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用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
（一）椭球面
x2 a2
by22
cz22
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x
2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
二、旋转曲面
1.定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
旋 绕 x轴 旋 转
转 双 曲
x2 a2
y2c2z2
1
面 绕 z轴 旋 转
x
y
z
x2 y2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
cz22
1
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和z轴；
x 0
绕 y轴 旋 转y2
a2
x2 z2 c2
1
旋 转
椭
2. 几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设 M (x ,y ,z )是 球 面 上 任 一 点 ，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
y
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
四、二次曲面
三元二次方程 F(x,y,z)0 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz绕z轴； x 0
x2y22pz 旋转抛物面
三、柱面
z
引例. 分析方程 x2y2R2
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2y2R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点 M1(x,y,0),过此点作 x
平行 z 轴的直线 l 对, 任意 z , 点M(x,y,z)
这条定直线叫旋转
曲面的轴．
播放
2.几种常用的旋转曲面方程的建立
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
若点 M 1 (0 ,y 1 ,z1 ) C ,则有
z
f(y1,z1)0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x,y,z),则有
zz1 , x2y2y 1
z
xo y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
x2 y2 a2 b2 z
z
o
y
x
3. 双曲面
z
(1)单叶双曲面
a x2 2by2 2cz2 21(a,b,c为正 ) 数 o
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c)的交线为圆.
截面上圆的方程
x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
曲面及其方程
一、曲面方程的概念
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
1.曲面方程的定义：
如 果 曲 面 S 与 三 元 方 程 F ( x , y , z ) 0 有 下 述 关 系 ： （1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
播放
2.柱面举例
• y2 2x表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
x
准线为xoy 面上的抛物线.
•
x2 a2
y2 b2
1表示母线平行于
z 轴的椭圆柱面.
• xy0表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
z
o y
xz
o y
x
z 一般地,在三维空间
方F 程 (x,y)0表柱示 面,
母线 平行于 z 轴;
y x l1
准线 xoy 面上的曲线 l1：F(x,y)0
zl 2
方G 程 (y,z)0表柱示 面,
母线 平行于 x 轴;
y x
准线 yoz 面上的曲线 l2: G(y,z)0
z
方H 程 (z,x)0表柱示 面,
l3
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3: H(z,x)0 x
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 y面 o 上 直 z 线 方 程 为
zyco t
M 1(0,y1,z1)
圆锥面方程 zx2y2co t
o
y
令acot
x
两边平方
M (x,y,z)
z2a2(x2y2)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求
故旋转曲面方程为
M(x, y,z)
M1(0,y1,z1)
o
y
x
f( x2y2,z)0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C:f(y,z)0
o y
x
f(y, x2z2)0
例 5 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12)
1
z z1
| z1|c
同理与平面 xx1和 y y1的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
(1) ab,
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1绕
z轴旋转而成．
l
的坐标也满足方程 x2y2R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面.其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2y2R2 表示圆柱面
1.定义
平行于定直线并沿定曲线 C移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:
