三角形的中位线与多边形(讲义及答案).

第10讲 中位线1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律. 知识点01 三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.【微点拨】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【即学即练1】如图，已知P 、R 分别是长方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点，点P 在BC 上从B 向C 移动，点R 不动，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐变小C ．线段EF 的长不变D ．无法确定【即学即练2】在△ABC 中，中线BE 、CF 交于点O ，M 、N 分别是BO 、CO 中点，则四边形MNEF 是什么特殊四边形？并说明理由．目标导航知识精讲【即学即练3】如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【即学即练4】如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求MD的长．【即学即练5】如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【即学即练6】如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．能力拓展考法01 三角形中位线1.（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．2.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1考法02 四边形中点如图，已知口ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE．分层提分题组A 基础过关练1.已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm2. 如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．403. 在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12题组B 能力提升练7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ； ②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.题组C 培优拔尖练13.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点．求证：MN和PQ互相平分．14.已知：在△ABC中，BC＞AC，动点D绕△ABC的顶点A逆时针旋转，且AD＝BC，连接DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．（1）如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；（2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF与∠BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．。

三角形中位线讲义【知识梳理】操作1：把一个等边三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别连接（图1）；操作2：把一个任意三角形剪成四个全等的三角形——取三边中点，并分别连接（图2）；操作3：把一个任意三角形剪拼成一个平等四边形——剪一个三角形，记为△ABC；分别取AB、AC的中点D、E，连接DE；沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE续点E旋转180°，得四边形BCFD（图3）。

1、概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线2、三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

练习：（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是__平行四边形（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______.（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______.（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______.（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______.【例题精讲】例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA、的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？操作1：请任画一个四边形，顺次连接四边形各边的中点。

问题1：猜想探索得到的四边形的形状，并说明理由。

问题2：由E、F分别是中点，你能联想到什么？你应该如何做？变式：（1）依次连接矩形4边中点所得的四边形是怎样的图形?为什么？（2）如果将矩形改成菱形，结果怎样？巩固：1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对3．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm，则原三角形的周长为cm 4．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长.5．已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足是E、F是BC的中点，试说明BD=2EF。

三角形中位线如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC.2. 如陶 四边形ABCD 中，AD=BC.人£、G 分别是AB. CD 、AC 的中点，若ZD4C=2gZ4CB=6O^ 则ZFEG= __________ ・3. 已知△ABC 的周长为1,连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（〉4.如图所示，已知四边形ABCD. R. P 分別是DC, BC 上的点，E, F 分别是AP 、RP 的中点,当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）如图9,在△ABC 中，AB=AC,延长AB 到D 使BD=AB. £为加？中点，连接C£、CD 求证：CD=2EC ・如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD 二CA, CF 平分ZACB. 如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E, F 分别是AD. BC 的中点，求证：MX 〃BC ・已知：如图，四边形ABCD 中，E. F 、G 、H 分别是AB 、BC. CD 、DA 的中点.求证：四边 BD 的中点，则EF 与AB+CD 的关系是A.2EF = AB + CD 2EF > AB + CDC 2EF<AB + CD D ・不确圧A. -----B. --------- 20082009C. ____2咖 D. _____ A. 线段EF 的长逐渐增大 B.线段EF 的长逐渐减少C. 线段EF 的长不变D.线段EF 的长不能确窪5. AE=EB.求证J EF=—BD ・27.2形EFGH 是平行四边形.9.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点0, F 、G 分别是0B 、0C 的中点.求证：四边形DEFG 是平行四边形.6已知如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE 分别交BC.BD 于点F 、G,连结AC 交BD 于0,连结0F ・求证：AB=20F.如图，ABCD 的对角线AC. BD 交于点0,且E 、F 、G 、H 分别是A0, B0, CO, DO 的中 点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.己知：如图，E 、F 、G 、H 分別是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：四边形EFGH 是平行四边形.9 如图，在UABCD 中，EF 〃AB 交BC 于E,交AD 于F,连结AE 、BF 交于点M,连结CF 、DE 交于点N.求证J (1)MX 〃AD ： (2) MX=1AD.D3 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ・E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长，分 别与BA 、CD 的延长线相交于M 、No 求证：ZBME=ZCNEJ 在四边形ABCD 中，ACBD 相交于0点，AOBD.E 、F 分別是AB 、CD 的中点，连接EF 分別交AC 、BD 于M 、N,判断三角形MON 的形状，并说明理由。

