沪教版九年级数学相似三角形质量测试卷

九年级上册数学单元测试卷-第二十四章相似三角形-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、冬至时是一年中太阳相对于地球位置最低的时刻，只要此时能采到阳光，一年四季就均能受到阳光照射．此时竖一根米长的竹杆，其影长为米，某单位计划想建米高的南北两幢宿舍楼（如图所示）．当两幢楼相距多少米时，后楼的采光一年四季不受影响？（）A. 米B. 米C. 米D. 米2、如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形( )A.1对B.2对C.3对D.4对3、如图，已知△ABC，P是边AB上一点，连结CP，以下条件不能判定△APC∽△ACB的是（）A.∠ACP=∠BB.∠APC=∠ACBC.AC 2=AP·ABD.4、如图，中，垂直平分交的延长线于点．若,则的值为（）A. B. C. D.5、已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶16、由不能推出的比例是（）A. B. C. D. (y -3)7、下列各选项中的两个图形是相似图形的是( )A. B. C. D.8、如图，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AC=9，BC=12，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（）A. B. C.12 D.159、如图，△A′B′C′和△ABC是以点O为位似中心的位似图形，若位似比A′O：AO=3：1，且△A′B′C′的周长是12，则△ABC的周长是（）A.4B.36C.9D.10、如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A.（+1）aB.（﹣1）aC.（3﹣）aD.（﹣2）a11、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，，若S△ADE＝2，则S△ABC的值是（）A.6B.8C.18D.3212、如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC=12，AE=3，则⊙O的直径长为( )A.10B.13C.15D.1613、如图，在中，D，E分别是边AB，BC上的点，且，若BE：CE=1:3，则的值为（）A. B. C. D.14、如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值( )A.都缩小到原来的n倍B.都扩大到原来的n倍；C.都没有变化 D.不同三角比的变化不一致.15、如图，已知，，，，则DE的长为（）A.2B.4C.3D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为________．17、如图，的两条中线、相交于点G,如果，那么________.18、如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．19、如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为________20、如图，已知直角中，是斜边上的高，，，则________．21、在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点△ABC与△OAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为________．22、如图，为等边三角形，为其内心，射线交于点，点为射线上一动点，将射线绕点逆时针旋转，与射线交于点，当时，的长度为________23、已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=2，则PB=________．24、如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（4，8），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E，那么点D 的坐标为________．25、在△ABC中，经过重心G作线段DE∥BC交AB于D，交AC于E，则=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：，求的值.27、如图，Rt△ABC中，O为坐标原点，∠AOB=90°，∠B=30°，如果点A在反比例函数（x＞0）的图象上运动，那么点B在哪个图像上运动？28、已知，如图，= = ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？29、如图，直线y=-2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，过点C作CD⊥x轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且△OCP与△OBC相似，求过点P的双曲线解析式．30、已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE=∠B求证：AD2=AE·AB参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、D4、B5、:6、C7、D8、B9、A10、B11、C12、C13、D14、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、30、。

《第二十四章相似三角形》试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、在△ABC与△A’B’C’中，如果∠A = ∠A’，∠B = ∠B’，那么这两个三角形的关系是：A. 全等B. 相似但不全等C. 不相似也不全等D. 没有足够的信息来判断2、如果在两个相似三角形中，一个三角形的一条边是另一个相应边的3倍，那么这两个三角形的面积比是多少？A. 1:3B. 3:1C. 1:9D. 9:13、在下列四组图形中，哪一组图形中的两个三角形是相似的？A. 两个等腰三角形，底边长分别为8cm和10cm，腰长分别为12cm和15cmB. 两个直角三角形，一个的直角边长分别为3cm和4cm，另一个的直角边长分别为6cm和8cmC. 两个等边三角形，边长分别为5cm和10cmD. 两个等腰三角形，底边长分别为6cm和9cm，腰长分别为8cm和12cm4、在三角形ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，点D在边AC上，且AD=2CD。

若∠ADC=30°，则三角形ADC与三角形ABC相似吗？A. 是B. 不是C. 无法确定D. 无法计算5、在下列图形中，不是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个等边三角形C. 两个直角三角形D. 两个底角相等的锐角三角形6、在相似三角形中，若两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形一定是（）A. 全等三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 相似三角形7、在下列各组图形中，一定互为相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形，底边长度比为2:1，腰长比为3:2B. 两个直角三角形，一个直角边长为5，斜边长为13，另一个直角边长为3，斜边长为10C. 两个等边三角形，边长分别为6和8D. 两个矩形，面积比为4:98、已知三角形ABC中，AB=AC，∠B=45°，点D在BC上，且AD=BD，则三角形ABC 与三角形ADB是（）A. 相似三角形B. 全等三角形C. 平行四边形的对角D. 无法判断9、在三角形ABC中，∠B=45°，∠C=90°，点D在边BC上，且AD=BD，则三角形ABC与三角形ABD的相似比是（）A. 1：1B. 1：√2C. √2：1D. 2：1 10、在三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，且AD=3cm，BD=4cm，CD=5cm。

沪科版九上数学相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB、△BOC、△COD、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。

相似三角形测试题及答案图形的放缩与比例线段（1）一、填空题（每小题4分,共40分）1、如果,那么＝________。

2、已知：，则＝________。

3、与的比例中项是________。

4、对一段长为20cm的线段进行黄金分割,那么分得的较长线段长为________cm。

（不取近似值)5、如图，DE∥BC，AD＝1，DB＝2，则的值为________。

6、如图，DE∥BC，AB＝12，AC＝16，AE＝10，则AD＝________。

7、如图，线段AB＝10cm，，，则CD＝________cm。

8、已知：线段AB＝10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB，则BC＝________cm。

（不取近似值)9、如图，AD∥EF∥BC,，DF＝4cm,则DC＝________cm。

10、如图，AB∥EF∥DC，AB＝，DC＝,，则EF＝________。

（用式子表示）二、选择题（每小题4分，共16分）1、若,则下列等式中不正确的是（）。

（A）;（B）；（C）;（D）.2、如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（）。

（A)；（B)；（C）；（D）.3、如图,△ABC中，DE∥BC，AD＝1，EC＝3，则下列等式中成立的是（ )。

（A）；(B);(C）；（D）.4、如图,△ABC中，DE∥BC,AD＝1，DB＝DE＝2，则BC长是（）。

(A）3； (B）4；（C）5；（D）6。

三、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2,AC＝6,求DE和CE长四、（本题8分）如图，△ABC中，AD＝2DC,G是BD中点,AC延长线交BC于E，求的值。

五、（本题8分）如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于F，AH交DE于G，DE＝10，BC＝15，AG＝12,求线段AH长.六、（本题10分)如图，平行四边形ABCD中,E是AB的中点，G是AC上一点，，连EC延长交AD于F,求的值。

