(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2

高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。

下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。

1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。

高中数学的排列与组合总结在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧，广泛应用于概率、统计以及其他数学领域。

通过对排列与组合的系统学习和应用，学生可以提升解决实际问题的能力和逻辑思维能力。

本文将对高中数学中的排列与组合进行总结和归纳。

一、排列排列是指将一组事物按照一定的顺序进行排列的方法。

在排列中，考虑的因素包括元素的个数和位置。

对于n个元素的排列，可以使用以下公式计算排列的数量：P(n)=n!其中，P(n)表示n个元素的排列数量，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数连乘。

举例说明，假设有3个人A、B、C要站成一排，那么可能的排列方式有6种，分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。

这里n=3，所以P(3)=3!=6。

在实际问题中，排列的应用非常广泛。

比如在选择委员会成员时，如果有n个候选人，要挑选m个人，那么可能的排列数量就是P(n,m)。

二、组合组合是指将一组事物中的一部分事物挑选出来形成一种组合的方法。

与排列不同，组合不考虑事物的顺序。

对于n个元素的组合，可以使用以下公式计算组合的数量：C(n,m)=P(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)其中，C(n,m)表示从n个元素中挑选m个元素的组合数量，P(n,m)表示n个元素中挑选m个元素的排列数量。

以选择考试科目的例子来说明组合的应用。

假设学生可以选择从5个科目中选修3个，那么可能的组合数量就是C(5,3)。

三、排列与组合的应用排列与组合在数学中的应用非常广泛。

以下是一些常见的应用领域：1. 概率与统计：在概率与统计中，排列与组合用于计算事件的样本空间的大小，从而计算概率。

比如投掷硬币的结果，抽取扑克牌的可能性等。

2. 组合数学：排列与组合是组合数学的重要概念，在组合数学中有着广泛的应用。

比如计算二项式系数、计算全排列等。

3. 信息论：在信息论中，排列与组合用于计算信息的熵、编码等问题。

排列与组合在信息论中的应用可以帮助我们理解信息的传输与压缩。

挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种． 【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15， 故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种． 当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种． 于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=． 【答案】816；【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=． 【答案】120；【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法． 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】 将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种． 【答案】120；【例8】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】 从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法． 【答案】C ；【例14】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种． 【答案】24；【例15】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】 马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种． （用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种． 因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=． 【答案】90；【例21】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果． 【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法． 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种 【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种 【答案】15；【例29】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星【题型】解答 【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =． 【答案】360【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种． 【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】 求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种． 【答案】66【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个． 【答案】1365；。

排列组合问题的解题策略排列组合综合问题的一般解题规律:1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，所以分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，不论哪类办法都能将事情单独完成；而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，掌握分类和分步的基本技能，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一、特殊元素——优先考虑法。

对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（B ）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个例2． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．（72种）二.正难则反——总体排除法。

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．例3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．故选C．A．140种 B．80种 C．70种 D．35种例4.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 35－3＝32个.三．相邻问题——用捆绑法。

完整版)排列组合方法归纳如果你想要成功，就需要有恒心作为良友，经验作为参谋，小心作为兄弟，希望作为哨兵。

这是成功的关键。

1、特殊元素和位置的优先法在排列和组合问题中，如果有特殊的元素或位置要求，就需要优先满足这些要求。

例如，要求从0、1、2、3、4、5中选出不重复的五位奇数的数量是多少。

首先，末位必须是奇数，因此应该优先安排末位，共有C3种选择。

然后，首位不能是0，因此应该优先安排首位，共有C4种选择。

最后，安排其他位置，共有A4^3种选择。

根据分步计数原理，可以得出总共有C3*C4*A4^3=288种不重复的五位奇数。

2、相邻问题的捆绑法如果题目规定了相邻的元素必须在一起，可以将它们捆绑成一个大元素，参与排列。

例如，如果A、B、C、D、E五个人并排站成一排，要求A和B必须相邻且B在A的右边，那么可以将A和B看作一个人，且B固定在A的右边，问题就变成了4个人的全排列，共有A4=24种不同的排列方式。

