高中数学练习精选双曲线的标准方程

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A 版2019选择性必修一）专题20 双曲线及其标准方程题型一 利用双曲线定义求方程1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上，4a =，3b =；（2）焦点在x轴上，经过点(，⎝ （3）焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-．【答案】（1）221169x y -=；（2）2213y x -=；（3）2212016y x -= 【解析】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为4a =，3b =，所以双曲线方程为221169x y -=；（2）因为焦点在x 轴上，设双曲线方程为22221x y a b -=，因为经过点(，⎝，代入可得22222315213a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令2211,m n a b ==，可得2315213m n m n -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得113m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2213a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为：2213y x -=； （3）因为焦点为(0,6)-，(0,6)，所以c =6，且交点在y 轴， 因为过点且经过点(2,5)-，2(0)a a =>，解得a =又222362016b c a =-=-=， 所以双曲线方程为：2212016y x -=；2．相距1400m 的A ，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．【答案】炮弹爆炸点在双曲线上，方程为221260100229900x y -=.【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则(700,0),(700,0)A B -，设爆炸点为(,)M x y ， 则340310201400MA MB -=⨯=<，根据双曲线的定义可得，M 在双曲线上，且2102021400a c =⎧⎨=⎩，所以510,700a c ==，所以22222700510229900b c a =-=-=， 所以点M 的轨迹方程为：221260100229900x y -=. 3．一块面积为12公顷的三角形形状的农场，如图所示△PEF ，已知1tan 2PEF ∠=，tan 2PFE ∠=-，试建立适当直角坐标系，求出分别以E ，F 为左、右焦点且过点P 的双曲线方程.【答案】2254x y -=1. 【解析】以EF 所在直线为x 轴，EF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以E ，F 为焦点且过点P 的双曲线方程为22221x y a b -=，焦点为(,0)E c -，(c,0)F ． 由1tan 2PEF ∠=，tan 2EFP ∠=-，tan tan()2EFP απ=-∠=， 得直线PE 和直线PF 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得53x c =，43y c =，即P 点坐标为5(3c ，4)3c ．在EFP 中，2EF c =，EF 上的高为点P 的纵坐标， 由题设条件24123EFPSc ==，3c ∴=，即P 点坐标为(5,4)．由两点间的距离公式PE ==PF ==a ∴=又2224b c a =-=，故所求双曲线的方程为22154x y -=．题型二 双曲线定义的应用4．已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为 A．4B．4(1+ C． D【答案】B【解析】曲线22142x y -=右焦点为F)，APF ∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当',,A P F 三点共线时取到,故l =2|AF |+2a=(41 故选B5．双曲线16x 2 - 9y 2=144的左､右两焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=64，则∠F 1PF 2=________. 【答案】60°【解析】双曲线方程16x 2- 9y 2=144，可化为221916x y -=， ∴F 1(-5,0)，F 2(5,0).设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，由双曲线的定义，知|m -n |=2a =6，又m ·n =64， 在△PF 1F 2中，由余弦定理知：2222222212121212||||||(2)()24361281001cos 2||||221282PF PF F F m n c m n mn c F PF PF PF mn mn +-+--+-+-∠=====⋅，∴∠F 1PF 2=60°. 故答案为：60°.6．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为________． 【答案】9【解析】对于双曲线221412x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+==，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9. 故答案为：9.7．如图，若12,F F 是双曲线221916x y-=的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且12|||3|2F PF P =⋅，试求12F PF △的面积. 【答案】（1）10或22；（2）1216F PF S =△.【解析】解：（1）12,F F 是双曲线221916x y -=的两个焦点，则3,4,5a b c ===， 点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点M 到另一个焦点的距离为m ， 则由双曲线定义可知，|16|26m a -==，解得10m =或22m =， 即点M 到另一个焦点的距离为10或22；（2）P 是双曲线左支上的点，则21||||26PF PF a -==，则221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=，而12|||3|2F PF P =⋅， 所以2212||||36232100PF PF +=+⨯=，即2221212||||||100PF PF F F +==，所以12F PF △为直角三角形，1290F PF ∠=︒， 所以121211||||321622F PF SPF PF =⋅=⨯=. 8．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，求||||PF PA +的最小值.【答案】9【解析】由题意可知，点A 在双曲线的两支之间，设双曲线的右焦点为F ',则(4,0)F '，由双曲线定义，得||24PF PF a '-==，而||5PA PFAF ''+=，两式相加，得||||9PF PA +，当且仅当,,A P F '三点共线时等号成立，则||||PF PA +的最小值为9. 题型三 根据方程表示双曲线求参数的范围9．若方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．(－2，2) B ．(0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【答案】A【解析】由题意，方程2222x y m m-+-＝1表示双曲线，则满足(2)(2)0m m +->， 解得22m -<<，即实数m 的取值范围是()2,2-. 故选：A.10．方程22141x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ）A ．曲线C 不可能是圆；B ．若14k <<，则曲线C 为椭圆； C ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >；D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512k <<. 【答案】CD【解析】①22+=141x y k k --，当541,2k k k -=-=时为曲线C 为圆,故A 错误； ②若C 为椭圆得：401041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得： 14k <<且52k ≠，故B 错误；③若C 为双曲线(4)(1)0k k --<，解得；1k <或4k >，故C 正确； ④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得 414010k k k k ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩解得512k <<，故D 正确．故选：CD .11．已知方程22121x y m m -=++表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是________.【答案】(,2)-∞-【解析】根据双曲线标准方程且焦点在y 轴上，∴2010m m +<⎧⎨+<⎩，解得2m <-，即m 的范围为(,2)-∞-.故答案为：(,2)-∞-. 题型四 双曲线的轨迹问题12．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆【答案】B【解析】连接ON ，如图，由题意可得|ON |＝1，且N 为线段MF 1的中点，∴|MF 2|＝2，∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ， ∴由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， ∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线，故选：B13．已知双曲线221416x y -=与直线:(2)l y kx m k =+≠±有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于(,0)A x ，(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点(,)P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？ 【答案】答案见解析【解析】联立方程221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得()22242160k x kmx m ----=，因为有唯一公共点且2k ≠±，则()()2222444160k m k m ∆=----=，整理得()2244m k =-，可解得点M 坐标为224,44km m k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，即416,k m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中0km ≠，于是，过点M 且与l 垂直的直线为1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 可得20202020,0,0,,,k k A B P m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2020,k x y m m =-=-， 则22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，即22100125x y -=，其中0y ≠， 所以点(,)P x y 的轨迹方程是22100125x y -=（0y ≠），轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），如果将此题推广到一般双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，直线:()b l y kx m k a=+≠±，其它条件不变，可得点(,)P x y 的轨迹方程是222222221(0)x y y a b a b a b -=≠⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，轨迹是焦点在x 轴上，实轴长为()222a b a+，虚轴长为()222a b b+的双曲线（去掉两个顶点）.14．M 是一个动点，MA 与直线y x =垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线y x =-垂直，垂足B 位于第四象限．若四边形OAMB （O 为原点）的面积为3，求动点M 的轨迹方程．【答案】()2260x y x -=>.【解析】设(),M x y ，根据题意可知点M 在y x =和y x =-相交的右侧区域， 所以点M 到直线y x =的距离1d ==，到直线y x =-的距离2d ==221232OAMBx y S d d -===即()2260x y x -=>所以动点M 的轨迹方程：()2260x y x -=>.15．已知A ，B 两点的坐标分别是(6,0)-，(6,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29．求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点. 【解析】设(),M x y ，因为()()6,0,6,0A B -，所以()26669AM BMy y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±， 故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.。

