高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

椭圆知识点总结及典型方法知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。

a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记ac a c e ==22。

知识点四：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系知识点五: 椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e ，（0＜e ＜1）的点的轨迹为椭圆。

椭圆知识点以及题型总结一、椭圆的定义与基本性质椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

其中的定点F1和F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。

椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。

椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。

1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。

其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

2. 椭圆的焦半径和半短轴椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。

而椭圆的半短轴的长度等于b。

3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。

即PF1+PF2=2a。

4. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。

离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。

5. 椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。

其中θ的取值范围一般为0≤θ≤2π。

二、常见椭圆的题型及解题方法1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的长度。

解题方法:根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之间的关系，可以求出半短轴的长度b。

2. 椭圆的标准方程题这类题目一般给定椭圆的焦点、长轴的长度和中心坐标，要求写出椭圆的标准方程。

解题方法:根据给定的信息，可以用(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的形式写出椭圆的标准方程。

3. 椭圆的参数方程题这类题目一般给定椭圆的中心坐标、长半轴、半短轴的长度，要求写出椭圆的参数方程。

椭圆的基本知识1 •椭圆的定义：把平面内与两个定点 F 「F 2的距离之和等于常数(大于 F ,F 2)的点的轨迹叫做椭圆•这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距 (设为2c ).2.椭圆的标准方程：焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 虑焦点位置，求出方程 3.求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图，已知一个圆的圆心为坐 标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线的解:段PP ,求线段PP 中点M 的轨迹•关点法)设点Mx , y ), 点Rx o , y o ), 贝 y x =x o , y = 匹 得 x o =x , y o = 2y.2x o 2+ y o 2= 4,得 x 2+ (2 y ) 2= 4,即- y 21.所以点M 的轨迹是一个椭圆42 2 2 24.范围.x < a , y < b ,••• | x| < a , | y| < b . 椭圆位于直线x =± a 和y =± b 围成的矩形里.5.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6.顶点 只须令x = 0,得y =± b ,点Bi(0, — b )、R(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令 y = 0,得x =± a ,点A ( —a ,0)、A(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点.椭圆有四个顶点：A ( — a , 0)、A(a , 0)、B(0, — b )、B(0, b ).椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点. 线段AA 、BB 分别叫做椭圆的长轴和短轴 . 长轴的长等于2a .短轴的长等于2b . a 叫做椭圆的 长半轴长.b 叫做椭圆的短半轴长.y| BH | = |BF 2| = | BH| = | BF 2| = a .在 Rt △ OBF 2中，|OF |2= | BaF 2| 2 — | 0团 2, AZ b即 c 2 = a 2 — b 2.x7.椭圆的几何性质:mx2+ny2=1(m>0 n>0)不必考2 2a b2 2a b椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐和召Hi¥厂1,J /1 .PjAJ4j对 关T r 轴・，、轴・燮标原点荊称荒于J 鞋*孑轴・坐肺腺点时称(K 点Ai ( —Un 0 ) a HI O) fihCOi —At tO-B — a J » A* a }(CXr-CI) a几点说明:(1)长轴：线段 AA ，长为2a ；短轴：线段B 1B 2，长为2b ；焦点在长轴上。

圆锥曲线与方程-－椭圆知识点一．椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两定点Ｆ1,Ｆ2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a,2a ＞|F 1F 2｜=2c};这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。

(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。

2．标准方程: 222ca b =-①焦点在x 轴上：12222=+by a x （ａ＞ｂ＞0）; 焦点F(±ｃ，０）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞０）;焦点F(０, ±ｃ）注意：①在两种标准方程中,总有a>ｂ＞０，并且椭圆的焦点总在长轴上;②两种标准方程可用一般形式表示:221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围(１)椭圆12222=+by a x （ａ＞ｂ>0） 横坐标-a ≤x ≤a ，纵坐标-b ≤ｘ≤b(2)椭圆12222=+bx a y (a>b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a２．对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 ３.顶点（1）椭圆的顶点：A 1(-a,0)，A 2(ａ，0),B １（０,-b)，B 2（0，b ）(2）线段A 1A ２，B １B ２ 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b ，ａ和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率(1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca,即a c 称为椭圆的离心率，ﻫ记作e （10<<e )，22221()be a a==-ce 0=是圆；e 越接近于0 （ｅ越小)，椭圆就越接近于圆;e 越接近于１ （e 越大）,椭圆越扁;注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

