2020合肥二模-理科答案

合肥市2020年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.38 15.2y x =± 16.2π12(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.(本小题满分12分)解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11172114a d a d +=⎧⎨+=⎩. 解得111,22a d ==，所以2n na =.∵()212212322n n n nn b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()1212312n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.∴2n n b =. ………………………………5分(2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222n n n n T n ππππππ--=++++⋅⋅⋅++()()()24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 222(1)2n n nn ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-()()()141444145nn +---+-==-+. ………………………………12分18.(本小题满分12分)解：(1)//CD AB .理由如下：连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN .又∵DM CN = ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点 ∴//MN AB∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点 ∴MP MA ⊥.由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴MA MP MD ，，两两垂直.以M 点为坐标原点，直线MA MP MD ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)， ∴FD = (1，0，1)，FE AP ==(-1，1，0).题号123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A D A B D A C D设平面DFE 的一个法向量为()m x y z = ，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩. 令1x =，则11y z ==-，，∴m =(1，1，-1).由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =(0，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ，则cos cos 3m n m n m n θ⋅=<>==⋅ ，，∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33. ………………………………12分19.(本小题满分12分)解:(1)设直线l 的方程为12y x m =+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.又∵点P (312，)在直线l 的左上方，∴21m -<<.若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，化简得274110m m +-=，解得117m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为11127y x =-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝⎭ ()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()221113m m m m +=+-++-222102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上.………………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)∵010210131p p p <<⎧⎪<≤⎨⎪≤-<⎩，解得103p <≤.()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，()()104E A E B p >⇒<<；()()14E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤.∴当104p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；当14p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分(2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为32128101603y x x x =-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则1160x y ξ=-，213604x x y ξ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3160x x y ξ=--，∴ξ的分布列为()()11130.4600.4600.2604E x y x x y x x y ξ⎡⎤⎛⎫=⨯-+⨯--+⨯--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦322155016032x x x =-++-. ………………………………9分 设()322155016032f x E x x x ξ==-++-，020x <≤，∴()221550f x x x '=-++.()0010f x x '>⇒<<，()01020f x x '<⇒<<.∴()f x 在(0，10)上单调递增，在(]10 20，上单调递减， ∴当10x =时，()f x 取得最大值，即年产量为10万件时，()E ξ取得最大值，此时()()max 10423.3f x f =≈(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望()400200360E A p =-=(万元). 因为423.3360>，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)()sin x f x e x =，定义域为R . ()()sin cos sin 4x x f x e x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.由()0f x '<解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，解得372244k x k ππππ+<<+(k Z ∈).∴()f x 的单调递减区间为372 244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，(k Z ∈). ………………………………4分(2)由已知()sin x g x e x ax =-，∴()()sin cos x g x e x x a '=+-. 令()()h x g x '=，则()2cos x h x e x '=.∵()0x π∈，，∴当0 2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '>；当2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<， ∴()h x 在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，即()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ∵()01g a '=-，()0g e a ππ'=--<.①当10a -≥，即01a <≤时，()00g '≥，∴02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭∴02x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，∴当()00x x ∈，时，()0g x '>；当()0x x π∈，时，()0g x '<，∴()g x 在()00x ，上单调递增，在()0x π，上单调递减. ∵()00g =，∴()00g x >.又∵()0g a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，此时()g x 在()0 π，上仅有一个零点. ②若13a <<时，()0g '=10a -<，又∵()g x '在0 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，又202g e a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭,∴10 2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x '=，()20g x '=， 且当()10x x ∈，、()2x x π∈，时，()0g x '<；当()12x x x ∈，时，()0g x '>.∴()g x 在()10x ，和()2x π，上单调递减，在()12x x ，上单调递增. ∵()00g =，∴()10g x <.∵2230222g e a e πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，∴()20g x >.又∵()0g a ππ=-<，由零点存在性定理可得，()g x 在()12x x ，和()2x π，内各有一个零点，即此时()g x 在()0 π，上有两个零点. 综上所述，当01a <≤时，()g x 在()0π，上仅有一个零点；当13a <<时，()g x 在()0π，上有两个零点. ………………………………12分22.(本小题满分10分)(1)曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得，曲线C 的普通方程为221259x y +=.∵sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 0θρθ+-=，∴直线l0y +-=. ………………………………5分(2)设直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1212697t t t t +==-.∵M 点在直线l 上， ∴127MP MQ t t +=-===. ………………………………10分23.(本小题满分10分)(1)由题意知，32为方程135x x m -+-=的根，∴391522m -+-=，解得1m =.由1351x x -+-<解得，3724x <<，∴74n =. ………………………………5分(2)由(1)知1a b c ++=，∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c +++++≥++. ()()()()22222222222222222221a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc abc ⎡⎤=++=+++++⎣⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立. ………………………………10分。