机器人技术基础 第2章 齐次变换

结果如图2.6所示。如果将上述两次旋转结合起来， 写成一个表达式得到
w = Rot ( y, -90°) v ＝ Rot ( y, -90°) Rot ( z, 90°) 变换矩阵 Rot ( y, -90°) 、 Rot ( z, 90°) 和起始
点u代入上式计算的结果与前面分两次计算的结果相同。
v = ai + bj + ck
通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、
z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即 v=[x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 3i + 4j + 5k 可表示为
y
图2.1 点向量的描述
改变比例因子 w，则分量 a、b、c 的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如 v =
2.6 坐标系 (Coordinate frames)
齐次变换矩阵 H 由四个列向量组成，它的前三个列向量称为方向向量，由式 （2.12）到式（2.14）的旋转变换（分别绕 x、y、z 轴旋转θ角）确定，第四个列向 量称为平移向量，它的平移分量（沿 x、y、z 轴的平移量）由式（2.10）第四列的前 三个元素确定。如 0 0 1 4 1 0 0 -3 H＝Trans ( 4, -3, 7 ) Rot ( y, 90°) Rot ( z, 90°) = 0 1 0 7 （2.15） 0 0 0 1 坐标系的原点，即零向量 [ 0 0 0 1 ]
1 0 0 -4 0 1 0 3 0 0 1 -7 0 0 0 1
q＝p
H－1 ＝[
1 0 0 -2 ]
x
6 图2.3 点向量的平移
＝[ 1 0 0 -6 ]

6
2.1、刚体位姿描述(续)
四、手爪坐标系
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示,如图2-6所示。 坐标系{B}可以这样来确定:取
z轴设在手指接近物体的方向称为
接近矢量 a,y所规定轴设在两手指 的连线方向，称方位矢量 o；x轴
由右手法则确定：n=o×a,矢量n
称为法向矢量。旋转矩阵R=[n， o，a]。手抓的位置有位置矢量P 所规定，它代表手抓坐标系的原 点。 手抓的位姿可记为{T}={n，o，a，
15
2.3、齐次坐标和齐次变换(续)
0 1 A 例如：试解释齐次变换 矩阵： BT 0 0 { A}坐标的位姿。 1 0 0 3 所描述的{ B}坐标相对于 1 0 4 0 0 1 0 1
yB
xB zB
zA
解释如下： {B}的坐标原点相对于 {A}的位置为 [1， 3， 4， 1]T
p x A p p y p z
3
式中PX,PY,PZ是点P在坐标系{A}中的三个位 置坐标分量,如图2-1所示。
4
2.1、刚体位姿描述(续)
二、方位的描述（旋转矩阵）
z
z1
0
y
为了表示刚体的方位， 用一直角坐标系 {B} { x1、y1、z1}与刚体固接。设 {B}中单位主矢量为 x B、
zB
p
表示绕过坐标原点的轴 k旋转θ角度。
z
* B
zA
yB
p*
y* B
0
xB
17
0
yA
* B
xA x
2.4、齐次变换矩阵的运算
一、变换矩阵相乘
已知三维空间中的三个 坐标系 {A}、 {B}、 {C}； {B}相对于 {A }的描述为 A BT， {C}相对于 {B}的描述为 B CT，则对于空间任一点 p，有：

列矩阵 x
a= x
y
, b=
z
, c=
，w为比例系数
w
w
w
V
y z
x
y
z
w T
显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随
w
w值的不同而不同。在计算机图学中，w
作为通用比例因子，它可取任意正值，但
在机器人的运动分析中，总是取w=1 。
[例]：
V3 i4j5 k
可以表示为： V=[3 4 5 1]T
或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
• 具有直观的几何意义 • 能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题 • 其数学基础即是齐次变换
2.2 点和面的齐次坐标
2.2.1 点的齐次坐标
• 一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间 实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作 一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。
v a i b j c k 式中i, j, k为x, y, z 轴上的单位矢量，
0 0
10
10 1020 0
1
1
0
0 0 1 10 1 0
2 1
0
0 0 1 -10 -1 0
0 1
与点矢 0 0 0 0T相仿，平面 0 0 0 0也没有意义
2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换
2.2.1 旋转矩阵
设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw， 研究旋转变换情况。
解2：用分步计算的方法
① R（x, 90°）
1 0 0 01 1
P' 0 0 -1 02 3 0 1 0 03 2

