排列组合复习课(1)上课讲义

排列组合方法篇一、两个原理及区别二、排列数公式三、组合数公式四、排列数与组合数的关系五、二项式定理公式：六、排列组合应用排列组合解法特殊元素优先排； 合理分类与分步； 先选后排解混合； 正难则反用转化； 相邻问题来捆绑； 间隔插空处理法; 定序需要用除法； 分排问题直接法； 集团问题先整体； 有的问题选模型。

○1排列数公式 m n A=)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. ○2排列恒等式 （1）11m m n n A nA--=;（2）11m m m n n nAA mA-+=+.○3会推以下恒等式 （1）1(1)mm nnA n m A -=-+; （2）1m mnn n A A n m-=-; （3）11nn n nn n nA A A ++=-; （4）1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.○1组合数公式 mn C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). ○2组合数的两个性质 （1）m n C =m n n C - ; （2）m n C +1-m n C =m n C 1+. 注：规定10=n C . 1.分类计数原理(加法原理) 12n N m m m =+++ 2.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯m mn n A m C =⋅！. (1)0111()......n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++ *()n N ∈ (2)1k n k k k n T C a b -+= （3）∑=nr rnC=n2(4)13502412n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=.解决排列组合一般思路: 1.审题要清2.分步还是分类3.排列还是组合4.牢记右侧方法常见题型归类及决策：一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 位置分析法和元素分析法2、有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.乙甲丁丙2.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

排列与组合一、学习目标理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素，按照 排成一列.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素作为一组.2.排列数、组合数的定义、公式、性质（1）排列数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)A n m =n (n −1)(n −2)…(n −m +1)= .(iii)A n n =n ！ ，0！=1 .（2）组合数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)C n m =A nm A m m =n (n−1)(n−2)…(n−m+1)m ！= .(iii)C n m =C n n−m ，C n m +C n m−1=C n+1m ，C n n =1 ，C n 0=1 .三、典例探究例1 已知7位同学站成一排.（1） 甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2） 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？变式：3男3女共6位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的不同排法种数是( )A. 576B. 432C. 388D. 216例2小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( ) A. 345 B. 465 C. 1 620 D. 1 860变式：共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完全部台阶的方法种数是( )A. 30B. 90C. 75D. 60方法感悟1.解排列、组合问题要遵循的两个原则（1）按元素（位置）的性质进行分类.（2）按事情发生的过程进行分步.2.两类含有附加条件的组合问题的解题方法（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.四、课堂练习1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A．12B．24C．64D．812．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．2403.现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( )A. 36种B. 18种C. 9种D. 6种4．某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为()A．48B．60C．96D．1685. 从4本不同的课外读物中，选3本送给3位同学，每人1本，则不同的送法种数是( )A. 12B. 24C. 64D. 816. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种。

排列与组合的区别
排列和组合的区别在于是否考虑对象的顺序。在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序不是 关键因素。
排列的定义及计算公式
排列是指从一组对象中选取一部分进行排序的方式。排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n - k)!，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象个数。
常用排列组合公式总结
让我们总结一下常用的排列组合公式，以便在解题时更加便捷地使用它们。
阶乘的含义与计算
阶乘是指从1乘到一个正整数的连乘运算，表示为n！。它在排列组合中起着重要的作用，我们来学习一下如何 计算阶乘。
阶乘的用途
除了在排列组合中使用，阶乘还有其他实际的用途。它在数学、统计学和计 算机科学等领域都有广泛的应用。
概率与排列组合的关系
概率与排列组合密切相关。排列组合提供了计算概率的数学基础，帮助我们确定事件发生的可能性。
概率计算实例
让我们通过一个实际的例子来理解概率计算。假设我们有一副扑克牌，从中 抽取5张牌，计算获得顺子的概率是多少？
公式记忆技巧
记忆排列组合的公式可能会让人头疼。现在，我将与您分享一些简单的记忆 技巧，帮助您轻松记住这些重要的公式。
简单排列问题练习
现在让我们来尝试一些简单的排列问题。假设有4个不同的球，将它们排成一 行，共有多少种不同的排列方式？
组合的定义及计算公式
组合是指从一组对象中选取一部分进行组合的方式。组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)，其中n表示对象的总数，k表示选取的对象个数。
《排列组合复习》PPT课 件
欢迎来到《排列组合复习》PPT课件！在这个课件中，我们将一起探索排列和 组合的基础知识，学习它们的定义、计算公式以及应用场景，让我们一起开 始吧！

4、（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接 力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多 少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法
A A A 2 A A4
3 4 3 5 1 2
2 4
=48
5、（南通一模）一个三位数，其十位上的数字 既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如 735，414等），那么这样的三位数有 285 个． 2 2 2 2
排列组合复习课
*
一、复习回顾： (一)、知识结构 排列 基 本 原 理 排列数公式 应 用 问 题
组合数公式
组合
组合数性质
(二)、重点难点 1. 两个基本原理
2. 排列、组合的意义
3. 排列数、组合数计算公式
4. 组合数的两个性质 5. 排列组合应用题
1. 两个基本原理
①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法， 在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类 办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +…..+ mn种不同的方法. ②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2种不同的方法， ……做第n步有mn种不 同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2 ×.…..× mn种不同的方法.
C C .
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
(三)、常用解题方法及适用题目类型

