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椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤

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圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。

对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。

例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。

2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。

2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。

或者求出a 、c 的值，利用e=c/a 的公式。

(10).椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ____(11)、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e=_____ (12、中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为 _______________二、利用椭圆解决焦点三角形问题。

椭圆的基础量的综合运用，经常用到椭圆的定义，正弦定理和余弦定理，解决与焦点三角形有关的面积问题、|1PF | |2PF | 的最小值。

2tan2S b θ= 焦点在x 轴或者y 轴上都可用1、已知P 为椭圆221259x y +=上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积．本题既用到了定义，也用到了正余弦定理 解答：解：∵a=5，b=3 ∴c=4，即|F 1F 2|=8． 设|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，则根据椭圆的定义可得：t 1+t 2=10①， 在△F 1PF 2中∠F 1PF 2=60°，所以根据余弦定理可得：t 12+t 22-2t 1t 2•cos60°=82②， 由①2-②得t 1•t 2=12，所以由正弦定理可得： S △12F PF =1212t t sin60°=1212t t ×12×32=33． 所以△F 1PF 2的面积 332．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -,Ｐ为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和||2PF 的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F . 18解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3∴椭圆的方程为13422=+y x . （２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ 由正弦定理得：)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F FPF 2F 1xOy由等比定理得：)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F)60sin(234sin 2θθ-︒+=∴整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 53cos 1sin =+∴θθ故232tan =θ11352531532tan tan 21=-⋅==θPF F . 若a:b=c:d （其中b,d ≠0），则（a+c ）:（b+d ）=（a-c ）:（b-d ）=a:b=c:d a:b=c:d=e:f=.......m:k则(a+c+e+...+m):(b+d+f+...+k)=a:b 称为等比定理。

等比定理是比例运算中的基本定理之一。

三、直线和椭圆的相交问题这是高中的重点也是难点问题，各个省的高考题几乎都有一道圆锥曲线问题，现在圆锥曲线问题主要难点是在计算上，同学们应经常多练。

弦长公式AB=记住一些常用的结论，可以提高解题速度。

椭圆的一组平行弦中过中心的最长椭圆的过焦点的弦以垂直实轴的通径为最短 1、通径= （无论焦点在x 轴还是y 轴 通径公式不变）2、｜AB ｜为过焦点的弦1122AF R AF R =｜｜｜｜ 则 ecos θ=1212R R R R -+ 3、AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

做椭圆与直线相交问题，有两种方法，一是韦达定理、二是点差法，即使求而不设法，用来解决中点弦问题和弦长成比例问题。

前两天在网上无意中看到这样一句话，数学好的人比较没良心，比如解圆锥曲线的时候，请x1，x2，y1，y2来帮忙，结果完事了又不求人家，直接把那几个全踹了。

这种办事的方法ab 22221(1)AB k x x =+-太可耻了，我，学不会！！、现在圆锥曲线对技巧性要求降低，运算难度增大，同学们只有多练习解题，一定没问题。

解题步骤：”建设现代化“（求轨迹方程的步骤相同、但是意义不同） 1、建立直线和椭圆的方程组 2、设交点3、由现有一直条件确定用弦长公式还有用点差法，如果弦长公式，则联立方程消x 或者y 得到一元二次方程，用韦达定理写出两根和两根差。

