高考文科数学集合专题讲解及高考真题含答案

2023届全国高考数学真题分类专项（集合与常用逻辑用语）汇编解析第一节 集合1.（2023全国甲卷理科1）设集合 31,A x x k k Z ，32,B x x k k Z ，U 为整数集，则 U A B ð（ ）A. 3,x x k k ZB. 31,x x k k ZC. 32,x x k k ZD.【要点分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【过程解析】因为整数集 3,3+1,3+2,x x k k x x k k x x k k Z Z Z Z ，=U Z ，所以 3,U A B x x k k Z ð． 故选A ．2.（2023全国甲卷文科1）设全集 1,2,3,4,5U ，集合 1,4M ， 2,5N ，则U N M ð（ ）A. 2,3,5B. 1,3,4C. 1,2,4,5D. 2,3,4,5 【要点分析】利用集合的交并补运算即可得解.【过程解析】因为全集{1,2,3,4,5}U ，集合{1,4}M ，所以 2,3,5U M ð， 又{2,5}N ，所以{2,3,5}U N M ð.故选A.3.（2023全国乙卷理科2）设集合U R ，集合 1M x x ， 12N x x ，则 2x x …（ ）A. U M N ðB.U N M ðC. U M N ðD.U M N ð 【要点分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 2x x …即可.【过程解析】由题意可得 2M N x x ，则 2U M N x x ð…，选项A 正确； 1U M x x ð…，则 1U N M x x ð ，选项B 错误；11M N x x ，则 11U M N x x x 或ð剠，选项C 错误；12U N x x x 或ð剠，则 12U M N x x x 或ð…，选项D 错误；故选A.4.（2023全国乙卷文科2）设全集 0,1,2,4,6,8U ，集合 0,4,6M ， 0,1,6N ，则U M N ð（ ）A. 0,2,4,6,8B. 0,1,4,6,8C. 1,2,4,6,8D.U 【要点分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ð即可. 【过程解析】由题意可得 2,4,8U N ð，则 0,2,4,6,8U M N ð. 故选A.5.（2023新高考I 卷1）已知集合 2,1,0,1,2M ，260N x x x ，则M N（ ） A. 2,1,0,1B. 0,1,2C. 2D. 2【过程解析】260,23,N x x x ，所以 2M N ，故选C.6.（2023新高考II 卷2）2.设集合 0,,1,2,22A a B a a ，若A B ，则a （ ） A. 2 B. 1 C.23D.1 【过程解析】因为A B ，所以必有20a 或220a ，解得2a 或1a . 当2a 时， 0,2,1,0,2A B ，不满足A B ； 当1a 时， 0,1,1,1,0A B ，符合题意.所以1a . 故选B.7.（2023北京卷1）已知集合 20M x x …， 10N x x ，则M N （ ） A. 21x x … B. 21x x … C. 2x x … D. 1x x【要点分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【过程解析】由题意，{20}{|2}M xx x x ∣，{10}{|1}N x x x x ∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x .故选A.8.（2023天津卷1）已知集合 1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ，则U B A ð（ ） A ． 1,3,5B ． 1,3C ． 1,2,4D ． 1,2,4,5【要点分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【过程解析】由{3,5}U B ð，而{1,3}A ，所以{1,3,5}U B A ð. 故选A.第二节 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【要点分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解. 【过程解析】当2，0 时，有22sin sin 1 ，但sin cos 0 ， 即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时， 2222sin sin cos sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件. 故选B.2.（2023新高考I 卷7）已记n S 为数列 n a 的前n 项和，设甲： n a 为等差数列；乙：n S n为等差数列，则（ ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【过程解析】 n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则112n n n S na d，111222n S n d d a d n a n ，所以n S n为等差数列，所以甲是乙的充分条件. n S n为等差数列，即 1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n 为常数， 设为t ，即11n nna S t n n ，故 11n n S na tn n ， 1112n n S n a t n n n ，两式相减得 1112n n n n n a S S na n a tn ，12n n a a t 为常数，对1n 也成立，所以 n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件. 所以，甲是乙的充要条件，故选C.3.（2023北京卷8）若0xy ，则“0x y ”是“2x yy x”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【要点分析】解法一：证明充分性可由0x y 得到x y ，代入x yy x化简即可，证明必要性可由2x y y x 去分母，再用完全平方公式即可；解法二：由x y y x通分后用配凑法得到完全平方公式，证明充分性可把0x y 代入即可；证明必要性把2x yy x代入，解方程即可.【过程解析】解法一：充分性：因为0xy ，且0x y ，所以x y ， 所以112x y y y y x y y，所以充分性成立； 必要性：因为0xy ，且2x yy x， 所以222x y xy ，即2220x y xy ，即 20x y ，所以0x y .所以必要性成立.所以“0x y ”是“2x yy x”的充要条件.故选C. 解法二：充分性：因为0xy ，且0x y ，所以 2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy xy，所以充分性成立； 必要性：因为0xy ，且2x yy x， 所以 22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy， 所以20x y xy，所以 20x y ，所以0x y ，所以必要性成立.所以“0x y ”是“2x yy x”的充要条件. 故选C.4.（2023天津卷2）“22a b ”是“222a b ab ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【要点分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【过程解析】由22a b ，则a b ，当0a b 时222a b ab 不成立，充分性不成立； 由222a b ab ，则2()0a b ，即a b ，显然22a b 成立，必要性成立； 所以22a b 是222a b ab 的必要不充分条件. 故选B.。