相似三角形班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：全章的内容； 考试时间：90分钟； 总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．（2024八年级下·上海·专题练习）下列各式错误的是（ ）A ．|0|0=r B ．()0m m +-=r r C ．m n n m +=+r r r r D ．()m n m n -=+-r r r r 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小又有方向，且实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中．根据平面向量的意义和性质进行分析作答．【详解】解：A 、|0|0=r ，原选项正确，不符合题意．B 、()0m m +-=r r r ，原选项错误，符合题意．C 、m n n m +=+r r r r ，原选项正确，不符合题意．D 、()m n m n -=+-r r r r ，原选项正确，不符合题意．故选：B ．2．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ）A ．1、2、3、4；B ．1、2、4、8；C ．2、3、4、5；D ．5、10、15、20．【答案】B【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【详解】解：A 、4123´¹´，故本选项不符合题意；B 、1824´=´，故本选项符合题意；C 、2534´¹´，故本选项不符合题意；D 、5201015´¹´，故本选项不符合题意；故选：B ．3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论成立的是（ ）A ．CD BCEF BE =B ．BE AF CE DF =C ．AB AD CD BC =D ．DF BE AD BC=4．（23-24九年级上·上海松江·期末）某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形ABCD 和四边形1111D C B A 是相似的图形，点A 与点1A 、点B 与点1B 、点C 与点1C 、点D 与点1D 分别是对应顶点，已知11AB k A B =．该和四边形1111D C B A 的面积比等于2k ；②四边形ABCD 和四边形1111D C B A 的两条对角线的和之比等于k ．对于结论①和②，下列说法正确的是（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①和②都错误D ．①和②都正确5．（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，斜边BC 上的高3AH =，矩形DEFG的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果GF 正好经过ABC V 的重心，那么BD EC ×的积等于（ ）A ．4B ．1C ．1625D ．9252AO OM \=，Q 四边形DEFG 是矩形，GF DE \∥，GDE FED Ð=Ð::AK KH AO OM \=，BDG FEC \∽△△，::BD FE GD EC \=，BD CE FE DG \×=×，FG BC ∥Q ，GD BC ^，KH BC ^，FE BC ^，1DG FE KH \===，111BD CE \×=´=．故选：B ．6．（2024·上海青浦·二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC Ð=Ð，那么下列结论&&错误的是（ ）A ．EA EC=B ．DOC DCO Ð=ÐC ．4BD DF =D ．BC CDCE BF=二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）7．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知25ab=，那么22a ba b+=+．8．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且4cm AB =，AP BP <，那么BP = cm .9．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）在ABC V 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，:1:2AD AB =，4AC =，那么当AE = 时，DE BC ∥．故答案为：2．10．（2024·上海静安·三模）化简：()123933a b a b +--= ．【答案】ˆˆ4a b -+/4ˆb 【分析】本题考查向量的加减运算，根据向量加减运算法则求解即可r11．（2024·上海长宁·二模）如图，正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点F 在边CD 上（点F 不与点C 重合），且45EAF Ð=°，那么CF BE 的值为 ．12．（2024·上海浦东新·二模）如图，已知ABC V 中，中线AM 、BN 相交于点G ，设=AG a ，=BG b ，那么向量BC uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．【答案】ˆ2ˆa b +/2b a+r r 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得2AG GM =，2BC BM =，利用三角形法则求出BM uuuu r ，进而可得结果．【详解】解：∵中线AM 、BN 交于点G ，13．（2024九年级下·上海·专题练习）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D ）直行8里有一塔（点A ），自西门（点E ）直行2里至点B ，切城角（点C ）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是 里．14．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90°．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是 ．15．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知AD BE CF ∥∥，它们依次交直线1l 于点A B C 、、，交直线2l 于点D E F 、、，已知:3:510AB AC DF ==，，那么EF 的长为 ．16．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，90A B Ð=Ð=°，AD BC ∥，且AD BC >，10AB BC ==，点P 在BC 边上，点B 关于直线AP 的对称点为Q ，CQ 的延长线交边AD 于点R ，如果AR CP =，那么线段AP 的长为 ．AD 与y 轴交于点E ，若ABE V 与四边形BCDE 的面积比为1:5，则k 的值为 ．【答案】12【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义，作DG x ^轴，垂足为G ，CF x ^轴，垂足为F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABC CDA Ð=Ð，又∵GBE HED EDG Ð=Ð=Ð，∴ABO QDC Ð=Ð，在ABO V 和CDQ V 中，ABO AOB AB CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ABO CDQ V V ≌，∴()232m m =-，解得6m =，∴()26D ，，∵点D 在反比例函数图象上，∴12k =．故答案为：12．18．（2024·上海黄浦·三模）如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，将ABC V 绕点C 旋转得到A B C ¢¢△，点A 的对应点A ¢恰好与ABC V 的重心重合，A B ¢¢与BC 相交于点E ，那么:BE CE 的值为 ．D 为BC 的中点，A ¢为ABC V 的重心，∵在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，∴12AD BC CD ==∴DAC DCAÐ=Ð∵旋转，三、解答题（本大题共7小题，共64分）19．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）已知：如图，在ABC V 中，BD 平分ABC Ð交AC 于D ．(1)求证：AD AB CD BC=；(2)延长BD 至点E ，联结CE 、AE ，如果ACE EBC Ð=Ð，求证：AE CE =．∵BD 平分ABC Ð，∴ABD DBC Ð=Ð,∵CH AB ∥，∴ABD H Ð=Ð，∵ABD DBC Ð=Ð，ACE EBC Ð=Ð∴ABD ACE Ð=Ð，∵ADB EDC Ð=Ð，∴ABD △∽ECD V ，AD BD∴AE CE =．【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．20．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且BDE BCA Ð=Ð．(1)求证：ABE BDC V V ∽；(2)如果AE AC =，求证：2AC AD AB =×．21．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知点E 在四边形ABCD 的边AB 上，设AE a =，AD b =，DC c =．(1)试用向量a b c r r r 、、表示向量DE =uuu r _______，EC =uuu r ______．(2)在图中求作：DE CE AD -+uuu r uuu r uuu r．（不要求写出作法，只需写出结论即可）22．（23-24九年级上·上海·期中）如图，花丛中有一盏路灯E ，为了测量路灯E 离地面的高度，小明在点D 处竖立标杆CD ，小明站立在点B 处，从点A 处看到标杆顶D 、路灯顶E 在一直线上（点F 、D 、B 也在一直线上）．已知2BD =米，3FD =米，标杆 2.5CD =米，人的眼睛离地面的距离 1.5AB =米．求路灯E 离地面的高度．由题意， 1.5AB GD HF ===米，BD =∴0.5CG CD GD =-=米，∵CD EF ∥，∴CG AG EH AH =，23．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，有一块面积等于21200cm的三角形纸片ABC，已知底边BC 与底边上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF 在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．Array(1)求BC和底边上的高；(2)求加工成的正方形纸片DEFG的边长．24．（2024九年级下·上海·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线203y kx =+过点()5,0A ，()2,C a ，与y 轴交于点B ．点D ，E 分别为线段OB ，OA 上的一点（不含端点），且CD DE ^．(1)求k 和a 的值；(2)当AEC Ð与CDE V 中的一个角相等时，求线段OD 的长．Q 2OE CF \==，4OF =，CD DE ^Q ，CFD =∠∠∴90ODE FDC +=°∠∠FDC OED \Ð=Ð，∴DCF EDO △∽△，C F O D则4CD CG ==，Q 222DF CD CF =-=\42O D O F D F =-=-综上，线段OD 的长为225．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，矩形ABCD 中，3,AB BC AB =>，将矩形ABCD 绕着点B 逆时针旋转后得到矩形BEFG ，点C 恰好落在边AD 上，点C 的对应点是点E ，点D 的对应点是点F ，点A 的对应点是点G ．(1)如图1，当5BC =时，求DE 的长；(2)如图2，延长FE 交边DC 于点H ，设CH m =，用m 的代数式表示线段BC 的长；(3)连结AF ，当AEF △是以AE 为腰的等腰三角形时，请直接写出此时BC 的长．∵AE AF=，AH EF^，∴1322 EH EF==，∵90AEH AEBÐ+Ð=°，ABE AEBÐ+Ð∴AEH ABEÐ=Ð，∵90AHE BAEÐ=Ð=°，。