专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。

第17讲三角形与多边形（原卷版）第一部分知识点知识点1 三角形的三边关系1．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm知识点2 三角形的重要线段2．（2023秋•崆峒区期末）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（）A．3B．6C．9D．123．（2023秋•长丰县期末）下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．4．（2023秋•东莞市期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．55．（2023•梁山县二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．∠ACE=12∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥BE知识点3 三角形的中位线6．（2023秋•南安市期末）如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长是（）A．3B．4C．5D．6知识点4 三角形的内角和定理7．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是三角形．知识点5 三角形的外角的性质8．（2023秋•上城区期末）将一副三角板按照如图方式摆放，点C、B、E共线，∠FEB＝63°，则∠EDB 的度数为（）A．12°B．15°C．18°D．22°9．（2023秋•孝义市期末）若一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的每个内角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°知识点6 多边形的内角和与外角和10．（2024•宜昌模拟）正多边形的一个外角的度数为30°，则这个正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．611．（2023秋•昆明期末）若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．1012．（2023春•宿城区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．知识点7 直角三角形的性质13．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝．14．（2023•蒙城期中）如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（）A．30°B．45°C．56°D．60°第二部分命题点举一反三命题点1 三角形的三边关系【典例1】（2023秋•北京期末）现有四根木条，长度分别为2cm，3cm，4cm，6cm．选用其中的三根木条首尾相接，组成一个三角形，一共有几种不同的组法（）A．1种B．2种C．3种D．4种【举一反三】1．（2023秋•防城区期末）一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边的长可能是（）A．5B．4C．3D．112．（2023秋•南昌期末）如果一个三角形的两边长分别为4和6，第三边长为偶数，那么这个三角形的周长最大值是（）A．12B．14C．16D．18命题点2 三角形中的重要线段【典例2】（2023秋•枣阳市期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，（1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF=12S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是（只填序号）．（2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．【举一反三】1．（2023秋•崇左期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．2．（2023春•松北区期末）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为．命题点3 三角形的内角和与外角【典例3】（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数．【举一反三】1．（2023秋•罗山县期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．2．（2023秋•桂平市期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（）A．90°B．100°C．105°D．110°3．（2023秋•汝州市期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD 的平分线，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC ＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2，正确的是．（把所有正确的结论的序号写在横线上）命题点4 多边形的内角和与外角和【典例4】（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（）A．45°B．60°C．110°D．135°【举一反三】1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°2．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为800°．3．（2023•长春）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'的大小为45度．4．（2023秋•芜湖期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线与外角∠DCE的平分线交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：①若∠A+∠D＝200°，则∠P=10°=200°2−90°；②若∠A+∠D＝220°，则∠P=20°=220°2−90°；③若∠A+∠D＝240°，则∠P=30°=240°2−90°．（1）根据上述规律，若∠A+∠D＝260°．则∠P＝．（2）猜想：∠P，∠A，∠D的数量关系，并证明．第三部分自我反馈分层训练A组1．（2023秋•天津期中）△ABC的三角之比是1：2：3，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定2．（2023秋•越秀区期中）如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．53．（2022秋•楚雄州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，D是BC上一点，连接AD，若∠DAC＝60°，AC＝4，则BD的长为（）A．8B．10C．12D．164．（2023秋•河东区月考）如图，线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．以上都不对5．（2023秋•安庆期末）下列图形中，具有稳定性的是（）A．B．C．D．6．（2023秋•涵江区期中）一个三角形的两边长分别为4和9，则第三边的长可能是（）A．5B．4C．3D．117．（2023秋•泰山区期末）在△ABC中，∠A＝∠B＝4∠C，则∠A等于°．8．（2023•碑林期末）如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E．如果∠A＝54°，则∠1+∠2＝°．9．（2022秋•来宾期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线交于点D，BD的延长线交AC于点E，则∠ADE＝．10．（2023秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E，F分别为AC，BC的中点．AB＝10，BC＝8，DE＝4.6，则△DEF的周长是．11．（2023秋•德惠市期末）一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．12．（2023秋•保定期中）若从n边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则n的值是，13．（2023春•辽阳期末）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是．14．（2023秋•北安市期中）在多边形中各内角度数如图所示，则其中x的值为．15．（2023春•新邵县期末）若正n边形的每个内角的度数为140°．则n的值是．B组1．（2023秋•防城区期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：．2．（2023春•铁岭期末）如图，△ABC中，∠A+∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则AB的长度为．3．（2023秋•临河区期中）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为．4．（2023秋•普洱期末）已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC=16cm2，则阴影部分的面积为cm2．5．（2023秋•碑林区期末）在平面直角坐标系中，A（6，a），B（1，3a+2），C（1，b），且3a﹣b＝10，则△ABC的面积为．6．（2023秋•西华县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝12cm，AC＝13cm．若BD是AC边上的高，则BD的长为cm．7．（2023秋•海陵区期末）如图，点D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点E，易得AD：DE＝2：1，过点D作DF∥AB，DG∥BC分别交BC、AC于点F、G，则△DEF与△ADG面积的比值为．8．（2023秋•江州区期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a﹣1|+（b﹣6）2＝0，c为整数，则c＝．9．（2023春•美兰区期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC 沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为．10．（2022秋•林甸县期末）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2023＝°．11．（2023•桑植县模拟）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，则∠DBC＝°．12．（2023秋•青岛期末）如图，在△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G，若∠A＝40°，则∠G的度数为．13．（2023秋•微山县期中）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为．14．（2023春•秦安县期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是度．15．（2023•东莞市一模）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是边形．16．（2023秋•汝州市期末）在图①中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC＝∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题．（1）在图①中，若∠1＝20°，∠2＝30°，∠BEC＝100°，则∠BDC＝；（2）在图①中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系，并说明理由；（3）如图②，若∠1=13∠ABD，∠2=13∠ACD，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC三个角之间的关系为（直接写出结果即可）．17．（2023秋•莲湖区期末）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且BO，CO交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E．记∠BAC＝∠1，∠E＝∠2，已知∠2＝25°．求∠1与∠BOC的度数．18．（2023秋•平城区月考）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，∠MON＝90°，点A，B 分别在OM，ON上运动（不与点O重合）．探究与发现：若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D．（1）①若∠BAO＝70°，则∠D＝°；②猜想：∠D的度数是否随A，B的运动而发生变化？并说明理由；（2）拓展延伸：如图2，若∠ABC=13∠ABN，∠BAD=13∠BAO，求∠D的度数．（3）在图1的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图3），∠D＝（用含α的代数式表示）。

