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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）D（3）D（4）B（5）B（6）A（7）（B ）（8）（D ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）012=---z y x（10）11=-)(f（11）12+=x xy ln （12）π（13）[-2,2]（14）25n三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】20202232222=+=+='++'⋅++')x y (y xy y y x xy y y x y y yx y )(y 20-==或舍。
x y 2-=时， 21106606248062480633333223223-==⇒==+-=+-+-=+-⋅+⋅+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y04914190141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''⋅+'⋅+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+ （2）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （3）设(,)f x y 是连续函数，则21101(,)yy dy f x y dx ---=⎰⎰（ ）（A ）21110010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy ---+⎰⎰⎰⎰（B ）211011(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy ----+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（4）若{}2211,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π（5）行列式00000000a b abc d c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4（8）设连续型随机变量1X 与2X 相互独立且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则 （A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （B ）2121,DY DY EY EY >=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为 . （10）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且()2(1)f x x '=-，[0,2]x ∈，则(7)f = .（11）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为y = . （12）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰ .（13）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .（14）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni i X c 12为2θ的无偏估计，则c = .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e t xtx +--⎰+∞→（16）（本题满分10分）设函数)(x f y =是由方程32260y xy x y +++=确定，求)(x f 的极值. （17）（本题满分10分）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x x z zz e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （18）（本题满分10分）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑（19）（本题满分10分） 设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（I ）证明：;0lim =∞→n n a（II ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛. （20）（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . （21）（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似 （22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（I ）求Y 的分布函数)(y F Y ； （II ）求EY（23）（本题满分11分）设总体X 的分布函数21,0(;)0,0x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，其中θ是未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（1）求EX 与2EX ；（2）求θ的最大似然估计量ˆnθ； （3）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0nn P a θε→∞-≥=？2017考研新大纲权威解析听3小时直播解析，横扫60+增&改考点。
