2.5.2等比数列前n项和的性质(1)

命题角度2 通项公式、前n项和公式的综合应用 例2 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解 由题意，得若q＝1， 则S3＝3a1＝6，符合题意. 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
若q=1，则Sn na1
Sn

na1 a1(1

q
n
1 q
)
, ,
q 1 (完整版） 错位相减法
q 1
类型一 等比数列前n项和公式的应用 命题角度1 前n项和公式的直接应用 例1 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； 解 因为 a1＝12，q＝12， 所以 S8＝1211－－12128＝225556.
Sn 2n1 2
1.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于
1－xn A. 1－x
1－xn－1 B. 1－x
√C.11－－xxn，x≠1， n，x＝1
解析 当x＝1时，Sn＝n；
当
x≠1
1－xn 时，Sn＝ 1－x .
1－xn－1

D.
1－x
，x≠1，
n，x＝1
(2)a1＝27，a9＝2143，q<0.
解 由 a1＝27，a9＝2143，可得2143＝27·q8.
又由 q<0，可得 q＝－13，
所以
S8＝a11－－aq8q＝a11－－aq9＝217－－－214313＝1
640 81 .
反思与感悟 求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末

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1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
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等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )

2.5.2 等比数列前 n 项和的性质
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
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1
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
即S3n＝70.
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5
”
小狐狸狗长得俊俏，又聪明伶俐，和小狐狸、小狗们处得可融洽了，小狐狸们有义务劳动的时候，他去参加。”
蜜蜂循声音望去，果真是热闹非凡，大大小小的苍蝇乱轰轰地飞舞着，蟑螂在爬行，蛆虫在蠕动;地面上乌七糟八的东西更是应有尽有，脏土废纸菜根烂叶，还有不少鱼骨肉渣— —原来是一个兼收并蓄的大垃圾场，这就是苍蝇吹崇备至的居处。”
4
题型1 等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
自主解答：解法一：设数列为{an}，
依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
“玻璃粉屑?”老鹰迟疑了一会。 上海松江注册公司
地主”
那人问：“你怎么了?为什么浑身发抖?” 小老鼠“吱吱”尖叫着说：“我遇见一只猫，吓得要死。最近4年来，我才明白一个人生来不能光为自己，还要为别人服务。， 他家花园里种了一丛樖鳎人们就给他起了个绰号，叫做“樖鞯刂鳌薄 他知道了这个绰号，认为这是对他的嘲弄，便把整个樖鞔匀部砍掉，以为这样一来就不会再有这样一个讨厌的绰号了?可是，树丛砍掉了，还有树桩呢!人们又开始称他为“树桩