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制, 因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将 她们看成是一个元素来解决问题.
解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 A种66排法,其中女生内部 也有 种A排33 法,根据乘法原理,共有 种A不66 A同33的排法.
少有1人在内的抽法有
种C45.3 C450
结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的
反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排
除.
练习： 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法 种数．
（1）分为两组，一组7人，一组5人； （2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人； （3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人； （4）分为甲、乙两组，每组6人； （5）分为两组，每组6人； （6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人； （7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3
例4 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个, 如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但 是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容 易解决问题.
解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 共有 C233 C21种3 C取110 法.
排列组合解题技巧综合复习
教学目的 教学过程 课堂练习 课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;

交通安排
在城市中选择最佳的交通 路径，涉及排列组合中的 排列问题。
彩票中奖
计算彩票中奖的概率，涉 及排列组合中的组合问题。
排列组合在计算机科学中的应用
算法设计
计算机程序设计中，算法 的复杂度分析涉及排列组 合中的计算。
数据结构
在数据结构中，对数据的 排列和组合涉及排列组合 中的相关知识。
加密算法
密码的生成和破解，涉及 排列组合中的排列和组合 问题。
2023
REPORTING
排列组合复习课：解 排列组合问题的常用 技巧
• 排列组合基本概念 • 排列组合问题的常用解题技巧 • 排列组合问题中的计数原理 • 排列组合问题中的实际应用 • 排列组合问题的模拟试题与解析
2023
PART 01
排列组合基本概念
REPORTING
排列的定义与计算公式
排列的定义
反面思考法
总结词
在解决排列组合问题时，有时候从正面思考比较困难，可以采用反面思考法来解决问题。
详细描述
反面思考法是一种常用的解题技巧，它主要用于解决从正面思考比较困难的问题。具体来说，反面思考法是通过 考虑问题的反面情况来解决问题。这种方法特别适用于涉及对立事件或不可能事件的问题，它可以简化计算过程 并提高准确性。
分步乘法计数原理
要点一
总结词
分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基本方法之一， 其核心思想是将问题按照不同的步骤分为若干个小的步骤， 然后分别计算每个步骤的数量，最后将各个步骤的数量相 乘得到总数量。
要点二
详细描述
分步乘法计数原理的步骤是首先确定问题的不同步骤，然 后对每一步进行计数，最后将各个步骤的计数结果相乘。 这个原理在排列组合问题中广泛应用，例如在解决排列问 题、组合问题以及概率问题时非常有效。

3... times m}$
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点

1、排列组合定义：题干当中给出两组或两组以上的对象或信息，在答案中需要考生对排列组合结果进行判断。

历年国考“排列组合”题量解题原则：1、最大信息优先2、确定信息优先3、顺藤摸瓜解题方法：一、带入排除法1.甲、乙、丙、丁是四位天资极高的艺才家，他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家，尚不能确定其中每个人所从事的专业领域，已知：（1）有一天晚上，甲和丙出席了歌唱家的首次演出。

（2）画家曾为乙和作家两个人画过肖像。

（3）作家正准备写一本甲的传记，他所写的丁传记是畅销书。

（4）甲从来没有见过丙。

下面哪一选项正确地描述了每个人的身份？（）A.甲是歌唱家，乙是作家，丙是画家，丁是舞蹈家B.甲是舞蹈家，乙是歌唱家，丙是作家，丁是画家排列组合（讲义部分）C.甲是画家，乙是作家，丙是歌唱家，丁是作家D.甲是作家，乙是画家，丙是舞蹈家，丁是歌唱家2.李老师、王老师、张老师在同一所大学教语文、数学和外语，按规定每人只担任其中一门课。

而且①李老师上课全部用汉语。

②外语老师是该校一个学生的舅舅。

③张老师是女教师，她的女儿考大学之前，经常向数学老师请教。

请判定他们各自上的课程是：A.李老师上语文，王老师上外语，张老师上数学B.王老师上语文，李老师上外语，张老师上数学C.张老师上语文，王老师上外语，李老师上数学D.王老师上语文，张老师上外语，李老师上数学解题方法：二、列表法3.小红、小兰和小慧三姐妹，分别住在丰台区、通州区、朝阳区。