3、相离问题的插空法如果元素不能相邻，可以先将无位置要求的元素全排列，然后将规定的不能相邻的元素插入到这些元素的空位和两端。

例如，七个人并排站成一排，要求甲和乙不能相邻，那么除了甲和乙以外的其他5个人有A5种排列方式。

然后，甲和乙可以插入6个空位中的任意两个，共有A6种插法。

因此，总共有A5*A6=3600种不同的排列方式。

4、选排问题的先选后排法如果需要从一组元素中选出符合要求的元素，然后安排它们的位置，可以使用先选后排法。

例如，有四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，问恰有一个空盒的放法有多少种。

首先从四个球中选出两个球作为一组，其余两个球各自为一组，共有C4种选法。

然后，将三个球放入四个盒子中，共有A4种排列方式。

因此，总共有C4*A4=144种放法。

5、相同元素分配问题的隔板法如果需要将n个相同的元素分成m份，并且每份至少有一个元素，可以使用隔板法。

将m-1块隔板插入n个元素排成的n-1个空隙中，所有分法数为C(n-1)。

(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法高中数学排列组合问题常用的解题方法江苏省滨海县五汛中学 王玉娟排列组合是高中数学的重点和难点之一，是进一步学习概率的基础。

排列组合问题通常联系实际，生动有趣，并且能够锻炼同学们的逻辑推理能力和思维的缜密性，但题型多样，思路灵活，不易掌握。

实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法归纳如下：一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有 种。

分析：把甲、乙视为一人，并且乙固定在甲的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种。

二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2 七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是 。

分析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3 A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边(A 、B 可不相邻)，那么不同的排法种数有 。

分析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。

高中数学知识点总结排列组合问题的应用与计算高中数学知识点总结：排列组合问题的应用与计算在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具，用于解决各种实际问题。

本文将总结排列组合的基本概念以及其在实际问题中的应用和计算方法。

一、排列与组合的基本概念排列和组合都是从一组对象中选择若干个对象进行排列或组合，以求解不同的问题。

1. 排列：从n个不同元素中选取r个元素，按照一定顺序排列的方式称为排列。

排列的数目用符号P表示，计算公式为P(n,r) = n! / (n-r)!2. 组合：从n个不同元素中选取r个元素，不考虑排列顺序的方式称为组合。

组合的数目用符号C表示，计算公式为C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)二、排列组合问题的应用排列组合在实际问题中的应用非常广泛，涉及到各个领域，以下是一些典型的应用场景。

1. 选组委会：从n个人中选取r个人作为组委会成员，这是一个典型的组合问题。

2. 分配座位：在一列座位中，n个人按照一定顺序坐下，这是一个排列问题。

3. 分配任务：将n项任务分配给r个人来完成，这是一个组合问题。

4. 排队问题：n个人按照一定规则排成一列，这是一个排列问题。

5. 抽奖问题：从n个参与者中抽取r个人作为获奖者，这是一个组合问题。

三、排列组合问题的计算方法在计算排列和组合的数目时，可以借助计算机软件、公式或者计算器来简化计算过程。

下面将介绍一些常用的计算方法。

1. 阶乘计算：n!表示n的阶乘，即从1到n的连乘积。

可以使用计算器来计算阶乘，或者使用编程语言中的阶乘函数。

2. 计算排列数：根据排列的定义，可以通过阶乘计算公式来求解排列数。

3. 计算组合数：根据组合的定义，可以利用排列的公式来求解组合数。

四、排列组合问题的解题步骤解决排列组合问题的关键是确定问题类型以及适用的计算方法，以下是一些解题的基本步骤。

1. 确定问题类型：首先要明确问题是一个排列还是组合问题，根据问题中的条件来判断。

高中数学组合数学与排列数学知识点总结组合数学和排列数学都是高中数学中的重要内容，它们不仅在学科内部有深入的应用，还在许多实际问题中发挥着重要的作用。

本文将对高中数学中的组合数学与排列数学知识点进行总结和归纳。

一、组合数学知识点总结1.1 定义及性质组合数学是研究离散结构的一门学科，其中组合数是其中的一个重要概念。

组合数表示从n个不同元素中选取r个元素的所有可能情况的个数，记作C(n,r)或者(nCr)。

组合数有以下性质：- C(n,0) = 1，表示从n个元素中选取0个元素，只有一种情况，即空集。

- C(n,n) = 1，表示从n个元素中选取n个元素，只有一种情况，即全集。

- C(n,r) = C(n,n-r)，表示从n个元素中选取r个元素与选取剩下的n-r个元素是等价的。

1.2 组合的计算方法计算组合数可以使用以下方法：- 递推公式：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)，即组合数等于上一层的左上方和正上方的组合数之和。