第十三讲中位线与多边形内角和【知识点】1、中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形形中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

3、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连接的封闭图形4、对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段。

5、正多边形：在平面内各内角都相等、各边也都相等的多边形。

6、多边形内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°，其中n ≥3，且n 为正整数。

7、多边形外角和定理：多边形外角和都等于360°【典型例题】例1、我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH ．（1）这个中点四边形EFGH 的形状是 ；（2）请证明你的结论．例2．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AC 的三等分点。

求证：GE BG 3=。

BD C例3、看图回答问题：（1）内角和为2013°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？【小试牛刀】一．选择题1．如图1，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3cm ，则AB 的长为 （ ）A ． 12cmB ． 9cmC ． 6cmD ． 3cm2．已知四边形ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则线段EF 长的取值范围是 （ ）A ． 2＜EF ＜14B ． 1＜EF ＜7C ． 6＜EF ＜7D ． 2＜EF ＜63．如图3，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）4．在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图4所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）A ． 9.5B ． 10.5C ． 11D ． 15.55．如图5，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，且BN ⊥AN ，垂足为N ，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC 的周长是 （ ）A ． 28B ． 32C ． 18D ． 25A ．B ．C ． 3D ． 46．如图6，在△ABC 中，M 为BC 中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN 于N ，且AB=10，AC=16，则MN 等于 （ ）7．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 是边BC 的中点，AB=4，则OE 的长是 （ ）A ． 2B ．C ． 1D ．8．如图8，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是 （ ）A ．B C=2BE B ． ∠A=∠EDAC ． B C=2AD D ． B D ⊥AC9．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 （ ）A ． 四边形B ． 五边形C ． 六边形D ． 八边形10．如图10，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为 （ ）A ． 13B ． 14C ． 15D ． 1611．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 （） A ． 5 B ． 5或6 C ． 5或7 D ． 5或6或712．如图12，小林从P 点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P ，则α= （） A ． 30° B ． 40° C ． 80° D ． 不存在13．小明在加一多边形的角的和时，不小心把一个角多加了一次，结果为1500°，则小明多加的那个角的大小为 （） A ． 60° B ． 80° C ． 100° D ． 120°14．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（） A ． 10 B ． 11 C ． 12 D ． 10或11或1215．如图15，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的对角线条数为 （） A ． 77 B ． 90 C ． 65 D ． 104A ． 2B ． 2.5C ． 3D ． 3.516．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 （ ）A ． 14米B ． 15米C ． 16米D ． 17米17．如图17，∠1、∠2、∠3、∠4 是五边形ABCDE 的4个外角，若∠EAB=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于 （ ）A ． 540°B ． 360°C ． 300°D ． 240°18．如图18，已知△ABC 中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B ，则∠1+∠2等于 （ ） A ． 130° B ． 230° C ． 270° D ．310° 19．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是 （ ）A ． 15或17B ． 16或15C ． 15D ． 16或15或1720．如图20，在△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，若∠A=50°，则∠BPC 等于 （ ） A ． 90° B ． 130° C ． 270° D ．315° 二．填空题（共8小题）21．如图21，已知△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为 ．22．如图22，在△ABC 中，M 是BC 边的中点，AP 平分∠A ，BP ⊥AP 于点P 、若AB=12，AC=22，则MP 的长为 ．23．已知：如图23，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，CA=CD ，CF 平分∠ACB ，交AD 于点F ，点E 为AB 的中点．若EF=2，则BD= ．24．一个同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，则这个内角是 度．25．如图，正方形ABCD 的周长为64，分别取各边中点得到正方形A 1B 1C 1D 1，再分别取正方形A 1B 1C 1D 1各边中点得到正方形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律进行下去，那么正方形A 4B 4C 4D 4的边长为 ．26．如图26所示，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，K、L、M、N分别为四边形各边的中点，如果AC=10，BD=8，求四边形KLMN的面积为．27．如图27，△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，现在分别取三边的中点E、F、G，顺次连接E、F、G，则△EFG的面积为．28．如图28，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为°．三．解答题（共2小题）29．看图回答问题：（1）内角和为2005°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和？（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？30．如图，小明从点O出发，前进5m后向右转15°，再前进5m后又向右转15°，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．（1）小明一共走了多少米？（2）这个多边形的内角和是多少度？31．一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750°，求这个多边形的边数及去掉的角的度数．图26 图27 图2832．探究多边形内角和时，我们常把多边形转化成三角形，再根据三角形内角为180°得出多边形内角和．如下图是探究多边形内角和一种方法，请根据图示，完成填空：（1）四边形内角和：4×180°﹣2×180°=360°；（2）五边形内角和：5×180°﹣2×180°=；（3）六边形内角和：6×180°﹣2×180°=；（4）n边形内角和：=．33．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．34．如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC．（1）求∠EDB的度数；（2）求DE的长．。

