2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.数理统计的基本概念考试要求1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.2.了解产生离散型随机变量、连续性随机变量的典型模式，了解正态分布和标准正态分布、均匀分布、指数分布以及分布的双侧分位数，会查相应的数值表.3.掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布.4.了解经验分布函数的概念和性质.试卷结构选择题（24分）、填空题（32分）、解答题（94分）.。
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r（ ）A ．2BC ．1D ．25.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 C．4 D．310.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 BCD ．1212.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答）14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小.120. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分） 函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科答案1. D ．2. B.3. C ．4. B ．5. C ．6. A ．7. C ．8．A ．9. A ．10.C ． 11. B.12. D. 13. 70. 14.5. 15．43． 16.(],2-∞． 17.解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\=Q ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. 解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA与平面11BCC B 的距离，1A E =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C--的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BC DF A FD ABDF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内． （I）设()1,0,A a c ，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC ACAA a c BA a c =-=-=-=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r由12AA =u u u r 得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^u u u u r u u u r ．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =u r则1,,m CB m BB ^^u r u u u r u r u u u r即10,0m CBm BB ??u r u u u ru r u u u r ．()0,1,0,CB =u u u rQ()112,0,,BB AA a c ==-u u u r u u u r故0y =，且()20a xcz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-u r，点A到平面11BCC B 的距离为cos ,CA m CA m CAcm×?==u u u r u r u u u r u r u u u r u r ．又依题设，点A 到平面11BCC B 的距离为c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0,AA =-u u u r．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =r，则1,n AA n AB ^^r u u u rr u u u r ，即10,0,0n AA n ABp ??\-+=r u u u rr u u u r，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==)n =r．又()0,0,1p =u r为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p ⋅==⋅r u rr u r r u r ，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. 解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m +-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m mm +骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。