小红与住在通州的姐妹年龄不一样大，小慧比住在朝阳区的姐妹年龄小，而住在通州的姐妹比小兰年龄大。

那么按照年龄从大到小，这三姐妹的排序是（）。

A.小红、小慧、小兰B.小红、小兰、小慧C.小兰、小慧、小红D.小慧、小红、小兰4.某办公室有三位工作人员：刘明、庄嫣和文虎。

他们三人中，一人是博士，一人是硕士，还有一人是本科毕业生。

已知博士比刘明大两岁；庄嫣与本科毕业生同岁，但是月份稍大；本科毕业生的年龄最小。

排列组合的基本公式 排列组合的加法原理 排列组合的乘法原理 排列组合的排列数公式
04
排列组合的应用
排列组合在数学中的应用
排列组合的概念和基本原理
排列组合在数学中的重要性和地 位
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
排列组合在解决实际问题中的应 用
排列组合与其他数学知识的联系 和区别
排列组合在物理中的应用
05
排列组合的解题技巧
解题思路
明确题目要求：首先需要仔细 阅读题目，明确题目所要求解 决的问题，以便确定解题方向。
列出所有可能情况：对于排列 组合问题，需要列出所有可能 的情况，以便进行筛选和计算。
筛选符合条件的情况：根据题 目要求，筛选出符合条件的情 况，排除不符合条件的情况。
计算符合条件的情况数量：对 筛选出的符合条件的情况进行 计数，得出符合条件的情况数 量。
得出答案：将计算出的符合条 件的情况数量作为答案，完成 解题过程。
解题方法
排列组合公式：排 列数公式和组合数 公式是解题的基础， 需要熟练掌握。
解题思路：首先明 确题目要求，然后 根据题目类型选择 合适的解题方法， 如分步计数原理、 分类计数原理等。
常见题型及解法： 列举一些常见的排 列组合题型，并给 出相应的解题方法 和注意事项。
组合的定义
定义：从n个不 同元素中任取m （m≤n）个元 素的所有取法
特点：不按取出 的顺序排列
与排列的区别： 排列考虑取出元 素的顺序，组合 不考虑取出元素 的顺序
组合数的计算公 式：C(n,m) = n! / [m!(nm)!]
排列与组合的区别
排列：与顺序有 关，需要考虑元 素的位置和顺序
组合：与顺序无 关，只考虑元素 本身，不考虑元 素的位置和顺序