如果用点差法，方程做擦，可以直接写出上面结论。

4、带入已知条件5、化简求值。

例题：1、倾斜角为π4的直线交椭圆2214x y +=于A B ，两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解：设倾斜角为π4的直线交椭圆于11()A x y ，，22()B x y ，，由221114x y +=，①222214x y +=， ②①－②得12121212()()()()4x x x x y y y y -+=--+．又设中点()M x y ，，则1212121224()84y y x x x xx x y y y y-+=-=-=--+．又1212y y x x --为AB 连线斜率，即πtan 14k ==，14xy∴-=，即40x y +=（其中包含在椭圆内部和椭圆上）．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ|= 102．求椭圆的方程．解答：解：设所求椭圆方程为22221x y a b+=依题意知，点P 、Q 的坐标满足方程组①②22221x y a b+= y=x+1.将②式代入①式，整理得（a 2+b 2）x 2+2a 2x+a 2（1-b 2）=0，③设方程③的两个根分别为x 1，x 2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P （x 1，x 1+1），Q （x 2，x 2+1）．由题设OP ⊥OQ ，|PQ|= 102，可得 {x 1+1x1•x2+1x2=-1(x2-x1)2+[(x2+1)-(x1+1)]2=(102)2. 整理得④⑤ {(x1+x2)+2x1x2+1=04(x1+x2)2-16x1x2-5=0.解这个方程组，得 {x1x2=14x1+x2=-32或 {x1x2=-14x1+x2=-12. 根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ） {2a2a2+b2=32a2(1-b2)a2+b2=14或（Ⅱ） {2a2a2+b2=12a2(1-b2)a2+b2=-14.解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得 {2a =2 2b =23或 {2a =232b =2.故所求椭圆的方程为 223122x y +=，或 223122x y += （3）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上. 【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点的坐标，然后再结合直线方程把P 点的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来。

从而求出点P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上。

(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N ，然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可. 【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y直线:21l y x =-+，与2212y x +=联立得242210x x --=126262,44x x -+== 121221,24x x x x +==- 由0.OA OB OP ++=得1212((),())P x x y y -+-+122()2x x -+=-, 121212()(2121)2()21y y x x x x -+=--++-+=+-=-222(1)()122--+=所以点P 在C 上。

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高中椭圆的知识点归纳

高中椭圆的知识点归纳

高中椭圆的知识点归纳椭圆是高中数学中解析几何部分的重要内容，它在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

下面我们来对高中椭圆的知识点进行一个全面的归纳。

一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

用数学语言表示为：＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$（＄2a ＞｜F_1F_2| ＝ 2c$）二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为椭圆的长半轴长，＄b$为椭圆的短半轴长，＄c ＝＼sqrt{a^2 b^2}＄为半焦距。

2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆：＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆：＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。

2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。

3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。

4、离心率椭圆的离心率$e ＝＼frac{c}｛a}＄，其中$0 ＜ e ＜ 1$。

离心率反映了椭圆的扁平程度，＄e$越接近$0$，椭圆越接近于圆；＄e$越接近$1$，椭圆越扁。

5、准线焦点在$x$轴上的椭圆准线方程为$x ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＄；焦点在$y$轴上的椭圆准线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a^2}｛c}＄。

四、椭圆中的一些重要结论1、焦半径公式对于焦点在$x$轴上的椭圆，若点$P(x_0, y_0)＄在椭圆上，则左焦半径$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，右焦半径$｜PF_2| ＝ a ex_0$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，若点$P(x_0, y_0)＄在椭圆上，则上焦半径$｜PF_1| ＝ a ＋ ey_0$，下焦半径$｜PF_2| ＝ a ey_0$。

椭圆题型及方法总结

椭圆题型及方法总结

椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结：
1. 求椭圆的标准方程：通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为标准方程：$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标。

2. 求椭圆的焦点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出焦点的坐标。

3. 求椭圆的顶点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出顶点的坐标。

4. 求椭圆的参数方程：已知椭圆的方程，可以通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为参数方程：$x = h + a \cos t$，$y = k + b \sin t$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆的半
长轴和半短轴长度。

5. 求椭圆的离心率：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，然后使用离心率的定义式计算出椭圆的离心率：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$。

6. 求椭圆的面积和周长：已知椭圆的方程，可以通过给定的信
息，如半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，使用椭圆的性质计算出椭圆的面积和周长。