沪教版九年级上册第二十四章相似三角形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．162．如图，在ABC △中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．AD AN AN AE =B ．BD MN MN CE =C ．DN NE BM MC =D ．DN NE MC BM = 3．如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与这三条直线分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB ＝4，BC ＝6，DE ＝3，则DF 的长为（ ）A.4.5B.2C.7.5D.6.54．已知△MNP 如图27-1，则下列四个三角形中与△MNP 相似的是( )A. B. C. D.5．如图，AD AE2DB EC==，则ABDB=（）A．12B．2 C．13D．36．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是()A.AC BCAB CD= B.CD ACAB BC= C.AC CDAB BD= D.AC ABCD BC=7．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点DE．若AD=2，DB=3，BC=6，则DE的长为（）A.4B.2.5C.125D.108．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥PC于D点，且AC＝13，CD＝5，AB＝⊙O的直径等于（）A B．C．D．179．已知ab cd=，则把它改写成比例式后，错误的是（）A.a bc d= B.a dc b= C.a cd b= D.b cd a=10．在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，若BD＝2AD，则CFAF的值为（）A．12B．13C．14D．23二、填空题11．两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形周长为36cm，则较大多边形周长为_____．12．如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC＝3，AB＝5，写出其中的一对相似三角形是和，它们的相似比为.13．若34ab=，则ba b=+_____．14．如图，ABC中，D为AB上一点，连接CD，请添加一个条件，使ACD ABC∽，你添加的条件是________．15．若3x=5y，则xy=_______；已知2a c eb d f===且b+d+f≠0则a c eb d f++++=__________.三、解答题16．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．17．已知，如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的中线，DE ⊥AB 交BC 于点F ，交AC 的延长线于点E ．求证：（1）△ADE ∽△FDB ；（2）CD 2=DE •DF ．18．如图，已知CD 是Rt ABC ∆斜边AB 上的中线，过点D 作AC 的平行线，过点C 作CD 的垂线，两线相交于点E .（1）求证：ABC DEC ∆∆；（2）若2CE =，4CD =，求ABC ∆的面积.参考答案1．D【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE ∥BC ，DE=12BC ，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∵DE BC =12， ∴14ADE ABC S S ∆∆=， ∵△ADE 的面积为4，∴△ABC 的面积为：16，故选：D ．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE ∽△ABC 是解题关键．2．C【解析】【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案.【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN AN NE DN NE BM AM AM MC BM MC==?，故选C.【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质. 3．C【解析】【分析】由直线a∥b∥c，可得AB DEAC DF=，代入数据可求得DF长．【详解】解：∵直线a∥b∥c，∴AB DE AC DF=，∵AB＝4，BC＝6，∴AC＝10，∴4310DF=，∴DF＝7.5，故选：C．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．C【解析】△MNP是底角为75°，顶角为30°的等腰三角形，要与之相似必定也是顶角为30°，底角为75°的等腰三角形，只有C选项符合.故选C.点睛：顶角相等或底角相等的两个等腰三角形相似.5．D【解析】【分析】设BD＝k，由AD AE2DB EC==可知AD＝2k，故AB3k3DB k==【详解】解：∵AD AE2 DB EC==，故设BD＝k，AD＝2k ∴AB＝3k，∴AB3k3 DB k==故选：D．【点睛】此题考查平行线分线段成比例，关键是根据平行线分线段成比例解答6．D【解析】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即AC ABCD BC=，故选D．7．C 【解析】【分析】由DE∥BC，可得ADAB=＝DEBC，由此构建方程即可解决问题.【详解】∵AD＝2，DB＝3，∴AB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB=DEBC，∴25＝DE6，∴DE＝DE BC，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．C【解析】【分析】作直径AE ，连接BE ，如图，先利用勾股定理计算出AD ＝12，根据圆周角定理得到∠ABE ＝90°，∠AEB ＝∠ACB ，则可判断△ABE ∽△ADC ，然后利用相似比求出AE 即可．【详解】解：作直径AE ，连接BE ，如图，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴AD ＝12，∵AE 为直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC ，而∠AEB ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，即AE 13，∴AE ＝，即⊙O 的直径等于．故选：C ．【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．9．A【解析】【分析】根据比的性质对四个选项逐一判断，即可得答案．【详解】解：A 、a b ad bc c d=⇒=，故A 错误，符合题意； B 、c a d ab cd b=⇒=,故B 正确，不符合题意； C 、a c ab cd d b=⇒=，故C 正确，不符合题意； D 、b c ab cd d a=⇒=，故D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：分子分母交叉相乘，乘积相等．10．A【解析】【分析】直接利用平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵DE ∥AC ，EF ∥AB ，BD ＝2AD ， ∴CE AD CF 1BE BD AF 2＝＝＝， 故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理（平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例），正确得出比例式是解题关键．11．48cm【解析】【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为xcm ， 则有36x ＝43， 解得：x ＝48大多边形的周长为48cm ．故答案为48cm ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．12．△CDB ；△ACB ；3∶5.【解析】相似的三角形有：△CDB ∽△ACB ，△CDB ∽△ADC ，△ACB ∽△ADC选一组：△CDB ∽△ACB ，∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∵∠ACD +∠DFB =90°，∠B +∠DCB =90°，∴∠ACD =∠B ，∵∠ACB =∠CDB =90°，∴△CDB ∽△ACB ．∵BC =3，AB =5，∴相似比为：BC AB =35． 故答案为：△CDB ；△ACB ；3∶5．相似三角形的判定定理：（1）两边对应成比例及其夹角相等；（2）三边对应成比例；（3）两角对应相等；（4）一条直角边和斜边对应成比例．13．47【解析】分析：由题干可得b =43a ，然后将其代入所求的分式解答即可． 详解：∵34a b =的两内项是b 、1，两外项是a 、2， ∴b =43a ， ∴4343ab a b a a =++=443773a a =. 故本题的答案：47. 点睛：比例的性质.14．ACD B ∠=∠或ADC ACB ∠=∠或AD AC AC AB = 【解析】【分析】可添加ACD B ∠=∠或ADC ACB ∠=∠根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加AD AC AC AB=利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似.【详解】BAC CAD ∠=∠， ∴当ACD B ∠=∠或ADC ACB ∠=∠或AD AC AC AB=时，ACD ABC ~. 故答案为：ACD B ∠=∠或ADC ACB ∠=∠或AD AC AC AB=. 【点睛】此题主要考查了学生对相似三角形的判定定理的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放型，大部分学生能正确作出，对此都要给予积极鼓励，以激发他们的学习兴趣.15．532 【解析】【分析】根据比例的基本性质即可求解；根据等比性质求解即可.【详解】若3x=5y ，则x y =53； ∵2a c e b d f===且b+d+f≠0 ∴a c e b d f++++=2 故答案为：53；2 【点睛】本题考查的是比例的基本性质及等比性质，熟练掌握两个性质是关键.16．见解析.【解析】分析：先由∠BAC=∠BDC ，∠AOB=∠DOC ，得出∠ABE=∠ACD ，再根据∠BAC=∠DAE 可得出∠DAC=∠EAB ，故可得出结论．详解：∵∠BAC =∠BDC ，∠AOB =∠DOC ，∴∠ABE =∠ACD又∵∠BAC =∠DAE∴∠BAC +∠EAC =∠DAE +∠EAC∴∠DAC =∠EAB∴△ABE ∽△ACD ．点睛：考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用相似三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；【详解】证明：（1）∵DE ⊥AB ，∴∠ADE=∠BDF=90°，∵∠ACB=∠ECF=∠FDB=90°，∴∠E+∠CFE=90°，∠B+∠DFB=90°，∵∠CFE=∠DFB，∴∠E=∠B，∴△ADE∽△FDB．（2）∵△ADE∽△FDB，∴ADDF=DEDB，∴AD•DB=DE•DF，∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD，∴CD2=DE•DF．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．（1）证明见解析；（2）64 5【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC；（2）在Rt△DCE中，利用勾股定理可求出DE的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AB的长, 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】（1）证明：∵CD为Rt ABC∆斜边上的中线，∴12CD AB AD==，∴A ACD∠=∠，∵//DE AC，∴CDE ACD A ∠=∠=∠，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ABC DEC ∆~∆.（2）解：在Rt DCE ∆中，2CE =，4CD =，∴DE ==12442DEC S ∆=⨯⨯=， ∵CD 为Rt ABC ∆斜边上的中线，∴28AB CD ==，∵ABC DEC ∆~∆， ∴2ABC DEC S AB S DE ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即24ABC S ∆=， ∴645ABC S ∆=.故答案为：（1）证明见解析；（2）645. 【点睛】 本题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据等腰三角形的性质结合平行线的性质，找出∠CDE=∠ACD=∠A ；（2）利用直角三角形斜边上的中线，求出AB 的长．。

相似三角形 本章测试卷一、选择题 1.如果=，那么的值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各线段中能成比例的是（ ）A ．2cm 、3cm 、2cm 、3cmB ．4cm 、6cm 、5cm 、10cmC ．2cm 、5cm 、23cm 、15cmD ．2cm 、3cm 、4cm 、1cm 3．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC. ACABAE AD = D. ADE ABC S S ∆∆=3 4．如图，在菱形ABCD 中，E是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE ,则FDBF的值是（ ）A.21B.31C.41 D.51第3题 第4题 第5题5．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4， CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.56．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )7．若O 为平行四边形ABCD 的中心，14AB e =，26BC e =，则2132e e -=（ ） A ．AO B ．BO C ．CO D ．DOA BCDF Ea b cAB CDEF m n8．已知向量1212a e e =-，1212b e e =+，若1e ，2e 不平行，则向量1()2a b +与123c e e =-的关系是（ ） A ．不平行 B ．平行 C ．相等 D ．无法确定二、填空题 9．若, 则的值为 .10．已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是___________（只需填写一个数）。