双曲线及其标准方程练习题高二一部数学组刘苏文2017年5月2日一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1<k<1 B．k>0C．k≥0 D．k>1或k<－13．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线4．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是A.－y2＝1 B．y2－＝1C.－＝1 D.－＝15．“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)、F2(，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1 D．x2－＝17．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是() A．±1 B．1C．－1 D．不存在8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A.－＝1B.－＝1(y>0)C.－＝1或－＝1D.－＝1(x>0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16 B．18C．21 D．2610．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－a B．m－b C．m2－a2 D.－二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．12．过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．13．如果椭圆＋＝1与双曲线－＝1的焦点相同，那么a＝________. 14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．三、解答题15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．16．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且·＝0，求点M到x轴的距离．答案及详解1、D2、A由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴(k－1)(k＋1)<0，∴－1<k<1.3、A设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1<|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4、B由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.5、C ab<0?曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线?ab<0.6、C∵c＝，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7、A验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.8、D由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：－＝1(x>0)9、D|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10、A设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2.∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.11、－＝112、∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝，该弦所在直线方程为x＝，由得y2＝，∴|y|＝，弦长为.13、1由题意得a>0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14、－＝1(x≤－2)设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|P A|＝4<|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：－＝1(x≤－2)．15、椭圆＋＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，又点A(x0,4)在椭圆＋＝1上，∴x＝15，又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：－＝1.16、解法一：设M(x M，y M)，F1(－，0)，F2(，0)，＝(－－x M，－y M)，＝(－x M，－y M)∵·＝0，∴(－－x M)·(－x M)＋y＝0，又M(x M，y M)在双曲线x2－＝1上，∴x－＝1，解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.解法二：连结OM，设M(x M，y M)，∵·＝0，∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝|F1F2|＝，∴＝①又x－＝1②由①②解得y M＝±，∴M到x轴的距离是|y M|＝.。

双曲线双曲线及其标准方程练习题（带答案）双曲线及其标准方程练习一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）A． B． C．或 D． 2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（） A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆 4．P为双曲线上的一点，F 为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（） A．内切 B．内切或外切 C．外切 D．相离或相交 5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞） C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，-1）∪（1，+∞） 6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（） A．m -a B． C． D．二、填空题 7．双曲线的一个焦点是，则m的值是________ _。

8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。

三、解答题 9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。

10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。

11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km， A若炮击P地，求炮击的方位角。

答案与提示一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A 二、7．-2 8．三、9．提示：易知由双曲线定义知即① 即此时点的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x=1(y≠0) ② 即此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为（y≠0） 10．不存在 11．提示：以AB的中点为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（3，0），B（-3，0），，依题意|PB|-|PA|=4 ∴ P 点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，其中c=3，2a=4，则，方程为又|PB|=|PC| ∴P在线段BC的垂直平分线上联立解得∴ 又∴α=60° ∴P点在A点东偏北60°处，即A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

