排列组合讲义

排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。

○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

3、A和C的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤，即组合是排列的一局部且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求组合：C〔M，N〕＝M！÷〔N！×〔M－N〕！〕条件：N<=M排列：A〔M，N〕＝M！÷〔M－N〕！条件：N<=M为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C〔M，N〕当中N取值过大，那么我们可以看M－N的值是否也很大。

如果不大。

我们可以求C〔M，[M－N]〕，因为C〔M，N〕＝C〔M，[M－N]〕一、排列组合常见的恒等公式1、C〔n，0〕＋C〔n，1〕＋C〔n，2〕＋……＋C〔n，n〕＝2^n2、C〔m，n〕＋C〔m，n＋1〕＝C〔m＋1，n＋1〕针对这2组公式我来举例运用(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？解答：C〔9，0〕＋C〔9，1〕＋……＋C〔9，9〕＝2^9=512(2)，公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多项选择1副，且甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70，求，甲挑选了多少副参加展览？C〔8，n〕＝70 n＝4 即得到甲选出了4副。

二、排列组合的根本理论精要局部〔分类和分步〕(1)、加法原理〔实质上就是一种分类原那么〕：一个物件，它是由假设干个小块组成的，我们要知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比方，我们知道每一个小块的重量，然后计算总和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原那么。

排列组合当中，当我们要求某一个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成假设干个小事件来看待。

化整为零，例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。

问有几种方法。

根据分类的方法。

我们可以看，第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A〔5，5〕第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A〔5，5〕我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。

排列组合讲义（含答案）排列组合、⼆项式定理、参数⽅程、极坐标.⼀、排列组合：主⼲⽅法：特殊优先，分开插空，相邻捆绑，正难则反，先选后排，分类穷举，定序扣数，分组分堆.1.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待⼯作，每个场馆⾄少分配⼀名志愿者的⽅案种数为（）A. 540B. 300C. 180D. 1502. 某⼯程队有6项⼯程需要单独完成，其中⼯程⼄必须在⼯程甲完成后才能进⾏，⼯程丙必须在⼯程⼄完成后才能进⾏，有⼯程丁必须在⼯程丙完成后⽴即进⾏。

那么安排这6项⼯程的不同排法种数是。

（⽤数字作答）3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项⽬,且在同⼀个城市投资的项⽬不超过2个,则该外商不同的投资⽅案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种4. 3张卡⽚的两⾯分别写有1和2，3和4，5和6，将这三张卡⽚任意拼盘，可以组成多少个不同的三位数？_________.5.现从男.⼥共8名候选学⽣中选出2名男⽣,2名⼥⽣分别参加全校资源、⽣态、环保三个夏令营,且每个夏令营⾄少⼀⼈参加，已知共有1080种不同的参加⽅案.则候选的8位学⽣的构成情况是( )A.2名男⽣、6名⼥⽣B.6名男⽣、2名⼥⽣C.4名男⽣、4名⼥⽣D.5名男⽣、3名⼥⽣6.5名乒乓球队员中,有2名⽼队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体⽐赛,则⼊选的3名队员中⾄少有⼀名⽼队员,且1、2号中⾄少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)7. 有4张分别标有数字1，2，3，4的红⾊卡⽚和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝⾊卡⽚，从这8张卡⽚中取出4张卡⽚排成⼀⾏．如果取出的4张卡⽚所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（⽤数字作答）．8.某⼈有4种颜⾊的灯泡（每种颜⾊的灯泡⾜够多），要在如题图所⽰的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装⼀个灯泡，要求同⼀条线段两端的灯泡不同⾊，则每种颜⾊的灯泡都⾄少⽤⼀个的安装⽅法共有种（⽤数字作答）.例8图A BC 1A1B练习：如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊，则不同的涂⾊⽅法有（A ）288种（B ）264种（C ）240种（D ）168种答案：例1.D ；例2.20；例3.D ；例4.48；例5.D ；例6.48.例7.432.例8.216⼆、⼆项式定理：1.若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．122. 在()()1n x n N *+∈的⼆项展开式中，若只有5x 的系数最⼤，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113.已知n 展开式中，各项系数的和与其各项⼆项式系数的和之⽐为64，则n 等于（）Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 4.设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211a a a a ++++ 的值为（）Ａ．2- Ｂ．1-Ｃ．1 Ｄ．2 5. 如果2323n x x ??- ??的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．106. （1+2x 2）(x －1x )8的展开式中常数项为。