11．如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=68°，AM ：MB ＝1：2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝_____________. 12．如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

第22章相似形检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一.选择题（每小题3分，共30分）1.下列四组图形中，不是相似图形的是（）2.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶13.在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则这两地的实际距离是（）A． B. C. D.4.如图，在△中，为边上一点，∠∠，，，则的长为（）A.1B.4C.3D.25.如图，在△中，点分别是的中点，则下列结论：①；②△∽△；③.其中正确的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个A B C D6.如图，//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对 7.如图，已知△，则下列4个三角形中，与△相似的是（ ）8.如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（ ） A.3︰2 B.3︰1 C.1︰1 D.1︰2 9.如图，点是线段的黄金分割点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C.D.10．如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C.D.二.填空题（每小题3分，共24分）第10题图FHMAB CDE第8题图11.已知，且，则_______.12.如果一个三角形的三边长为 5.12.13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________． 13.如图，在△中，∥，，则______．14.若5.0===fe d c b a，则fd be c a +-+-2323=__________.15.如图，是的黄金分割点，，以为边的正方形的面积为，以为边的矩形的面积为，则_______（填“＞”“＜”“=”）． 16.五边形∽五边形，，，，，________.17.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积是8，则△ABC的面积为 .18.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为 .第17题图第18题图第13题图第15题图三.解答题（共46分）19.（6分）已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.20.（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.第20题图根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？21.（6分）已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）22．（7分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接并延长交的延长线于点（1）求证：ABE DEF △∽△； （2）若正方形的边长为4，求的长．23．(7分) 如图，为线段的中点，与交于点，∠∠∠且交于点F ，交于．写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对.ABMF GDEC第23题图AED FBC第22题图CAD E FG 第21题图24.（7分）如图，梯形中，∥，点在上，连接并延长与的延长线交于点．（1）求证：△∽△；（2）当点是的中点时，过点作∥交于点，若求的长．25.(7分)如图，是的直径，是上的两点，且，的延长线与的延长线交于点．（1）求证：△∽△；（2）若，，求的长．参考答案一.选择题1.D 解析：根据相似图形的定义知，A.B.C 项都为相似图形，D 项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.2.C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果.△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.3.D 解析：4.D 解析：∵ 在△中，为边上一点，，，∴ △∽△，∴ . 又∵，，∴,∴． 5.A 解析：因为点分别是的中点，所以是△的中位线.由中位线的性质可推出①②③全部正确. 6.C 解析：△∽△∽△∽△.7.C 解析：由对照四个选项知，C 项中的三角形与△相似.8.D 解析：∵ AD ∥BC ，∴ DEF BCF ∠=∠，EDF CBF ∠=∠， ∴ △DEF ∽△BCF ，∴ EF ED CFBC=.又∵AD BC =，∴ 12ED BC =，∴ 1.2EF FC =9.C 解析：根据黄金分割的定义可知，．10.B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B 正确.二.填空题 11.4 解析：因为，所以设所以，所以所以12.90 270 解析：设另一三角形的其他两边为由题意得，所以又因为所以三角形是直角三角形，所以周长为13.9 解析：在△中，因为∥，所以∠∠∠ ∠，所以△∽△，所以，所以，所以14.解析：由5.0===fe dc ba ，得，，，所以fd be c a +-+-2323.5.0235.05.1=+-+-=f d b f d b 15. 解析：由黄金分割的概念知，又所以所以．16. 解析：因为五边形∽五边形所以 又因为五边形的内角和为所以.17.18 解析：∵ DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ，∴ 249ADE ABC S DE S BC ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△. ∵ △ADE 的面积为8，∴84,9ABCS =△解得ABC S △=18. 18.(3，3) 解析：因为12CD AB=，所以点A （6，6）经过缩小变换后点C 的坐标为(3，3). 三.解答题 19.解：. 理由如下： ∵ ∥∴ ∠∠.又∴ . 又∵ ∴ △∽△，∴即.20.解：由题意，知∠BAD =∠BCE .∵ ∠ABD =∠ABE =90°， ∴ △BAD ∽△BCE .∴ BD AB BEBC=，∴ 1.79.61.2BD =.∴ BD =13.6.∴ 河宽BD 是13.6米. 21.证明：（1）∵，∴ ∠．∵∥，∴，．∴． ∵，∴△∽△．（2）由△∽△，得EFDEDE DB =，∴ EF DB DE ⋅=2． 由△∽△，得． ∵∠∠，∴ △∽△．∴DFDEDE DG =． ∴DF DG DE ⋅=2． ∴ EF DB DF DG ⋅=⋅． 22.（1）证明：在正方形中，︒=∠=∠90D A ，.∵ ∴，∴DFAEDE AB =，∴ABE DEF △∽△. （2）解：∵ ∴ 522422=+=BE .由（1）知DEF ABE ∠=∠，∴ 90AEB ABE AEB DEF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴︒=∠90BEG .由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△，∴BGBEBE AE =，∴102==AE BE BG . 23.解：△∽△，△∽△，△∽△（写出两对即可）.以下证明△∽△．∵ ∠＝∠＋∠＝∠＋∠＝∠，∠＝∠，∴ △∽△．24. （1）证明：∵ 梯形中，∥，∴∴ △∽△．（2）解： 由（1）知，△∽△，又是的中点，∴∴△≌△∴ 又∵ ∥∥，∴ ∥，得． ∴∴．25.（1）证明：∵ ，∴．∴ ∠∠．又∠∠，∴ △∽△．（2）解：∵ △∽△，∴ ．∵ ，，∴．∴．∴ ．∵ 是的直径，∴ ∠°． 在Rt△中，∴ ．第22章 相似形复习检测题类型之一 比例线段与比例性质1．如果x ∶(x ＋y )＝3∶5，那么x ∶y 等于( )A. 85B. 38C. 23D. 322．如图22－X －1，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交直线l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 分别交直线l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F .若DE＝3，EF ＝6，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6B ．8C ．9D ．12图22－X －13．如图22－X －2，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是OD 的中点，连接AE 并延长交CD 于点F ，则DF ∶FC 等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶1图22－X －24．如图22－X －3，在△ABC 中，AM ∶MD ＝4∶1，BD ∶DC ＝2∶3，求AE ∶EC 的值．图22－X －3类型之二 相似三角形的判定与性质5．如图22－X －4，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )图22－X －4A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④6．如果两个相似三角形的面积比是1∶2，那么它们的周长比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶ 2D ．2∶17．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：(1)AB A′B′＝BC B′C′；(2)BC B′C′＝AC A′C′；(3)∠A ＝∠A ′；(4)∠C ＝∠C ′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组8．如图22－X －5，在直角梯形ABCD 中，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3，若在线段AB 上取一点P ，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形和以P ，B ，C 为顶点的三角形相似，则这样的P 点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图22－X－59．［2016·泰安］如图22－X－6，△ABC是边长为4的等边三角形，P为BC边上的任意一点(不与点B，C重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D，设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是( )图22－X－6图22－X－710．［2016·宿州二模］在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于点O，则S△MOD∶S△COB＝________．11．如图22－X－8，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝20 cm，两只小虫P和Q分别从点A，B同时出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P的速度为1 cm/s，小虫Q的速度为2 cm/s.它们同时出发多少秒时，以P，B，Q为顶点的三角形与以A，C，D为顶点的三角形相似？图22－X－812．如图22－X－9所示，先把一张矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B折纸片使点A叠在直线AD上，得折痕PQ.(1)求证：△PBE∽△QAB.(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．图22－X－9类型之三相似三角形的实际应用13．如图22－X－10，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去．当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为( )A．3米 B．4米 C．4.5米 D．6米图22－X－1014．如图22－X－11，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT 与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，则河的宽度PQ为( )A．40 m B．60 m C．120 m D．180 m图22－X －1115．如图22－X －12，小军在地面上合适的位置平放了一块平面镜(平面镜的高度忽略不计)，刚好在平面镜中的点C 处看到旗杆顶部E ，此时小军的站立点B 与点C 的水平距离为2 m ，旗杆底部D 与点C 的水平距离为12 m ．若小军的眼睛距离地面的高度为1.5 m (即AB ＝1.5 m )，则旗杆的高度为________m .图22－X －1216．如图22－X －13所示的示意图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行并使直角边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5米，EF ＝0.25米，且测点D 到地面的距离DG ＝1.5米，到旗杆的水平距离DC ＝25米，求旗杆AB 的高度．图22－X －13类型之四 位似图形的性质及作法17．如图22－X －14，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B ′的坐标是( ) A ．(－2，3) B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)图22－X－1418．如图22－X－15所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，若点F的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(－4，2)，则这两个正方形的位似中心的坐标是____________．图22－X－1519．［2017·包河区二模］如图22－X－16，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点)和直线l，按要求画图．(1)作出四边形ABCD关于直线l成轴对称的四边形A′B′C′D′；(2)以B为位似中心，在点B的下方将四边形ABCD放大2倍得到四边形A1B1C1D1，画出四边形A1B1C1D1.图22－X－16类型之五阅读理解型的相似问题20．如图22－X－17(a)，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)如果△ABC是锐角三角形，点P为△ABC的费马点，且∠ABC ＝60°.①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，则PB＝________．(2)如图(b)，已知△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，△ABE和△ACD均为等边三角形，且CE和BD相交于点P.①求∠CPD的度数；②求证：点P为△ABC的费马点．图22－X－1721．［2016·宁波］从三角形(不是等腰三角形的)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图22－X－18①，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A ＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，若∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数；(3)如图22－X －18②，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．图22－X －18类型之六 数学活动22．类比.转化.从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图22－X －19①，在▱ABCD 中，E 是BC 边的中点，F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G .