双曲线经典练习题总结(带答案)1.选择题1.以椭圆x^2/169 + y^2/64 = 1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为C，当顶点为(±4,0)时，a=4，c=8，b=√(a^2+c^2)=4√5，双曲线方程为x^2/16 - y^2/20 = 1；当顶点为(0,±3)时，a=3，c=6，b=√(a^2+c^2)=3√5，双曲线方程为y^2/9 - x^2/5 = 1，所以答案为C。

2.双曲线2x^2 - y^2 = 8化为标准形式为x^2/4 - y^2/8 = 1，所以实轴长为2a = 4，答案为C。

3.若a>1，则双曲线2x^2/a^2 - y^2 = 1的离心率的取值范围是C。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+1)/a，所以c^2 =a^2+b^2 = a^2(a^2+1)/(a^2-1)，代入离心率公式得√(a^2+1)/a = 2，解得a = 2，所以答案为C。

4.已知双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为D。

由双曲线方程得离心率e = √(a^2+b^2)/a = 2，所以b^2 = 3a^2，又因为点(4,0)到渐近线的距离为c/a，所以c^2 = a^2+b^2 = 4a^2，代入双曲线方程得4x^2/a^2 - 2y^2/3a^2 = 1，化简得y^2 = 6x^2/5，所以渐近线方程为y = ±√(6/5)x，代入点(4,0)得距离为2√5，所以答案为D。

5.双曲线C：x^2/4 - y^2/16 = 1的右焦点坐标为F(6,0)，一条渐近线的方程为y = x，设点P在第一象限，由于|PO| = |PF|，则点P的横坐标为4，纵坐标为3，所以△PFO的底边长为6，高为3，面积为9，所以答案为A。

6.若双曲线C：2x^2/a^2 - 2y^2/b^2 = 1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x-2)^2 + y^2 = 4所截得的弦长为2，则b^2 = a^2-4，圆心为(2,0)，半径为2，设截弦的两个交点为P和Q，则PQ = 2，所以PQ的中点M在圆上，即M为(5/2,±√(3)/2)，所以PM = √(a^2-25/4)±√(3)/2，由于PM = PQ/2 = 1，所以(a^2-25/4)+(3/4) = 1，解得a = √(29)/2，所以答案为B。

高中数学双曲线公式大全1.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是正实数，分别称为双曲线的半轴。

2.双曲线的顶点坐标：双曲线的顶点坐标是(0,0)。

3.双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是y=0。

4.双曲线的焦点坐标：双曲线的焦点坐标是(-c,0)和(c,0)，其中c^2=a^2+b^25. 双曲线的准线坐标：双曲线的准线坐标是(-ae,0)和(ae,0)，其中e = √(1 + b^2/a^2)。

6.双曲线的离心率：双曲线的离心率是e=c/a。

7. 双曲线的焦距：双曲线的焦距是2ae。

8.双曲线的直径：双曲线的直径是2b。

9.双曲线的直线渐近线：双曲线的直线渐近线方程是y=±b/a*x+0。

10.双曲线的离心率与准线之间的关系：离心率e=√(1+1/b^2)。

11.双曲线的离心率与焦距之间的关系：离心率e=c/a。

12.双曲线的离心率与半轴之间的关系：离心率e=√(1+a^2/b^2)。

13.双曲线的离心率与半焦距之间的关系：离心率e=√(1+d^2/4b^2)，其中d是焦点到直线渐近线的垂直距离。

14.双曲线的离心率与半准距之间的关系：离心率e=√(1+c^2/a^2)。

15.双曲线的离心率和焦距与准线之间的关系：e^2=c^2-a^216.双曲线的离心率和焦距与半焦距之间的关系：e^2=c^2-d^217.双曲线的离心率和焦距与半准线之间的关系：e^2=c^2+a^218.双曲线的引弧长度公式：双曲线的引弧长度公式是s=aθ，其中θ是弧度数。