三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。

相似三角形（三）◆三角形、梯形中位线1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

例1 △ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G 。

求证： 31==ADGD CEGE小结：在右图，取AC 的中点F ，取BC 的中点D,假设BF 与AD 交于G ′，那么同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的。

于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。

例2中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，试判断线段GH 与DC 的关系。

例3．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AB 的三等分点。

求证：GE BG 3=。

A BDCFE BDC例4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，EF 为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。

求梯形的周长和面积。

【练习】：1．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．3．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．4．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ，若AD=6，BC=10，求GH 的长。

初二下培优辅导资料6三角形的中位线、多边形内（外）角和一、知识要点：1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____叫做三角形的中位线．(2)三角形的中位线定理：三角形的中位线________第三边，并且等于______________________．例1 、已知点D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE中DG=DE，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）例2．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．例3．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．例4：如图，已知：在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

同步练习：1．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，BC=8，则DE=_______．2．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OE ∥BC 交CD 于E ，若OE=3cm ，则AD的长为（ ）．A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm3．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_______cm ． 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______．5. 已知△ABC 周长为16，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 的周长等于 ( ) A .1 B. 2 C. 4 D. 86.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，P 是BC 上任意一点，那么△PDE 面积是△ABC'面积的 ( ) A .12 B. 13 C. 14D. 187. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 的中点，则EF 与AB+CD 的关系是 ( )A .2EF AB CD =+ B. 2EF AB CD >+ C. 2EF AB CD <+ D. 不确定8. 四边形ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若∠DAC=200，∠ACB=600，则∠FEG= .7题图8题图 9题图 10题图 FE DC BA 1题图 2题图9. 如图，△ABC 的周长为1，连接△ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形的周长为 .10.如上右图所示，已知E ，F ，G ，H 是四边形ABCD 各边的中点，•则S 四边形EFGH ：S 四边形ABCD 的值是_________．11．如图所示，在ABCD 中，EF ∥AB 且交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，BF•交于点M ，连接CF ，DE 交于点N ，求证：MN ∥AD 且MN=12AD ．12．如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD•于E ，EF ∥BC交AC 于F ，那么AE 与CF 相等吗？请验证你的结论．13.如图所示，在△ABC 中，AC=6cm ，BC=8cm ，AB=10cm ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，求△DEF 的面积．14．如图，四边形A BCD 中，AB=CD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、NM 、CD 分别交于点E 、F 。

专题6.3-4三角形中位线与多边形角度计算典例体系（本专题共38题18页）一、知识点1、三角形中位线：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线。