高中椭圆知识点归纳一、椭圆的定义1. 椭圆的数学定义- 椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的集合。

- 椭圆的标准方程。

2. 椭圆的基本要素- 焦点（F1, F2）- 长轴（2a）- 短轴（2b）- 焦距（2c）- 离心率（e）二、椭圆的性质1. 焦点性质- 焦点位于主轴上。

- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和是常数，等于长轴的长度。

2. 离心率- 离心率是衡量椭圆形状的一个参数。

- 离心率的计算公式：e = c/a。

3. 椭圆的对称性- 椭圆关于长轴和短轴具有对称性。

三、椭圆的几何关系1. 长轴和短轴的关系- b^2 = a^2 - c^2。

2. 焦点与椭圆的关系- 焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。

四、椭圆的方程1. 标准方程- 椭圆的标准方程形式为：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1。

2. 椭圆的参数方程- 参数方程的形式：x = a * cos(t), y = b * sin(t)，其中t为参数。

五、椭圆的应用1. 天文学- 行星轨道的描述。

2. 工程学- 轮轴和凸轮设计。

3. 物理学- 电场和磁场中的某些路径。

六、椭圆的图形绘制1. 绘制方法- 使用绘图工具（如圆规）绘制椭圆。

2. 椭圆的变换- 平移和旋转椭圆。

七、椭圆与圆的关系1. 特殊情形- 当离心率为0时，椭圆变为圆。

- 当两个焦点重合时，椭圆退化为抛物线。

八、练习题1. 椭圆方程的求解。

2. 焦点性质的应用。

3. 椭圆的几何关系计算。

以上是关于高中椭圆知识点的归纳文档的大纲和示例内容。

在实际编写文档时，每个部分都应包含详细的解释、公式推导、图示和实例。

此外，文档应使用专业的排版和格式，确保清晰易读，并且方便编辑和打印。

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想 其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

2知识点一：椭圆的定义第一定义：平面内一个动点 P 到两个定点F i 、F 2的距离之和为定值焦点的距离叫作椭圆的焦距知识点二：椭圆的标准方程椭圆的焦点总在长轴上题型一、椭圆的定义 1、方程.x 22 y 2x 2 2 y 2 10化简的结果是2、若 ABC 的两个顶点 A 4,0 ,B 4,0 , ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是2 2椭圆(PF i2aF 1F 2）,这个动点P 的轨迹叫椭圆•这两个定点叫椭圆的焦点，两注意：若（PRPF 2F i F 2 ），则动点 P 的轨迹为线段F i F 2 ；若(PF iF 1F 2），则动点P 的轨迹不存在.1 .当焦点在x2X~2a 2厂(a b 0),其中 c 2a 2b 22.当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程:2 ya2X d 21(a b 0),b 2其中a 2b 2.注意： 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;在椭圆的两种标准方程中，都有（b 0)和c 2a 2b 2 ；当焦点在X 轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0) , ( c,0)； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为 (0,c) , (0, c)3、椭圆—L 1上的点M到焦点F1的距离为2, N为MF_!的中点，贝y ON （O为坐25 9标原点）的值为（）A. 4B. 2C. 83 D.—X y24、椭圆———1两焦点为Fp F2, A 3,1 ,点P在椭圆上，贝U PR PA的最大值25 16为____ ，最小值为____题型二、椭圆的标准方程5、方程Ax2+By2=C表示椭圆的条件是(A) A, B同号且A M B ( B) A, B同号且C与异号(C) A, B, C同号且A M B ( D)不可能表示椭圆2 26、若方程—- 1 ,5 k k 3(1)表示圆，则实数k的取值是_____________ . __________(2) ______________________________________________________ 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 _______________________________________ . __________(3) ______________________________________________________ 表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是 _______________________________________ . __________(4)表示椭圆，则实数k的取值范围是______________ . _________227、椭圆—y_1的焦距为2，贝U m =4m8、已知椭圆 2 mx3y2 6m0的一个焦点为(0, 2)求m的值9、已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.2 210、求与椭圆4x 9y 36共焦点，且过点(3, 2)的椭圆方程。