式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人

对于给定的 ABT 求 BAT
步骤：
➢
利用旋转矩阵的正交性质，可以得出
B A
R
R A 1
B
Bபைடு நூலகம்RT
➢
求出原点 A pBo在坐标系
{B}中的描述：B pAo
B A
R
A
pBo
BART
A pBo
➢
得到 BAT 表达式:
BAT
BART 0
BART 1
A
pBo
2.4.3 变换方程
{B}代表基坐标系，{T} 工具坐标系，{S}是工作台 坐标系，{G}是目标坐标系， 则它们之间的位姿关系可 以用相应的齐次变换矩阵 来描述。
（3） 工作台（用户）坐标系（S）： 在工作台上建立用户坐标系---用 于示教编程。 （4） 工件坐标系（Work Object Coordinate System）： 表示的相对 位置—用于创建目标和路径。 （5） 腕坐标系（W）： 定义工具方向。 （6） 工具坐标系（T）： 与腕坐标系配合，确定两者之间的相对位姿。。 （7） 目标坐标系（T）： 描述机器人运动结束时工具的位置。
A B
R
I
当表示姿态时，有 AP 0
机器人末端手爪的位姿描述：选定一个参考坐标系{A}，另规定一坐标 系与手爪固连，称手爪坐标系{T}
n oa
手爪坐标系{T}这样规定的： 其z轴设在手爪接近物体的方向，z轴单位矢量称为接近矢量，用a表示；y 轴设在两手指的连线方向，y轴单位矢量称为方位矢量，用o表示；x轴方向 由右手法则确定，其单位矢量称为法向矢量，用n表示。
cos x,zb cos y,zb cos z,zb
按旋转的相对性，有：
B A

R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和

齐次变换矩阵
相对动坐标系的变换－例题
坐标系B绕x轴旋转90度，然后沿当前坐标系a轴做了3英寸 的平移，然后再绕z轴旋转90度，最后沿当前坐标系o轴做5 英寸的平移。 1、写出描述该运动的方程； 2、求坐标系中的点P（1，5，4）相对于参考坐标系的最终 位置。
提示：先求 U TB ，再求 U PU TB B P
Px d x Py d y Pz d z 1
注：相对固定坐标系的平移，变换矩阵 左乘，公式为
Fnew Trans(d x , d y , d z ) Fold
第二章 绕参考坐标X轴）
Px P n
Py l1 l 2 P o cos P a sin
? 0.707 F ? 0
0 ? ? 0
? ? 0 0
5 3 2 1
i j ny oy k nz a xi a y j a z k oz
注：三个点积约束条件可以用叉积代替，即：
n o a
进一步有
nx ox
第二章 机器人运动学
齐次变换矩阵
• 变换定义为空间的一个运动； • 当空间的一个坐标系（向量、刚体、运动坐 标系）相对于固定的参考坐标系运动时，这 一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表 示； • 变换有如下几种形式： 纯平移， 纯旋转， 平移和旋转的结合。
a 1 o 1 n 1
a o 0
n a 0 n o 0
已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向量的点积是标量。用“ ·”来定义向量点积，即 a ·b = ax bx + ay by + az bz

