第2章 课时7 等比数列(1) 学案 江苏省启东中学 高中数学 必修五

【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．． 这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；. 教学过程首先我们来看一些例子. 1，2，3，4，…，50 ① 1，2，22，23，…，263② 15，5，16，16，28③ 0，10，20，30，…，1000 ④ 1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？ 它们均是一列数，它们是有一定次序的. 1．数列定义：2．数列的通项公式：思考：（1）{a n }与a n 有何区别和联系？（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？ 3、数列的表示法（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 4、数列的分类 （1） 按项数分（2） 按项与项的大小分有限项： 无限项：递增数列：a n+1>a n递减数列：a n+1<a n摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定（3）[例题分析]例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1； (2)a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555⑸ 225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a小结：例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？ （1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n na n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几无界数列项，若不存在，请说明理由 当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项 2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。

听课随笔 第3课时【学习导航】知识网络学习要求1．灵活应用等比数列的定义及通项公式； 2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.【自学评价】1. 等比数列的性质：（1）n m n m a a q -=（,m n N +∈）；(2）对于k 、l 、m 、n ∈N *，若m n p q +=+，则a k a l =a m a n .；（3）每隔k 项（k N +∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为_________； 4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。

2. (1) 若{a n }为等比数列，公比为q ，则{a 2n }也是___________，公比为________. (2) 若{a n }为等比数列，公比为q (q ≠－1),则{a 2n －1+a 2n }也是__________，公比为____. (3) 若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是_____________. (4) 三个数a 、b 、c 成等比数列的，则_______【精典范例】【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数. 【解】【例2】若a 、b 、c 成等比数列，试证明：a 2＋b 2，ac ＋bc ，b 2＋c 2也成等比数列.【证明】【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，如证明三个数a ，b ，c 成等比数列，可证明b 2＝ac ，要注意说明a 、b 、c 全不为零.追踪训练一1．在等比数列{a n }中，a 1=81,q =2,则a 4与a 8的等比中项是( ) A.±4 B.4 C.±41 D. 412．在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于( )A.512B.－512C.256D.－256 3．2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于( ) A.54 B.27 C.9 D.3 4．已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 5．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为_______________.【选修延伸】【例3】在{}n a 中，23,111+==+n n a a a ，试求{}n a 的通项n a 【解】【例4】在{}n a 中，3,111+==+n nn a a a a ，试求{}n a 的通项n a 【解】听课随笔【例5】在{}n a 中111132n n n a a ++=+，15,6a =求｛n a ｝的通项n a【解】追踪训练二1．在等比数列｛a n ｝中，若a 2·a 8=36,a 3＋a 7＝15，则公比q 值的可能个数为( )A.1B.2C.3D.4 2．在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于( )A.8B.10C.12D.2＋log 35 3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )A.三边边长之比为3∶4∶5B.三边边长之比为1∶3∶3C.较小锐角的正弦为215-D.较大锐角的正弦为215-4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5．已知数列满足a 1=87,且a n +1=21a n +31,n∈N * (1)求证{a n －32}是等比数列. (2)求数列{a n }的通项公式. 【解】学生质疑教师释疑。