2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。
,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。
（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。
（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。
（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。
2014年考研数学(三)试题答案速查一、选择题（1）A （2）C （3）D （4）D （5）B （6）A （7）B （8）C 二、填空题（9）20Q − （10）3ln 22− （11）21（12）1(e 1)2− （13）]2,2[− （14）n52三、解答题 （15）21. （16）34−.（17）4e 41()16u u f u −−=. （18）33(),11(1)x S x x x −=−<<−. （19）略.（20）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++⎪= ⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（21）略.（22）（Ⅰ）0,0,3,01,4()1(1),12,221, 2.Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪<⎪=⎨⎪+<⎪⎪⎩（Ⅱ）34. （23）（Ⅰ）XY0 10 29 19 119 59（Ⅱ）49. 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】A.【解答】根据极限的保号性，若lim 0n n a a →∞=≠，有lim n n a a →∞=，则存在0N >，使得当n N >时，有2n a a a −<，解得322n a aa <<，故选A. （2）【答案】C.【解答】,11sinlim 1lim 1sinlim=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x 01sin lim ]1sin [lim ==−+∞→∞→xx x x x x ， 所以xx y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C .（3）【答案】D.【解答】23()p x a bx cx dx =+++，由已知得0=a .因为232332000()tan tan 2sec lim lim lim 03x x x p x x bx cx dx x b cx x d x x x→→→−++−+−==+=， 则02lim(se )20c x b cx x →+−=，可得1b =，再由原式021lim033x c d x →=−+=，得10,3c d ==，所以答案选D.（4）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（5）【答案】B. 【解答】00000000a b a bc d c d=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B. （6）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A. （7）【答案】B.【解答】()()()()()()P A B P A P AB P A P A P B −=−=−()0.5()0.5()0.3P A P A P A =−==，所以6.0)(=A P .因此2.03.05.0)()()()()()(=−=−=−=−A P B P B P BA P B P A B P ，故选择B. （8）【答案】C.【解答】321,,X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则21X X −与3X 独立，)1,0(~),1,0(~2),2,0(~321221N X N X X N X X σσσ−−则,则)1(~2223χσX ,因此122322~(1)X X t X σσ−，即123~(1)2X X t X −，所以选C.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】20Q −.【解答】由P Q 240−=，得1202P Q =−，所以收益函数1()(20)2R Q P Q Q Q =⋅=−, 故边际收益为d 20d RQ Q=−. （10）【答案】3ln 22−. 【解答】画图,有:2113[()]d ln 22S y y y =−−−=−⎰.（11）【答案】21.【解答】221e d ()e24xxx x x C =−+⎰，则2220111e d ()e ()e 024244a x x a a x a x x =−=−+⎰，201e d ,4axx x =⎰则211()e 0,242a a a −==. （12）【答案】1(e 1)2−.【解答】2222111111000e e d (e )d d d d e d x xy y y y y y x y x y x xx −=−⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221100e d d (1)e d x xy x y y y x =−−⎰⎰⎰221100e d (1)e d x y x y y =−−⎰⎰2101e d (e 1).2y y y ==−⎰（13）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+, 由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.