《从算式到方程》PPT课件

第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
讴乐初级中学 廖金华
活动:创设情境 提出问题
x
王家庄
你能用算术方 法解决这个实际问 题吗？分组讨论．
50千米
70千米
青山 翠湖
秀水
地名 王家庄 青山 秀水
时间 10:00 13:00 15:00
回顾:路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
x 70
的速度是___5 _千米/时．
列方程：根据_汽__车_匀__速_行__驶_ ，得到车__速__相_等__，
列出方程__x__3_5_0____x_5_7__0__．
活动:找等量关系 列出方程
问题: 如图，汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青 山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米，王家庄到翠湖的路程有多远？
解：设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据车速相等，得
x 50 3
= x 70
5
归 纳：
实际问题
设未知数 列方程
方程
1．根据下列条件, 列出方程： （1）x的2倍与3的差是5；( 2x-3=5 )
（2）x的三分之一与y的和等于4．( 1 x y 4 ) 3
2．根据下列问题，设未知数列出方程： 环形跑道一周长400m ，沿跑道跑多少周可以跑3 000m?
分析：若知道王家庄到翠湖的路程（比如x千米），
用含 x的式子表示关于路程的数量： 王家庄距青山（__x_-_5_0_）_千米,王家庄距秀水（__x_+_7_0_）_千米．
有关时间的数量：
从王家庄到青山行车__3_ 小时，王家庄到秀水行车__5__小时．

课堂小结 布置作业
小结： 内容
解决实际问题 的方法步骤
方程
一元一次方程
方程的解
解方程
根据实际问题列方程
设未知数 用含未知数的式 子表示问题中的数量关系。
找相等关系 列出方程
P83第1、2、3题
X的值
1
2
3
4
5
6
7
…
1700+150x的值 1850 2000 2150 2300 2450 2600 2750 …
(2)从上述的表栏中你能看出方程
1700+150x=2450中x的值吗？ X=5
解方程的概念：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的 未知数的值。
方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值。
小结：
设未知数 找等量关系
实际问题
一元一次方程
随堂练习 巩固新知
练习：
下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？
（1）2x 1
；（2）2m 15 3 ；
（3）3x－5＝5x＋4 ；（4）x2＋2x－6 0 ；
（5）3x＋1.8＝3 y ；（6）3a 9 15 ．
（2）（3）（4）（5）是方程. （2）（3）是一元一次方程.
巩固方法 定义新知
问题4：视察上面例题列出的三个方程有什么特征？
4x 24 1700＋150x＝2450 0.52x 1 0.52 x 80
特征：（1）只含有一个未知数x， （2）未知数x的指数都是1， （3）整式方程．
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等 号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
归纳总结 巩固发展
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：

已使用时间 + X月使用时间 = 检修时间
思考：方程中的各项表示什么 含义？
实际问题
(3).某校女生占全体学生的52%，比 男生多80人，这个学校有多少学生？
分析：题目中的等量关系是：
女生人数－男生人数＝80
解：设这个学校的学生为x，那么女生 数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.
列方程 0.52x-(1-0.52)x=80
学习目标
1、了解方程的概念和一元一次方程的概念. 2、通过列方程的过程，感受方程作为刻画现
实世界有效模型的意义，由算式到方程是数 学的一大进步，从而体会数学的方程模型思 想．
问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一条公路同方
向行驶，客车的行驶速度是70km/h.卡车的行驶速度是60km/h,
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以 跑3 000 m？
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：（1）设沿跑道跑x周，
400x 3 000 是一元一次方程．
（2）设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支，
解：（3）设上底为x cm，
1

x

x

.
2

5

40
2
是一元一次方程
（4）设小水杯的单价是x 元，大水杯的单价是(x+5) 元，
15x＝10 x .5 是一元一次方程
今天你有什么收获?
1. 两个概念： 方程 、一元一次方程
2. 列方程的步骤： （1）审题，找出等量关系 （2）设未知数为x，并用x表示已知量 （3）列出方程