等比数列的前n 项和【知识要点】1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式推导方法． 【学习要求】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1． 教材开头的问题可以转化成求首项为 ，公比为 的等比数列的前 项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= ② 思考：①,②的右边相同的项有 1 ； 如何消去这些相同的项？ 得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn= （q ≠1）； 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn= （q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 当ｑ=１时，Sn= ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？ ； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = ，从函数的角度看，可以由指数函数n q 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()．()A 63 ()B 64 ()C 127()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn ． 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a , =2a ,=3a ,a 的值为 ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = ；n = .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = ；q = .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{.12⋅=-=1.若等比数列{}n a 前n 项的和,5m s n n +=则()=m ．()1-A ()1B ()5-C ()5D ．2. 若等比数列{}n a 前n 项的和,13-=n n s 则此数列为().()A 等差数列 ()B 等比数列 ()C 常数数列 ()D 递减数列．3. 在等比数列{}n a 中，（1）已知64,141=-=a a ，则=q ，=4s ； （2）已知,29,2333==s a ，则=q ，=1a 或=q ，=1a ． 4.如果一个等比数列{}n a 前5项的和为10，前10项的和为50，那么它15项的和 为 ．5. 在等比数列{}n a 中，已知12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则求2232221n a a a a +⋅⋅⋅+++．6.已知n s 是等比数列{}n a 的前n 项和，693,,s s s 成等差数列，求证582,,a a a 成等差数列．1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()=24a s ．()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2.（2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-=必修5 2.5 等比数列的前n 项和（教案）【教学目标】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 2. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式； 3. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【重点】1．掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题； 【难点】1. 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式；2. 从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力和技巧． 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 55 页～第 57 页）1．教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和. 2.公式推导 一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是 Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n 由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①② 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ② 思考：①,②的右边相同的项有 a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ；如何消去这些相同的项？用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n ， 当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1）；又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qqa a n --11（q ≠1）；上述推导公式的方法叫作错位相减法，适用的求和类型是： 数列的通项由两部分的积组成，一部分是等差数列，一部分是等比数列 当ｑ=１时，Sn= 1na ．3. 等比数列的前n 项和Sn （q ≠1）中含有5个量， （1）注意公比q 是否为1；（2）应用公式能解决哪些问题？知其中三个通过联立方程（组）求另外两个； （3）在公式中，当1q ≠时，如果令1,1a A q=-那么n s = n A Aq - ，从函数的角度看可以由指数函数nq 的图象变换得到．4. 数列{}n a 的前n 项和n s 构成一个新的数列：123,,,,,n s s s s ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则新数列的递推关系为()()111,(1).n n n s a s s a n -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩ 【基础练习】1. （2008.福建）设等比数列{}n a 的公比0>q ，若16,151==a a ，则数列{}n a 前7项的和为()C ．()A 63 ()B 64 ()C 127 ()D 128．2.已知等比数列{}n a 的下列条件，求前n 项和Sn ． （1）13,2,6;a q n ===（2）1112.7,,;390n a q a =-=-=（3）1581,16,a a ==求前5项和Sn 答：（1）189n s =；（2）9145n s =-（3）211n s =或55.n s = 3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和3,n n s a =+则=1a 2 , =2a 6 ,=3a 18 ,a 的值为 1- ．4. 已知数列{}n a 的通项公式为(21)7n n a n =-⨯，求其前10项的和10.s 提示：231010173757197.s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 解：231010173757197,s =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯2351011107173757177197.s ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯两式相减得：23101110617272727197,s -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯121014479s +⨯∴=．【典型例题】类型一 等比数列前n 项和的基本性质 例1 （1）求下列等比数列前8项和；①111,,,248⋅⋅⋅⋅⋅⋅；② 19127,,0.243a a q ==< （2）求等比数列1,2,4,8,⋅⋅⋅,从第5项到第10项和．（3）在等比数列{}n a 中，12166,128,n n a a a a -+==且126n s =，求项数n 和公比.q【审题要津】这里能用的公式有等比数列通项公式与前n 项和公式，而前n 项和公式只有两种情况，直接利用公式或通过通项公式转化．解：（1）①8181112211255,,12225612a q s ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==∴==-； ②8191127,,27,243243a a q ==∴=⨯8116400,,.381q q s <∴=-∴= （2）10410412121008.1212s s ---=-=-- （3）1211128,66n n n a a a a a a -==+=，12,64n a a ∴==或164, 2.n a a ==当1q >时，264126.1n qs q-==-解得2,q =6;n = 当1q <时，642126.1n qs q-==-解得1,2q = 6.n =【方法总结】结合等比数列通项公式与前n 项和公式，正确分析条件，选择恰当的公式求解．【变式练习】1.已知等比数列{}n a 中，42,1,q s ==则8s = 17 .2. 已知等比数列{}n a 中，13,46875,39063,n n a a s =-=-=- 则q = -5 ；n = 7 .3. 已知等比数列{}n a 中，3312,9,a s =-=-则1a = -3 ；q = -2 .类型二 等差与等比数列的综合例2 （全国）已知等差数列{}n a ，259,21,a a ==求：（1）{}n a 的通项公式；（2）令2,n an b =求数列{}n b 的前项和.【审题要津】等差数列、等比数列是数列的特例和基础，注意它们基本公式在解题的思路和作用.解：（1）设数列{}n a 的公差d ，依题意得119421a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15,4a d ==.故{}n a 的通项公式为4 1.n a n =+ （2）由41n a n =+得412,n n b +=当412,2,nn b n b -≥= 所以{}n b 是首项512,b =公比42q =的等比数列. 故得{}n b 的前n 项和()()54442213221.2115n n n s --==-【方法总结】利用基本量、基本公式解题是数列的基本思路和方法. 类型三 数列的求和例3（1）()()()()23123;ns a a a a n =-+-+-+⋅⋅⋅+-（2）12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s ．【审题要津】观察数列的通项，适当变形后，转化为等差或等比数列求解． 解：（1）拆项法求和()2123n s a a a n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+1(1)(1)12n a a n n s a a +-+∴=-≠-当 (1)1,.2n n a s na +==-（2）错位相减法求和12321-+⋅⋅⋅+++=n n nx x x s n n n nx x n x x xs +-+⋅⋅⋅++=∴-12)1(2 n n n nx x x x s x -+⋅⋅⋅+++=-∴-121)1( 当1x ≠时，;1)1(12xnx x x s nn n ----= 当1x =时，.2)1(+=n n s n 【方法总结】认真观察分析数列的通项，（1）拆项法求和：适当变形后，转化为两个等差或等比数列求和后再求和差；（2）当数列的通项可化为等差与等比的积或商时，可用错位相减法求和；（3）应用并体会数列求和中的转化的思想方法． 【变式练习】nn n n n n Sn n T n b a b ；a n n n a 项和的前求数列若是等差数列证明数列项和的前已知数列}{,2)2(}{)1(.32}{2⋅=-=.2)94(182)94(182)54(21)21(4422)54(242②①　② ,2)54(2)94(22①,2)54(232,25)(4n (2)b 1.a 4,d }{a ,45)1(45n 4a a ，2n *).(54a ，a .54)1(31)-2(n 3n 2n S S a ，2n 1,S a 1:1n 1n 1n 11n 2112n 21n 1n 1n n n 1221n n n 11+++-++--⋅-+=∴⋅---=⋅----⋅+-=⋅-++⋅+-=--⋅-+⋅-++-=⋅-++⋅+-=∴⋅-=-===+---=-≥∈-=-=-+--=-=≥-==n T n n n T n n T n T n N n n n n n n n n n n n n 得是等差数列且所以时当故适合上式又时当）证明（解1.（2008.宁夏）设等比数列{}n a 的公比,2=q 前n 项的和为n s ，则()C a s =24． ()A 2 ()B 4 ()C 215 ()D 217．2. （2008.全国）在数列{a n }中，.22,111n n n a a a +==+.}{)2(}{2)1(1n n n n nn S n a ；b ：，a b 项和的前求数列是等差数列数列证明设-= 解：()() 1.1)2(n 2n 1)(2 2n 2221S 两边相减得,2n 2222S 得：2两边乘以,2n 23221S 2n a 即n,2a 知1 2.的等差数列1公差为1,是首项首}{b 因此1,a b 又 1.b 12a 222a 2a b 得22a a 由已知数 (1) n n n n 1n 21n n 2n 1n 21n 1n n 1n nn 11n 1n n n n n n 1n 1n n n 1n +-=⋅+--=⋅+-⋯----=⋅+⋯+⋅+=⋅+⋯+⋅+⋅+=⋅====+=+=+==+=-----+-+由。