（14）【答案】n52. 【解答】222222()(;)d d 3x E X x f x x x x θθθθ+∞−∞==⎰⎰2422215342x θθθθ=⋅=, 2212225)(][θθ=⋅==∑=c n X ncE Xc E ni i i,故nc 52=.yxO 0x y +=10xy +=D2y =三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]lim t xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d D x x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d Dy x y x y x y +=+⎰⎰. 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰ 22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ 221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（17）（本题满分10分） 解：因为(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 所以方程cos sin (4e cos )e x x z zyy z y x y∂∂−=+∂∂可化为 (e cos )e [4(e cos )e cos ]e x x x x x f y f y y '⋅=+，即函数()f u 满足()4()f u f u u '−=，其通解为411()e416uf u C u =−−.再由(0)0f =，得116C =，故 yxO12221x y +=224x y +=4111()e 16416u f u u =−−.（18）（本题满分10分） 解：令)3)(1(++=n n a n ，因1lim1=+∞→nn n a a ，所以1=R ,当1±=x 时，∑∞=++0)3)(1(n nxn n 均发散，故该幂级数的收敛域为)1,1(−；设1()(1)(3)((3))nn n n S x n n xn x∞∞+=='=++=+∑∑，记10()(3)n n x n x σ∞+==+∑，则22112232()(2)()(),111(1)n n n n n n x x x x x x n xxxx x x x σ∞∞∞+++===−''=++=+=+=−−−−∑∑∑ 所以223323()[],(11)(1)(1)x x xS x x x x −−'==−<<−−.（19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰.（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]u ag u f u f a g t t =−+⎰由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =， 取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ； （Ⅱ）对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（21）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111 (11)1...111 (1) (1)1...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ； 对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ)设Y 的分布函数为)(y F Y ，则(){){1}{1}{2}{2}Y F y P Y y P X P Y y X P X P Y y X ====+==11{|1}{2}22P Y y X P Y y X ==+= 当0<y 时，0)(=y F Y ；当01y <时，43)2(21)(yy y y F Y =+=； 当12y <时，)21(21)(yy F Y +=；当2y 时，1)(=y F Y ，所以Y 的分布函数为0,0,3,01,4()1(1),12,221,2;Y y y y F y y y y <⎧⎪⎪<⎪=⎨⎪+<⎪⎪⎩（Ⅱ）Y 的概率密度函数为3,01,41()12,40,Y y f y y ⎧<<⎪⎪⎪=<⎨⎪⎪⎪⎩，其他. 1201313()()d d d 444Y E Y f y y y y y y +∞−∞==+=⎰⎰⎰.（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ)()12XY E XY EXEY DX DYρ−==⋅， 而923132)()(,32)()(},1,1()(=⋅=======Y D X D Y E X E Y X P XY E ， 代入XY ρ得95}1,1{===Y X P ， 所以),(Y X 的概率分布为XY0 10 29 19 119 59（Ⅱ）54{1}1{1}199P X Y P X Y +=−+>=−=.。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >- （D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1siny x x=+ （D ）21siny x x=+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a =（B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000aba b c dc d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。