排列组合问题专项讲义知识点+例题+练习题+详细解析基本知识框架：加法原理排列数 排列数公式综合应用乘法原理 组合数 组合数公式一、基本概念：乘法原理：一般地，如果完成一件事情需要n 步，其中，做第一步有a 种不同的方法，做第二步有b 种不同的方法，…，做第n 步有x 种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ×b ×…×x种不同的方法。

加法原理：一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有a 种不同的做法，第二类方法中有b 种不同的做法，…，第n 类有x 种不同的做法，那么，完成这件事一共有：N ＝a ＋b ＋…＋x种不同的方法。

排列、排列数一般地，从n 个不同的元素中任意取出m(n ≥m)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数。

记做mn A 。

m n A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)组合、组合数一般地，从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素组成一组，不计组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

从n 个不同的元素中取出m(n ≥m)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数。

记座mn C 。

m nC ＝m n m m A A ＝n(n －1)(n －2)(n －3)…(n －m ＋1)÷!m 二、常见的解题策略1、特殊元素优先排列2、合理分步与准确分类3、排列、组合混合问题先选后排4、正难则反，等价转化5、相邻问题捆绑法6、不相邻问题插空法7、定序问题除法处理8、分排问题直排处理 9、“小集团”问题先整体后局部10、构造模型 11、树形图三、排列组合例题1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如下图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？8.从5个声母，3个韵母中每次取出3个声母2个韵母的排列方法有多少种？9.4名男生5名女生站成一排，如果男生不分开，女生也不分开，有多少种不同的站法？10.五对孪生兄妹排成一排，每对兄妹不能分开，共有多少种排法？11.7人站成一排，其中4名男生，3名女生；如果限定女生不站两头，且女生站在一起，一共有多少种不同的站法？四、应用排列组合解决计数问题1、在一个半圆周上共有12个点，如右图，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？方法一解：三个顶点都在半圆弧上的三角形有37C ＝35（个）两个顶点在半圆弧上，一个顶点在线段上的三角形有27C ×15C ＝105（个）一个顶点在半圆弧上，两个顶点在线段上的三角形有17C ×25C ＝70（个）由加法原理得：35＋105＋70＝210（个）答：略方法二（排除法）解：312C －35C ＝220－10＝210（个）答：略2、如下图，问：①右图中，共有多少条线段？ A B C D E F G②下右图中，共有多少个角？解：①图中任何两点都可以得到一条线段，这是一个组合问题，图中共有7点，所以：27C ＝21共有21条线段。