19. 双曲线的二边切线斜率公式：双曲线的二边切线的斜率公式是dy/dx = ± b^2x/y。

20. 双曲线的极坐标方程：双曲线的极坐标方程是r^2 =a^2sec^2θ - b^2tan^2θ。

以上是双曲线的一些重要公式，希望对你的学习有所帮助。

双曲线的研究是数学的重要分支之一，了解这些公式可以让我们更好地理解和应用双曲线的知识。

3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程一、选择题1.双曲线y 24-x 25=1的焦距为( ) A .6B .3C .2D .12.焦点分别为(-2,0),(2,0),且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A .x 2-y 23=1B .x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1D .x 22-y 22=13.已知F 1,F 2是平面内两个不同的定点,则“||MF 1|-|MF 2||为定值”是“动点M 的轨迹是双曲线”的( ) A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.[2024·益阳高二期末] 点M (x ,y )的坐标满足√(x +5)2+y 2-√(x -5)2+y 2=8,则点M 的轨迹方程为 ( )A .x 216+y 29=1B .x 216-y 29=1C .x 216-y 29=1(x>0)D .y 216-x 29=1(y>0) 5.若F 1,F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点,点P 在该双曲线上,且△PF 1F 2是等腰三角形,则△PF 1F 2的周长为( ) A .17B .16或12C .20D .16或206.[2024·福建南平一中高二月考] 设双曲线C 2与椭圆C 1:x 216+y 212=1有公共焦点F 1,F 2.若双曲线C 2经过点A (1,0),设P 为双曲线C 2与椭圆C 1的一个交点,则∠F 1PF 2的余弦值为( )A .35B .23C .34D .457.已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 24=1的左、右焦点,P 是C 上一点,且位于第一象限,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则P 的纵坐标为 ( )A .1B .2C .√2D .√38.(多选题)[2024·河南商丘高二期中] 已知方程x 2m 2-1+y 22m+2=1(m ≠±1)表示曲线C ,则下列结论正确的是 ( ) A .若m=3,则曲线C 是圆B .若曲线C 是椭圆,则m>3C .若曲线C 是双曲线,则m<1且m ≠-1D .若m<-1,则曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线9.(多选题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别是A 1,A 2,左、右焦点分别是F 1,F 2,P 是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是( )A .||PA 1|-|PA 2||=2aB .直线PA 1,PA 2的斜率之积等于定值b 2a 2C .使得△PF 1F 2为等腰三角形的点P 有且仅有四个D .若PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 二、填空题10.若双曲线y 22-x 2m =1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合,则m= .11.[2024·天津西青区高二期末] 已知双曲线x 2a 2-y 236=1(a>0)的两个焦点为F 1,F 2,焦距为20,点P 是双曲线上一点,|PF 1|=17,则|PF 2|= .12.已知O 为坐标原点,设F 1,F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的左、右焦点,P 为双曲线上任意一点,过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线,垂足为H ,则|OH|= .三、解答题13.(1)求与双曲线x 22-y 2=1有公共焦点,且过点(√2,√2)的双曲线的标准方程.(2)已知圆C 1:(x+2)2+y 2=254,圆C 2:(x-2)2+y 2=14,动圆P 与圆C 1,C 2都外切,求动圆圆心P 的轨迹方程.14.[2024·安徽芜湖一中高二月考] 已知点A (-2,0)与点B (2,0),P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于34.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)若点O 为原点,P 在第二象限,当|OP|=√232时,求点P 的坐标.15.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差,两个距离差即可形成两条位置双曲线,两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况,如图所示,已知三个发射台分别为A,B,C且刚好三点共线,已知AB=34海里,AC=20海里,现以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.根据船P接收到C发射台与A发射台发出的电磁波的时间差计算出距离差,得知船P在双曲线(x-27)236-y264=1的左支上,根据船P接收到A发射台与B发射台发出的电磁波的时间差,计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离远30海里,则点P的坐标为( )A.(907,±32√117)B.(1357,±32√27)C.(17,±323) D.(45,±16√2)16.已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)的一个交点为P,且有公共的焦点F1,F2,若∠F1PF2=2α,求证:tan α=nb.。