目 录2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2013年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2013年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2014年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2014年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2015年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2015年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年首都师范大学数学科学学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解一、单项简答题（共20题60分，每题3分）第1组设c1，c2，…，c n是非零常数，给定总体N（μ，σ2）的样本X1，X2，…，X n，写出1．样本均值的数学期望，答：2．样本均值的方差，答：3．样本均值服从的分布，答：4．样本方差的数学期望，答：5．服从的分布，答：6．服从的分布，答：7．服从的分布，答：8．服从的分布，答：9．（μ，σ2）的最大似然估计，答：，10．θ＝2μ的最大似然估计。
答：第2组设EX＝μ，σ2＝Var（X），X1，X2，…，X n是总体X的样本。
对于较大的n，简答以下问题。
11．X1＋X2＋…＋X n的近似分布，答：n足够大时，X i独立同分布。
EX＝μ，σ2＝Var（X）由中心极限定理知：（X1＋X2＋…＋X n）～N（nμ，nσ2）。
12．μ的矩估计，答：13．σ2的矩估计，答：14．当EX4＜∞，X12＋X22＋…＋X n2的近似分布，答：由中心极限定理，X12＋X22＋…＋X n2服从卡方分布。
15．当X服从泊松分布，X1＋X2＋…＋X n服从的分布，答：独立同分布，；，16．当X服从泊松分布，μ的最大似然估计，答：X服从泊松分布：。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 下列曲线有渐近线的是()(A) y = x +sin x (C) y = x + sin 1x(B) y = x 2 + sin x (D) y = x 2 + sin 1x【答案】(C)x + sin 1 sin 1【解析】关于C 选项： limx = lim1+ lim x = 1+ 0 = 1 ，又x →∞?x x →∞ x →∞ xlim[x + sin 1 - x ] = limsin 1 = 0 ，所以 y = x + sin 1存在斜渐近线y = x . x →∞?x 故选(C).x →∞ x x(2) 设函数 f (x ) 具有二阶导数， g (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x ，则在区间[0,1] 上 ()(A) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(B) 当f '(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )(C) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≥ g (x )(D) 当f ''(x ) ≥ 0 时，f (x ) ≤ g (x )【答案】(D)【解析】令 F (x ) = g (x ) - f (x ) = f (0)(1- x ) + f (1)x - f (x ) ，则F (0) = F (1) = 0 ,F '(x ) = - f (0) + f (1) - f '(x ) , F '(x ) =- f '(x ) .若f ''(x ) ≥ 0 ，则F ''(x ) ≤ 0 ， F (x ) 在[0,1] 上为凸的.又 F (0) = F (1) = 0 ，所以当x ∈[0,1] 时，F (x ) ≥ 0 ，从而 g (x ) ≥ f (x ) .故选(D).1 1- y (3) 设 f (x , y ) 是连续函数，则?0dy-f (x , y )dx = ( )1 x -1 0(A)0 dx ?f (x , y )dy + ?-1 dx ?0f (x , y )dy1- y 2 1-x 20 ? ?+ ? ? πππ3 π (x - a cos x - b sin x )2 d x = min π(x - a c os x - b s in x )2d x -π-π ? ?(B)1 1-xdx 0πf (x , y )dy + ?-1 dx ?-1f (x , y )dyπ1(C)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )dr + ?π d θ ? f (r cos θ , r sin θ )dr2π1π 1(D)2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr 02【答案】(D) 【解析】1 1- ydy -f (x , y )dx = ?-1 dx ?011-xf (x , y )dy 0 dx 0f (x , y )dy π1π1= ? 2 d θ ?cos θ +sin θ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ?πd θ ? f (r cos θ , r sin θ )rdr . 00 2故选(D).