三角形中位线定理: 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

2、n 边形的内角和=()2180-⨯n；3、n 边形的外角和= 360。

4、一个n 边形的对角线有()23-n n 条，过n 边形一个顶点能作出()3-n 条对角线，把n 边形分成了()2-n 个三角形。

二、考点点拨与训练考点1：三角形中位线的性质和应用典例：（2021·河南洛阳市·九年级期末）如图，在ABC 中，12cm AB =，8cm AC ，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG AD ⊥于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，求线段EF 的长．【答案】2cm【详解】解：在AGF 和ACF 中，GAF CAF AF AFAFG AFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴AGF ACF ≌， ∴8AG AC ==， ∴GF CF =，则1284BG AB AG =-=-=（cm ）． 又∵BE CE =，∴EF 是BCG 的中位线， ∴12cm 2EF BG ==． 答：EF 的长为2cm ． 方法或规律点拨本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF=CF 是关键． 巩固练习1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】C 【详解】 ∵AD AC =，∴△ACD 为等腰三角形， ∵AE CD ⊥，∴E 为CD 的中点，（三线合一） 又∵点F 是BC 的中点， ∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152EF BD ==， 故选：C ．2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，M 是ABC 的边BC 的中点AN 平分BAC ∠．且BN AN ⊥，垂足为N 且6AB =，10BC =．2MN =，则ABC 的周长是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．28【答案】C 【详解】解：延长BN 交AC 于D ， ∵AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，∴AD=AB=6，BN=ND ，又M 是△ABC 的边BC 的中点， ∴DC=2MN=4， ∴AC=AD+DC=10，则△ABC 的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26， 故选C ．3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别为BC 、CD 上的点，E 、F 分别为AP 、RP 的中点．当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长不变C ．线段EF 的长逐渐减小D ．线段EF 的长与点P 的位置有关【答案】B 【详解】解：因为AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF 平行与AR ，且等于AR 的一半．所以当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变． 故选：B ．4．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．【答案】30 【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点， ∴DE 是ΔABC 的中位线， ∴ DE=12AC ， ∵ DE=2.5 ， ∴ AC=5 ，∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C △ABC =AB+BC+AC=13+12+5=30． 故答案为：30.5．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，已知点F 、G 、H 分别是DE 、BE 、BC 的中点，连接FG 、GH 、FH ，若BD =8，CE =6，∠FGH =90°，则FH 长为____．【答案】5【详解】F ，G 分别是DE ，BE 的中点，∴142GF BD ==， ∵G ，H 分别是BE ，BC 的中点， ∴132GH CE ==， ∵∠FGH =90°， ∴由勾股定理得，5FH ===，故答案为：5．6．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．【答案】112 【详解】解：如图∵点 M ，N ，P 分别是 DE ，BC ，CD 的中点 ∴MP 是ΔDEC 的中位线， ∴MP=12EC ， NP 是ΔDBC 的中位线∴NP=12 BD，又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘7．（2021·易门县龙泉中学九年级期末）已知，如图，CD是Rt△FBE的中位线，A是EB延长线上一点，且AB=12 BE．（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）3cm【详解】解：（1）证明：∵CD是Rt△FBE的中位线，∴CD∥BE，CD=12 BE，∴AB=12 BE，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3cm，∵CD是Rt△FBE的中位线，∴BC=CE=12 EF，∵∠E=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=3cm．8．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在ABC中，,AB AC=，D为CA延长线上一点，DE BC⊥于点E，交AB于点F．（1）求证：ADF 是等腰三角形；（2）若5AF BF ==，2BE =，求线段DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE = 【详解】解：（1）∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， ∵DE ⊥BC ，∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°， ∴∠D=∠BFE ， 又∵∠BFE=∠AFD ， ∴∠D=∠AFD ，∴AD=AF ，即△ADF 为等腰三角形； （2）过A 作AH ⊥BC ，∵5AF BF ==，DE ⊥BC ， ∴EF//AH ，∴EF 是△BAH 的中位线， ∵BE=2， ∴EH=2， ∵AB=AC ，∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，∵DA=AF=5，AC=AB=10，∴DC=AD+AC=15，∴DE==．9．（2021·上海九年级专题练习）已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，联结AM、CN．（1）求证：AM∥CN；（2）过点B作BH AM⊥，垂足为H，联结CH．求证：△BCH是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB CD=．∵点M、N分别是边CD、AB的中点，∴12CM CD=，1AN AB2=．∴CM AN=．又∵AB∥CD，∴四边形ANCM是平行四边形∴AM∥CN．（2）设BH与CN交于点E，∵AM∥CN，BH⊥AM，∴BH⊥CN，∵N是AB的中点，∴EN是△BAH的中位线，∴BE=EH ，∴CN 是BH 的垂直平分线， ∴CH=CB ，∴△BCH 是等腰三角形．10．（2021·河南驻马店市·九年级期末）如图1，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD=AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；【答案】（1）PM PN =；PM PN ⊥；（2）PMN 是等腰直角三角形，见解析 【详解】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN ∥BD ，PN ＝12BD ， ∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM ＝12CE ， ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∴BD ＝CE ， ∴PM ＝PN ， ∵PN ∥BD ， ∴∠DPN ＝∠ADC ， ∵PM ∥CE ， ∴∠DPM ＝∠DCA ， ∵∠BAC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ACD ＝90°，∴∠MPN ＝∠DPM ＋∠DPN ＝∠DCA ＋∠ADC ＝90°， ∴PM ⊥PN ，故答案为：PM ＝PN ，PM ⊥PN ；()2PMN 是等腰直角三角形，理由如下：由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC AD AE ==，， ABD ∴≌()ACE SAS ，ABD ACE BD CE ∴∠=∠=，，利用三角形的中位线得，1122PN BD PM CE ==，， PM PN ∴=，PMN ∴△是等腰三角形，同()1的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同()1的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠， MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠， 90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴△是等腰直角三角形．