快车每小时比 慢车多走10km
时间：快车比慢车早1h经过B地
相同的时间，快车 比慢车多走60km
慢车 610hkm 快车走了6h
A
快车 B
算式：60 ÷(70-60)×70=420(km)
（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表示 下列时间关系： 慢车 1h
A
快车 B
快车行完AB全程所用时间：7x0 h 慢车行完AB全程所用时间：6x0 h
上面我们列出的方程有什么特点？
温馨提示： 1、含有未知量的个数 2、未知量的次数 两方面考虑。
它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1 一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程。
【总结提升】 判断一元一次方程的三个条件 (1)必须只含有一个未知数. (2)未知数的次数都是1. (3)等号两边都是整式.
检测目标
3.已知下列方程：①x-2= ②0.3x=1;③ x 5;
2
④x2-4x=3;⑤x=0;⑥x+2y=0,其中是一元一次方程
的有( B )
A.2个
B.3个
C.4个 D.5个
检测目标
4.甲乙两数的和为10，并且甲比乙大2，求甲、
乙两数.下面所列方程正确的是( D )
A.设乙数为x，则x+2=10 B.设乙数为x，则(x-2)+x=10 C.设甲数为x，则(x+2)+x=10 D.设乙数为x，则(x+2)+x=10
列出一元一次方程的一般步骤:
1.设:恰当的设出未知数,用字母X表
示问题中的未知量
关键
2.找:寻找实际问题中的相等关系
3.列:利用实际问题中的相等关系列出方 程

25 26
游戏的规则是：
27
28
293031 Nhomakorabea………
小结
1. 列方程的步骤： （1）设未知数为x，并用x表示已知量 （2）找出等量关系 （3）列出方程 2. 三个概念： 什么是方程 、一元一次方程 、方程的解 3. 用“尝试改进法”估计方程的解
.
1 5 1 （2） x－ ＝－ 3 12 4
7 … 9
5 12
x
2x－3
… 6
… 9
x
x－ 3
1
11 … 1 5
… …
1
1 12
1 2
…
1
1 5
－8
…
－4
1
5. 日历中的数学问题（猜数游戏）： 下图是某月的月历。 日 1 4 11 18 2 5 12 19 一 3 6 13 20 7 14 21 8 15 22 9 16 23 10 17 24 二 三 四 五 六
理解与运用
怎 么 做 ？
1 .填空： （1）在式子：2x －1 ，1＋7＝2＋6 ， 1－3x ＝ x ＋1 ，x ＋ 2y ＝ 3，x2 ＋3x －1 ＝ 0 中，方程有 3 个，一 元一次方程有 1 个。 （2）若方程 3 x n ＋4 ＝ 5（x是未知数）是一元一次 方程，则 n ＝ 1 。
（3）关于 x 的方程 （a －2）x 2 + a x + 1 = 0 是一元一 次方程，则 a ＝ 2 。
2.判断下列括号内的数是否为方程的解：
（1 ）
5x 1 ＝x－1 （x 取3 ，－3） （2） x 2 ＋2x －3 ＝0 （1，－1，－3） 8
当x＝3时 左边＝ 5 3 1 ＝2
8

现代发展
随着数学教育的不断发展和完善，算式逐渐成为数学教育的 重要组成部分，被广泛应用于中小学乃至大学的数学教育中 。同时，随着计算机技术的发展，算式在计算机科学中也得 到了广泛的应用。
02
方程阶段概述
方程的定义与特点
方程的定义
方程是一种用数学语言描述现实问题的方式，它由未知数、已知数和等式组 成。
消元法
通过消去方程中的某个未知数或未知量的系数，将方程化为一元 一次方程或二元一次方程组，简化求解过程。
待定系数法
根据题目给定的条件，列出方程的待定系数，通过解方程得到待 定系数的值。
解方程中的常见错误分析
误解题目背景
在解方程时，没有理解题目的背景和要求，导致 解题思路和结果错误。
忽视定义域
在解方程时，没有考虑函数的定义域，导致结果 不准确或错误。
03
从算式到方程的转变
算式与方程的差异
表达方式
算式是一种表达式，通常由运 算符号和数字组成，如
2+3×4，而方程则是由等号 连接的表达式，如 2+3×4=10。
未知数的处理
算式中没有未知数，而方程中通 常会有一个或多个未知数。
求解目的
算式的目的是为了求出未知数的值 ，而方程则是为了描述未知数之间 的关系。
2023
从算式到方程ppt
目录
• 算式阶段概述 • 方程阶段概述 • 从算式到方程的转变 • 方程的解法与技巧 • 算式与方程的应用实例 • 总结与展望
01
算式阶段概述
算式的定义与特点
定义
算式是指在进行某项数学运算时所列出的等式。
特点
算式通常由运算符号（如加号、减号、乘号、除号等）和数字组成，表达简 洁明了，具有计算方便的特点。