若AF EF ＝3，求CD CG的值． (1)尝试探究在图22－X －19①中，过点E 作EH ∥AB ，交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是________，CG 和EH 的数量关系是________，CD CG的值是________．(2)类比延伸如图22－X －19②，在原题的条件下，若AF EF ＝m (m ＞0)，则CD CG的值是____________(用含m的代数式表示)，试写出解答过程．(3)拓展迁移如图22－X－19③，四边形ABCD中，DC∥AB，E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于点F.若ABCD＝a，BCBE＝b(a＞0，b＞0)，则AFEF的值是________(用含a，b的代数式表示)．图22－X－19参考答案1．D [解析] ∵x ∶(x ＋y )＝3∶5，∴5x ＝3x ＋3y ，整理，得2x ＝3y ，∴x ∶y ＝3∶2.2．D [解析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即4BC ＝36. ∴BC ＝8，∴AC ＝AB ＋BC ＝12.故选D .3．C [解析] 在▱ABCD 中，AB ∥CD ，则△DFE ∽△BAE ，∴DE BE ＝DF AB. ∵O 为对角线的交点，∴DO ＝BO .又∵E 为OD 的中点，∴DE ＝14BD ， 则DE ∶BE ＝1∶3，∴DF ∶AB ＝1∶3.∵CD ＝AB ，∴DF ∶CD ＝1∶3，∴DF ∶FC ＝1∶2.4．解：如图，过点D 作DF ∥ BE 交AC 于点F ，则EF ∶FC ＝BD ∶DC ，AM ∶MD ＝AE ∶EF .∵BD ∶DC ＝2∶3，∴EF ∶FC ＝2∶3.设EF ＝2a ，则CF ＝3a .∵AM ∶MD ＝4∶1，∴AE ∶EF ＝4∶1，∴AE ＝8a ，∴AE ∶EC ＝8a ∶5a ＝8∶5. 5．C6．C [解析] ∵两个相似三角形的面积比是1∶2， ∴这两个相似三角形的相似比是1∶2， ∴它们的周长比是1∶ 2. 故选C .7．C [解析] 共有3组，其组合分别是(1)和(2)，根据是三边成比例的两个三角形相似；(2)和(4)，根据是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)和(4)，根据是两角分别相等的两个三角形相似．8．C [解析] ①当△DAP ∽△CBP 时，AD ∶AP ＝BC ∶BP ，即2AP ＝7－AP 3，解得AP ＝145； ②当△DAP ∽△PBC 时，AD ∶AP ＝BP ∶BC ，即2AP ＝7－AP 3，解得AP＝1或AP ＝6.综上可得，这样的点P 有3个． 9．C [解析] ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.又∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°， ∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ， ∴BP ∶AC ＝BD ∶PC . ∵△ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C .10．4∶9或1∶9 [解析] 已知M ，N 是AD 边上的三等分点． (1)当DM BC ＝23时，如图①所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴△MOD ∽△COB ，∴S △MOD ∶S △COB ＝(DM BC)2＝4∶9.(2)当DM BC ＝13时，如图②所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴△MOD ∽△COB ，∴S △MOD ∶S △COB ＝(DM BC )2＝1∶9.故答案为4∶9或1∶9.11．解：设它们同时出发t s 时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似，则AP ＝t cm ，BQ ＝2t cm ，PB ＝(10－t )cm .(1)当△PBQ ∽△ADC 时，有PB AD ＝BQDC ，即10－t 20＝2t 10，解得t ＝2；(2)当△PBQ ∽△CDA 时，有PB CD ＝BQ DA ，即10－t 10＝2t 20，解得t ＝5.综上可得，当它们同时出发2 s 或5 s 时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似．12．解：(1)证明：∵∠PBE ＋∠ABQ ＝180°－90°＝90°，∠PBE ＋∠PEB ＝90°，∴∠ABQ ＝∠PEB .又∵∠BPE ＝∠AQB ＝90°， ∴△PBE ∽△QAB . (2)相似．证明：∵△PBE ∽△QAB ，∴BE AB ＝PE BQ .由折叠可知BQ ＝PB ， ∴BE AB ＝PE PB ，即BE PE ＝AB PB. 又∵∠ABE ＝∠BPE ＝90°， ∴△PBE ∽△BAE . 13．D14．C [解析] ∵RQ ⊥PS ，TS ⊥PS ， ∴RQ ∥TS ， ∴△PQR ∽△PST ，∴PQ PS ＝QR ST ，即PQ PQ ＋60＝80120， ∴PQ ＝120(m )． 故选C .15．9 [解析] 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝2 m ，DC ＝12 m . 易得△ABC ∽△EDC ，则AB ED ＝BC DC ，即1.5ED ＝212，解得ED ＝9. 故答案为9.16．解：∵∠ADC ＝∠FDE ，∠ACD ＝∠FED ＝90°，∴△ACD ∽△FED ，∴AC EF ＝CD DE ，即AC 0.25＝250.5， 解得AC ＝12.5.∵AB ⊥BG ，DG ⊥BG ，DC ⊥AB ， ∴∠ABG ＝∠BGD ＝∠DCB ＝90°， ∴四边形BGDC 是矩形， ∴BC ＝DG ＝1.5，∴AB ＝AC ＋BC ＝12.5＋1.5＝14(米)． 答：旗杆AB 的高度是14米．17．D [解析] ∵矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，∴矩形OA ′B ′C ′∽矩形OABC .∵矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，∴矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 的相似比为1∶2.∵点B 的坐标为(－4，6)，∴点B ′的坐标是(－2，3)或(2，－3)．故选D .18．(2，0)或(－43，23) [解析] ①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF 与x 轴的交点．设直线CF 所对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将C (－4，2)，F (－1，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝2，－k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝23，即y ＝－13x ＋23.令y ＝0，得x ＝2，∴点O ′的坐标是(2，0)．②当位似中心点O ′在两个正方形之间时，可求得直线OC 所对应的函数表达式为y ＝－12x ，直线DE 所对应的函数表达式为y ＝14x＋1.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y ＝14x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝23，即点O ′的坐标是(－43，23)．综上可知，点O ′的坐标为(2，0)或(－43，23)．19．解：(1)如图，四边形A ′B ′C ′D ′即为所求． (2)如图，四边形A 1B 1C 1D 1即为所求．20．解：(1)①证明：∵∠PAB ＋∠PBA ＝180°－∠APB ＝60°，∠PBC ＋∠PBA ＝∠ABC ＝60°，∴∠PAB ＝∠PBC .又∵∠APB ＝∠BPC ＝120°， ∴△ABP ∽△BCP .②∵△ABP ∽△BCP ，∴PA PB ＝PBPC ，∴PB 2＝PA ·PC ＝12，∴PB ＝23.(2)①如图，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形， ∴BAE ＝∠CAD ＝60°，AE ＝AB ，AC ＝AD ， ∴∠BAE ＋∠BAC ＝∠CAD ＋∠BAC ， 即∠EAC ＝∠BAD .在△ACE 与△ADB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，∠EAC ＝∠BAD ，AE ＝AB ，∴△ACE ≌△ADB ，∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4，∴∠CPD ＝∠5＝60°.②证明：如图，连接AP ，设AC 与BD 交于点F . 易证△ADF ∽△PCF ，∴AF PF ＝DFCF .又∵∠AFP ＝∠CFD ， ∴△AFP ∽△DFC ， ∴∠APF ＝∠DCF ＝60°.∴∠APC ＝∠CPD ＋∠APF ＝60°＋60°＝120°.同理可得∠BPA ＝120°，∴∠BPC ＝360°－∠BPA －∠APC ＝120°，∴点P 为△ABC 的费马点． 21．解：(1)证明：如图①. ∵∠A ＝40°，∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，从而∠ACD ＝∠A ＝40°， ∴△ACD 为等腰三角形．∵∠BCD ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线．(2)(i )当AD ＝CD 时，如图①，∠ACD ＝∠A ＝48°. ∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝48°＋48°＝96°.(ii )当AD ＝AC 时，如图②，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－48°2＝66°.∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°，∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝66°＋48°＝114°. (iii )当AC ＝CD 时，如图③，∠ADC ＝∠A ＝48°.∵△BDC ∽△BCA ， ∴∠BCD ＝∠A ＝48°.∵∠ADC 应大于∠BCD ，∴此种情况不存在． 综上可知∠ACB 的度数为96°或114°. (3)由已知得AC ＝AD ＝2. ∵△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC .设BD ＝x ，从而2x ＋2＝x 2， 即(2)2＝x (x ＋2)．∵x >0，∴x ＝3－1，即BD ＝3－1. ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BD BC ，即CD 2＝3－12， ∴CD ＝3－12×2＝6－ 2.22．[解析] (1)体现了“特殊”的情形，AFEF ＝3是一个确定的数值．如图a ，过点E 作AB 的平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段统一用EH 来表示，即可求得比值．(2)体现了“一般”的情形，AFEF＝m 不再是一个确定的数值，但(1)问中的方法仍适用，如图b 所示．(3)体现了“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的方法推广转化到梯形中，如图c 所示．解：(1)AB ＝3EH CG ＝2EH 32(2)m 2 过点E 作EH ∥AB ，交BG 于点H ，则△ABF ∽EHF ，∴AB EH ＝AF EF ＝m ，则AB ＝m ·EH ，CD ＝m ·EH .易得EH 为△BCG 的中位线，则CG ＝2EH .∴CD CG ＝m·EH 2EH ＝m2.(3)ab第22章相似形单元检测（满分：150分时间：120分钟）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列说法不正确的是…………………………【】A.顶角为100°的两个等腰三角形相似B.有一个内角为60°的两个菱形相似C.周长相等的两个矩形相似D.任意两个等腰直角三角形相似2.顺次连接三角形各边中点所得三角形与原三角形的周长之比为…………………【】A.1︰2B.1︰3C.1︰4D.2︰33.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝2，D为AB上一点，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F，若四边形DECF为菱形，则其周长为………………………【】A.125 B.5 C.245D.6FED第3题图CBAED第5题图BAD第6题图CBOA4.我校足球场的面积大约为6000m2，若按1︰120000的比例尺缩小后，则其面积大约相当于…………………………【】A.一个篮球场的面积B.教室内一块黑板的面积C.一张课桌桌面的面积D.一本《数学》教科书封面的面积 5.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝23，则下列为正确结论的是…………………【 】 A.CEEA＝23 B.DE BC ＝35 C.ADE ABC C C ∆∆＝49 D.ADE DBCE S S ∆四边形＝4216.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，下列结论：①△AOD ∽△COB ；②△AOB ∽△DCB ；③S △AOB ＝S △DOC ；④AOD CODS S ∆∆＝ADBC.其中一定正确的有………………………【 】 A.① B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 7.如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠ACB ＝90°，AB ＝9，AC ＝6，AD ＝4，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，则DFCE的值为…【 】 A.32B.23C.12D.49F E D第7题图CBAD 第8题图CAGF 第9题图C BA8.如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点，下列条件：①∠CAD ＝∠B ；②∠CDA ＝∠CAB ；③∠ACD ＝∠BCA ；④AC 2＝CD ·CB .其中不能判定△ADC 与△ACB 相似的是…………………【 】 A.① B.② C.③ D.④9.如图，在△ABC 中有一个矩形DEFG ，点D .E 在边AB 上，点F 在边BC上，点G在边AC上，记△ADG的面积为S1，△EBF的面积为S2，矩形形DEFG的面积为S3，若CGGA ＝12，则S1，S2，S3三者之间的关系是…………………………………………【】A.S1＋S2＜S3B.S1＋2S2＝S3C.S1＋S2＝12S3 D.S1＋S2＝S310.下列说法不正确的是…………………………【】A.相似三角形是相似图形，而相似图形又是位似图形B.位似图形是相似图形，且位似比等于相似比C.利用位似变换既能放大图形，又能缩小图形D.位似图形分同向位似图形和反向位似图形两种二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知m＝0.7，n＝352，则m.n的比例中项是___________. 12.在△ABC中，∠A＝36°，CD是AB边上的高，且CD2＝AD·BD,则∠ABC的度数为_________________.13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE是∠CAB的平分线，交CD于点F，交CB于点E，若AD＝4，BD＝2，则AFAE 的值为_______________.14.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB与CD间的距离为1cm，AB＝1.8cm，CD＝1.2cm，AD与BC的延长线相交于点E，则△ABE 的面积为____________.FE第13题图C BAD第14题图C BA三.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分） 15．已知x y z +＝x z y +＝y zx+＝k ，求k 的值.16.如图，点D .E 分别是△ABC 的边AB .BC 上一点，且AD ︰DB ＝1︰4，CE ︰EB ＝3︰2，，AE 与CD 交于点F ,求DF ︰FC 的值.F ECBA四.