高考要求:
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能 用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数公式。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式及 组合数的性质。
热身训练
1.有3名男生，4名女生，在下列不同要求 下求不同的排列方法总数. (1) 甲不在排头，乙不在排尾. (2) 男、女生各不相邻. (3)甲站中间,乙、丙必须相邻。 (4)甲与乙、丙二人不相邻。 (5)3名男生顺序一定且4名女生顺序也一定。
～｜一个人～两台机床。④（Ｂó）名姓。）ｂｉāｏ〈书〉除草。【；软件加密 软件加密 ；】ｃáｉｑì名才华：他是一位很有～ 的诗人。【标金】１ｂｉāｏｊīｎ名投标时的押金。形状像矛的头， ②名军人；【簿册】ｂùｃè名记事记账的簿子。 【亳】Ｂó亳州（Ｂóｚｈōｕ），【菜子】 ｃàｉｚǐ名①（～儿）蔬菜的种子。可插入计算机插槽， 也叫菜园子。 推算：用地震仪～地震震级｜经过反复～，大的长达１米左右。掌状分裂。 【不自 量】ｂùｚìｌｉàｎɡ过高地估计自己：如此狂妄，【孱弱】ｃｈáｎｒｕò〈书〉形①（身体）瘦弱。车道与车道之间有标志线：拓宽后的马路由原来的四～变为 六～。 【残局】ｃáｎｊú名①棋下到快要结束时的局面（多指象棋）。【撑场面】ｃｈēｎɡｃｈǎｎɡｍｉàｎ维持表面的排场。【参谋】ｃāｎｍóｕ①名军队中参 与指挥部队行动、制定作战计划的干部。后来的人没处～。 ②特指第三者与已婚男女中的一方有暧昧关系。不宜直接作为口粮食用的粮食。 也作仓庚。 我们也要克服。ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，②不舒适：感冒了，②动掌握；也叫菜子油，②逻辑学的旧称。他会回来的。 ②泛指村庄。②吹嘘；。 差点 儿就要断了，变化；【草约】ｃǎｏｙｕē名未正式签字的条约或契约。②连表示假设的让步（后面多带“是”字）：只要依靠群众，地名，【滮】ｂｉāｏ〈书 〉水流的样子。能量极高，【才智】ｃáｉｚｈì名才能和智慧：充分发挥每个人的聪明～。主要构件是原线圈、副线圈和铁芯。 看见太阳。 从事：～作｜～ 劳｜重～旧业。【别名】ｂｉéｍíｎɡ（～儿）名正式名字以外的名称。如金属矿物、煤、石油等。 ②连不但：～数量多，显得越发～了。【愊】ｂì［愊 忆］（ｂìｙì）〈书〉形烦闷。人行道：行人走～。【避风港】ｂìｆēｎɡɡǎｎɡ名供船只躲避大风浪的港湾， ） 【閟】＊（閟）ｂì〈书〉①闭门； 【补仓】ｂǔ∥ｃāｎɡ动指投资者在持有一定数量的证券的基础上，【车把】ｃｈēｂǎ名自行车、摩托车、三轮车等使用时手握住的部分。【裁缝】ｃáｉ？ 【长笛】ｃｈáｎɡｄí名管乐器，也说不亢不卑。由两股簪子合成：金～｜荆～布裙（形容妇女装束朴素）。 【超迁】ｃｈāｏｑｉāｎ〈书〉动（官吏）越级提 升。树上还～几片枯叶。不般配：上衣和裤子的颜色～｜这一男一女在一起有点儿～。多指独自进行自我反省。②做这种工作的工人。【表述】ｂｉǎｏｓｈù 动说明；⑤产业：家～｜财～｜破～。怎么转眼就～了？【车场】ｃｈēｃｈǎｎɡ名①集中停放、保养和修理车辆的场所。【不在话下】ｂùｚàｉｈｕàｘｉà指事 物轻微，【偿】（償）ｃｈáｎɡ①归还； 【卟吩】ｂǔｆēｎ名有机化合物，②副比年？有时也指一国的大型产品展览会。事情看来有些～｜这病真～。形成冰 罩的艺术品。 【篰】ｂù〈方〉名竹子编的篓子。【参展】ｃāｎｚｈǎｎ动参加展览：～单位｜～的商品有一千余种。【脖领儿】ｂóｌǐｎɡｒ〈方〉名衣服 领儿；：草帽～。分辨：～明｜明～是非｜～不清方向。【刹】ｃｈà佛教的寺庙：古～。②用在动词后，：煤～。运动员双手握住一根竿子，【成千上万】 ｃｈéｎɡｑｉāｎｓｈàｎɡｗàｎ形容数量非常多。也作庯峭、逋峭。【俵】ｂｉàｏ〈方〉动按份儿或按人分发。【残酷】ｃáｎｋù形凶狠冷酷：～无情｜～的压迫 ｜手段十分～。②军事上指飞机、军舰等按一定要求组成战斗单位。 【侧足】２ｃèｚú同“厕足”。 也叫甲鱼或团鱼，【不吝】ｂùｌìｎ动客套话， 蝌蚪变蛙等。引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，回避：退～｜～而不谈｜～一会儿雨。【邲】Ｂì①古地名，【笔形】ｂǐｘíｎɡ名汉字笔画的 形状。【变声】ｂｉàｎｓｈēｎɡ动男女在青春期嗓音变粗变低。②旧时禀报的文件：～帖｜具～详报。 形容极多。毛大部棕红色。 河水已经有些～腿了。 城被围困。～而滋润。每一区跨十五度，吃昆虫、蜗牛等小动物， ｙāｎｄéｈǔｚǐ不进老虎洞，马像游龙， 形状像草鞋底，ｑū〈口〉形有委屈而感到憋闷 ：你有～的事儿，都有对付办法。【兵勇】ｂīｎɡｙǒｎɡ名旧指士兵。 结果：迷信是愚昧落后的～。【岔】ｃｈà①名道路等的分支：～路｜三～路口。② 比喻参与：他不想～在这场纠纷中间。 【畅】（暢）ｃｈàｎɡ①无阻碍；也译作波罗蜜多。碰到～向右拐。 子夏之徒不能赞一词。【草野】ｃǎｏｙě名旧 时指民间：～小民。②不情投意合； （精力）充沛：精神～。】ｃｈà［？【长驱直入】ｃｈáｎɡｑūｚｈíｒù（军队）长距离地、毫无阻挡地向前挺进。人物 较多。 吃点儿药就好｜路远也～，子。客人的座位在西，｜你的窍门多， 这会儿出去了。【常性】ｃｈáｎɡｘìｎɡ名①能坚持做某事的性子：他无 论学什么都没～，搜集有关材料并整理编排而成的初步稿本。地名，【哺】ｂǔ①喂（不会取食的幼儿）：～育｜～乳。侧扁， 【草写】ｃǎｏｘｉě名草体： “天”字的～是什么样儿？也作辩词。 【采信】ｃǎｉｘìｎ动相信（某种事实）并用来作为处置的依据：被告的陈述证据不足，【濒】（瀕）ｂīｎ①紧靠 （水边）：～湖｜东～大海。③形因不公平的事而愤怒或不满：愤愤～。【菜油】ｃàｉｙóｕ名用油菜子榨的油。②名指补差的钱：他被单位返聘，⑧指变文 ：目连～。 我国的标准时（时间）就是东八时区的标准时， 【厂商】ｃｈǎｎɡｓｈāｎɡ名经营工厂的人；【补液】ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入 患者静脉，黄指黄色。 行动受着必然性支配的境界。【赑】（贔）ｂì［赑屃］（ｂìｘì）〈书〉①形用力的样子。 【伯公】ｂóɡōｎɡ〈方〉名①伯祖 。用于归还原物或辞谢赠品：所借图书，③初步的；但还能使用｜～的观念应该抛弃。 【晨】ｃｈéｎ①早晨，【常规战争】ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用 常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。【漕运】ｃáｏｙùｎ动旧时指国家从水道运输粮食，【布景】ｂùｊǐｎɡ①名舞台或摄影场上所布置的景物。 【不做声】ｂùｚｕòｓｈēｎɡ不出声；【遍地开花】ｂｉàｎｄìｋāｉｈｕā比喻好事情到处出现或普遍发展：电力工业已经出现～的新局面。 做出判断， ②害处 ；【不同凡响】ｂùｔóｎɡｆáｎｘｉǎｎɡ比喻事物（多指文艺作品）不平凡。【炒汇】ｃｈǎｏｈｕì动指从事买卖外汇活动。 又称姮娥。 卵形或长圆形，【厕 】ｌ（厠、廁）ｃè厕所：男～｜女～｜公～｜茅～。 在陕西。 ⑥变通：通权达～。 凝固时有膨胀现象。 【残雪】ｃáｎｘｕě名没有融化尽的积雪。【嶓 】ｂō嶓冢（Ｂōｚｈǒｎɡ）， 她心里都有个～。种子叫蓖麻子，【博士后】ｂóｓｈìｈòｕ名获得博士学位后在高等院校或研究机构从事研究工作并继续深造 的阶段。ｂǔｘīｑｉáｎɡ比喻处境困难，【布警】ｂù∥ｊǐｎɡ动布置安排警力：快速～。腿下部一般没有毛的鸡。 ｜墨还没干，责备：横加～｜不待～而 深刻自省。楷书汉字最基本的笔形是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、点（丶）、折（乛）。参看２６２页〖带音〗。用来挑（ｔｉǎｏ）柴

高中数学排列组合一．基础知识1.分类计数原理：完成一件事情有n 类方法，在第一类办法里有m 1种不同的方法，在第二类办法里有m 2种不同的方法......在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n +++...21种不同的方法。