-π 11 a ,b ∈R{?-π}a 1 cos x +b 1 sin x =()(A) 2sin x(B) 2cos x(C) 2π sin x【答案】(A) 【解析】(D) 2π cos x(x - a cos x - b s in x )2 dx = ?π(x - b sin x )2 - 2a cos x (x - b sin x ) + a 2x cos 2 x ?dx= ?-π= ?-π(x 2 - 2bx sin x + b 2 sin 2 x + a 2 cos 2 x )dxx 2dx + 2 π(b 2 sin 2x + a 2 cos 2 x - 2bx sin x )dx 0= 4(a 2 + b 2 ) π ? 1 - 4b π ? 2 + 2 π 32 2 2 3= π (a 2 + b 2 - 4b ) + 2π 33= π ??a 2 + (b - 2)2- 4?? + 2 π 3当a = 0,b = 2 时，积分最小. 故选(A).1-x 21- y 21-x 2(4) 若，则k l(A) (ad - bc )2【答案】(B)(B) -(ad - bc )2(C) a 2d 2 - b 2c 2(D) b 2c 2 - a 2d 2【解析】由行列式的展开定理展开第一列a b 0 a b 0= -a c d 0 - c 0 0 b 0 0 d c d 0= -ad (ad - bc ) + bc (ad - bc )故选(B).= -(ad - bc )2 .(6) 设 a 1, a 2 , a 3 均为三维向量，则对任意常数 k , l ,向量组 a 1 + ka 3 , a 2 + la 3 线性无关是向量组B = (α1 α2 α3 ) 线性无关的()(A) 必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】(A)【解析】(α + k αα + l α ) = (ααα ? 1 0 ? ) 0 1 ?. 1323123 ? ? ? ?) 记A = (α1 + k α3α2 + l α3 ) ，B = (α1 α2 α3 ) ， A . 若α1,α2,α3 线性无关，则r (A ) = r (BC ) = r (C ) = 2，故 P (A - B ) = 0.3线性无关.P (B - A ) = 举反例. 令α3 = 0 ，则α1,α2 线性无关，但此时α1,α2,α3 却线性相关.综上所述，对任意常数Q = 40 - 2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).0 a b 0a 0 0 b0 c d 0c 0 0 d1Y (7) 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P (B ) = 0.5 ， P (A - B ) = 0.3，则 P (B - A ) = ( )(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4【答案】(B)【解析】已知a =， A 与 f ( x , x , x ) = x 2 - x + 2ax x + 4x x 独立， a ，123121 32 3P (A - B ) = P (A ) - P (AB ) = P (A ) - P (A )P (B )= P (A ) - 0.5P (A ) = 0.5P (A ) = 0.3，则P (A )= 0 .，则 P (B - A ) = P (B ) - P (AB ) = P (B ) - P (A )P (B ) = 0.5 - 0.5?0.6 = 0.5 - 0.3 = 0.2 .故选(B).(8) 设连续性随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，且方差均存在， X 1 与 X 2 的概率密度分别为 f 1 (x ) 与1 1 f2 (x ) ，随机变量Y 1 的概率密度为 f Y ( y ) = 2 [ f 1 ( y ) + f 2 ( y )]，随机变量Y 2 = 2( X 1 + X 2 ) ，则(A)(C) EY 1 > EY 2 ， DY 1 > DY 2 EY 1 = EY 2 ， DY 1 < DY 2(B)(D) ()EY 1 = EY 2 ， DY 1 = DY 2EY 1 = EY 2 ，DY 1 > DY 2【答案】(D)【解析】用特殊值法. 不妨设 X 1, X 2N (0,1) ，相互独立.1 1 - y 2- y 2 - y 2 f ( y ) = 1( e 2 2π 2 + e 2π 2 ) = e 2π2 ， Y 1 N (0,1) . 1 1 1 Y 2 = 2 ( X 1 + X 2 ) ， E (Y 2 ) = 2 (E ( X 1 ) + E ( X 2 )) = 0, D (Y 2 ) = 4 (D ( X 1) + D ( X 2 )) = 2 .E (Y ) = E (Y ) = 0, D (Y ) = 1 > D (Y ) = 1.1 2 1 22故选(D).二、填空题：9 14 小题,每小题4 分,共24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上. (9) 曲面 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) 在点(1, 0,1) 处的切平面方程为.【答案】2x - y - z = 1【解析】由于 z = x 2 (1- sin y ) + y 2 (1- sin x ) ，所以z ' = 2x (1- sin y ) - cos x ? y 2 ， z ' (1, 0) = 2 ；xxz ' = -x 2 cos y + 2y (1- sin x ) ， z ' (1, 0) = -1.yy所以，曲面在点(1, 0,1) 处的法向量为n ={2, -1, -1}.