（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）17.如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的中线，CE ⊥CD 于点C ，CE 交AB 的延长线于点E .求证：CE 2＝EB ·EA .AE18.如图，在4×4的方格网中，每个小正方形的边长均为1，△ABC为格点三角形，请画出△ABC的一个相似三角形，且满足下列条件：①是格点三角形；②相似比不为1；③两个三角形互不重叠.并加以证明.ACB五.（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）19.下面方格网中的多边形是什么形状的多边形？请以点O为位似中心，画出它的位似图形，要求位似比为2.20.如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至E，使BC＝CE，连接AE，交DC于点F，交DB于点G.（1）请写出图中各对相似三角形（不包括相似比为1的三角形）；（2）求EF︰FG︰GA的值.G FED CBA六.（本题满分12分）21.如图，将三个全等的正方形拼成一个大矩形ABCD，连接AG.AH.AC，试判断∠AHF与∠ACB之间的关系，并证明你的结论.HG FE DCBA七.（本题满分12分）22.如图，点D .E 在△ABC 的边BC 上，△ADE 为等边三角形. （1）若∠BAC ＝120°，求证：AB 2＝BD ·BC . （2）若DE 2＝BD ·CE ，试求∠BAC 的度数.ED CBA八.（本题满分14分）23.如图，在△ABC 中，AB ＝5cm ，BC ＝4cm ，AC ＝3cm ，点P .Q 分别同时从点A .B 出发，分别以1cm/s.2cm/s 的速度向点C .B 运动，设运动时间为t s.（1）连接PQ ，当t 为多少时，PQ ∥AB ？并求出此时PQ 的长. （2）连接PQ .PB ，设△PQB 的面积为y （cm 2），试求y 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围.B参考答案1.C 解析：∵由顶角为100°对应相等，∴由三角形内角和定理及等边对等角可得底角对应相等，∴A 对；由菱形四边相等可得两菱形四边成比例，又由有一个60°内角对应相等，∴由菱形的性质可得两菱形四个角对应相等，∴B 对；由两矩形周长相等可得邻边之和相等，但不能得出对应边成比例，∴C 错；∵两个三角形均为等腰直角三角形，∴90°.45°角对应相等，∴可由两角对应相等的两个三角形相似判定这两个等腰直角三角形相似，∴D 对.2.A 解析：由三角形中位线定理可得所得三角形与原三角形相似，且相似比为1︰2，又相似三角形周长之比等于相似比，∴所得三角形与原三角形的周长之比为1︰2，∴A 对.3.C 解析：∵四边形DECF 是菱形，∴可设DE ＝DF ＝x ，则AE ＝3－x ，BF ＝2－x ，∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴∠B ＝∠ADE ，∠BDF ＝∠A ∴△ADE ∽△DBE ，∴AE DF ＝DEBF ，∴3x x -＝2xx -，解得x ＝65，∴其周长为4×65＝245，∴C 对.6.B 解析：∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴①正确；△AOB 与△DCB中既不能得出对应边成比例，又不能得出角相等，∴△AOB 与△DCB 不相似，∴②错误；∵AD ∥BC ，∴S △ABC ＝S △DBC（同底等高的两个三角形面积相等），∴S △ABC －S △OBC ＝S △DBC－S △OBC ，∴S △AOB ＝S △DOC ，∴③正确；∵AO ，CO 在一条直线上，∴AOD COD S S ∆∆＝AOCO (底AO .CO 上的高相同)，又∵△AOD ∽△COB ，∴AO CO ＝AD CB ,∴AOD COD S S ∆∆＝ADCB，∴④正确.∴B 对.7.B 解析：∵AD ＝4，AC ＝6，AB ＝9，∴AD AC ＝AC AB ＝23，又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ADC ∽△ACB ，又DF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴DF CE ＝AC AB ＝23（相似三角形对应高的比等于相似比），∴B对.8.C 解析：由∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，可得△CAD∽△CBA，∴①正确；由∠CDA＝∠CAB，∠ACD＝∠BCA，可得△CAD∽△CBA，∴②正确；∵∠ACD＝∠BCA是公共角，只有一对角相等，不能判定两个三角形相似，∴③错误；∵AC2＝CD·CB，∴ACBC ＝CDCA,又∠ACD＝∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴④正确.∴C对.9.D 解析：∵CGGA＝12，∴CGCA＝13，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CGFCABSS∆∆＝（CGCA）2＝（13）2＝19，设S△CGF＝x，则S△CAB＝9x，∴S四边形GABF＝S1＋S2＋S3＝8x，如下图，过点C作CH⊥GF于点H，由∠CGH＝∠GAB，∠CHG＝∠GDA，可得△CGH∽△GAD，∴CHGD＝CGGA＝12，∴CGFGDEFSS∆矩形＝12GF CHGF GD⨯⨯＝14，∴S矩形GDEF＝S2＝4x，∴S1＋S3＝4x，∴S1＋S3＝S2，∴D对.10.A 解析：相似三角形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，如下图，Rt△ABD∽Rt△CAD，但它们不是位似图形，位似图形是有特殊位置关系（对应点连线或其延长线相交于同一点）的相似图形，∴A错误，B.C.D正确，∴选A.11.±72解析：设m .n 的比例中项为x 由题意得x 2＝mn ＝0.7×352＝494，∵x ＝±72. 12.54°或126° 解析：当CD 在△ABC 内部时，如下图①，∵CD 2＝AD ·BD ,∴AD CD ＝CDBD, 又∠CDA ＝∠BDC ＝90°，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠B ＝∠ACD ＝54°；当CD 在△ABC 外部时，如下图②，∵CD 2＝AD ·BD ,∴ADCD＝ CDBD,又∠CDA ＝∠BDC ＝90°，∴△CDA ∽△BDC ，∴∠CBD ＝∠ACD ＝54°，∴∠ACB ＝180°－∠CBD ＝180°－54°＝126°.∴综上，∠ABC ＝54°或126°.①D CBA②DCB A13.6解析：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ，又∵AE 是∠CAB 与∠CAD 的平分线，∴AF AE ＝CDBC,又∵△ACD ∽△CBD ，∴AD CD ＝CD BD ,∴CD 2＝AD ·BD ＝4×2＝8，∴CD ＝22，在Rt △BCD 中，由勾股定理得BC ＝22CD BD +＝222+(22)＝23，∴CD BC ＝2223＝63，∴AF AE ＝63. 14.2．7cm 2 解析：如下图，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点G ，∵AB ∥CD ，则EG ⊥CD ，∵△EDC ∽△EAB ，∴EG EF ＝DC AB ＝1.21.8＝23,又由题意GF ＝1，∴1EG EG +＝23,解得EG ＝2，∴EF ＝3，∴S △EAB ＝12×AB ×EF ＝12×1.8×3＝2.7（cm 2）.15.解：当x ＋y ＋z ＝0时，则x ＋y ＝﹣z ，∴x y z +＝z z-＝﹣1＝k ；当x ＋y ＋z ≠0时，∵ x y z + ＝x z y +＝y z x+＝k ，∴由等比性质得()()()x y x z y z x y z+++++++＝k ，解得k ＝2.∴综上，k 的值为﹣1或2.16.解：如下图，过点D 作DG ∥AE ，交CB 于点G ，则AD DB ＝EG GB ＝14，∴EG EB ＝15①，又∵CE EB＝32②，①÷②得EG EC ＝215，由EF ∥DG ，可得DFFC ＝GEEC＝215，∴DF︰FC的值为215.17.证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，又∵CD⊥CE，∴∠BCE＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAE，又∠E＝∠E，∴△BCE∽△CAE，∴CEAE ＝BECE，∴CE2＝EB·EA.18.解：答案不唯一，如下图所示的△DEF，证明：∵△ABC.△DEF均为格点三角形，∴由勾股定理得，AB＝221+1＝2，BC＝3，AC＝221+2＝5，DE＝2，EF＝223+3＝32，DF＝221+3＝10，∵ABDE ＝2，BCEF＝32＝2，ACDF＝510＝2，∴ABDE＝BCEF ＝ACDF，∴△ABC∽△DEF.19. 解：正八边形；位似图形如下图：20.解：（1）△EFC ∽△EAB ，△EAB ∽△AFD ，△DFG ∽△BAG ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴FC ∥AB ，∴△EFC ∽△EAB ，∴EF EA ＝EC EB ,∵BC ＝CE ，∴EC EB ＝12，∴EF EA ＝12，∴EF AF＝1，∴EF ＝AF ，又AD ∥CE ，∴△EFC ∽△AFD ，∴△EFC ≌△AFD ，∴DF ＝CF ，又DC ＝AB ，∴DF AB ＝12，∵DF ∥AB ，∴△DFG ∽△BAG ，∴FG AG ＝DF AB ＝12，设FG ＝x ，则AG ＝2x ，∴EF ＝AF ＝AG ＋FG ＝x ＋2x ＝3x ，∴EF ︰FG ︰GA ＝3x ︰x ︰2x ＝3︰1︰2.21.解：∠AHF 与∠ACB 之间的关系是∠AHF ＜∠ACB 且∠AHF ＋∠ACB＝135°.证明：∵∠AHF ＋∠AHD ＝∠ACD ＋∠ACB ＝90°,又∠AHD ＞∠ACD ，∴∠AHF ＜∠ACB ；设正方形边长为x ，则GH ＝x ，GC ＝2x ，在Rt △AGD 中，由勾股定理得AG ＝，∵AGGC ，GH AG ，∴AG GC ＝GH AG ，又∠AGH ＝∠CGA ，∴△AGH ∽△CGA ，∴∠GAH ＝∠GCA ，∴∠GHA ＋∠GCA ＝∠GHA ＋∠GAH ＝∠AGD ＝45°，又∵∠GHA ＋∠AHF ＋∠GCA ＋∠ACB ＝90°＋90°＝180°，∴∠AHF ＋∠ACB ＝180°－（∠GHA＋∠GCA）＝135°.（2）∵DE2＝BD·CE，∴DEBD ＝CEDE，∵DE＝AE＝AD，∴AEBD＝CEAD，又∠ADE ＝∠AED＝60°，∴∠ADB＝∠CEA＝120°，∴△DBA∽△EAC，∴∠B＝∠EAC，又∠EAC＋∠C＝∠AED＝60°，∴∠B＋∠C＝60°，∴∠BAC＝180°－（∠B＋∠C）＝190°－60°＝120°.23.解：（1）由题意得AP＝t，CQ＝2t，∵AC＝3，BC＝4，∴CP＝3－t，QB＝4－2t，令PQ∥AB，则CPAP ＝CQQB，∴3tt-＝242tt-，解得t＝1.2，∴当t＝1.2s时，PQ∥AB，,此时CP＝1.8，由PQ∥AB得△CPQ∽△CAB，∴CPCA ＝PQAB，又AB＝5，∴1.8 3＝5PQ，解得PQ＝3，∴此时PQ的长为3cm.（2）∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32＋42＝52，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴S△ABC＝12×AC×BC＝12×3×4＝6，由题意得30420ttt⎧⎪-⎨⎪-⎩＞＞＞，解得0＜t＜2，∴y与t的函数关系式为y＝t2－5t＋6，出自变量t的取值范围是0＜t＜2.九年级上册数学单元综合测试卷（第22章相似形）注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟. 一.精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1﹒如果x：(x+y)＝3：5，那么x yx-的值是（）A.13 B.12C.23D.322﹒若ab c+＝ba c+＝ca b+＝k，则直线y＝kx+k一定经过（）A.第一.二象限B.第二.三象限C.第三.四象限D.第一.四象限3﹒已知线段a＝2，c＝6，线段b是a.c的比例中项，则线段b的值为（）A.±3±3 D.124﹒已知两点A（5，6）.B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的12，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（）A.（2，3）B.（3，1）C.（2，1）D.（3，3）5﹒已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（）A.AB2＝AC BCB.BC2＝AC BCC.AC＝51-BCD.BC＝35-AB6﹒如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则DEEF的值为（）A.12 B.2 C.25D.35第6题图第7题图第8题图第9题图7﹒如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，若AB＝2，DC ＝3，则△ABC与△DCA的面积比是（）A.2：3B.2：5C.4：238﹒如图，在△ABC中，D.E分别是BC.AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（）A. 83 B.32C.85D.43第10题图9﹒如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，以点C 为顶点向△ABC 内做正方形DECF ，使正方形的另三个顶点D ，E ，F 分别在的边AB ，BC ，AC 上.若BC ＝6，AB ＝10，则正方形DECF 的边长为（ ） A.187B.247C.43 D.5310.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BM 是AC 边 中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB ＝DE ，EF ⊥AC于点F ，以下结论：①△BMD ≌△DFE ；②△NBE ∽△DBC ； ③AC ＝2DF ；④EF AB ＝CF BC ，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二.细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）11.如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为_______.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在边AB 上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝3，则四边形MABN 的面积是___________. 13.如图，在钝角△ABC 中，AB ＝6cm ，AC ＝12cm ，动点D 从点A 出发到B 点止，动点E 从点C 出发到A 点止，点D 运动的速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是_______________.14.如图，正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP .CP 的延长线分别交AD 于点E .F ，连接BD .DP .BD 与CF 相交于点H .给出下列结论：①△ABE ≌△DCF ；②FP PH＝35；③DP 2＝PH PB ；④BPDABCD S S ∆正方形＝31－.其中正确的是________.（填写正确结论的序号）三.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.已知实数x .y .z 满足430320x y y z -=⎧⎨-=⎩，试求22x y zx y z +--+的值.16.在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请你按要求完成下列各小题：（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）.四.（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.18.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；（2）求证：PC2＝PE PF.五.（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.（1）求证：DE⊥BE；。