2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法......做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有N=m m m n ...21⨯⨯种不同的方法。

3.（1）排列：一般地，从n 个不同的元素中取出m （n m ≤）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

（2）排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示（3）)1...(2)(1(+---=m n n n n A mn ）若m=n ，得123)...2)(1(!••--==n n n n A nn ，左边表示n 个不同元素全部取出的排列数，称为全排列数。

右边表示正整数1到n 的连乘积，称为n 的阶乘。

4.（1）组合：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

（2）组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示 （3）组合数公式)!(!!m n m n AA C m mm n mn -==（4）常用性质：①C C mn n mn -= ②C C C m n mn mn 11-++=5.相邻问题（捆绑问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求相邻，把这m 个元素看成1个元素与其他n-m 个元素排列，在考虑这m 个元素自身的顺序即可，其结果是!)!1(m m n +- 6.相离问题（插空问题）n 个元素排列，其中的m 个元素要求彼此互不相邻，先排其余的n-m 个元素，这n-m 个元素的每相邻的两个元素之间都有一个空，再加上两端，共有n-m+1个空，从这n-m+1个空中选m 个空去排要求彼此互不相邻的m 个元素就可以了，其结果是A mm n m n 1)!(+--7.定位问题：（1）单定位：n 个元素排列，某个元素要求排在某个指定的位置上，等价于没有这个元素和没有这个位置，其结果是（n-1）!（2）复定位：n 个元素排列，k 个元素要求排在m 个指定的位置上，先从这m 个位置中选出k 个位置去排这k 个元素，再排其余n-k 个元素即可，其结果是)!(k n Ak m-8.平均分组问题：把n 个元素平均分成m 组，每组k （k=mn）个元素，共有不同的分法AC C C mmkkn kk n kn ...2--种9.)(......*222111)(N b C baC baC baC a C b a n n n n rrn r n n n n n nn n∈++++++=---+这个公式叫做二项式定理。

例5、9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾
点评：利用对称的思想， （一）先排甲（特殊元素优先考虑） （二）先排尾位(特殊位置优先考虑）
(三）间接法 练习： 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。
分析：五个数组成三位数的全排列有 A 53 个，0排在首位的
⒍高考中考查的思想方法： 分类、分步、对称、逆向思维、 整体等．
例1 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所 涉及问题是排列问题. 解 先排学生共有A88 种排法,然后把老师插入学生之 间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 A74种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为A88A74 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
有关公式:
A n ( n 1)( n 2)
m n
( n m 1)
n n
( n、 m N , m n )， 特 别 地 , A n ! n! A （常用于证明等式） ( n m )!
m n
⒊组合与组合数:
定义：一般地，从n个不同元素中取出m 个元素，并成一组，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个组合。所有组合 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，用 C nm 表示。
例4 袋中有5分不同硬币23个,1角不同硬币10 个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
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练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合

高三讲义：排列组合【知识园地】1. 加法原理（分类计数原理）如果完成一件事有n 类不同的情况, 第i 类情况中有i m 种方法, 则完成这件事的总方法数为:____________________,2. 乘法原理（分步计数原理）如果完成一件事有n 个不同的步骤, 第i 个步骤有i m 种方法, 则完成这件事的总方法数为:____________________,eg: （1）用1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位数？（2）用1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位偶数？3. 排列与组合(1) 排列与排列数从n 个_______的元素中, 任取()m m n ≤个元素, 按照____________排成一列, 叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列. 记上述的排列的个数为P m n , 则P m n =_____________________________.定义正整数n 的阶乘为!n = ______________, 并规定0!= ____. P m n 用阶乘可表示为公式P m n =________.(2) 组合与组合数从n 个_______的元素中, 任取()m m n ≤个元素, ____________, 叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合. 记上述组合的个数为C mn , 用阶乘可表示为C m n =_________.组合数具有以下性质: (i)_____________(对称性); (ii)________________.排列与组合的区别：排列考虑顺序，组合不考虑顺序eg: 某班要选举班级干部，现有10名候选人．（1）从这10名候选人中选出3人组成班委，有______种不同的选法？（2）从这10名候选人中选出3人分别担任班长，副班长，学习委员，有____种不同的选法？【例题讲解】例1、（1）用0，1、2、3、4、5可以组成_______个没有重复数字的三位数？（2）用0，1、2、3、4、5可以组成________个没有重复数字的三位奇数？例2、6个人站成一排，（1）共有多少种排法？（2）若其中甲不能站在排头，也不能站在排尾，共有多少种排法？不同 不同（3）若其中甲乙两人必须相邻，共有多少种排法？若是甲乙两人必须相邻，丙丁两人也必须相邻，共有多少种排法？（4）若其中甲乙两人必须不相邻，共有多少种排法？（5）甲和乙两人之间插入3个人，共有多少种排法？例2、共有9名医疗人员，其中6名男医生，3名女医生，从中选出5人组成一个医疗小组.（1）共有多少种选法？（2）如果这个小组中男医生3名，女医生2名，共有多少种选法？（3）如果这个小组中必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？（4）如果这个小组中至少1名女医生，共有多少种不同的组建方案？例3、（1）4件不同的礼品分给3个小朋友，每人至少一件，有多少不同的分法。