故切平面方程为2(x -1) + (-1)( y - 0) -(z -1) = 0 ，即2x - y - z = 1.(10) 设 f (x ) 是周期为4 的可导奇函数，且 f '(x ) = 2(x -1), 【答案】1x ∈[0, 2]，则 f (7) = ?. 【解析】由于 f '(x ) = 2(x -1) ，x ∈[0, 2]，所以 f (x ) = (x -1)2 + C ，x ∈[0, 2].又 f (x ) 为奇函数， f (0) = 0 ，代入表达式得C = -1，故f (x ) = (x -1)2 -1，x ∈[0, 2].f (x ) 是以4 为周期的奇函数，故f (7) = f (-1+ 8) = f (-1) = - f (1) = -[(1-1)2 -1] = 1.(11) 微分方程 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0满足条件 y (1) = e 3 的解为 y = ?.【答案】 y = xe 2x +1(x > 0)【解析】 xy '+ y (ln x -ln y ) = 0 ? y ' = y ln( y) .x x令u = y，则 y = x ?u ， y ' = xu ' + u ，代入原方程得xxu '+ u = u ln u ? u ' = u (ln u -1)x分离变量得，du =dx ，两边积分可得u (ln u -1) xln | ln u -1|= ln x + C ，即ln u -1 = Cx ., X n ? i故ln y -1 = Cx . 代入初值条件 y (1) = e 3 ，可得C = 2 ，即ln y= 2x +1.x x由上，方程的解为 y = xe 2x +1,(x > 0) .(12) 设 L 是柱面 x 2 + y 2 = 1与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 ?Lzdx + ydz =.【答案】π【解析】由斯托克斯公式，得= ?? dydz + dzdx ∑= ?? dydz + dzdx = π ，D xy其中D xy ={(x , y ) | x + y ≤ 1}. 2 2(13) 设二次型 f (x , x , x ) = x 2 - x 2 + 2ax x + 4x x 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围.【答案】[-2, 2]1 2 3 1 2 1 3 2 3【解析】配方法： f ( x , x , x ) = ( x + ax )2 - a 2x 2 -( x - 2x )2 + 4x 2123133233由于二次型负惯性指数为 1，所以4 - a 2 ≥ 0 ，故-2 ≤ a ≤ 2 .2x,θ < x < 2θ ,(14) 设总体 X 的概率密度为f ( x ;θ ) = ?3θ 20,其他, 其中θ 是未知参数， X 1, X 2 , 为来自总体 X 的简单样本，若 E (c∑ X 2 ) = θ 2 ，则c = ?.【答案】【解析】25n E ( X 2) = i =1+∞ x 2 f (x ;θ )dx =2θ x 2 ? 2x dx-∞θ3θ 2n ?L zdx + ydz = ?? ∑ dydz dzdx dxdy ? ? ?x ?y ?z z 0 yx 1 1 1 ?= 2 ? 1 x 3θ 2 4 4 2θ θ 5θ 2 ， 2n 2 2 5n 2 2E [c ∑ X i ] = ncE ( X i =1 ) = θ 2 ? c = θ ，∴ c = 2.5n三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10 分)x1 ? ? ? ?t 2e t -1? - t ? dt 1 ?? ?求极限lim x →+∞x ?x 2ln ?1+ 1 ? ? ?1 ?.x1 ?【解析】lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t -1) - t ??d t x 2 ln(1+ 1 ) = lim x →+∞ ?1 ??t 2 (e t-1) - t ??d t x 2 ? 1x x1= lim[x 2(e x-1) - x ]x →+∞1 =t ttx= lim-1- t = lim e -1 = lim t = 1 .(16)(本题满分 10 分)t →0+t 2t →0+2t t →0+2t 2 设函数 y = f ( x ) 由方程 y 3 + xy 2 + x 2 y + 6 = 0 确定，求 f ( x ) 的极值.【解析】对方程两边直接求导：3y 2 y ' + y 2 + 2xyy '+ x 2 y '+ 2xy = 0①令 x 1 为极值点，则由极值必要性知： y '(x 1) = 0 ，代入①式得：y 2 (x ) + 2x y (x ) = 0 .即 y (x 1 ) = 0 或 y (x 1 ) = -2x 1 . 将其代入原方程知： y (x 1 ) = 0 （舍去），即 y (x 1 ) = -2x 1 . 代入，有-8x 3 + 4x 3 - 2x 3 + 6 =，∴ x = 1. 即 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 .1111= ex2 z ?2 z 对①式两边再求导：6y ( y ')2 + 3y 2 y ' + 2yy '+ 2x ( y ')2 + 2xyy ' + 2yy '+ 2xy '+ x 2 y ' + 2y + 2xy ' = 0 .将 y (1) = -2 ， y '(1) = 0 代入得： y ''(1) = 4> 0 .9∴ y = f (x ) 在 x = 1处取极小值， y = f (1) = -2 .