24.4 相似三角形的判定同步测试一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等D.相似三角形一定不是全等三角形2．已知△ABC的三边长分别为、、 2, △A′B′C′的两边长分别是1和, 如果△ABC与△A′B′C′相似, 那么△A′B′C′的第三边长应该是 ( ).A. B. C. D.3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．4. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有（）.A．ΔADE∽ΔAEF B．ΔECF∽ΔAEF C．ΔADE∽ΔECF D．ΔAEF∽ΔABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ).A. B.8 C.10 D.16二、填空题7.如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=________.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C 的坐标为________或________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=__________.11.如图，CD∥AB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EF∥AB,则图中与△OEF相似的三角形为_________.12．如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_________对.三．解答题13. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求的值及AC、EC的长度．14. 如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且，求证：BD⊥CD．15.如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．16.如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AB上一点，AF⊥CE于F，AD交CE 于G点，（1）求证：AC2=CE•CF；（2）若∠B=38°，求∠CFD的度数．答案与解析一．选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定3==226第三边，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选B．4.【答案】C．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．5.【答案】C.【解析】∵∠AEF＝90°, ∴∠1+∠2=90°，又∵∠D=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，即∠1=∠3，∴△ADE∽△ECF.6.【答案】C.【解析】∵ EF∥AB，∴，∵，∴，，∴ CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】AB∥DE．【解析】∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．8.【答案】 3 .【解析】∵∠C=∠E，∠CAB=∠EAD，∴△ACB∽△AED，∴，BC=4，在Rt△ABC中，.9．【答案】；.10.【答案】4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.∵C是线段BD的中点，ED=1，BD=4∴BC=CD=2∴AB CDCD DE,即AB=4.11.【答案】△OAB,△OCD.12.【答案】3.【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD∥BE.AB∥CD∴△EFC∽△EAB; △EFC∽△AFD; △AFD∽△EAB.三综合题13.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，，∴，∴AC＝，∴EC＝AC－AE＝．14.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵，∴△ABD∽△DCB，∴∠A＝∠BDC，∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．15.【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE；（2）相似；∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠BAC－∠BAD＝∠CBA－∠CBE，∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA．16.【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CFA=∠BAC，∵∠ACF=∠FCA，∴△CAF∽△CEA，∴=，∴CA2=CE•CF；（2）∵∠CAB=∠CDA，∠ACD=∠BCA，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴CA2=CB×CD，同理可得：CA2=CF×CE，∴CD•BC=CF•CE，∴=，∵∠DCF=∠ECB，∴△CDF∽△CEB，∴∠CFD=∠B，∵∠B=38°，∴∠CFD=38°．。

