计算方法第一章绪论

科学计算的意义

V.Neumann(1903-1957)1945年研制的第一 台计算机带来了科学研究的新的革命，将科 学家从繁重的劳动中解放出来，目前，科学 计算已发展成为一种研究方法，“科学计算 与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为当 今科学活动的三大方法。
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉 四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。 -------《九章算术》
(((an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
这样的算法只需作n次乘法和n次加法运算， 这种方法称为秦九韶算法。
秦九韶算法
Pn ( x) an x an1 x
n

n1
a1 x a0
算法：从已知出发，经过有限次四则运算及规定的 运算顺序构成的完整的计算步骤。

二、实验一表占40（二表占20）分

以最后的实验上机考试分数为准，成绩以百分制给出， 最后折合。上机考试使用机试系统。程序填空和程序改 错各1题。

三、期末笔试一表占50分（二表占70分）

笔试试卷以百分制给出，最后折合。第8周课内时间考。
上机要求
按学号坐(见上机安排) 课前把程序写在纸上或者把空填好 教材和实验讲义都带着 保存自己调好的程序 交2次实验报告

算法研究的意义
算法研究的意义
引例1 计算n次多项式的值
Pn ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
1. 如果不设计算法需进行的运算次数为：
n(n+1)/2次乘法和n次加法。
2. 若简单设计一下算法
pn ( x) (an x an1 ) x n1 an2 x n2 a1 x a0 pn ( x) ((an x an 1 ) x an 2 ) x n 2 a1 x a0
计算方法
参考资料


《数值分析》李庆扬、王能超、易大义
华 中理工大学出版社1982年
计算方法—算法设计及其MATLAB实现
王能超 ，高等教育出版社 2005年
计算机数值计算方法及程序设计
周煦 机械工业出版社
《数值方法》金一庆 陈越 机械工业出版社 《计算方法引论》徐萃薇 高等教育出版社 计算方法精品课网站http://jsff.dlpu.edu.cn/zcr-1.htm
1950
55196
1960
1970 1980 1990 2000
66207
82992 98705 114333 126743
y 1t 3 2t 2 3t 4
s (t 1979 / 30 )
y 1s 2 s 3s 4
3 2
曲线拟合
建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机 器将一块平整的铝板压制而成的.

牛顿迭代、曲线拟合
科学计算的意义

科学计算与科学实验、科学理论并列为科学方法论 的三大组成部分。 关键时期和代表性的人物
1.Galileo(1564-1642)是实验物理的开创者，倡导科学的
数学化，为近代科学制订了具体而有效的程序，通过关 键实验，演绎基本原理，达到认识世界的目的，霍金称 他为近代科学奠基人。 Kepler（1571-1630）对行星数据的计算和分析，提出 行星运动三大定律，是按此程序研究的一个成功典范。
S3
4
2
S4 S1
0 10 S2 5
R
一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
6
4 2 N-S positions 0 0 图 7.8

8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
' 2

48
0
1 (cos x) 2 dx
上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普 通方法来计算.
数值积分
A，B，C是三种蛋白质，其反应如下：
A B
a1
B B C B
a2
B C A C
a3
A： y1' a1 y1 a3 y2 y3 B：
' 3
输入多项式的次数n和系数（ an,an-1,…,a1 ,a0）及x s= an
做循环 i=n-1，……，0 s=s*x+ai
输出s

此算法要求上机完成
秦九韶简介

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九 韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季 栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤 学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县 尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、 安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今 广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行 虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等 资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时， 把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名 的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这 不仅 在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设 计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他 所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在， 世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到 他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成 果，比英国数学家取得的成果要早500多年。
y1 (0) 1
y2 (0) 0
' 2 y2 a1 y1 a3 y2 y3 a2 y2
C： y
a y
2 2 2
y3 (0) 0
常微分方程的数值方法
第1章 引论
1.1 计算方法的研究内容与意义 1.2 误差 1.3 数值方法的稳定性与算法设计原则

1.1计算方法的研究内容与意义
Axb
线性方程组的数值方法！
x sin x t 0, 0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
8 S6 6
Height
Baidu Nhomakorabea
S5
( x, y, z, t ) 表示地球上
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L

48
0
1 ( f ( x)) dx
科学计算的意义


2.Newton（1642-1725）开创了微积分，提出了力 学的三大定律，特别是万有引力定律，是科学发展 进入理论思维的标志。 Einstein（1878-1955）提出的相对论是这种理论思 维的顶峰，在几个世纪中，实验方法和理论分析一 直强有力地推动着科技的发展，科学家们也没有停 止过使用科学计算来进行研究，但由于以前没有计 算机，计算只能是小规模的。

计算方法研究的内容
研究用计算机解决数学问题的数值方法和理论。 计算机解决实际问题的步骤 实际问题 建立数学模型 选择数值算法 编程计算结果 主要任务 算法设计及其理论分析和编程实现
算法设计：计算速度、存贮量等 算法分析：收敛性、稳定性及误差分析等
讲授内容 非线性方程求根、线性方程组求解、插值与拟合、数值积分、常 微分方程初值问题的数值解法
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f ( x , x , x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , xn ) 0
记为 其中
F ( x) 0
F:D R R ,
n n
x ( x1 , x2 ,, xn )
T
4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：
秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在：
1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学 名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐 大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍 类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱 谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问） 共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、 测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、 赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现 在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著 述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分 组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案； “术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。 此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表 着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。 我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年） 是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术 （不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界 数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人 的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”
http://math.fullerton.edu/mathews/numerical.html
考核方式

一、平时占10分
1．平时表现占10分，扣分标准如下（扣到0为止）： (1)旷课1次扣2分; (2) 迟到、早退1次扣1分; (3)违反课堂纪律扣1~3分; (4)替答到扣3分，被替扣2分; (5)上机聊天、玩游戏、带耳机等发现一次扣1分。 (6) 作业不及格或没交一次扣1分。
2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界 数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同 余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也 为世界数学作出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年 秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次 方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年 英国人霍纳（W· Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术， G· 列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法， 给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。 此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完 全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧 洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的 加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。 秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦 （Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中 的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在 十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算 方法，至今仍有意义。
1、一个两千年前的例子
3 x 2 y z 39 2 x 3 y z 34 x 2 y 3 z 26
a11 a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 b1 x2 b2 x b n n
深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如 500米，600米，1000米…）处的水温
插值法
下面给出的是中国1900年 到2000年的人口数，我 们的目标是预测未来的人 口数（数据量较大时）