(17)(本题满分 10 分)设函数 f (u ) 具有二阶连续导数， z = f (e f (0) = 0, f '(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式.cos y ) 满足 ?x 2 + ?y 2 = (4z + ex cos y )e 2x 若【解析】zx2 z' x2 x2 ' x x因为?x= f (e cos y )e cos y , = f ?x 2(e cos y )e cos y + f (e cos y )e cos yz= - f ?y '(e x cos y )e x sin y , ?2 z ?y 2= f ' (e x cos y )e 2x cos 2 y - f '(e x cos y )e x cos y 所以， f ' (e x cos y )e 2x = [4 f (e x cos y ) + e x cos y ]e 2xf ' (u ) = 4 f (u ) + u上述方程的通解为f (u ) = C e 2u + C e -2u - u1 24由 f (0) = 0, f '(0) = 0 得C 1 + C 2 = 0 ?2C - 2C = 11 2 4 1 1解得， C 1 = 16 , C 2 = - 16故， f (u ) = 1 e 2u - 1 C e -2u - u16 16 2 4(18)(本题满分 10 分)(x -1)3 dydz ∑+∑110 1 ? + π 7 ∞n∞设∑ 为曲面z = x 2 + y 2 (z ≤ 1) 的上侧，计算曲面积分I = ??(x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdy .∑【解析】∑ 非闭，补∑ ：平面 z = 1，被 z = x 2 + y 2 所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有 -+ ( y -1)3 d zdx + (z -1)dxdy= ??? ??3(x -1)2 + 3( y -1)2+1?? dVΩ= 3(x 2 + y 2 )dV - 6 xdV - 6 ydV + 7 dVΩΩΩΩ∑ 和∑1 所围立体为Ω ，Ω 关于 yoz 面和 zox 面对称，则 xdV = ydV = 0Ω Ω(x 2 + y 2 )dV =1dxdydzx2+ y 2Ωx 2 + y 2 ≤1 = 2πd θ 1r 2 (1- r 2 )rdr0 0= 2π (1 r 4 4- 1 r 6 6 ) 1 = 2π ( 1 -1 4 6 ) = π 6 dV = ? dz ?? dxdy = ?1π zdz = π0 0 Ω x 2+ y 2≤z∴- ??= 3 π 7 ? π= + π = 4π∑+∑1∴- 6 2 2 2又∑1= ??(z -1)dxdy = - ∑1x 2 + y 2 ≤1(1-1)dxdy = 0∴ I =∑ + 1∑1 - ? ? ∑1= 4-π (19)(本题满分 10 分)设数列{a },{b }满足0 < a < π ，0 < b < π， cos a - a= cosb，且级数∑b 收敛.nnn2n2(I) 证明：lim a = 0 . n →∞nnnn n =1(II) 证明：级数∑a n收敛.n =1 bn∑+∑1= 4π2- π < a n - b n 4 2nn n nn【解析】(I )∑bn 收敛n =1 ∴lim b = 0 n →∞a = cos a - cosb = -2sina n +b nsina n -b n> 0 nnn22∴sina n -b n< 0 2π 又 < ，π a n - b n即： a n < b n∴- < < 04 4 2 又0 < a < b , lim b = 0 n →∞∴lim a = 0 n →∞(II )证明：由(I ) a n= -2sina n +b nsina n -b n22-2sin a n + b n sin a n - bn ∴ a n = ?2 2 b n b n 2a n +b n b n - a n2 2 2 ≤ ?2 2 = b n - a n < bn= b n b n ∞ ∞ b 2b n ∞ 2b n 2a n又∑b 收敛∴ ∑ n收敛, ∑ 收敛 nn =1n =1 2 n =1 b n (20)(本题满分 11 分)1 -23 -4 ? 设矩阵 A =0 1 -1 1 ? ， E 为三阶单位矩阵.1 2 0 - 3? ? ?(I) 求方程组 Ax = 0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB = E 的所有矩阵 B .【解析】1 -23 -4 1 0 0 ? ?1 -2 3 -4 1 0 0 ? ( A E ) =0 1 -1 1 0 1 0 ? → 0 1 -1 1 0 1 0 ?1 2 0 -3 0 0 1 ? 0 4 -3 1 -1 0 1 ?1 -23 -4 1 0 0 ? ? 1 0 0 1 2 6 -1?→0 1 -1 1 0 1 0 ? →0 1 0 -2 -1 -3 1 ? ,0 0 1 -3 -1 -4 1 ? 0 0 1 -3 -1 -4 1 ?(I) Ax = 0 的基础解系为ξ = (-1, 2,3,1)T∞1 n(II) e = (1, 0, 0)T , e = (0,1, 0)T , e = (0, 0,1) T123Ax = e 的通解为x = k ξ + (2, -1, -1, 0)T= (2 - k , -1+ 2k , -1+ 3k , k )T 11111 1Ax = e 的通解为x = k ξ + (6, -3, -4, 0)T= (6 - k , -3 + 2k , -4 + 3k , k )T222222Ax = e 的通解为x = k ξ + (-1,1,1, 0)T= (-1- k ,1+ 2k ,1+ 3k , k )T3333332 - k 1 -1+ 2k 6 - k 2 -3 + 2k -1- k 3 ? 