沪教版九年级数学上册《24.3相似三角形》同步练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题 1．如果点G 是ABC 的重心，D 是边BC 的中点，那么AG GD ：的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．23 D ．322．如图，在ABC 中，DE//BC ，AD=2BD ，若ADE 的周长为4，则ABC 的周长为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．123．如图，在ABC 和ADE 中AB BC AE ED=，要使ABC 与ADE 相似，还需要添加一个条件，这个条件是（ ）A ．B D ∠=∠ B ．B E ∠=∠C ．AD AB = D ．AC BC =4．已知ABC 的三边长分别是2，5，6，DEF 的三边长如以下四个选项所列，若要使ABC DEF ∽△△，则DEF 的三边长分别是（ ）A ．3，6，7B ．18，6，15C ．3，8，9D ．10，12，85．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．246．如图，ABC 的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与ABC 相似的是（ ）A ．B ．B ．C ．D ．7．在直角坐标平面内，一点光源位于()05A ，处，线段CD 垂直于x 轴，D 为垂足，()31C ，，348．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 与矩形ABCD 是位似图形,C （﹣4，4），F （2，1），则位似中心的坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，2.5）C ．（0，3）D ．（0，4）9．如图，在Rt ABC 中90,4cm,3cm ACB AC BC ∠=︒==，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，与ABC 相似（25202525二、填空题11．已知点G 为ABC 的重心，若ABC 的面积为6，则BCG 的面积为 ． 12．如图，AB CD AD ∥，与BC 相交于点E ．若234AB CD AD ===，，，则AE 的长为 ．13．已知ABC DEF ∽△△，如果它们对应高的比:2:3AM DN =，那么ABC 和DEF 的面积比是 ．14．如图，已知矩形ABCD 中，AB=6，AD=8将矩形ABCD 沿直线MN 翻折后，点B 恰好落在边AD 上的点E 处，如果AE=2AM ，那么CN 的长为 .三、解答题15．如图，在ABC 中,4,6,3DE BC AD BD DE ===∥，求BC 的长度．16．如图，甲楼AB 高18米，乙楼CD 坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1:2，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）17．如图，点D E F ，，分别在ABC 三边上，且DE BC ∥，且38EF AB BD AD BC ==∥，，．(1)求CF 的长；(2)若ADE 的面积为4，求四边形BDEF 的面积．参考答案：14．835-15．15216．甲楼的影子落在乙楼上有()18102-米 17．(1)6 (2)24。