双曲线的标准方程一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．(02．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A 3B 3CD ．24．已知双曲线2222:1x y Cab-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为()A ．221205xy-=B ．221520xy-=C ．2218020xy-=D ．2212080xy-=5．双曲线22221124xymm-=+-的焦距是()A ．4B ．6C ．8D ．与m 有关6．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214yx-= B ．2214xy-= C ．221205xy-= D ．221520yx-=7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=±D ．4y=±11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m > B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是 ．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程 ．20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程 ．21．双曲线2214xy -=的焦距为 ；渐近线方程为 ．22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为 ．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是 ．26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 ． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为 ．28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为 ．29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ．30．以抛物线28y x=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是 ．三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34y x=±，求此双曲线的标准方程．32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．双曲线的标准方程精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)- B．(-C ．(0,3)D．(0【分析】由已知可得2c =，利用224()(3)m n mn =++-，解得21m =，又22()(3)0mn m n +->，从而可求n的取值范围．【解答】解：双曲线两焦点间的距离为4，2c ∴=，当焦点在x 轴上时， 可得：224()(3)mn mn =++-，解得：21m =，方程222213xy mnmn-=+-表示双曲线，22()(3)0mn mn ∴+->，可得：(1)(3)0n n +->，解得：13n -<<，即n 的取值范围是：(1,3)-．当焦点在y 轴上时， 可得：224()(3)mn mn -=++-，解得：21m =-，无解． 故选：A ．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．2．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=【分析】已知条件易得直线l 的斜率为1，设双曲线方程，及A ，B 点坐标代入方程联立相减得1224x x +=-，根据21221245y y b x x a-=-，可求得a 和b 的关系，再根据3c=，求得a 和b ，进而可得答案． 【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为1P N kk ==，设双曲线方程为22221x y ab-=，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有22112222222211x y a bx y ab⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并结合1224x x +=-，1230y y +=-得21221245y y b x x a-=-，从而22415b k a==即2245b a=， 又229a b +=，解得24a =，25b =，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A3B3CD ．2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a 、c 的值，再计算双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则ta n63π=，所以该条渐近线方程为3y =；3a =解得a =；所以c===所以双曲线的离心率为3c e a===．故选：A ．【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题，是基础题．4．已知双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，则C的方程为()A．221205x y-=B．221520x y-=C．2218020x y-=D．2212080x y-=【分析】利用双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，2225a b∴+=，21ba=，b∴=a=∴双曲线的方程为221 205x y-=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．双曲线22221124x ym m-=+-的焦距是()A．4B．6C．8D．与m有关【分析】首先判断双曲线的焦点在x轴上，求出2a，2b，由222c a b=+，计算可得c，即可得到焦距2c．【解答】解：双曲线22221124x ym m-=+-焦点在x轴上，即有240m->，则2212a m=+，224b m=-，22216c a b=+=，则4c=，焦距28c=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．6．已知双曲线C的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为()A．2214yx-=B．2214xy-=C．221205x y-=D．221520y x-=【分析】由已知是双曲线的方程可得渐近线的方程，设双曲线C的方程可得渐近线的方程，由题意可得a，b的关系，再由焦点的坐标可得a，b的值即求出双曲线C的方程．【解答】解：双曲线2214xy-=的渐近线方程为：12yx=±， 由题意设双曲线C 的方程为：22221y x ab-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b+=，①渐近线的方程为：a y xb=±再由C 与双曲线2214xy-=的渐近线相同，所以12a b=，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520yx-=，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质，渐近线方程与双曲线的参数之间的关系，属于基础题． 7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=【分析】动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P N P M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a =，28c=，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P NP M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a=，28c =，b ∴=∴动圆圆心M 的轨迹方程为：221412xy-=．故选：C ．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及M N 中点的横坐标可得a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c ab=+，则另得a 、b 的一个方程，最后解a 、b 的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为22221x y ab-=．将1yx =-代入22221x y ab-=，整理得2222222()20b a x a x aa b-+--=．由韦达定理得212222a x x ab+=-，则21222223x x a ab+==--．又2227c ab=+=，解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125xy-=．故选：D ．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等． 9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b ，根据双曲线的性质222c a b=+以及离心率然，求出2a ，写出双曲线的标准方程．【解答】解：根据题意可知212b =，解得6b=①又因为离心率54c ea ==②根据双曲线的性质可得222a c b=-③由①②③得，264a =双所以满足题意的双曲线的标准方程为：2216436xy-=故选：D ．【点评】此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题． 10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=± D ．4y=±【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程． 【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点22223523m nmn∴-=+，整理得228m n=，∴m n=双曲线的渐近线方程为4y x=±=±故选：D ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合．考查了学生综合运用双曲线的基础的能力． 11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由m 的范围可得30m ->，5m ->，即可得曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得m 的取值范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当35m <<，则30m->，5m ->，则曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得35m <<，故命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的充要条件，故选：A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及双曲线的标准方程，属于基础题． 12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为【分析】求出双曲线方程求出焦点坐标，渐近线方程，离心率，实轴长判断选项即可． 【解答】解：双曲线方程为：2212yx-=，所以1a =，22a =，所以D 不正确，b =，则c=C 不正确；渐近线方程为：y =，所以B 正确；焦点坐标(0)，所以A 不正确；故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆【分析】利用3(4πθ∈，)π，可定c o s s in 0θθ->>，即可得出结论．【解答】解：3(4πθ∈，)π，c o s s in 0θθ∴->>，∴关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆．故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础． 14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=【分析】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 【解答】解：设要求的双曲线为22221x y ab-=，由椭圆22143xy+=得焦点为(1,0)±，顶点为(2,0)±．