考点2：与多边形内角有关的计算典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形ABCDE 中，280A B E EDC BCD ︒∠+∠+∠=∠∠，、的平分线DP CP 、相交于P 点，则P ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒【答案】C【解析】∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，∴∠BCD+∠CDE=540°一280°=260°，∵∠BCD ，∠CDE 的平分线在五边形内相交于点O ，∴∠PDC+∠PCD=12(∠CDE+∠BCD)=130°， ∴∠P=180°-130°=50°，故选：C ．方法或规律点拨本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．巩固练习1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n －2）180°=720°．解得n=6.故选C.2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是540︒，则这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形【答案】B【解析】根据多边形内角和定理，n 边形的内角和公式为()n 2180-︒，因此，由()n 2180540︒-=︒得n=5．故选B ． 3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】设多边形原有边数为x ，则(2x−2)×180=2160，2x−2=12，解得x=7，故本题选C.4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】 ∵一个多边形的每个内角都等于135°，∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，∵多边形的外角和为360度，∴这个多边形的边数为：360÷45=8，故选D.5．（2020·北京初三二模）如图，四边形ABCD 中，过点A 的直线l 将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为α和β，则αβ+的度数是（ ）A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒【答案】B【解析】 直线l 将四边形ABCD 分成两部分，左边为四边形，其内角和为α=360°，右边为三角形，其内角和为β=180°，因此360180540αβ︒︒︒+=+=故选：B ．6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )A ．580°B ．1240°C ．1080°D ．2010°【答案】C【解析】解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被180°整除．580÷180=3...40，1240÷180=6...160，1080÷180=6，2010÷180=11...30，只有1080°能被180°整除．故选：C ．7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是( ) A．四边形B．六边形C．八边形D．十边形【答案】B【解析】解：外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．故选：B．8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．【答案】8【解析】设该正多边形的边数为n由题意得：(2)180?nn-⨯=135°解得：n=8故答案为8.考点3：与多边形外角有关的计算典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是13：2，求这个多边形的边数．【答案】15.【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：13(2)1803602n-︒=⨯︒，解得15n=，∴这个多边形的边数为15．方法或规律点拨考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．巩固练习1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是（）A．八B．九C．十D．十一【答案】B【解析】根据题意，得：（n-2）•180°=3×360°+180°，解得：n=9，则这个多边形的边数是9．故选B．2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（）A．增加180°B．不变C．增加360°D．减少180°【答案】B【解析】根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360º，与边数多少无关，故选B.3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( )A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形【答案】A【解析】这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．故选A．4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】B【解析】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°，解得：n=4．故选：B．5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°【答案】B【解析】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，所以正十边形的外角和等于360°，．故选：B．6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540° B．720° C．900° D．1080°【答案】D【解析】∵正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8∴这个正多边形是正八边形∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.故答案选：D.7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．【答案】5【解析】解：设这个多边形的边数为n，依题意得：（n−2）180°＝32×360°，解得：n＝5．故这个多边形的边数为5．故答案为：5．8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】A【解析】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，故答案为A.考点4：多边形对角线问题典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的14，求：（1）这个多边形的边数；（2）这个多边形共有多少条对角线．【答案】（1）边数为10；（2）35条【解析】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：180(n-2)×14=360，解得：n=10，答：这个多边形的边数为10；（2）10×(10-3)÷2=35（条）．方法或规律点拨本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对角线的条数公式．巩固练习1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【答案】B【解析】n边形对角线条数为(3)2n n∴A. 四边形有2条对角线，故错误；B. 五边形有5条对角线，正确；C. 六边形有9条对角线，故错误；D. 七边形有14条对角线，故错误；故选B.2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】D【解析】如图，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为8.故选：D．3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是()A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】 如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D ．4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条A ．9条B ．10条C ．11条D ．12条【答案】A【解析】解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是()1239-=条．故选：A ．5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（ ） A ．360°B ．540°C ．720°D ．1080° 【答案】C【解析】从一个顶点出发的对角线共有3条 ∴这个多边形是一个六边形则这个多边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒故选：C ．6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A ．6B ．5C ．8D ．7【答案】B【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5个三角形．故选B ．7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（ ）A．104条B．90条C．77条D．65条【答案】C【解析】解：22100180113÷=，则正多边形的边数是11+2+1=14．∴这个多边形的对角线共有()()314143==7722n n--条．故选：C．。