排列组合知识讲解一、排列1.排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）2.排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．3.排列数公式：A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤． 4.全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． 5.n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．二、组合1.组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．2.组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．3.组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mnn n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：①C C m n m n n-=； ②11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）三、排列组合一些常用方法1.特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2.分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3.排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4.捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5.插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6.插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7.分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8.错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．四、实际问题的解题策略1.排列与组合应用题三种解决途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 注意：求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2.具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典型例题一．选择题（共20小题）1．（2018•新课标Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故选：D．2．（2018•天心区校级模拟）某地精准扶贫正在进行验收，验收组要对一自然村庄8户贫困户进行验收．验收方案对入户顺序作如下规定：甲贫困户须是第一户验收，乙贫困户不能是末尾一户验收，丙贫困户须放在末尾两户验收，则验收组入户方案共有（）A．1320种B．5040种C．1440种D．1520种【解答】解：由题意可知：丙贫困户须放在末尾验收，则验收方法有：种，丙贫困户须放在末尾倒数第二户验收，验收方法有：种，则验收组入户方案共有：+=1320（种），故选：A．3．（2018•凯里市校级二模）2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校（“全国理工联盟”）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中，7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（）种A．5040 B．4800 C．3720 D．4920【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，若教师甲上第六节课，将剩余的6名教师全排列，安排在其他6节课的位置，有A66=720种排法，②，若教师甲上不上第六节课，由于甲不能上第三节课，则甲有5种安排方法，教师乙不能上第六节课，则以有5种安排方法，将剩余的5名教师全排列，安排在其他5节课的位置，有A55=120种排法，则此时有5×5×120=3000种安排方法，则7名教师上课的不同排法有720+3000=3720种；故选：C．4．（2018•邵阳三模）现有大小和颜色相同且标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，将六个小球放到甲、乙两个盒子里，要求标号为1，3的小球必须在同一个盒子，且每个盒子中至少有两个小球，则不同的方法有（）A．15 B．18 C．20 D．22【解答】解：根据题意，分2步情况分析：①，将6个小球分成2组，若1、3单独一组，有1种情况，若1、3与其他1个小球1组，有C41=4种情况，若1、3与其他2个小球1组，有C42=6种情况，则有1+4+6=11种分组方法；②，将分好的2组全排列，对应甲乙两个小盒，有A22=2种情况，则有2×11=22种不同的放法；故选：D．5．（2018•延安模拟）设集合A={﹣1，0，1}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={（x，y）|x∈A，y∈A}，∴B中x有3种取法，y有3种取法，则B中所含元素的个数为：3×3=9．故选：C．6．（2018•山西一模）某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A．6种 B．12种C．18种D．24种【解答】解：根据题意，分3步分析：①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C41=4种情况，②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C31=3种情况，③，剩下的2人负责拖地，有1种情况，则有4×3=12种不同的分工；故选：B．7．（2018•西安二模）由2，3，4，5，6这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【解答】解：根据题意，要求三位数中各位数字之和为偶数，则分2种情况讨论：①，三位数的三个数字都为偶数，将2、4、6三个数字全排列，有A33=6种情况，即有6个符合条件的三位数，②，三位数的三个数字中有2个奇数，1个偶数，在3个偶数中任选1个，与3、5一起组成三位数，有3×A33=18种情况，即有18个符合条件的三位数，则一共有6+18=24个符合条件的三位数，故选：B．8．（2018春•薛城区校级期末）某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（）A．14 B．8 C．6 D．4【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所选的四人中有1名女生，则有3名男生，有C43C21=8种情况，②、所选的四人中有2名女生，则有2名男生，有C42C22=6种情况，则所选的四人中至少有一名女生的选法有8+6=14种；故选：A．9．（2017秋•东安区校级期末）=（）A．B．C．D．【解答】解：===．故选：D．10．（2018春•抚顺期末）某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（）A．18种B．12种C．432种D．