- 公式法：C(n,r) = n! / [(n-r)! * r!]，即组合数等于n的阶乘除以剩下的n-r个元素的阶乘和r个元素的阶乘的乘积。

1.3 组合数的应用组合数在实际问题中的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：- 概率计算：组合数可以用于计算事件发生的概率。

- 集合的子集计数：组合数可以计算集合的子集个数。

- 礼物分配问题：组合数可以用于计算礼物分配的方式。

- 编码组合问题：组合数可以用于计算编码方式的组合数。

二、排列数学知识点总结2.1 定义及性质排列数学是研究有序排列的一门学科，其中排列数是其中的一个重要概念。

排列数表示从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的所有可能情况的个数，记作P(n,r)。

排列数有以下性质：- P(n,1) = n，表示从n个元素中选取1个元素进行排列，排列结果个数等于元素个数。

- P(n,n) = n!，表示从n个元素中选取n个元素进行排列，排列结果个数等于n的阶乘。

排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同3，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 mn Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n m n C - 11m m m n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组,再排列。

必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.排列组合问题的常见错误是重复和遗漏.弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.集合是常用的工具之一.为了将抽象问题具体化,可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。

常用方法:一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位,有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1,所以在解决排列组合问题时，合理选择主元,就是选择合适解题方法的突破口。

二. “至少"型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个"型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中,将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书,每人至少1本，有多少种不同分法?解：将6本书分成4份，先把书排成一排,插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）三。

注意合理分类元素（或位置)的“地位”不相同时,不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类,求出各类排列组合数。

再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0，1，2，3，4,5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××,5×××,共有：（个）；第二类：21××，23××,24××，25××，共有：（个)；第三类：203×，204×,205×，共有：(个）∴比2015大的四位数共有237个。

排列组合常用方法总结排列组合常用方法总结排列组合是组合学最基本的概念。

所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

下面是排列组合常用方法总结，请参考一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同[例题分析]排列组合思维方法选讲1．首先明确任务的意义例1.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：从1，3，5， (19)2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为2=180。

例2.某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。

若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

知识内容1．基本计数原理⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中n 1m 有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种2m n n m 12n N m m m =+++ 不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个n 1m 步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有2m n n m 种不同的方法．又称乘法原理．12n N m m m =⨯⨯⨯⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2． 排列与组合⑴排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n ()m m n ≤n 个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）m 排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出n ()m m n ≤n 个元素的排列数，用符号表示．m A mn 排列数公式：，，并且．A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+ m n +∈N ，m n ≤全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列． n n 的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．n 1n n !n 0!1=⑵组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任n m ()m n ≤n 取个元素的一个组合．m 组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素n m ()m n ≤n 中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．m C mn 排列组合问题的常用方法总结2组合数公式：，，并且． (1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==- ,m n +∈N m n ≤组合数的两个性质：性质1：；性质2：．（规定）C C m n m n n -=11C C C m m m n n n -+=+0C 1n =⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，n ()m m n ≤n 从个空中选个空，各插一个隔板，有．1n -1m -11m n C --7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！n n m m 8．错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求n n n n 小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，2n =9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【例2】 某校准备组建一个由人组成篮球队，这个人由个班的学生组成，每班至少一人，名额分12128配方案共 种．【例3】 有多少项？ ()15a b c d +++【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例5】 不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有12350...100x x x x ++++=组．【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【例7】 将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？ 74【例8】 一个楼梯共个台阶步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同1812的走法．【例9】 有个三好学生名额，分配到高三年级的个班里，要求每班至少个名额，共有多少种不同1061的分配方案．【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】 从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法． 1231000 ，，，，10【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）12A．B．16 C．24 D．328【例14】三个人坐在一排个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）96【例18】一排个座位有个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．74【例19】某班班会准备从甲、乙等名学生中选派名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A．B．C．D．360520600720【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？8【例21】某人连续射击次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【例24】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【例25】 停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连1284在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例26】 四个不同的小球放入编号为的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______1234，，，种．（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）20304060 A．种B．种C．种D．种733A【例32】某考生打算从所重点大学中选所填在第一档次的个志愿栏内，其中校定为第一志愿，再从所一般大学中选所填在第二档次的个志愿栏内，其中校必选，且在，B 533B C前，问此考生共有种不同的填表方法（用数字作答）．C递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．高中数学讲义11思维的发掘 能力的飞跃【例39】 求的展开式的项数．()10a b c ++【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。

由分步计数原理得113344288C C A =。

变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。

由分步计数原理得25451440A A =。

二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理得522522480A A A =。

变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。

分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。

三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。

分两步。

第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。

变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。