鲁教版数学八年级上册5.3《三角形的中位线》说课稿2一. 教材分析鲁教版数学八年级上册 5.3《三角形的中位线》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了三角形的性质、角的度量、线段的性质等基础知识。

本节课通过介绍三角形的中位线，使学生掌握三角形中位线的基本性质，进一步理解和掌握三角形的内在联系。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何基础，对图形的性质和概念有了一定的认识。

但他们在学习过程中，可能对三角形的中位线与高线、中线等概念混淆，因此在教学过程中，需要引导学生明确这些概念的区别和联系。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能熟练掌握三角形的中位线的定义、性质和应用。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的定义、性质和应用。

2.教学难点：三角形中位线与高线、中线的区别和联系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、几何画板、实物模型等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本性质，引出三角形的中位线。

2.自主学习：学生通过阅读教材，了解三角形的中位线的定义和性质。

3.合作交流：学生分组讨论，分析三角形中位线与高线、中线的区别和联系。

4.教师讲解：针对学生的讨论结果，进行讲解和总结。

5.练习巩固：学生独立完成课后练习，巩固所学知识。

6.拓展延伸：引导学生思考三角形中位线在实际问题中的应用。

七. 说板书设计板书设计如下：三角形的中位线1.定义：连接一个三角形两个中点的线段。

a)中位线平行于第三边；b)中位线等于第三边的一半；c)中位线将三角形分成两个面积相等的三角形。

d)求三角形的面积；e)证明线段平行或等长。

八. 说教学评价1.课堂参与度：观察学生在课堂上的发言、提问、合作等情况，评价学生的参与度。

专题11三角形中位线及多边形重难突破知识点一三角形中位线1、三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.注意：（1）三角形的中位线是线段，不会射线，也不是直线；（2）一个三角形的中位线共有三条，并且这三条中位线把原三角形分成全等的四个小三角新，这些三角形的周长是原三角形周长的一半.（3）中位线与中线不同，中位线是连接两个中点，中线是连接一个中点和一个顶点；（4）三角形中位线定理的特点：一个条件两个结论。