2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

高考集合类试题及答案1. 集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|x^2-x-2=0}，求A∩B。

答案：首先解方程x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2，所以集合A={1,2}。

接着解方程x^2-x-2=0，得到x=-1或x=2，所以集合B={-1,2}。

因此，A∩B={2}。

2. 已知集合M={x|x=2n，n∈Z}，N={x|x=2n+1，n∈Z}，求M∪N。

答案：集合M是由所有偶数构成的集合，即M={...,-4,-2,0,2,4,...}。

集合N是由所有奇数构成的集合，即N={...,-3,-1,1,3,5,...}。

由于所有整数都可以表示为偶数或奇数，所以M∪N=Z，即整数集。

3. 集合P={x|x=3n，n∈Z}，Q={x|x=2n，n∈Z}，判断P⊆Q是否成立，并说明理由。

答案：不成立。

因为集合P是由所有3的倍数构成的集合，而集合Q是由所有2的倍数构成的集合。

例如，3是集合P的元素，但它不是2的倍数，因此不是集合Q的元素。

所以，P不是Q的子集。

4. 已知集合A={1,2,3}，B={x|1≤x≤4}，求A∪B。

答案：集合A={1,2,3}，集合B包含所有满足1≤x≤4的实数x，即B={1,2,3,4}。

因此，A∪B包含了集合A和集合B中所有的元素，即A∪B={1,2,3,4}。

5. 集合C={x|x^2-5x+6=0}，求C的补集C'。

答案：首先解方程x^2-5x+6=0，得到x=2或x=3，所以集合C={2,3}。

如果全集是实数集R，那么C的补集C'包含所有不属于C的实数，即C'={x∈R|x≠2且x≠3}。

6. 集合D={x|x^2+2x+1=0}，判断D是否为空集，并说明理由。

答案：集合D是由方程x^2+2x+1=0的解构成的集合。

这个方程可以化简为(x+1)^2=0，解得x=-1。

因此，集合D={-1}，不是空集。

7. 集合E={x|x=n^2，n∈Z}，F={x|x=n^3，n∈Z}，判断E=F是否成立，并说明理由。

第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A ＝{1， 2}， B ＝{}|x x A Î， 则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝{}|x x A Î知， B ＝{1， 2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ， 则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知， 2x a £有解， 故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?， 集合B ＝{}|28x x-＃， 则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2， ∴A ＝{y|y ≥－2}， ∴BA ． 答案：BA4．已知全集U ＝R ， 则正确表示集合M ＝{－1， 0， 1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=， 得N ={-1， 0}， 则N M ．答案：②5知集合A ＝{}|5x x >， 集合B ＝{}|x x a >， 若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件， ∴A B ， ∴a <5． 答案：a <56．已知m ∈A ， n ∈B ， 且集合A ＝{x |x ＝2a ， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝2a ＋1， a ∈Z }， 又C ＝{x |x ＝4a ＋1， a ∈Z }， 判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ， ∴设m ＝2a 1， a 1∈Z ， 又∵n ∈B ， ∴设n ＝2a 2＋1， a 2∈Z ， ∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1， 而a 1＋a 2∈Z ， ∴m ＋n ∈B ．练习二组1．设a ， b 都是非零实数， y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0， 讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3， －1}2．已知集合A ＝{－1， 3， 2m －1}， 集合B ＝{3， m 2}．若B ⊆A ， 则实数m ＝________． 解析：∵B ⊆A ， 显然m 2≠－1且m 2≠3， 故m 2＝2m －1， 即(m －1)2＝0， ∴m ＝1．答案：1 3．设P ， Q 为两个非空实数集合， 定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ， b ∈Q }， 若P ＝{0， 2， 5}， Q ＝{1， 2， 6}， 则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0， 2， 5；b ＝1， 2， 6， 并分别求和， 注意到集合元素的互异性， ∴P ＋Q ＝{1， 2， 6， 3， 4， 8， 7， 11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}， 集合N ＝{x |ax ＝1}， 若N M ， 那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}， N M ， 所以N ＝∅时， a ＝0；当a ≠0时， x ＝1a＝1或－1， ∴a ＝1或－1．答案：0， 1， －15．满足{1}A ⊆{1， 2， 3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1， 所以A 有{1， 2}， {1， 3}， {1， 2， 3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝b 2－13， b ∈Z }， C ＝{x |x ＝c 2＋16， c ∈Z }， 则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4， x ∈R }， B ＝{x |x <a }， 则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4， 故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M ＝{m |m ＝2n ， n ∈N ， 且m <500}， 则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500， ∴n ＝0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A 是整数集的一个非空子集， 对于k ∈A ， 如果k －1∉A ， 且k ＋1∉A ， 那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”， 这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ， xy ， lg(xy )}， B ＝{0， |x |， y }， 且A ＝B ， 试求x ， y 的值．解：由lg(xy )知， xy >0， 故x ≠0， xy ≠0， 于是由A ＝B 得lg(xy )＝0， xy ＝1．∴A ＝{x ， 1， 0}， B ＝{0， |x |， 1x}． 于是必有|x |＝1， 1x＝x ≠1， 故x ＝－1， 从而y ＝－1．11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}， 得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ， ∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1， 即m <2， 此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得， m 的取值范围是(－∞， 3]．