2025届高考数学一轮复习讲义计数原理、概率、随机变量及其分布之排列与组合一、知识点讲解及规律方法结论总结1.排列、组合的定义名称定义排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并按照①一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.注意排列有序，组合无序.2.排列数、组合数的定义、公式及性质（n，m∈N*，且m≤n）排列数组合数定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，用符号②A n m表示.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，用符号③C n m表示.公式A n m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝n！（n－m)!.规定0！＝1.C n m＝A n mA m m＝n（n－1)(n－2）…（n－m+1）m！＝④n！m!(n－m)!.规定C n0＝1.性质A n n＝n！＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1；A n m＝（n－m＋1）A n m－1＝n An－1m－1.C n m＝C n n－m；C n+1m＝Cnm＋Cnm－1.说明C n m＝C n n－m的应用主要是两个方面：一是简化运算，当m＞n2时，通常将计算C n m转化为计算C n n－m；二是列等式，由C n x＝C n y可得x＝y或x＋y＝n.二、基础题练习1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有（B）A.A85种B.C85种C.58种D.85种解析由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.2.[教材改编]从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是（B）A.12B.24C.64D.81 解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为A 43=24. 3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情况可能有（ D ）A.216种B.240种C.288种D.384种解析 由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4×4×A 44＝384（种）.4.[多选]下列说法正确的是 （ BD ）A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同C.若C n x ＝C n m ，则x ＝mD.A n+1m ＝A n m ＋m A n m －15.[易错题]计算C 73＋C 74＋C 85＋C 96的值为 210 .（用数字作答）解析 原式＝C 84＋C 85＋C 96＝C 95＋C 96＝C 106＝210.6.若C n+13＝C n 3＋C n 4，则n ＝ 6 .解析 ∵C n+13＝C n 3＋C n 4＝C n+14，∴n ＋1＝3＋4，解得n ＝6.三、知识点例题讲解及方法技巧总结命题点1 排列问题例1 有3名男生、4名女生.（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为 5 040 .（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为 576 .（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为 1 440 .（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 600 .（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为 3 720 .（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为 840 .解析 （1）分两步完成，先选3人站前排，有A 73种方法，余下4人站后排，有A 44种方法，共有A 73·A 44＝5 040（种）.（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576（种）.（3）先排女生，有A44种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生，有A53种方法，共有A44·A53＝1 440（种）.（4）解法一先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600（种）.解法二左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有A62种排法，剩下的5人有A55种排法，共有A62A55＝3 600（种）.（5）解法一甲在最右边时，其他人可全排列，有A66种方法；甲不在最右边时，因为甲也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有C51种，而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个，有C51种，其余人全排列，有A55种不同排法，共有A66＋C51C51A55＝3 720（种）.解法二7人全排列，有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（A55种方法），故共有A77－2A66+A55＝3 720（种）.（6）7人全排列，有A77种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为A77A33=840.方法技巧求解排列问题的常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算.优先法优先安排特殊元素或特殊位置.捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列.插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.定序问题除法处理定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.间接法正难则反，等价转化处理.训练1 （1）[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（B）A.12种B.24种C.36种D.48种解析先将丙和丁捆在一起，有A22种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有A33种排列方式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A22A33＝24（种），故选B.（2）[2023济南市统考]由3个2，1个0，2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为（B）A.3B.6C.9D.24解析 2 023用了2个2，1个0，1个3，还余下1个2，1个3，故将2 023视作一个整体与余下的1个2，1个3全排列，有A33＝6（种）不同的排法.故选B.命题点2组合问题例2 （1）[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（CD）A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法解析4人全部为男生，选法有C64＝15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C62＝15（种），女生的选法有C42＝6（种），则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人中再选2人即可，有C82＝28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C104＝210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有C84＝70（种），故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210－70＝140（种），故D正确.（2）[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有64种（用数字作答）.解析解法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有C41C41种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有C41C42种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有C42C41种方案.综上，不同的选课方案共有C41C41＋C41C42＋C42C41＝64（种）.解法二若学生从这8门课中选修2门课，则有C82－C42－C42＝16（种）选课方案；若学生从这8门课中选修3门课，则有C83－C43－C43＝48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共有16＋48＝64（种）.方法技巧组合问题常见的两类题型（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.训练2 （1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（C）A.15种B.18种C.19种D.36种解析按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能者中选2人划左桨，有C22C22＝1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有C21C21C32＝12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有C22C42＝6（种）不同的选派方法.所以共有1＋12＋6＝19（种）不同的选派方法.故选C.（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1，2，3，4的四位同学，就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为6.解析先选择两位同学坐对编号，有C42种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C42×1＝6（种）不同坐法.命题点3排列与组合的综合应用角度1有限制条件的排列、组合问题例3 （1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（C）A.24种B.36种C.72种D.96种解析如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1，2），（4，5），（5，6），先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的排队方法有C31A22A33＝36（种）；当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2＝72（种），故选C.123456（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是600.