北部湾九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径习题课件新版新人教

夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展
◆要点导航
◆典例全解
▲题型一
▲题型二 ▲题型三
◆反馈演练
§基础夯实 §能力跃升 §思维拓展

3.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下选项中不一定成立的是D (A.CE) ＝DE B. ＝ C.∠BAC＝∠BAD D.OE＝BE
4.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴 交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为 ，那么点P的坐标为 ________. (3，2)
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:42:4309:42:4309:422/28/2022 9:42:43 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2809:42: 4309:4 2Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。09:42:4309:42:4309:42M onday, February 28, 2022 13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2809:42:4309:42:43Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午9时42分43秒09:42:4322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午9时42分22.2.2809:42Februar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 9时42分43秒09:42:4328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时42分43秒 上午9时42分09:42:4322.2.28
.7米
D.8米
7.在直径为200 cm的圆柱形油箱内装入一些油后，截面如下图(油面在圆心 下).假设油面的宽AB＝160 cm，那么油的最大深度为40________cm.

如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？ 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
C
·O
E B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
垂径定理三种语言
• 1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
D 老师提示:
A⌒D=B⌒D.
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵ r2 d 2 (a)2 2
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
C
·O
E B
D
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
平分Ａ⌒Ｂ 及 Ａ⌒ＣＢ
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
教材88页习题24.1 7、8 ；
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More

E
AD=BD
1．如图，在⊙O中，弦
AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求
A
E
B
⊙O的半径。
O·
2.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.23m
37m
C
A
E
B
O
在直径为650毫米的圆柱形油槽 内装入一些油后，截面如图所示 。若油面宽AB＝600毫米，求油 的最大深度。
O
B
以上结论是否仍 A 成立？
EB D 演示
已知：在⊙O中，CD是直径，AB
C
是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，A⌒C＝B⌒C，
⌒⌒
AD＝ BD 。
·O
E
A
B
D
叠合法
The exploration discovered
• 垂径定理:垂直于弦的直径平
C
分弦，并且平分弦所对的两条
弧。
O
• 即：如果CD过圆心，且垂直 A
24.1.2垂直于弦的直径
赵州桥主桥拱的半径是多少 ？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨 度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距 离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
?
不借助任何工具，你能找到圆形 纸片的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何一 条直径所在直线都是它的对称轴．
思考：
1、图中有哪些相等的量？
2.AB作怎样的变换时， AC=BC, AD=BD？ C
3、将弦AB进行
平移时，以上 A O

用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
探究新知
知识点 1
圆的轴对称性
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径
对折，重复几次，你发现了什么？由此
你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是
它的对称轴．
探究新知
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴
课堂检测
能力提升题
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆
的弦AB交小圆于C，D两点. 你认为AC和BD有什么
关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE.
即 AC＝BD.
O
.
A
C
E D
B
课堂检测
拓广探索题
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点
2
2
又 ∵AC = AB,
∴ AE = AD.
∴ 四边形ADOE为正方形.
B
探究新知
素养考点 3
垂径定理的实际应用
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入
中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
探究新知
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
R 2 3002 R 90 .
2
解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.
课堂小结
内容
推论
垂径定理
辅助线
基本图形及
变式图形
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦

的弦等于_2___5__c_m_____．
B
O
D
P E
C
A
7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，
点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上
的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯
路的半径．
解:连接OC．
C E
F ●O D
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
C
D
B
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2
R O
解得 R≈27.9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
2． 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
C
O
E
A
B
D
3．垂径定理的推论
2
2
C
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形． E
·O
A
D
B
4． 在直径是20cm的⊙O中，A B 的度数 是60°，那么弦AB的弦心距是_5___3 _c_m__．
O
D
A
B
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
则这弓形所在的圆的半径为_1__3 __c_m__． 4
C
A
D
B
O
6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短
4平．分作线A，C的交垂A⌒C直 于点F． 5． 点G同理．
D A
C E
B
点D、C、E就是A⌒B的四等分点．

（1）求证：BC=BD； （2）若CD=6，求⊙O的半径长． 解：（1）连接OC． ∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CH=DH，BC=BD．
练习巩固，综合应用
（2）连接OC．
∵CD平分OA，设⊙O的半径为r，
1 2．利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．
则OH= r． 5．如图，AB是⊙O的直径，作半径OA的垂直平分线，交⊙O于C，D两点，垂足为H，连接BC，BD．
( ( ( (
合作探究，形成知识
AE=BE，AD =BD，AC = BC 即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 这个定理也叫垂径定理。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
合作探究，形成知识
垂径定理的证明：
证明：如图所示，连接OA，OB，得到等腰△OAB， 即OA=OB． 因为CD⊥AB， AE=BE， = ， =
点A与点B重合，弧AC与弧BC重合．因此AM=BM，弧AC与弧BC，同理可得到弧AD与弧BD．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
例题应用，深化提高
解：如图，用弧AB表示主桥拱，AB 设弧AB所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相
交于点C，连接OA．根据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中
点，CD就是拱高．
由题设可知，AB=37 m，CD=7.23 m，所以
AD 1 AB 1 37 18.（5 m），OD=OC-CD=R-7.股定理，得
C
OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+(R-7.23)2． 解得R≈27.3(m)． 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．

3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横