(2)若A ⊆B ， 则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3， 4]．(3)若A ＝B ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．， 即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}， B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集， 求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集， 求a 的取值范围；(3)若A ＝B ， 求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0， 即(x －1)(x －2)≤0， 得1≤x ≤2， 故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集， 即A B ， 则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }， 故a >2．(2)若B 是A 的子集， 即B ⊆A ， 由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ， 则必有a =2第二节 集合的基本运算练习一组1．设U ＝R ， A ＝{}|0x x >， B ＝{}|1x x >， 则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．设集合A ＝{4， 5， 7， 9}， B ＝{3， 4， 7， 8， 9}， 全集U ＝A ∪B ， 则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4， 7， 9}， A ∪B ＝{3， 4， 5， 7， 8， 9}， ∁U (A ∩B )＝{3， 5， 8}．答案：33．已知集合M ＝{0， 1， 2}， N ＝{}|2,x x a a M =?， 则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知， N ＝{0， 2， 4}， 故M ∩N ＝{0， 2}．答案：{0， 2}4．设A ， B 是非空集合， 定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 已知A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{y |y ≥0}， 则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0， ＋∞)， A ∩B ＝[0， 2]， 所以A ⓐB ＝(2， ＋∞)．答案：(2， ＋∞)5．某班共30人， 其中15人喜爱篮球运动， 10人喜爱乒乓球运动， 8人对这两项运动都不喜爱， 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ， 画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3， ∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A ＝{x |x >1}， 集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时， 求A ∩B ， A ∪B ；(2)若B ⊆A ， 求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时， B ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ， 则1m >， 即m 的取值范围为(1， ＋∞)练习二1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}， N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}， 则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1， 0， 1， 2}， 所以M ∩N ＝{－1， 0}．答案：{－1， 0}2．已知全集U ＝{－1， 0， 1， 2}， 集合A ＝{－1， 2}， B ＝{0， 2}， 则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0， 1}， 故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．若全集U ＝R ， 集合M ＝{x |－2≤x ≤2}， N ＝{x |x 2－3x ≤0}， 则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3， log 2a }， B ＝{a ， b }， 若A ∩B ＝{2}， 则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2， ∴a ＝4， 从而b ＝2， ∴A ∪B ＝{2， 3， 4}． 答案：{2， 3， 4}5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素， (∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空， 则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素， ∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}， A ＝{n ∈U |n 是奇数}， B ＝{n ∈U |n是3的倍数}， 则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， A ＝{1， 3， 5， 7}， B ＝{3， 6}， ∴A ∪B ＝{1， 3， 5， 6， 7}，得∁U (A ∪B )＝{2， 4， 8}．答案：{2， 4， 8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y， x ∈A ， y ∈B }．设集合A ＝{0， 2}， B ＝{1， 2}， C ＝{1}， 则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0， 4， 5， 则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0， 8， 10， 故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ， y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ， y )|y ＝3x ＋b }， 则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0， 2)在y ＝3x ＋b 上， ∴b ＝2．9．设全集I ＝{2， 3， a 2＋2a －3}， A ＝{2， |a ＋1|}， ∁I A ＝{5}， M ＝{x |x ＝log 2|a |}， 则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ， ∴{2， 3， a 2＋2a －3}＝{2， 5， |a ＋1|}， ∴|a ＋1|＝3， 且a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝－4或a ＝2， ∴M ＝{log 22， log 2|－4|}＝{1， 2}．答案：∅， {1}， {2}， {1， 2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}， B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．。

全国统一高考数学试题（新课标Ⅱ）一、单选题1．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ．∅【答案】C【解析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得． 【详解】由题知，(1,2)A B =-I ，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题． 2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i 【答案】D【解析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ． 【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 3．已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||-a b ． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b ， 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35 C ．25D ．15【答案】B【解析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙【答案】A【解析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．6．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=1x e -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x --- D ．e 1x --+【答案】D【解析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【详解】()f x Q 是奇函数，020011()f x x x =+'．当0x <时，0x ->，()e 1()x f x f x --=-=-，得()e 1xf x -=-+．故选D ．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误． 8．若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题． 9．若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 10．曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-Q 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 11．已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．5C ．D ．5【答案】B【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=，故选B ．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5【答案】A【解析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ，，，+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则z =3x –y 的最大值是___________. 【答案】9.【解析】作出可行域，平移30x y -=找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得. 【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98.【解析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题． 【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.98=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．15．V ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈πQ ，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】共26个面. 21.【解析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长22,2(21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=， 2121x ∴==-+，即该半正多面体棱长为x ．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18 【解析】（1）先由长方体得，11B C ⊥平面11AA B B ，得到11B C BE ⊥，再由1BE EC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）先设长方体侧棱长为2a ，根据题中条件求出3a =；再取1BB 中点F ，连结EF ，证明平面BB C C ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11AA B B ；BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥，又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =， 又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =；取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ， 所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.18．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）212n na -=；（2）2n S n =.【解析】(1)本题首先可以根据数列a 是等比数列将a 转化为2a q ，a 转化为a q ，再然后将其带入32216a a =+中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果。