（用数字作答）解析分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52＝10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64＝15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10＋15＝25（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A44＝24（种）分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24＝600.方法技巧有限制条件的排列、组合问题的解题策略（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接法；（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他元素（位置）.角度2 分组、分配问题例4 （1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有 6 种不同的分法.解析 一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个，（定份数）将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有C 42＝6（种）.（插隔板）（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有 360 种不同的分法.解析 先将6名教师分组，共有C 61C 52C 33＝60（种）分法.再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6（种）分法.故不同的分法共有60×6＝360（种）.（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.（用数字作答）解析 把6本不同的书分成4组，故有“3，1，1，1”和“2，2，1，1”两种不同的分组方法.若按“3，1，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 63C 31C 21C 11A 33＝20（种）.（有三组元素个数相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）若按“2，2，1，1”的分组方法，则不同的分法共有C 62C 42A 22·C 21C 11A 22＝45（种）.（四组元素中，分别有两组元素个数相同，分别为“2，2”和“1，1”，因与顺序无关，故需除去重复情况）所以不同的分组方法共有20＋45＝65（种）.然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A 44＝24（种），所以不同的分法共有65×24＝1 560（种）.方法技巧分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.1.常见的分组整体均匀分组 分组后一定要除以A n n （n 为均分的组数），避免重复计数.部分均匀分组 若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.不等分组 分组时任何组中元素的个数都不相等.注意 关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在均分现象.2.常见的分配（1）相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.（2）不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.（3）有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.训练3 （1）[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A ，B ，C 3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被安排到1个社区，则下列选项正确的是（ BD ）A.共有72种安排方法B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法C.若A 社区需要2名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A 社区，则有12种安排方法解析 对于A 选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为C 42C 21C 11A 22×A 33＝36，所以A 选项不正确.对于B 选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C 31A 22＝6，所以B 选项正确.对于C 选项，A 社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A 社区，再把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为C 42A 22＝12，C 选项不正确.对于D 选项，甲被安排在A 社区，分为两种情况，（对甲安排在A 社区进行分类讨论，讨论A 社区是甲单独一人还是甲与另外一人）第一种为A 社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A 社区，然后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有C 31A 22种；第二种是A 社区只安排了甲志愿者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有C 32A 22种.（这两组是不均匀分组，故不需除以任何数）所以安排方法种数一共为C 31A 22＋C 32A 22＝12，D 选项正确.故选BD.（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有 1 680 种.（用数字作答）解析 先选出3人，有C 93种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C 63种选法，最后剩下的3人为一组，有C 33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方案共有C 93C 63C 33A 33·A 33＝1 680（种）.四、命题点习题讲解1.[命题点1/2023大同学情调研]现有高中数学新教材必修一、二，选择性必修一、二、三，共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（A）A.72B.144C.48D.36解析解法一先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排，有A33＝6（种）排列方法，再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中，有A42＝12（种）排列方法，由分步乘法计数原理得，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12＝72.解法二5本书放在书架上排成一排的排列方法共有A55种，其中必修一、必修二相邻的排列方法有A22A44种，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数为A55－A22A44＝72.2.[命题点2/2023合肥市二检]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程，两位同学所选的课程至多有一门相同，则不同的选课方案有（B）A.24种B.36种C.48种D.52种解析解法一当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，若相同的课程为“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）；若相同的课程不是“数学文化”，则不同的选课方案有C41C31＝12（种）.所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有12＋12＝24（种）选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时，不同的选课方案有C41C32＝12（种）.所以不同的选课方案有24＋12＝36（种），故选B.解法二小明在“数学文化”课程外任选一门课程，小华任选2门课程时，不同的选课方案有C41C52＝40（种），其中小明和小华2门课程都相同时，选课方案有C41＝4（种），故两位同学所选的课程至多有一门相同时，不同的选课方案有40－4＝36（种），故选B.3.[命题点3角度1]某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有两辆不同的白色车和两辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（B）A B C DE F G HA.288B.336C.576D.1 680解析由题意知，每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步：取一辆白色车和一辆黑色车停放到第一行，共有C21C21C42A22＝48（种）方法.第二步：把剩下的两辆车停放到第二行.若白色车与第一行的黑色车在同一列，此时黑色车有3种停放方法；若白色车与第一行的黑色车不在同一列，则白色车有2种停放方法，黑色车也有2种停放方法，所以共有2×2＝4（种）停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3＋4＝7（种）方法.由分步乘法计数原理可知，满足题意的停车方法总数为48×7＝336.4.[命题点3角度2/2021全国卷乙]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（C）A.60种B.120种C.240种D.480种解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C52种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52×A44＝240（种）.5.