∴双曲线的顶点为(1,0)±焦点为(2,0)±．1a ∴=，2c=，2223b c a∴=-=．∴双曲线为2213yx-=．故选：B ．【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．【分析】由题设知动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，由此结合题设条件能求出点M 的轨迹方程．【解答】解：点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，∴动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，且2a=，3c=，b=∴点M 的轨迹方程是221(0)45xyx -=>．故选：B ．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，∴设双曲线C 的方程为22221y x ab-=，则222(2a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2ab ==，∴双曲线C 的标准方程是22144yx-=．故选：C ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用． 17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m> B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <【分析】由双曲线方程的特点可得(1)(2)0m m --<，解之可得．【解答】解：若方程22112xym m+=--表示的曲线为双曲线，则(1)(2)0mm --<，即(1)(2)0mm -->，解得1m <或2m>．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，得出(1)(2)0m m --<是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是22114xy-= ．【分析】设双曲线方程为2214y xλ-=，代入点(4，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为2214y x λ-=，代入点(4，可得13164λ-⨯=，1λ∴=-，∴双曲线的标准方程是22114xy-=．故答案为：22114xy-=．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程2219xy-= ．【分析】由已知设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠，利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程．【解答】解：双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，∴设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠把点(6代入，得：3639λ-=，解得1λ=．∴此双曲线的标准方程为：2219xy -=．故答案为：2219xy-=．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用． 20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程221169xy-= ．【分析】求出椭圆的焦点，可得5c =，由离心率公式可得4a =，由a ，b ，c 的关系可得3b =，即可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2214924xy+=的焦点为(0)即为(5,0)±，则双曲线的5c =，由离心率54e=，则54c a=，则有4a=，3b==，则双曲线的方程为221169xy-=，故答案为：221169xy-=．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题． 21．双曲线2214xy-=的焦距为；渐近线方程为 ．【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求．【解答】解：由题知，24a =，21b =，故2225cab=+=，∴双曲线的焦距为：2c=，渐近线方程为：12b y x xa=±=±．故答案为：；12yx=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123xy-= ．【分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224xyλ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123xy-=；故答案为：221123xy-=．【点评】考查双曲线的性质，属于基础题．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为223144xy -= ．【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长， 进而写出双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为3y=±，∴3b a=，其中一个顶点的坐标(,0)a ，30y -= 的距离为：12a =，2a ∴=，3b∴=，∴所求双曲线的方程为：223144xy -=．【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a 和b 的值，是解题的关键，属于中档题． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为221312xy-= ．【分析】由于与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，故方程可假设为224yxλ-=，再利用过点(2,2)即可求【解答】解：设双曲线方程为224yx λ-=过点(2,2)，3λ∴=∴所求双曲线方程为221312xy-=故答案为221312xy-=【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是2213xy-= ．【分析】先利用点F ，N 的坐标求出直线A B 的斜率，再利用点差法得到223a b=，结合224a b+=求出a ，b的值，从而得到双曲线C 的方程．【解答】解：因为(2,0)F -，(3,1)N --，所以直线A B 的斜率1l k =，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，则224a b+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-．由2211221x y ab-=，2222221x y ab-=，得1212121222()()()()x x x x y y y y ab+-+--=，即22260l k ab-+=，223a b∴=．于是23a =，21b =， 所以C 的方程为2213xy-=．【点评】本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，是中档题． 26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 221916xy-= ．【分析】根据顶点坐标求得a ，根据焦距求得c ，进而根据222b c a=-求得b ，进而求得双曲线的标准方程．【解答】解：依题意可知3a=，5c=4b ∴==根据顶点坐标可知焦点在x 轴，∴双曲线的方程为221916xy-=故答案为：221916xy-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a ，b 和c 的关系，同时注意焦点是在x 轴还是在y 轴． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为22128xy-= ．【分析】由题意可得m 与6m +的关系，求出m 的值，进而可得双曲线的方程．【解答】解：由题意知2a m=，26b m =+，则实轴长为，虚轴长为由题意有2=，解得2m=，代入2216xymm -=+中，可得双曲线的标准方程为22128xy-=．故答案为：22128xy-=．【点评】本题考查双曲线的定义，属于基础题． 28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为22124yx-= ．【分析】先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得a 和b 的关系，然后把点(2,2)-代入双曲线方程求得a ，进而求得b ，则双曲线的方程可得． 【解答】解：依题意可在知双曲线的焦点在y 轴， 设出双曲线的方程为22221y x ab-=，根据已知曲线方程可知其渐近线方程为2yx=±∴2a b=，b=把点(2．2)-代入24412aa-=中求得2b=，a=∴双曲线的方程为：22124yx-=故答案为：22124yx-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查考生分析推理和基本的运算能力． 29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是22221x y-= ．【分析】欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a ，b 的值即可，根据双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，求出椭圆中的c 值，也即双曲线中的c 值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a 值，再利用a ，b ，c 之间的关系式，就可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2212xy+=中1c=中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点∴双曲线中1c =，椭圆2212xy +=的离心率为2c a=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴∴双曲线中2a=，22212b ca=-=，2b=∴双曲线的方程为22221x y-=故答案为22221x y-=．【点评】本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．30．以抛物线28yx=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是2213yx-= ．【分析】由题意设双曲线方程为2213xyλλ-=．再由双曲线的右焦点为(2,0)，求出λ的值，进而得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=，∴设双曲线方程为2213xyλλ-=．28yx=的顶点为(0,0)，焦点为(2,0)，∴双曲线的右焦点为(2,0)．34λλ∴+=，1λ=．∴双曲线方程为2213yx-=．故答案为：2213yx-=．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34yx=±，求此双曲线的标准方程．【分析】（1）由已知可得椭圆焦点在y 轴上，且得到实半轴与短半轴的长，则椭圆方程可求； （2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c=，34b a=，结合隐含条件求得a ，b ，则双曲线方程可求．【解答】解：（1）由题意，可知椭圆焦点在y 轴上，且8a=，6b=，∴椭圆方程为2216436yx+=；（2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c =，34b a=，又222a bc+=，解得4a=，3b=，∴双曲线的标准方程为221169xy-=．【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，是基础题． 32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x=的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）抛物线24y x=的焦点为(1,0)即1c =，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程（Ⅱ）双曲线中由（Ⅰ）1a =，2c =，可求得方程【解答】解：（Ⅰ）抛物线24yx=的焦点右焦点2(1,0)F ，左焦点1(1F -，2123530)1(1,)2423222c P a P F P F a b ∴==+==+=∴=∴=所求椭圆方程为22143xy+=（Ⅱ）1a=，2c =则23b=所求双曲线的方程为2213yx-=【点评】本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．。