专题01集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在详细情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能运用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础学问融会贯穿1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋) Z Q R2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【学问拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.重点难点突破【题型一】集合的含义【典型例题】下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满意集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．【再练一题】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．【解答】解：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清晰集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性经常简洁忽视，求解问题时要特殊留意．分类探讨的思想方法常用于解决集合问题．【题型二】集合的基本关系【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：A＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2，3}；又A⊆B；∴m＝3．故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|3x﹣a≥0}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，12）D．（12，+∞）【解答】解：∵3x﹣a≥0，∴x，∴A＝[，+∞），∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【题型三】集合的基本运算命题点1 集合的运算【典型例题】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{6，9} B．{6，7，9} C．{7，9} D．{7，9，10}【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A＝{4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B＝{7，9}，故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，故选：B．命题点2 利用集合的运算求参数【典型例题】已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B＝∅，故A∩B≠∅，则实数a的取值范围a＜3，故选：C．【再练一题】已知集合M＝{x|3x2﹣5x﹣2≤0}，N＝[m，m+1]，若M∪N＝M，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：M＝{x|x≤2}，由M∪N＝M可得N⊆M，则，解得m≤1，故选：B．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．(2)运算过程中要留意集合间的特殊关系的运用，敏捷运用这些关系，会使运算简化．【题型四】集合的新定义问题【典型例题】设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对随意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a的时候，不存在满意得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对随意的a，都存在x（事实上随意比a小得数都可以），使得0＜|x|a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于随意的a＞0，存在n，使0＜|x|a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对随意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不行能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．【再练一题】已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2＝0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必需在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即解除A，B，C．故选：D．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素．基础学问训练1．已知集合，则以下正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得．所以．故选B．2．已知集合A． B．(－1，2) C． D．【答案】C【解析】集合解不等式得集合,，所以即所以选C3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C4．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选：B．5．已知全集，则A． B．C． D．【答案】C【解析】解：全集，则故选：C．6．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得到，由，则，故选B．7．已知集合，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,,,故选D.8．集合，则的元素个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】为小于的整数，所以.故选B.9．已知全集，集合1，2，3，4，5，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【答案】C【解析】集合1，2，3，4，5，图中阴影部分表示的集合为2，．故选C．10．若集合A＝{x|x2＜2，B＝{x|}，则A∩B＝( )A．（0，2） B．（，0） C．（0，） D．（－2，0）【答案】B【解析】集合A＝{x|x2＜2, B＝{x|A∩B＝（，0）。

智才艺州攀枝花市创界学校集合2021年高考试题2021年高考数学试题分类汇编——集合一、选择题:〔2021年高考卷文科1)设集合M={x|(x+3)(x-2)<0}，N={x|1≤x ≤3},那么M ∩N= 〔A 〕[1,2)(B)[1,2](C)(2,3](D)[2,3] 【答案】A 【解析】因为{}|32Mx x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，应选A.〔2021年高考卷文科1)集合{}0,1,2,3,4M=,{}1,3,5N =,P M N =⋂,那么P 的子集一共有()【解析】方法一：由题得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+10011122y x y x y x y x 或，)}1,0(),0,1(|),{(y x B A = ，所以选C.方法二：直接作出单位圆221xy +=和直线1=+y x ，观察得两曲线有两个交点，所以选C.〔2021年高考卷文科2)假设全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,那么集合{5,6}等于〔〕 A.MN ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂〔2021年高考卷文科1)U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},那么()C AB =A.{6,8}B.{5,7}C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}答案：A 解析：因为{1,2,3,4,5,7}AB =，故(){6,8}uC AB =，所以选A.〔2021年高考卷文科1)假设全集M={}1,2,3,4,5，N={}2,4，M C N =〔〕〔A 〕∅(B){}1,3,5(C){}2,4(D){}1,2,3,4,5答案：B【解析】：∵P=}{1≥X X ∴P ⊆Q ，应选C(2021年高考卷文科4)设集合{}|20,A x R x =∈->{}|0,B x R x =∈<{}|(2)0,C x R x x =∈->那么“x A B ∈⋃〞是“x C ∈〞的 【答案】C【解析】由两个集合并集的含义知,选项C 正确. 〔2021年高考卷文科1)集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}}，那么A B=〔〕〔A 〕{x2x 1-＜＜}}〔B 〕{x 1-x ＞}〔C 〕{x 1x 1-＜＜}}〔D 〕{x 2x 1＜＜}答案：D解析：利用数轴可以得到A B={x 1x 2＜＜}。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D. 故选：B. 9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B . 原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 【答案】2 【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64 【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =， 故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】 由等比数列求和公式得5113353523213n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-. 16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2【解析】的【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，2112333F ABM ABM V S FO -=⋅=⋅=△，222cos 2FA AB FB FAB FAB FA AB +-∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅==△， 解得d =，即点M 到ABF . 的17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b = 故椭圆方程为22143x y +=. 【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=-- ()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=- ()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】 【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-， 且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=， ()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=， 解得34a = 20. 实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】 222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。