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1.1.2-1.1.3四种命题四种命题间的相互关系
一、选择题
1．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
[答案] D
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
[答案] D
[解析] －1<x<1的否定为x≤－1或x≥1，
x2<1的否定为x2≥1，
故逆否命题为“若x≤－1或x≥1，则x2≥1”，故选D．
3．命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”，则( )
A．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
B．该命题的逆命题为真，逆否命题也假
C．该命题的逆命题为假，逆否命题为真
D．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
[答案] C
[解析] 如：当c＝0时，方程x2＋x＋c＝0有实数解，
该命题的逆命题“若方程x2＋x＋c＝0有实数解，则c<0”是假命题；
若c<0，则Δ＝1－4c>0，命题“若c<0，则方程x2＋x＋c＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．
4．若直线a⊥平面α内两条直线，则直线a⊥平面α；则它和它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 原命题是假命题，故其逆否命题是假命题，而原命题的逆命题是真命题，故其
否命题是真命题．
5．对于实数a ，b ，c ，下列命题中是真命题的是( ) A ．若a >b ，则ac >bc B ．若ac 2>bc 2
，则a >b C ．若a >b ，则ac 2
>bc 2
D ．若a >b ，则1a <1
b
[答案] B
[解析] ∵ac 2
>bc 2
，又∵c 2
>0，∴a >b .
6．给出命题：①若x 2
－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2；②若－2≤x <3，则(x ＋2)(x －3)≤0；③若x ＝y ＝0，则x 2
＋y 2＝0；④x ，y ∈N ＋，若x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．那么( )
A ．①的逆命题为真
B ．②的否命题为真
C ．③的逆否命题为假
D ．④的逆命题为假
[答案] A
[解析] ①的逆命题为：若x ＝1或x ＝2，则x 2
－3x ＋2＝0，为真命题；②的否命题为：若x <－2或x ≥3，则(x ＋2)(x －3)>0，但当x ＝3时，(x ＋2)(x －3)＝0，所以否命题为假；③原命题为真，则其逆否命题为真；④的逆命题为：x ，y ∈N ＋，若x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，则x ＋y 是奇数，显然为真．
二、填空题
7．命题“若a >1，则a >0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)． [答案] 真
[解析] ∵原命题为真，∴其逆否命题为真．
8．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________.
[答案] 逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：x ＋y ≠8，则x ≠3或y ≠5.
9．命题“若a >b ，则2a
>2b
”的否命题是________，为________(填“真”或“假”)命题．
[答案] 若a ≤b ，则2a
≤2b
真
[解析] 指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以其否命题为真． 三、解答题
10．把命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
[解析] “若p ，则q ”的形式：
若两个三角形全等，则它们的面积相等．
逆命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．
否命题：若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
逆否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等．
一、选择题
1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
[答案] B
[解析] 命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
[答案] C
[解析] 解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
p：若∠A＝∠B，则a＝b，
r：若∠A≠∠B，则a≠b，
s：若a≠b，则∠A≠∠B，
t：若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．
解法二：
如图可知，s与t互否．
3．(2015·银川一中月考)命题：“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0
[答案] D
[解析] 命题中的条件及结论的否定分别是a 2
＋b 2
≠0，a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，所以命题的逆否命题是“若a ≠0或b ≠0(a ，b ∈R )，则a 2
＋b 2
≠0”．
4．设原命题：若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A ．原命题真，逆命题假
B ．原命题假，逆命题真
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题 [答案] A
[解析] 因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若
a 、
b 都小于1，则a ＋b <2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b
中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a 、b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”，是假命题，反例如a ＝1.2，b ＝0.3.
二、填空题
5．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”； (2)命题“整数是有理数”的否命题是“____________”；
(3)命题“到一个角两边的距离不相等的点不在这个角的平分线上”的逆否命题是“________________________________________________________________________”．
[答案] (1)偶数一定是末位是2的整数 (2)不是整数的数就不是有理数
(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
6．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围为________.
[答案] [1,2]
[解析] 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.
三、解答题
7.设原命题为“已知a 、b 是实数，若a ＋b 是无理数，则a 、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．
[解析] 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．
8．把命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．
[解析] 若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线互相平行．
逆命题：若两条直线互相平行，则它们必平行于同一条直线，是真命题．
否命题：若两条直线不与同一条直线平行，则这两条直线不平行，是真命题．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不可能与同一条直线平行，真命题．。