一元一次方程。
三要素：
（1）整式方程；
（2）一元：一个未知数；
（3）一次：化简后未知数的次数是1。
3. = 1000和 = 2000中哪一个是方程0.52 − （1 − 0.52） = 80的解？
= 2000
习题解析
1. = 1是下列哪个方程的解 （ B ）
. 1 − = 2
. 2 − 1 = 4 − 3
1.本节课我学到了关于方程的哪些知识？
2.按照研究方程的解、一元一次方程的思路，接下来我们会进一步研
究什么？可以如何开展研究？
对于变式又该怎么解决呢？
课程讲授
2．一个梯形的下底是5cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底．
思考：
（1）这个问题中涉及哪些量？哪些量是已知的？哪些量是未知的？这
些量存在什么样的关系？
（2）你能解决这个问题吗？试一试
变式：一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上
底.
对于变式是否也可以用相同的方法呢？
课程讲授
1．我校女生占全体学生的52%，其中男生48人，我校有多少学生？
思考：
（1）你打算怎么解决这个问题？试一试。
（2）这个问题中涉及哪些量？哪些量是已知的？哪些量是未知的？这
些量存在什么样的关系？
（3）若我校学生数用字母x表示，如何用x表示这个问题中相关的量？
如何用x表示这里的相等关系？
变式：我校女生占全体学生的52%，比男生多80人，我校有多少学生？
7.已知代数式 = 3 − 2 − + 2 .
（1）化简M；
（2）如果 + 1 2 + 4 −2 − 3 = 0是关于x的一元一次方程，求M的值.

教材p115练习1、2
5/8 x2 =4000,
思考：你知道什么叫做方程吗？
方程：先设出字母表示未知数，然后根据问 题中的相等关系，列出一个含有未知数的等 式，这样的等式叫做方程。
1.判断下列各式哪些是方程？
①1+2=3 ( × ) ②1+2x=4 (√ )
③x+y=2 ( √ ) ④x+1 ( × )
⑤x2-1=0 ( √ ) ⑦ 2 3x ( √ )
（2）3y+24=33 √ ；
（3）3x-8=5x+4 √；（4） 3x²-4+x=0 ；
（5）-3x+9=18y； （6）4b+7＞13 ；
（7） 1 1. x6
(8)2π+6=9
课堂练习
1.若k是方程 2x=3 的解，则 4k+2=______.
2.若 xn2 4 0是关于x的一元一次方程，则
所以 12x=16(x-5).
问题2：图5.1-1是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周 年纪念币，其面积是4000mm2、长和宽的比为8：5(即宽是 长的5/8). 这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米?
解析：由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念市的长， 进而可以求出纪念币的宽。
解：设这枚纪念币的长为xmm，则纪念币的宽可以表 示为5/8 xmm，面积可以表示为5/8 x2m㎡ 所以
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？ 1个 问题2 说一说每个方程中未知数的次数. 1次
问题3 等号两边的式子有什么共同点？ 都是整式
一元一次方程
（一元）
（一次）
只含有一个未知数, 未知数的次数都是1,
等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.

① 只含有一个未知数； （一元）
② 未知数的指数都是1；（一次）
③ 含未知数的式子都是整式 （整式方程）
一般地，如果方程中只含有一个未知数 （元），且含有未
知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一
元一次方程。
03
新知讲解
用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的“天术”．天元
术指的是用“天元”表示未知数，进而列出方程．现存的使用天
第五章 一元一次方程
5.1.1 从算式到方程（第二课时）
目录
Contents
01
学习目标
04
课堂练习
02
新知导入
05
课堂小结
03
新知讲解
06
作业布置
01
学习目标
理解方程的解、解方程、一元一次方程的概念。
02
新知导入
等式
未知数
1．含有___________的________叫做方程．
2．列方程的一般步骤：
3
（3）－5x2＋x＝3；
（2）3x－4y＝12；
3
（4） ＝2 ．
x
解：（1）是；
（2）含有两个未知数 x 和 y ，不是一元一次方程；
（3）未知数 x 的最高次数是 2 ，不是一元一次方程；
（4）等式的左边不是整式，不是一元一次方程．
03
新知讲解
判断一个式子是一元一次方程时，必须满足：
（1）是方程；
元术的最早著作是这一时期我国数学家李冶 (1192—1279)于1248
年所著的《测圆海镜》，书中的 “立天元一”相当于现在的
“设未知数x”．后来在研究涉及多个未知数的问题时，又引入
“元”“人元”“物元”等表示多个未知数．