288种【解答】解：根据题意，6人中除甲乙丙之外的3人为a、b、c，分2步进行分析：①，先在6人中选出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，若甲、乙、丙三人都参加，在a、b、c三人中任选1人，有3种情况，若甲、乙、丙三人有2人参加，在a、b、c三人中任选1人，有C31C31=9种情况，则有3+9=12种选法；②，将选出的4人全排列，安排4人的顺序，有A44=24种顺序，则不同的发言顺序有12×24=288种；故选：D．11．（2017秋•东安区校级期末）十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有（）A．24种B．16种C．12种D．10种【解答】解：根据题意，起点为4种可能性，终点为3种可能性，因此，行车路线共有C41×C31=12种，故选：C．12．（2018春•南昌期末）将编号为1，2，3，4的四个小球放入A，B，C三个盒子中，若每个盒子至少放一个球，且1号球和2号球不能放在同一个盒子，则不同的放法种数为（）A．30 B．24 C．48 D．72【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4只小球分成3组，其中1、2号球不能分到同一组，有C42﹣1=5种分组方法，②，将分好的3组全排列，放进A，B，C三个盒子中，有A33=6种情况，则一共有5×6=30种不同的放法；故选：A．13．（2018春•罗庄区期中）按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，则父母血型的所有可能情况有（）A．12 种B．6 种C．9 种D．10 种【解答】解：由题意，他的父母的血液类型都是A、B、O三种之一，该人的血型的O型，故每人的血液类型有三种可能则其父母血型的所有可能情况有3×3=9种；故选：C．14．（2018春•碑林区校级期中）4名学生选修3门不同的课程，每个学生只能选修其中的一门，则不同的选修方法有（）A．4种 B．24种C．64种D．81种【解答】解：根据题意，4名学生选修3门不同的课程，且每个学生只能选修其中的一门，每人都有3种选法，则四人一共有3×3×3×3=81种选法；故选：D．15．（2018春•大武口区校级期中）甲、乙等5人在南沙聚会后在天后宫沙滩排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）A．24种B．48种C．72种D．120种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，由于甲和乙必须相邻，将甲乙看成一个整体，考虑其顺序，有A22=2种情况，②，将这个整体与其他3人全排列，有A44=24种情况，则甲和乙必须相邻的排法有2×24=48种；故选：B．16．（2018春•小店区校级期中）5个节目，若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有（）A．120种B．80种C．48种D．20种【解答】解：根据题意，设5个节目中除甲、乙、丙之外的2个节目为a，b；分2步进行分析：①，将甲乙丙三个节目按给定顺序排好，②，排好后有4个空位，将a安排到空位中，有4种情况，排好后有5个空位，将b安排到空位中，有5种情况，则不同的排法有4×5=20种；故选：D．17．（2018春•龙岩期中）某天某校的校园卫生清扫轮到高二（5）班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）A．240种B．150种C．120种D．60种【解答】解：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法，故选：D．18．（2018春•历下区校级期中）把5个不同小球放入4个分别标有1～4号的盒子中，则不许有空盒子的放法共有（）A．240种B．320种C．360种D．480种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先将5个小球分成4组，有C52=10种分组方法，②，将分好的4组全排列，对应放到4个盒子中，有A44=24种放法；则则不许有空盒子的放法共有10×24=240种；故选：A．19．（2018春•禅城区校级期中）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）A．73B．37C．D．【解答】解：∵共7名旅客，每人从3个风景点中选择一处游览，∴每人都有3种选择，∴不同的选法共有37．故选：B．20．（2018春•滨城区校级月考）方程C=C的解集是（）A．{1，3，5，7}B．{1，3，5}C．{3，5}D．{1，3}【解答】解：∵方程C=C，∴x2﹣x=5x﹣5①或（x2﹣x）+（5x﹣5）=16②，解①得x=1或x=5（不合题意，舍去），解②得x=3或x=﹣7（不合题意，舍去）；∴该方程的解集是{1，3}．故选：D．二．填空题（共1小题）21．（2018•静安区一模）从5名志愿者中选出3名，分别从事布置、迎宾策划三项不同的工作，每人承担一项工作，则不同的选派方案有60种（用数值作答）．【解答】解：根据题意，从5名志愿者中选出3名，分别从事三项不同的工作，则有A53=60种不同的选派方案；故答案为：60．三．解答题（共2小题）22．（2015•概率统计模拟）0～9共10个数字，可组成多少个无重复数字的：（1）四位数；（2）五位偶数；（3）五位奇数；（4）大于或等于30000的五位数；（5）在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第几；（6）五位数中大于23014小于43987的数的个数．【解答】解：（1）先选1个数字排在首位，其它任意排，故有A91A93=4536种，（2）当0在末位时，有A94=3024，当0不在末位时，从2，4，6，8，选一个放在末位，故有A41A81A83=10572种，故五位偶数共有3024+10572=13596种，（3）从1，3，5，7，9选一个放在末位，故有A51A81A83=13440种（4）大于或等于30000的五位数，首位从3，4，5，6，7，8，9任选一个，其它的任意排，故有A71A94．=21168种，（5）比50000大的数，故A51A94=15120个，比50000大50124小的有，前四位为5，0，1，2，最后一位为3，只有50123，故在无重复数字的五位数中，50124从大到小排第15120﹣1=15119个，（6）五位数中大于23014小于43987的数的个数，首位为3为均可以，故有A94=3024个，首位为4时，第二位是0，1，2时有A31A84．=5040个，第二位是3时，有A83﹣1=336﹣1=335个，首位为2时，第二位是3，4，5，6，7，8，9时，有A71A84﹣1=11760﹣1=11759个，故有3024+5040+335+11759=20158个23．（2015•概率统计模拟）7个人排成一排．（1）甲在左端，乙不在右端的排列有多少个？（2）甲不在左端，乙不在右端的排列有多少个？（3）甲在两端，乙不在中间的排列有多少个？（4）甲不在左端，乙不在右端，丙不在中间的排列有多少个？（5）甲、乙都不在两端的排列有多少个？【解答】解：（1）甲在左端，乙不在右端，先排最右端，其余的任意排，故有A51A55=600个，（2）甲不在左端，乙不在右端的排列有，由题意知可以先做出7个人所有的排列．共有A77种结果，减去甲在左端和乙在右端的排列，这样就重复减掉了甲在左端且乙在右端的排列，最后需要加上这个结果，共有A77﹣2A66+A55=3720个，（3）甲在两端，乙不在中间的排列，先排甲两端，再排中间，其余的任意排，故有A21A51A55=1200个，（4）由（2）可知，甲不在左端，乙不在右端的排列有3720个，再排除丙在中间的有3720﹣A55﹣C41C41A44=3126个，（5）先排两端，其它的任意排，故有A52A55=2400个．。