高中数学双曲线练习题一、选择题1. 双曲线的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 分别表示什么？A. 焦点间距离的一半B. 横轴和纵轴的半轴长C. 横轴和纵轴的全轴长D. 渐近线与横轴的夹角2. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于：A. \( a \)B. \( b \)C. \( c \)D. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)3. 双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的焦距是：A. 10B. 8C. 6D. 54. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 上的点 \( P(x, y) \) 到右焦点的距离与到左焦点的距离之差为：A. 2B. 4C. 6D. 85. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 的一条渐近线方程是：A. \( x + 2y = 0 \)B. \( x - 2y = 0 \)C. \( y = \frac{x}{2} \)D. \( y = -\frac{x}{2} \)二、填空题6. 若双曲线的中心在原点，焦点坐标为 \( (±c, 0) \)，且 \( c = 5 \)，则 \( a \) 的值为______。

7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的一个顶点坐标为 \( (a, 0) \)，若 \( a = 3 \)，则 \( b \) 的值为______。

8. 已知双曲线 \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) 上的点\( M(3, -4) \) 到其一条渐近线的距离为______。

9. 若双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 上的点\( P \) 到右焦点的距离为 \( 10 \)，则 \( P \) 到左焦点的距离为______。

高中数学双曲线公式总结大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。

且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 寒窗苦读十余载，今朝考试展锋芒;思维冷静不慌乱，下笔如神才华展;心平气和信心足，过关斩将如流水;细心用心加耐心，努力备考，定会考入理想院校。

精心整理[学业水平训练]1．动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线解析：选D.依题意|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹不是双曲线，而是一条射线．2．若方程＋＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．3 )A.C.，所以4A B C D 5．( )A ．C ．3|MF 2|，所以3|6．m ＝16.答案：167．已知双曲线的焦点分别为(0，－2)、(0,2)，且经过点P (－3，2)，则双曲线的标准方程是________．解析：由题知c ＝2，又点P 到(0，－2)和(0,2)的距离之差的绝对值为2a ，2a ＝|－|＝2，∴a ＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3.又焦点在y 轴上，∴双曲线的方程为y 2－＝1.答案：y 2－＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线－＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：49．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和(，5)．(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．解：(1)由已知，可设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则解得所以双曲线的方程为－＝1.(2)10F2(c,0)．又c＝1.1．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M 的距离为()A. B.C. D.解析：选C.不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为.2．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.203L且4(1)(2)故(1)16(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.。

§2.3.1 双曲线及其标准方程（B ）1、过点（1，1）且b a=的双曲线的标准方程为（ ） A 、22112x y -= B 、22112y x -= C 、22112y x -= D 、22112x y -=或22112y x -= 2、双曲线2288mx my -=的焦距为6，则m 的值是（ ）A 、1±B 、1-C 、1D 、83、方程221105x y k k+=--表示双曲线，则k ∈（ ） A 、(5,10) B 、(,5)-∞ C 、(10,)+∞ D 、(,5)(10,)-∞+∞4、双曲线的焦距为26，22513a c =，则双曲线的标准方程（ ） A 、22125169x y -= B 、22125169y x -= C 、22125144x y -= D 、22125144x y -=或22125144y x -= 5、1F 、2F 是双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A 、2B 、4C 、8D 、166、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线52200x y -+=上，两焦点关于原点对称，53c a =，则此双曲线的方程是（ ） A 、2213664x y -= B 、2216436x y -= C 、2213664x y -=- D 、2216436x y -=- 7、在双曲线中c a =224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程 是 ；8、P 是双曲线2216x y -=的左支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则12||||PF PF -= ；9、已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 ；10、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为 ；11、已知双曲线过M （3，2），(2,1)N --两点，则双曲线的标准方程是 ；12、求与双曲线221164x y -=共焦点，且过点的双曲线方程。

高二数学双曲线的标准方程高二数学求双曲线的标准方程一1焦点在x轴上，虚拟轴长度为12，偏心率为5/4？2顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?解决方案：1设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1a>0,b>0根据问题的意思，2b=12，‡B=6‡B^2=36∵e^2=c^2/a^2=a^2+b^2/a^2=a^2+36/a^2=25/16∴a^2=64∴双曲线方程为x^2/64-y^2/36=12设双曲方程为x^2/A^2-y^2/b^2=1A>0，b>0或y^2/a^2-x^2/b^2=1a>0,b>0∵ 顶点之间的距离为6∵ 2A=6∵ a=3∵ a^2=9∵渐近线方程为y=±3/2x——y=±B/AX=±3/2x或y=±A/BX=±3/2x∴b=9/2∴b^2=81/4或b=2∴b^2=4双曲线方程是x^2/9-4y^2/81=1或Y^2/9-x^2/4=1高二数学求双曲线的标准方程二1焦点在x轴上，虚拟轴长度为12，偏心率为5/4？2顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?解决方案：1设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1a>0,b>0根据问题的意思，2b=12，‡B=6‡B^2=36∵e^2=c^2/a^2=a^2+b^2/a^2=a^2+36/a^2=25/16∴a^2=64∴双曲线方程为x^2/64-y^2/36=12设双曲方程为x^2/A^2-y^2/b^2=1A>0，b>0或y^2/a^2-x^2/b^2=1a>0,b>0∵ 顶点之间的距离为6∵ 2A=6∵ a=3∵ a^2=9∵渐近线方程为y=±3/2x——y=±B/AX=±3/2x或y=±A/BX=±3/2x∴b=9/2∴b^2=81/4或b=2∴b^2=4双曲线方程是x^2/9-4y^2/81=1或Y^2/9-x^2/4=1。