A y B、z B；则旋转矩阵的表达式 B R为：
x1
r12 r22 r32 r13 r23 r33
y1
A B
R [ A xB
A
yB
r11 r A z B ];或A R B 21 r31
x
A A A 因为单位主矢量 x B、 yB、 zB两两垂直 旋转矩阵A B R是正交矩阵。
cos 0 sin R ( y , ) 0 1 0 sin 0 cos
三、位姿的描述（固接坐标系）
为了完全描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与某 一坐标系{B}相固接。相对参考系{A}，有位置矢量A PB0和旋转矩阵 BA R 分别
7
p}。
2.2、坐标}与{A}具有相同的方位，但是{B}的坐标原点与{A} A 的不重合，用位置矢量 PB0 描述它相对于{A}的位置。如图所 A 示，把 PB0称为{B}相对于{A}的平移矢量，若点p在坐标系{B} 中的位置为 B P ，则它相对于坐标系{A}的位置矢量为 AP
0
yB
B z A 系(坐标旋转方程)为： p、 p 在两坐标系中的变换关 A A B p B R p
性质得
A B
B R和 A R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交矩阵的
B A
A A T R B R 1 B R
9
2.2、坐标变换(续) 三、一般变换
zB
p
z
* B
zA
yB
p* y* B
0
xB
6
2.1、刚体位姿描述(续)
四、手爪坐标系
机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B} 的位姿来表示,如图2-6所示。 坐标系{B}可以这样来确定:取

第3页，共44页。
2.1.1 位置的描述
在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置
(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
px
AP
py
pz
{A} ZA
AP
OA
YA
XA
第4页，共44页。
2.1.2 方位的描述
空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的
z
i
zj
若补齐所缺的有些项，再作适当变形，则有：
xi
cos
xj
sin
yj
0 zj
yi sin x j cos y j 0 z j
zi
0
xj
0
yj
1
zj
第17页，共44页。
xi
cos
xj
sin
yj
0
zj
yi sin x j cos y j 0 z j
zi
0
xj
4 4 6 6 4 4
Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2
1
1
1
1
11
1 1 2 2 1 1 1 1
6 6
1 1
1 1
1
1

第34页，共44页。
2.4 齐次坐标的逆变换
❖ {B}相对于{A}: ABT; ❖ {A}相对于{B}: BAT; ❖ 两者互为逆矩阵.求逆的办法:
c
s
R(
y,
)
0
1
0
R(z, ) s
c
0
0 s c
s 0 c
0 0 1
旋转矩阵的几何意义:
1)

7
（2.16）
000 1
010
坐标系首先绕参考坐标系 z 轴旋转90°，然后绕 y 轴旋转 90°，最后平移 4i －3j+7k，
如图2.9所示。如果以相反次序从左到右来进行这些操作：首先对坐标平移4i―3j+7k， 然
后将它绕当前坐标系的 y 轴旋转 90°，此时当前坐标系的 y 轴与参考坐标系的 y 轴是 相同
P
对平面的平移则用 H－1 进行变换，如对平面 p = [ 1 0 0 -2 ] 进行 H 变换为平面q，则根据变
换原理有
2
0 2
•u 3 y
1 0 0 -4
010 3 q ＝ p H－1 ＝[ 1 0 0 -2 ]
0 0x 1 6-7
＝[ 1 0 0 -6 ]
000 1
图2.3 点向量的平移
平面 p ＝ [ 1 0 0 -2 ] 是 y－z 平面沿 x 正方向移动2个单位形成的平面（图 2.3），点u = [ 2 3 2 1 ]T 是平面 p上的一个点，它们的点乘 p ∙ u = 0。经 H 变换后的 平面 q＝[ 1 0 0 -6 ]是 y－z 平面沿 x 正方向移动6个单位形成的平面，点v = [6 0 9 1]T 是平面 q上一个点，平面 q 与点 v 的点乘也应是零，即 q ∙ v ＝0，说明变换前后的 结果不变，证明 H 变换是正确的。
z
y
u ( 7, 3, 2, 1 )
0
x
z
• n ( 6, 4, 10, 1 )
0
y
x
图2.10 向量的 H 变换
2.7 相对变换（Relative transformation）
我们刚刚描述的旋转和平移都是相对于一个固定的坐标系而进行的。这样，在 已给的例子里