椭圆典型例题例1已知椭圆mx23y34 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.2 解：方程变形为—62— 1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 . 2m又c 2，所以2m 6 22, m 5适合.故m 5 .例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0 , a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b （或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.2解：当焦点在x轴上时，设其方程为笃a2圆的方程为-9由椭圆过点P3,0，知9202 1 .又a 3b ，联立解得a 281，b 29，故椭圆a b2 2 的方程为y X 1 .81 9例3 ABC 的底边BC 16，AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重 心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：（1）由已知可得GC GB 20 ,再利用椭圆定义求解.（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程.由椭圆过点0 b 21 .又a 3b , 代入得b2 1，a 29，故椭y 2 1.当焦点在y 轴上时，设其方程为 2 2 yx 2,2ab（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点 B 、C为焦点的椭圆，且解：坐标为x , y ，由GC GB 20，知G 点的轨迹是以 除去轴上两点.因a 10, c 8，有 b 6 , 2 故其方程为— 100 2 y 36 -y (2)设 Ax , y 2 ，则— 100 2 y 36 1y x x 由题意有 y3 椭圆（除去x 轴上两点）. 3'代入①，得A 的轨迹方程为y2x900 2y324 1 y 0 ,其轨迹是例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 土勺 3和晋，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程. 设两焦点为F ,、F 2，且PF ,于,PF 2竽.从椭圆定义知 2a si n PF 1I PF 2 2亦.即 a .从PR可求出 PF2I 知|PF 』垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt PF 2 PF 1PF 1F 2cos — 6 口，从而b 2、、3a 2 c 210 3•••所求椭圆方程为3y 2 101或眩102例5已知椭圆方程冷 a2yb 2长轴端点为A ，A 2，焦点为£， P 是椭圆上一点, A-i PA 2 F 1PF 2.求：F 1PF 2的面积（用b 、由椭圆定义知：PR PF? 2a ②，则②2—①得PF i PF22b2 1 cos故S F.,PF21PF. PF2 sin21 2b2sin21 cos示)•1分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S -absinC求2面积.解：如图，设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P x, y，由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知：2 2 2 2F I F2PF I PF2 2PF1 ・PF2 cos 4c45•①4求过点P1,丄且被P平分的弦所在直线的方程；2 25求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；解: 设弦两端点分别为M X i, y. , N x?, y2,线段MN的中点R x,2 X i2 X2X i y i 2y f 2,2y；2,x22X,y2y,①②③④①一②得x. x2 x. x2 2 y. y2 y.由题意知X. X2，则上式两端同除以X.y i y?X i X2 2 y i y? 0,X i X2将③④代入得X 2yh^ 0 .⑤x. x21代入⑤，得也汇2 x. x2y? 0X2，有i，故所求直线方程为：2例6已知椭圆=y2 1 2x 4y 3将⑥代入椭圆方程X22寸O I2得6y26y n 0,36 0符合题意,2x 4y 3 0为所求.(2)将匹上2代入⑤得所求轨迹方程为: 捲x2内部分)x 4y 0 .(椭圆(3)将里上口代入⑤得所求轨迹方程为:X i x2 x 2 圆内部分)x2 2y2 2x 2y 0.(椭例7已知椭圆4x2 y21及直线y x m .(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)若直线被椭圆截得的弦长为2卫，求直线的方程.5解：(1 )把直线方程y x m代入椭圆方程4x2 y21得4x2 x m 2 1 ,即5x22mx m2 1 0 2m 2 4 5 m21 216m220(2) 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为X1 , X2，由(1 )得x. X2 2m T，x-|xm2 15根据弦长公式得：.1 1222m m215¥ .解得m0 .方5m ——2程为y x.斜解为-的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.过它对的左焦点F1作倾由直线方程与椭圆方程联立得:所以X1 x272. 3X1X36 8例8求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(..3, 2)和B( 23,1)两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为mx2 ny21( m 0，n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为mx2 ny2 1(m 0，n 0).由AC，3 , 2)和B(2..3,1) 两点在椭圆上可得m炯：n ( 2)2 1,即3m 4n 1,所以m - , n —故所求的椭圆方m ( 2..3)2n 121, 12m n3 15 52 2程为x_仝1.15 5例9已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,分析：可以利用弦长公式 AB V1 k2|x1x2| v(1 k2)[( x1x2)24x1x2]求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB J1 k2|x1 X2 J(1 k2)[(X1 X2)24x1X2].因为 a 6 , b 3 ,所以c 3 3.因为焦点在x轴上，2 2所以椭圆方程为——1，左焦点F ( 3 •. 3 , 0)，从而直线方程为y 3x9 .36 9 1313x2 72...3x 36 80 .设洛,X2为方程两根,4813••T 的斜率k i 4 , •••设直线AB 的方程为y4x n .由方程组2 13x 28nx 216n 248 0①。