1+ 2k ?∴ B = 1 2 3 ? （ k , k , k 为任意常数）-1+ 3k - 4 + 3k 1+ 3k ?1231 2 3k 1k 2 (21)(本题满分 11 分)k 3 ? ?11 1? 1 1 1? ? 0 0 1 ?0 0 2 ?证明n 阶矩阵 ? 与 ? 相似. ?1 1 1? ?1? ? ? 0 0 n ?1 ?2 ? 【解析】已知 A = ?(1 1) ， B = ?(0 0 1) ，则 A 的特征值为n ， 0 ( n -1重).A 属于λ = n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r ( A ) = 1，故 Ax = 0 基础解系有 n -1个线性无关的解向量，即 A 属于λ = 0 有 n -1 个线性无关的特征向量，故A 相似于对角阵n ? 0 ?Λ =. ? 0B 的特征值为 n ， 0 ( n -1重)，同理 B 属于λ = 0 有 n -1个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵Λ .由相似关系的传递性， A 相似于 B .(22)(本题满分 11 分)设随机变量 X 的概率分布为 P {X = 1} = P {X = 2} =Y 服从均匀分布U (0,i ),(i = 1, 2).1, 在给定 X = i 的条件下，随机变量 21 ? 4 ? 4Y（I ）求Y 的分布函数 F Y ( y ) ；（II ）求 EY .【解析】（I ）设Y 的分布函数为 F Y (y) ，则F Y ( y ) = P {Y ≤ y } = P {X = 1}P {Y ≤ y | X = 1}+ P {X = 2}P {Y ≤ y | X = 2}= 1 P {Y ≤ y | X = 1} + 1 P {Y ≤ y | X = 2} 2 2当 y < 0 时， F Y ( y ) = 0 ；1 y 3y当0 ≤ y < 1时， F Y ( y ) = 2 (y + 2 ) = 4 ；1 y当1 ≤ y < 2 时， F Y ( y ) = 2 (1+ 2)；当y ≥ 2 时， F Y ( y ) = 1. 所以Y 的分布函数为0, ? 3yy < 0 ? ,0 ≤ y < 1 F ( y ) = ? 4Y(1+ y ), 1 ≤ y < 2(II) Y 的概率密度为2 2 ? 1, y ≥ 2 ? 3, 0 < y < 1, ?1 f (y) = ? , 1 ≤ y < 2, ? ? 0, ??E (Y )=?+∞f Y ( y ) d y = ?1y 3dy + ?2y 1dy 其他. -∞ 0 4 1 4 3 1 1 1 3 = ? + ? (4 -1) = 4 2 4 2 4(23)(本题满分 11 分)1- e { }nθ θ = ? ?+∞+∞设总体 X 的分布函数为? F (x ;θ ) = ? ??0,- x 2θ，x ≥ 0,x < 0, 其中θ 是未知参数且大于零. X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本.（I ）求 E ( X ) ， E ( X 2 ) ；（I I ）求θ 的最大似然估计量θn ；（I I I ）是否存在实数a ，使得对任何ε > 0 ，都有lim P θ - a ≥ ε = 0 ？n →∞2x 【解析】 X 的概率密度为f (x ;θ ) = F '(x ;θ ) = ?- x 2 e θ, x > 0（I ） E ( X ) =+∞xf (x ; )dxx 2xθ0 , 其它 - x 2 e θdx= - xde- x 2θ= -[xex 2+∞+∞ -x 2e θdx ]= ?e - x 2θdx= 12E ( X 2) = ?2+∞ x 2 f (x ;θ )dx = ?+∞x 2 2x e2 θ dx -∞θ= - x 2de- x 2θ= -[x 2ex 2 +∞+∞ -x 2e θ 02xdx ]= θ ? +∞2x θ- x 2 e θdx= θ+∞ =πθ θ 2π θ2 θ - ? - -∞--n x i n n n ? i ] [ x n ] 0 n n ? n 2x - x i 2 n ∏ i e θ, x i > 0（II ）似然函数L (θ ) = ∏ f (x ;θ ) == ?i =1 θi =10 , 其它2x - x i2当 x i > 0(i = 1,, n ) 时，L (θ) =∏ i e θ，i =1θnx 2 ln L (θ ) = ∑[ ln 2x - ln θ - i]i =1d ln L (θ ) = ∑ni- 1 + x 2 θ= 1 ∑ 2 - θ = d θ i =1 θ θ 2θ 2 i =1θ = 1∑n 2i =11 2所以，θ 的最大似然估计量为θn = ∑ X ii =1（III ）依题意，问θ? 是否为θ 的一致估计量.1 2 2E (θn ) = E ( ∑ X i i =1) = E ( X ) = θD (θ? ) = 1 D ( X 2 ) = 1[E ( X 4 ) - E 2 ( X 2 )]nE ( X 4) = ?+∞ x 4 f (x ;θ )dx = ?+∞x 4 2x e - x 2 θdx -∞0 θ= - x 4de- x 2θ= -[x 4ex 2 +∞+∞ - x 2e θ 04x 3dx ]= 4?x 3e - x2θdx= -2θ+∞x 2de- x 2 θ= -2θ[x 2ex 2 +∞ 0+∞ -e θ 02xdx ]+∞ i θ θn- ?- ?[ 0 解得 -+∞-= 4θ ? -x 2xe θdx= -2θ2 ?- x 2xeθd (- ) 0θ= 2θ 2∴ ? 1 2 2 θ 2D (θn ) = n [2θ -θ ] =nlim D (θ? ) = 0 ∴θ? 为θ 的一致估计量∴a = θn →∞nn+∞ +∞ 2。