一、排列组合公式（四下）第3讲排列组合公式四年级春季知识点一、 熟练掌握排列的定义和公式． 二、 熟练掌握组合的定义和公式． 三、 能够用排列组合解决简单的问题． 四、 初步区分排列和组合．一、 排列、组合计算1、计算：（1）25A =_______；（2）37A =______；（3）4266A A -=_______．2、计算：（1）24A ；（2）410A ；（3）42663A A -⨯．3、0121112C +C __________.=4、计算：（1）35C ；（2）3210102C C -⨯；（3）45C ，15C ；（4）710C ，310C ．5、计算：（1）01233333C C C C +++；（2）0123444444C C C C C ++++；（3）012345555555C C C C C C +++++；课堂例题方法精讲（4）0121010101010C C C C ++++；（5）012345111111111111C C C C C C +++++．二、 排列问题6、小高、墨莫、卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，其中三个人站成一排，另外一个人拍照，请问：一共会有多少张不同的照片？7、甲、乙、丙、丁、戊5人一起出去游玩，在某一风景点排成一排合照.如果甲站在最右边，那最多可以照____________张不同的照片．8、有8个选手，要在8个人中选出冠军、亚军和季军，有_____________种可能．9、从1~5这5个数字中选出4个数字（不能重复）组成四位数，共能组成多少个不同的四位数？千位是1的四位数有多少个？其中比3000小的有多少个？三、 组合问题10、从100个人中选出99人有___________种不同的选法．11、有9种不同颜色的吊坠，文雯想买2个不同颜色的吊坠，请问有______________种不同的买法．12、墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张，一共有多少种不同的分法？13、在一个圆周上有8个点，那么以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？多少个角？14、有3个人去图书馆借漫画书，发现书架上只剩下8本不同的书．于是有1个人借了2本书，另外2个人每人借了3本书，那么他们一共有多少种不同的借法？四、综合题目15、各位数字互不相同，且不包含0的三位数共有多少个？（2）各位数字互不相同，且不包含0的四位数共有多少个？（3）千位数字是1，且各位数字互不相同，不包含0的四位数共有多少个？（4）各位数字互不相同，不包含0，且比3000小的四位数有多少个？（5）各位数字互不相同，不包含0，且比4999大的四位数有多少个？16、“上升数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字大的多位数（如1234，3468，4679）．“下降数”是指这个数中每个数字都比其左边的数字小的多位数（如5432，9531，7432）．“V型数”是指三位数．．．中，从左往右看数字先下降后上升的数（如546，308，212），问：（1）“上升数”中，四位数共有多少个？（2）“下降数”中，五位数共有多少个？1、如图所示，有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，用这5面小旗一共可以表示出多少种不同的信号？2、计算：（1）37A ；（2）3255A A -．3、有5面不同颜色的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，一共可以表示出多少种不同的信号？4、计算：（1）38C ；（2）32752C C ⨯-；（3）810C ．红 黄 绿 蓝 白随堂练习5、阿呆和阿瓜一起去图书馆借童话小说，发现书架上只剩下6本不同的书，于是每人借了3本，那么他们一共有多少种不同的借法？1、计算：（1）34A =________；（2）3255A A -=________．2、计算：（1）38C =________；（2）32752C C ⨯-=________；（3）211C =________．3、五个同学排成一排照相，有________种不同的照法．4、老师从五个校级优秀学生中选出两个评选市级优秀学生，老师有_______种不同的选法．课后作业5、要从海淀区少年游泳队的10名队员中挑选4名参加全国的游泳比赛，有________种不同的选法．6、10位小朋友上场做游戏，争抢4个不同的橡胶球．最后有4个人各抢到一个球，那么共有________种可能的争抢结果．7、在平面上有10个点，以这些点为端点，一共可以连出________条线段．8、海军舰艇之间经常用旗语来互相联络，方式是这样的：在旗杆上从上至下升起3面颜色不同的旗帜，每一种排列方式就代表一个常用信号，如果共有6种不同颜色的旗帜，那么可以组成多少种不同的信号？9、从3、4、5、6、7这5个数字中选出3个数字（不能重复）组成三位数，共能组成多少个不同的三位数？其中比635小的有多少个？10、（思考题）有五张互不相同的扑克牌，现从中随意抽取若干张（既可以都拿也可以都不拿），有多少种不同的抽取方法？。

排列组合问题一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个）解答：当末尾是0、2、4时，这个三位数是偶数。

——————当末尾是0时，一共有4×3=12种方法。

当末尾是2或4时，一共有2×3×3=18种方法。

所以一共有12+18=30种方法。

科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）解答：C(6,2)×C(5,3)+C(6,3)×C(5,2)=350种插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)解答：分步计算：第一步：先排其它5人，一共有A(5,5)=120种方法，第二步：5个人一共有6个空隙，从这6个空隙中任选2个进行排列，一共有A(6,2)=30种方法。