解：因为 x＝3是方程的解 所以 2×3＋b＝－1 b＝－7 所以 b 2 ＝（－7）2 ＝ 49
4.请用“尝试改进法”估计下列方程的解：
（1）15＝2x－3
（2）
51
x－ ＝－
12
3
1 4
x 2x－3
…6 7 …9
… 9 11 … 1 5
x …1
… 1
2
1 5
… 5
12
x－
1 3
1 12
－1 8
…
1 700+150x 1 850 2 000 2 150 2 300 2 450 2 600
…
当x=5时，1 700+150x的值是2 450，方程1 700+150=2 450中的未知 数的值应是5．
第20页，共26页。
2.判断下列括号(kuòhào)内的数是否为方程的解：
（1）5x 1＝x－1 （x 取3 ，－3） （2） x 2 ＋2x －3 ＝0 （1，－1，－3） 8
示数的不对之处，并正确表示。
(1) b •3
（3）2 1 a 3
(5) 2-a米
3b ✓(2) b÷ 4
7a✓ 3
（4）5 a米 4
✓
(2-a)米 ✓
1 b或 b 44
✓
(6) (a+b)2
2(a+b) ✓
第15页，共26页。
练一练,看谁答得对?
一,判断题
1,含有未知数的式子,叫做方程(fāngchéng) ( ) 2.未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程.( ）
二，填空 １，某数x的½与3的差是7，列方程为:_______ ２，某数y的25%与15的和等于它的45%，列方程为：_

比如，当x=6时，4x的值是24，这时方程4x=24等号左右 两边相等。X=6叫做方程4x=24的解，这就是说方程 4x=24中未知程：
1.环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m
2.甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支， 两种铅笔个多少支？
蓝鲸的重量可表示为：（25Ｘ-1）吨
则：25Ｘ-1=124
问题2、章前图中的汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水 两地之间，距青山50千米，距离秀水70千米，王家庄到翠 湖的路程有多远？（你会用算术法解这道题吗？）
？
？千米
问题2、章前图中的汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水 两地之间，距青山50千米，距离秀水70千米，王家庄到翠 湖的路程有多远？（你会用算术法，解这道题吗？）
3.一个梯形的下底比上底多2，高是5，面积是40，求上底。
二、列等式表示：
1.比a大5的数等于8；
2.b的三分之一等于9；
3.x的2倍于10的和等于18；
4.x的三分之一减Y的差等于6；
5.比a的3倍大5的数等于a的4倍；
6.比b的一半小7的数等于a与b的和；
那么根据上面简单的学习，你们知道 了什么是方程吗？？（议一议）
含有未知数的等式——方程
小结：1、先设字母表示未知数 2、找问题中的相等关系 3、列出含有未知数的等式
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形 的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用 150小时，经过多少个月这台计算机的使用时间达到 规定检修时间2450小时？
算术解法：根据题意可知从王家庄到青山用了3个小时，从王家庄到秀 水用了5个小时，那么可得青山到秀水用了2个小时（用5-3），青山与 秀水相隔120千米（50+70），又可求出汽车的速度为60千米每小时 （120÷2，也就是路程除以时间等于速度）。因为汽车是匀速行驶所 以速度是不变的，可求出王家庄到秀水或王家庄到青山的路程。到秀 水60×5=300千米 ，到青山60×3=180千米。求出这两个任意一个即可 求出王家庄到翠湖的路程。

未知数x的等式通过本章的学习，我们将能够从这个含有未知数
x的等式中解出未知数的值x=5，从而求出5h后甲队追上乙队.
根据题目列等式
问题1 用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水
杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是
多少元?设大水杯x元。
问题2 如图是一枚长方形的庆
祝中国共产党成立100周年纪念
方程：
（1）环形跑道一周长400 m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用9 元钱买了两
种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，
求上底．
（4）用买10 个大水杯的钱，可以买15 个小水杯，大水杯比小水
问题2：观察上面例题列出的三个方程有什么特征？
（1）只含有一个未知数x，
（2）未知数x的指数都是1，
（3）整式方程．
一般地，果方程中只含有一个未知数(元)，且含有
未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方
程叫作一元一次方程(linear equationwith one unknown)
用“元”表示未知数，源于我国宋元时期的
称为“方程术”.19世纪50年代，清
代数学家李善兰翻译外国数学著
作时，开始将equation(指含有未
知数的等式)一词译为“方程”
思考
（1）怎样将一个实际问题转化为方程问题？
（2）列方程的依据是什么？
实际问题
设未知数 列方程
方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关
系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.