以上是常见的椭圆题型及解题方法的总结，具体问题具体分析，有时需要结合其他几何知识来解决问题。

高考椭圆大题知识点总结

高考椭圆大题知识点总结

高考椭圆大题知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要内容，也是高考中常出现的考点。

椭圆是平面几何中的一种特殊曲线，它具有许多有趣的性质和特点。

在解题过程中，我们应该了解椭圆的定义、性质和相关公式，从而灵活运用椭圆的知识来解答高考试题。

一、椭圆的定义和基本性质椭圆是指平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个定点称为焦点，两焦点间的距离称为焦距。

椭圆的形状由焦距和离心率决定，离心率小于1时，椭圆比较扁，离心率等于1时，椭圆退化为圆。

椭圆的主要性质有：对称性、切点和法线、焦点和直线的性质等。

在解题时，我们需要根据具体情况运用这些性质，简化计算步骤，提高解题效率。

二、椭圆的标准方程和一般方程椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h，k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。

当椭圆的中心在原点时，方程可以简化为x²/a²+y²/b²=1。

而一般方程则可以表示为：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0。

在解题时，我们常常需要将椭圆的方程进行转化，使其符合标准方程的形式，以便于进行求解和分析。

三、椭圆的焦点和直线的关系椭圆的焦点是反映椭圆性质的重要元素之一。

根据焦点和椭圆的关系，我们可以推导出椭圆的两个焦点与椭圆上的点的连线的交点分别位于椭圆的法线和切线上的性质。

根据焦点和直线的关系，我们可以解决一些有关焦点和直线的题目，如：已知一个点在椭圆上，连接该点和椭圆的两个焦点，然后以该点为圆心，过两个焦点的直线为半径画圆，证明所得的圆和椭圆相切等。

四、椭圆的参数方程和极坐标方程除了直角坐标系表示椭圆外，我们还可以使用参数方程和极坐标方程来描述椭圆。

在解题时，椭圆的参数方程和极坐标方程常常能够简化计算步骤，提高解题效率。

椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cosθ，y = b*sinθ。

高考椭圆专题知识点

高考椭圆专题知识点

高考椭圆专题知识点椭圆是高中数学中的一个重要几何形状，也是高考数学中的热点考点之一。

掌握椭圆的基本概念和相关知识点对于解题至关重要。

本文将详细介绍高考椭圆专题的知识点，帮助同学们更好地理解和应用。

一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上到两个不重合点的距离之和等于常数的动点构成的轨迹。

其中，这两个点被称为焦点，记作F1和F2，二者之间的距离为2a。

椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示椭圆的瘦胖程度。

椭圆的主要特点包括：1. 对称性：椭圆关于长轴、短轴及原点均具有对称性。

2. 焦点：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为常数。

3. 直径：椭圆上的直径包括长轴和短轴，长轴和短轴的中点都在椭圆上。

4. 首尾距离：椭圆上首尾相接的两个点到两个焦点的距离之和也等于常数。

5. 扇形面积：以焦点和首尾相接的两个焦点连线为半径的扇形面积与椭圆扇形面积的和为常数。

6. 弧长性质：椭圆上的弧长与弦长的关系满足等角弧弦定理。

7. 方程表达：椭圆可以用方程的形式表达，常见的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。

二、椭圆的性质与方程推导1. 椭圆的离心率性质：椭圆的离心率e满足0<e<1，当e=0时，为圆。

2. 椭圆的焦点距离性质：椭圆的焦点距离满足2a=c^2=a^2-b^2。

3. 椭圆的焦半径平方和：椭圆上任意一点到两个焦点距离平方之和等于两个焦点距离平方之和。

4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=a·cosθ，y=b·sinθ。

5. 椭圆的斜轴方程：斜轴方程为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h, k)为椭圆中心坐标。

6. 椭圆的标准方程：标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1。

三、椭圆的相关定理和性质1. 弦长定理：椭圆上两个不相交的弦的长度之积与它们两个弦所夹的角的余弦值成正比。

2. 切线定理：过椭圆上一点的切线与椭圆两焦连线的夹角等于该点切线与椭圆中心连线的夹角。