椭圆知识点归纳汇总和经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：椭圆的基本知识1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解:(相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆.4.范围. x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴|x|≤a ，|y|≤b ． 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．5.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.顶点 只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长．|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2＝a 2－b 2．7.椭圆的几何性质：a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc cxF 2F 1O y Mc cy xPO P 'M椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要2222x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222y x 1(a b 0)a b+=>>的有关性质。

可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。

讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。

4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。

椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。

1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。

（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。

（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。

（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。

（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。

1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。

通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。

1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。

椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。

二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。

2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。

椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。

椭 圆1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆轨迹叫做椭圆..这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距((设为2c).2.2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+b x a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx 2+ny 2=1(m>0=1(m>0，，n>0)n>0)不必考虑焦点位置，求出方程不必考虑焦点位置，求出方程不必考虑焦点位置，求出方程3.3.求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法求轨迹方程的方法: : 定义法、待定系数法、相关点法、直接法定义法、待定系数法、相关点法、直接法.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ¢¢解:(:(相关点法相关点法相关点法))设点M(x, y),点P(x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝20y 得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得x 2＋(2y)2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆的轨迹是一个椭圆..4.范围范围范围. x . x 2≤a 2，y 2≤b 2，∴，∴|x||x||x|≤≤a ，|y||y|≤≤b ．椭圆位于直线x ＝±＝±a a 和y ＝±＝±b b 围成的矩形里．围成的矩形里．5.5.椭圆的对称性椭圆的对称性椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、轴、x x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．6.6.顶点顶点顶点 只须令x ＝0，得y ＝±＝±b b ，点B 1(0,(0,－－b)b)、、B 2(0, b)b)是椭圆和是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0，得x ＝±＝±a a ，点A 1(－a,0)a,0)、、A 2(a,0)(a,0)是椭圆和是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a, 0)、A 2(a, 0)、B 1(0, －b)b)、、B 2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴分别叫做椭圆的长轴和短轴. . 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a 叫做椭圆的叫做椭圆的 长半轴长．长半轴长．b b 叫做椭圆的短半轴长．叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt Rt△△OB 2F 2中，中，|OF |OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．a A 1yO F 1F 2x B 2B 1A 2c b yO F 1F 2xMc c xF 2F 1O y MccyxPO P ¢M）的离心率为（轴分成三等份，则椭圆若椭圆的连个焦点把长 .1无法确定 D.32C. 31 B. 61 A..7),0()0,()0,()0(1 .2112222=-->>=+e bAB F b B a A c F b a by a x ，则椭圆的离心率的距离为到直线如果是两个顶点，、，的左焦点为椭圆.1612)2,1( .322的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆求经过点=+y x M越小，因此椭圆越扁；，从而越接近时，越接近当221)1(c a b a c e -=因此椭圆越接近于圆；，越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2( .0)3(222a y x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变时，当且仅当.)2(; )1(12045.222121221点坐标求求，为左右焦点，，上的点，为椭圆已知P S PF PF F F y x P F PF D ^=+yO x椭圆典型例题椭圆典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（的一个焦点为（00，2）求m 的值．的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222222c b a +=可求出m 的值．的值．解：方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以22262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．，求椭圆的标准方程．分析：分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数根据题设条件，运用待定系数法，法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b y a x ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba ．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x ．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a b x a y ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ．例3 ABC D 的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为3030，，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022¹=+y y x ．