计算方法第一章绪论

计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。

第一章 绪论一、主要要求通过实验，认真理解和体会数值计算的稳定性、精确性与步长的关系。

二、主要结果回顾：1、算法：电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算，由这些基本运算及运算顺序规定构成的解题步骤，称为算法．它可以用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述。

用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。

（如c —语言程序，c++语言程序，Matlab 语言程序等）。

2、最有效的算法：应该运算量少，应用范围广，需用存储单元少，逻辑结构简单，便于编写计算机程序，而且计算结果可靠。

3、算法的稳定性：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。

换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。

4、控制误差传播的几个原则： 1）防止相近的两数相减； 2）防止大数吃小数；3）防止接近零的数做除数；4）要控制舍入误差的累积和传播；5）简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累。

三、数值计算实验（以下实验都需利用Matlab 软件来完成） 实验1.1（体会数值计算精度与步长关系的实验）实验目的：数值计算中误差是不可避免的，要求通过本实验初步认识数值分析中两个重要概念：截断误差和舍入误差，并认真体会误差对计算结果的影响。

问题提出：设一元函数f :R →R ，则f 在x 0的导数定义为：hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→实验内容:根据不同的步长可设计两种算法,计算f 在x 0处的导数。

计算一阶导数的算法有两种：hx f h x f x f )()()('000-+≈（1）hh x f h x f x f 2)()()('000--+≈（2）请给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工作： 1、对同样的h ，比较(1)式和(2)式的计算结果；2、针对计算高阶导数的算法，比较h 取不同值时(1)式和(2)式的计算结果。

第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。

例:设x==3。

1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。

由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。

逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。

二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。

将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。

3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。

第一章绪论§1.1引言最优化：就是从所有可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的学科。

这样的问题称为最优化问题，达到最优目标的方案称为最优方案，寻找最优方案的方法称为最优化方法。

广义上：运筹学(Operation Research)狭义上：数学规划（programming)发展:(1)最优化问题是一个古老的问题。

早在17世纪，Newton和Leibniz已经提出了函数的极值问题，但没有系统的理论.因为算法不完善及计算工具不先进，以后二、三百年发展缓慢。

（2）第二次世界大战中由于军事上(战略、战术）的需要，如资源调配问题运输问题提出了许多不能用古典方法解决的问题，从而产生了线性规划，非线性规划、动态规划、组合优化等新方法，产生运筹学，（3）但直到20世纪40年代，最优化的理论和算法才得以迅速发展，并不断完善，逐步成为一门系统的学科。

在实际中最优化方法发挥的作用越来越大，其应用越来越广泛，尤其是在工程设计中的应用。

重要性：因为应用广泛所需数学知识：高等数学、线性代数§1.2 优化问题的模型举例例1 产品调运问题设某产品有个产地，各产地产品的产量分别为m 12,,,m a a a 有n 个销售地，每个销地的销量分别为12,,,n b b b 设由第i 个产地到第j 个销地的运费单价为ijc 问如何安排运输计划，使总运费最小（假设产销平衡）。

ij x 解设由第i 个产地到第j 个销地的运输量为1n j =∑1m i =∑min1(1,2,,)n ij i j x a i m ===∑ 1(1,2,,)m ij j i x b j n ===∑ ..s t ij ij c x 1a i a m a 1b j b n b ij c ij x例2将非线性方程组的求解转化为一优化问题。

11221212(,,,)0(,,,)0(,,,)0n n n n f x x x f x x x f x x x =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩212121min (,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x ϕ==∑ 解非线性方程组在有解的情况下，等价于§1.3 优化问题的模型与分类1 根据问题不同特点的分类（1）无约束优化问题（unconstraint optimizationproblem ）12min (,,,)n f x x x 12(,,,)Tn x x x = x min ()n x R f ∈x min (),nf R ∈x x (P)(P)min ()..()0,1,2,,j f s t h j l ⎧⎨==⎩ x x min ()..()0,1,2,,i f s t g i m ⎧⎨≥=⎩ x x min ()..()0,1,2,,,()0,1,2,,i j f s t g i m h j l⎧⎪≥=⎨⎪==⎩ x x x （2）约束优化问题（constraint optimization problem ）(P 1)(P 2)(P 3)12(,,,)T n x x x = x 称为决策变量()f x 称为目标函数()j h x 称为约束函数()0(1,2,,),()0(1,2,,)i j g i m h j l ≥=== x x 称为约束条件()i g x 满足约束条件的点称为可行解（feasible solution ）{}|()0,1,2,,;()0,1,2,,i j R g i m h j l =≥=== x x x (P3)的可行域（feasible region ）2 根据函数类型分类1)线性规划（linear programming）.2)二次规划。