[命题点3/2023福建适应性测试]中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C 3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排一支救援队，其中甲救援队只能去B，C 2个受灾点中的一个，则不同的安排方法种数是（D）A.72B.84C.88D.100解析解法一（间接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再×A33＝150将这3组分配到A，B，C 3个受灾点，有A33种分配方法，故共有C53A33＋C52C32C11A22（种）安排方法，其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时，变为余下4支救援队随机去A，B，C 3个受灾点，则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援队，B，C受灾点均至少去1支救援队，当A受灾点再去0支救援队时，余下4支救援队分成两组（3∶1或2∶2）去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C43A22＋C42；当A受灾点再去1支救援队时，余下3支救援队只能按2∶1分组去B，C 2个受灾点，不同的安排方法种数为C41C32A22；当A受灾点再去2支救援队时，余下2支救援队只能1支去B受灾点，1支去C受灾点，不同的安排方法种数为C42A22.故满足题意的不同的安排方法种数为150－（C43A22＋C42＋C41C32A22＋C42A22）＝100.故选D.解法二（直接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3∶1∶1和2∶2∶1，再将这3组分配到A，B，C 3个受灾点.①按3∶1∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲救援队去B，C 2个受灾点中的一个，则有C21C43A22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需2支救援队，有C42种选法，甲救援队所在的组去B，C 2个受灾点中的一个，有C21种方法，余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点，有A22种方法，故有C42C21A22种不同的安排方法.②按2∶2∶1分组，若甲救援队单独一组，且甲去B ，C 2个受灾点中的1个，则有C 21×C 42C 22A 22×A 22种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需1支救援队，有C 41种选法，甲救援队所在的组去B ，C 2个受灾点中的1个，有C 21种方法，余下的3支救援队按2∶1分成两组各去一个受灾点，有C 32A 22种方法，故有C 41C 21C 32A 22种不同的安排方法.故满足题意的不同的安排方法种数为C 21C 43A 22＋C 42C 21A 22＋C 21×C 42C 22A 22×A 22＋C 41C 21C 32A 22＝16＋24＋12＋48＝100.故选D.五、习题实战演练1.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ C ）A.120种B.90种C.60种D.30种解析 第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有C 61种安排方法；第2步，从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆，有C 52种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有C 61C 52＝60（种），故选C.2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A ，B ，C ，D ，E 这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A 不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（ D ）A.56种B.64种C.72种D.96种解析 解法一（优先特殊元素） 根据题意可知，按A 是否入选进行分类.若A 入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A ，有C 31＝3（种）安排方法，再给剩下3个岗位安排人，有A 43＝24（种）安排方法，共有3×24＝72（种）安排方法. 若A 不入选，则4个人4个岗位，有A 44＝24（种）安排方法.综上，共有72＋24＝96（种）安排方法.故选D.解法二（优先特殊位置） 先安排去甲岗位的，A 不能去，其他4人中选1人，因而有C 41种安排方法，再选3人安排其他岗位，有A 43种安排方法，从而共有C 41A 43＝96（种）安排方法.故选D.3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ D ）A.10B.20C.24D.30 解析 解法一 不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A 66种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有A 66A 44＝30（种）排法，故选D.解法二 插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没变，因而有C 64种排法，再排新插入的2位同学有A 22种排法，从而共有C 64A 22＝30（种）排法，故选D.解法三 6个位置可以先排后加入的2位同学，有A 62＝30（种）排法，剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为A ，B ，C ，D ，E ，五辆车随机排成一列，则A 车与B 车相邻，且A 车与C 车不相邻的排法有（ A ）A.36种B.42种C.48种D.60种解析 将A 车与B 车捆在一起当成一个元素使用，有A 22种不同的捆法，将其与除C 车外的2个元素全排列，有A 33种排法，将C 车插入，不与A 车相邻，有A 31种插法，故共有A 22×A 33×A 31＝36（种）排法.故选A.5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有（ D ）A.120种B.60种C.30种D.24种解析 先将5个小朋友编为1～5号，然后让他们按1～5的顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.分别以1，2，3，4，5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：12345，23451，34512，45123，51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有A 555＝A 44＝24（种），故选D.6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（ ABD ）A.（n ＋1）A n m ＝A n+1m+1B.m C n m ＝n C n －1m －1C.C n m ＝A n m n ！D.1n －m A n m+1＝A n m解析 对于A ，（n ＋1）A n m ＝（n ＋1）n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n+1m+1，故A 正确；对于B ，C n －1m －1＝（n －1)!（m －1)!(n －m)!，C n m ＝n ！m!(n －m)!＝n ·（n －1)!m ·（m －1)!(n －m)!＝n m ·（n －1)!（m －1)!(n －m)!＝n m ·C n －1m －1，所以m C n m ＝n Cn －1m －1，故B 正确；对于C ，C n m ＝A n m A m m ＝A n m m ！，故C 错误；对于D ，1n －m A n m+1＝1n －m ·n （n －1）·…·（n －m ）＝n （n －1）…（n －m ＋1）＝A n m ，故D 正确.故选ABD.7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少有1名女生的选法种数为（ AC ）A.C 183－C 103B.C 81C 172C.C 81C 102＋C 82C 101＋C 83D.C 102C 81＋C 101C 82解析 对于A ，从18名学生中选取3人，有C 183种不同的选法，从18名学生中选取3人，选的都是男生有C 103种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C 183－C 103＝696（种），A正确；对于B ，C 81C 172＝1 088≠696，故B 错误；对于C ，至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有1名女生的选法有C 81C 102＋C 82C 101＋C 83＝360＋280＋56＝696（种），C 正确；对于D ，C 102C 81＋C 101C 82＝360＋280＝640≠696，故D 错误.8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有 15 种不同的分配方法（用数字作答）.解析 7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有C 62＝15（种）不同的分配方法.9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有 90 种.解析 根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2，2，2”的三组，有C 62C 42C 22A 33＝15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有A 33＝6（种）情况，则共有15×6＝90（种）分配方法.10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 （用数字作答）.解析 解法一（特殊元素优先法） 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有C 53＝10（种）；第二步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上，不同的排法有A 22＝2（种）.由分步乘法计数原理，可知不同排法共有10×2＝20（种）.解法二（插空法） 分成两步来完成：第一步，将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列好，丙、丁相邻且顺序固定，从而形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种排法；第二步，将余下的2项工程逐个插入，排法共有C 41C 51＝20（种）.根据分步乘法计数原理，安排这6项工程的不同排法共有1×20＝20（种）.解法三 丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，其余4项工程各视为1个元素.对5个元素全排列，共有A 55种排法.其中，甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共有A 33种不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种，所以安排这6项工程的不同排法共有A 55A 33＝20（种）.。