（2）设()y x A ，，()y x G ¢¢，，则()013610022¹¢=¢+¢y y x ． ① 由题意有ïïîïïíì=¢=¢33y y x x，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022¹=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt D 中，21s i n1221==ÐPF PF F PF ，可求出621p=ÐF PF ，3526cos 21=×=pPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x ． 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，q =Ð21PA A ，a=Ð21PF F ．求：21PF F D 的面积（用a 、b 、a 表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a 的两邻边，从而利用C ab S sin 21=D求面积．解：如图，如图，设设()y x P ，，由椭圆的对称性，由椭圆的对称性，不妨设不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，由椭圆的对称性，不妨设不妨设P 在第一象限．由余弦定理知：第一象限．由余弦定理知：221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =a ．①．① 由椭圆定义知：由椭圆定义知： a PFPF221=+②，则－①②2得 acos 12221+=×b PF PF ．故a sin 212121PF PF S PF F ×=D a asin cos 12212+=b 2tan 2a b =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ．说明：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆1222=+y x（1）求过点÷øöçèæ2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=×OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则，则ïïîïïíì=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ¹，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y y x ．⑤．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，416436>´´-=D 符合题意，0342=-+y x 为所求．为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：代入⑤得所求轨迹方程为：04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）部分）（4）由①＋②得）由①＋②得： ()2222212221=+++y y x x ，⑦，⑦，⑦， 将③④平方并整理得将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧，⑧， 212222124y y y y y -=+，⑨ 将⑧⑨代入⑦得：将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得：代入⑩式得： 221242212212=÷øöçèæ--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ， 即012522=-++m mx x ．()()020*******22³+-=-´´-=D m m m ，解得2525££-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得根据弦长公式得 ：51025145211222=-´-÷øöçèæ-×+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式一般考虑判别式D ；解决弦长问题，一般应用弦长公式．公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．，可大大简化运算过程． 例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ，()032，F ． 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－的坐标为（－99，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组îíì=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－的坐标为（－55，4）．此时21MF MF +最小．最小． 所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为136452222=+y x ．例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范围．的取值范围．解：由ïîïíì-¹-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4¹k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4¹k ．说明：本题易出现如下错解：由îíì<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．椭圆．例11 已知1cos sin 22=-a a y x )0(p a ££表示焦点在y 轴上的椭圆，求a 的取值范围．围．分析：依据已知条件确定a 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出a 的取值范围．取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+aa y x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-aa ． 因此0sin >a 且1tan -<a 从而)43,2(p p a Î．说明：说明：(1)(1)(1)由椭圆的标准方程知由椭圆的标准方程知0sin 1>a ，0cos 1>-a，这是容易忽视的地方．，这是容易忽视的地方． (2)(2)由焦点在由焦点在y 轴上，知a cos 12-=a ，asin 12=b ． (3)求a 的取值范围时，应注意题目中的条件p a <£0．例12 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得在椭圆上可得îïíì=×+-×=-×+×,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即îíì=+=+,112,143n m n m所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 已知长轴为1212，，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3p的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：解：((法1)1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，轴上， 所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=´++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621´=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．利用椭圆的定义及余弦定理求解．利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，nBF -=122．在21F AF D 中，3cos22112212122pF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22×××-×+=-m m m ； 所以346-=m ．同理在21F BF D 中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)3)利用焦半径求解．利用焦半径求解．利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=´++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例14 14 椭圆椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 4 B ．2 2 C ．8 8D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ，所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF D 的中位线，所以4212==MF ON ，故答案为A ．说明：说明：(1)(1)(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．椭圆．(2)(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即aMFMF221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．圆上的点与焦点的有关距离．例15 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：对称，则已知条件等价于：(1)(1)(1)直线直线l AB ^；(2)弦AB 的中点M 在l 上．上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．的取值范围．解：解：((法1)1)设椭圆上设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点．点．∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组ïïîïïíì=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。