《双曲线的标准方程》高考通关练一、选择题1.（2020江宁江中区高中模拟）已知点12(F F ,动点P 满足212PF PF -=,当点P 的纵坐标是12时,点P 到坐标原点的距离是（ ）B.32D.2 答案：A解析:由已知条件可得点P 的运动轨迹是以点12,F F 为焦点的双曲线左支,其中1c a ==,所以1b =.所以点P 的轨迹方程为221(1)x y x -=-.将12y =代入,可得点P 的横坐标x =.所以点P =.2.（2020北京门头沟区永定中学期中）已知双曲线的两个焦点分别为12(F F P 是双曲线上的一点,且1212,2PF PF PF PF ⊥⋅=,则双曲线的标准方程是（ ）A.22123x y -= B.22132x y -= C.2214y x -= D.2214x y -= 答案：D解析：设12,PF m PF n ==,则在12Rt PF F ∆中,2m +22(2)20,2n c mn ===.所以222||216m n m n mn -=+-=.所以2416a =,所以24a =,所以2221b c a =-=.所以双曲线的标准方程为2214x y -=.4.（2020广西玉林三模）P 为双曲线2213y x -=右支上一点,12,F F 为左、右焦点,若1210PF PF +=,则12PF PF ⋅=（ ） A.18 B.16 C.15 D.12 答案：A解析:由题意得1,2a c ==.因为1222PF PF a -==,1210PF PF +=,所以126,4PF PF ==,所以21PF PF ⋅=2226446418264+-⨯⨯=⨯⨯. 5.（2020呼铁一中模拟）已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则APF ∆的面积为（ ）A.13B.12C.23D.32 答案：D解析：方法一:由题设可知,双曲线的右焦点为(2,0)F ,当2x =时,代入双曲线C 的方程,得2413y -=,解得3y =±,如图,不妨取点(2,3)P .因为点(1,3)A ,所以//AP x 轴,又PF x ⊥轴,所以AP PF ⊥,所以APF S ∆=113||||31222PF AP ⋅=⨯⨯=.方法二:由题设可知,双曲线的右焦点为(2,0)F ,当2x =时,代入双曲线C 的方程,得2413y -=,解得3y =±,如图,不妨取点(2,3)P 因为点(1,3)A ,所以(1,0),(0,3)AP PF ==-,所以0AP PF ⋅=,所以AP PF ⊥,所以11||||22APF S PF AP ∆=⋅=⨯3312⨯=. 二、多项选择题3.（2020北京四中模拟）在ABC ∆中,(5,0),(5,0)A B -,点C 在双曲线22169x y -=1上,则sin sin sin A BC -=（ ）A.35B.35-C.45D.45-答案：CD解析：因为在ABC ∆中,||||sin ,sin 22BC AC A B R R ==,||10sin 22AB C R R ==（R 为ABC ∆外接圆的半径），所以sin sin sin A B C -=||||||||210102BC AC BC AC R R--=.又因为||||8BC AC -=±,所以sin sin 84sin 105A B C -=±=±.故选CD .二、填空题6.（2020辽宁葫芦岛期末）已知定点(0,7),(0,7),(12,2)A B C -,以C 为一个焦点作过A ,B 的椭圆,则另一个焦点F 的轨迹是_____. 答案：见解析解析：因为,A B 两点在以,C F 为焦点的椭圆上,所以||||2,||||2FA CA a FB CB a +=+=,所以||||||||FA CA FB CB +=+,所以||||||FA FB CB -=-||2||14CA AB ==<=,所以点F 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线的下半支.7.（2020北京四中模拟）已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点,,P Q 为C 右支上的点.若||16PQ =,点(5,0)A 在直线PQ 上,则PQF ∆的周长为______.答案：44解析：显然点()50A ，为双曲线的右焦点.由题意得||||6,||||6FP PA FQ QA -=-=,两式相加得||||28FP FQ +=,所以PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=.8.（2020江宁丹东二中模拟）若方程221()33x y k k k +=∈-+R 表示双曲线,则k 的取值范围是_____. 答案：33k -<<解析：依题意可知(3)(3)0k k -+<,解得3-<3k <,故k 的取值范围为33k -<<.9.（2020呼和浩特第二中学模拟）已知点12,F F 分别为双曲线2213y x -=的左、右焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则212PF PF 的最小值为_____.答案：8解析：设(,)(1)P x y x ,则22212PF PF ==22441(21)44(21)2121x x x x x x ++-++-=--.设21(1)t x t =-,则21244448PF t PF t =+++=,当且仅当2t =时取等号.故212PF PF 的最小值为8. 三、解答题10.（2020山东威海乳山一中模拟）已知OFQ ∆的面积为,且OF FQ ⋅=m ,其中O 为坐标原点.(1)设646m <<求OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围;(2)若以O 为中心,F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ,如图，26||,1OF c m c ⎫==⎪⎪⎝⎭,当||OQ 取得最小值时,求此双曲线的标准方程 答案：见解析解析：因为||||cos ,1||||sin()26,2OF FQ m OF FQ θπθ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩所以46tan θ=646m <<,所以1tan 4θ<<.即OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围为(1,4).(2)设双曲线的标准方程为()2211221(0,0),,x y a b Q x y a b-=>>,则()11,FQ x c y =-,所以11||262OFQ S OF y ∆=⋅=则16y c=±.又OF FQ m ⋅=, 所以()2116(,0),1c x c y c ⎫⋅-=-⎪⎪⎝⎭,解得16x =, 所以222112396||12238OQ x y c c=+=+=,当且仅当4c =时等号成立,这时点Q 的坐标为6,6)或6,6).因为2222661,16,a b a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩所以224,12.a b ==⎧⎨⎩故双曲线的标准方程为221412x y -=.。