一个结论是中位线与第三边的位置关系（平行），另一个结论是中位线与第三边的数量关系（一半），可根据具体情况，按需要选用。

2、用法证明一线段是另一线段的2倍的常用方法：①利用含30°角的直角三角形；②利用平行四边形的对角线；③利用三角形中位线定理。

（2020春•锦江区校级期中）如图，在ABC∆中，D是AB上一点，AD AC=，AE CD⊥，垂足为点E，F是BC 的中点，若10BD=，则EF的长为()A．8B．10C．5D．4典例2（2020春•龙泉驿区期末）如图，Rt ABC∆中，90BAC∠=︒，点D，E分别是边AB，BC的中点，AD与CE交于点F，则DEF∆与ACF∆的面积之比是()A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4知识点二多边形的内角和与外角和1．多边形内角和公式：n边形的内角和是()()21803n n︒-⋅≥．注意：（1）n边形的内角和与边数有关，边数增加一条，内角和增加180°；（2）利用公式，已知n边形的边数可求内角和，同样已知内角和也可求边数；（3）正n边形的每个内角都相等，都等于()2180nn︒-⋅．2．多边形外角及外角和：（1）多边形的一边与它的邻边的延长线所组成的角叫作多边形的外角；（2）在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和；（3）多边形的外角和等于360︒．注意：（1）正n边形的外角和与边数无关，总等于360°；（2）正n边形的每个外角都相等，都等于360n︒．（2021春•龙泉驿区期中）若一个正多边形的一个内角为144︒，则这个图形为正()边形．A．七B．八C．九D．十典例2（2021春•金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是45︒，则该正多边形的内角和为()A．720︒B．540︒C．1080︒D．900︒典例3（2019秋•五常市期末）若过多边形的每一个顶点只有6条对角线，则这个多边形是()A．六边形B．八边形C．九边形D．十边形巩固训练一、单选题（共6小题）1．（2020•双流区模拟）如图，D，E分别是ABC∆的边AB，AC上的中点，若5DE=，则(BC=)A．6B．8C．10D．122．（2020春•温江区校级期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是()A．六边形B．八边形C．十边形D．十二边形3．（2020春•温江区期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的内角和为()A．540︒B．720︒C．900︒D．1260︒4．（2020秋•临沭县期中）已知正多边形的一个外角等于40︒，则这个正多边形的内角和的度数为() A．1440︒B．1260︒C．1080︒D．900︒5．（2021春•深圳期末）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使12CF BC=，若10AB=，则EF的长是()A．5B．4C．3D．26．（2021春•莆田期末）如图，在ABC ∆中，BD 、CE 是角平分线，AM BD ⊥于点M ，AN CE ⊥于点N ．ABC ∆的周长为30，12BC =．则MN 的长是()A ．15B ．9C ．6D ．3二、填空题（共5小题）7．（2020春•青白江区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，若DE 的长是3，则AC 的长为．8．（2020春•成都期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，已知65ADE ∠=︒，则CFE ∠的度数为．9．（2020春•金牛区期末）如图，DE 为ABC ∆的中位线，点F 在DE 上，且AFC ∠为直角，若2DF cm =．16BC cm =，则AC 的长为cm ．10．（2020•郫都区模拟）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，50OD cm=，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为．11．（2021•都江堰市模拟）如图，在正五边形ABCDE中，DF是边CD的延长线，连接BD，则BDF∠的度数是度．三、解答题（共2小题）12．（2021春•皇姑区校级月考）如图，点D，E分别是ABC∆的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作//CF BE，交DE的延长线于点F，若3EF=，求DE的长．13．（2020春•牡丹区期末）在ABC∆中，E是AC边上一点，线段BE垂直BAC∠的平分线于D点，点M为BC 边的中点，连接DM．（1）求证：12DM CE=；（2）若6AD=，8BD=，2DM=，求AC的长．。

专题15 三角形的中位线知识解读三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：（1）位置关系，三角形的中位线平行于第三边；（2）数量关系，三角形的中位线等于第三边长的一半。

位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系。

培优学案典例示范一、中位线反映了线段间的平行和数量关系1．如图4-15-1，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）图4-15-1A．2B．3C．52D．4【提示】由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定6理可知DE∥AB，所以∠BFD=∠ABF；又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF=∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF 的长，只需求BD的长即可．【技巧点评】当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题.本题是采用中位线来证明两直线平行．跟踪训练1．如图4-15-2，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．10D．11图4-15-2 2．如图4-15-3，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF．图4-15-3【提示】点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB=2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABFQ△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明.【解答】【技巧点评】由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理．跟踪训练2．如图4-15-4，平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM 相交于点Q．试说明PQ与MN互相平分．图4-15-4二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线例3如图4-15-5，已知M、N、P、Q分别是线段AB、BD、CD、AC的中点，四边形MNPQ是平行四边形吗？为什么？【提示】点P、点N分别是CD，BD的中点，很显然PN是△BCD的中位线，所以考虑连接BC，将△BCD补全，然后运用中位线定理解决问题．【解答】图4-15-5 【技巧点评】当一个图形中出现具有公共端点的两条线段的中点时，可考虑连接另外两个端点，构造三角形，使得中点连线段成为中位线．跟踪训练3．如图4-15-6，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】图4-15-6三、由一个中点构造中位线解决问题例4如图4-15-7，已知四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）图4-15-7A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．12＜MN52＜D．12＜MN52【提示】M，N虽然是AD，BC的中点，但MN却不是三角形的中位线，可考虑连接BD，取BD的中点G，线段GM和GN可以看成△ABD和△BCD的中位线，利用中位线可求得GM、GN的长分别为1和1.5.在△GMN中利用三角形两边之和大于第三边以及两边之差小于第三边可求得MN的范围．【技巧点评】当图形中出现中点的时候，就可能应用中位线知识解决问题，如果没有中位线，应考虑构造中位线解决问题．跟踪训练4．如图4-15-8所示．D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP＝AQ．【解答】图4-15-8拓展延伸例5 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图4-15-9①，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图4-15-9②，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．图4-15-9【提示】（1）延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠ECF=∠GFH=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.（2）通过证明△CEF≌△FGH得出．【解答】跟踪训练5.如图4-15-10，D 是△ABC 中AB 边上的中点，△ACE 和△BCF 分别是以AC ，BC 为斜边的等腰直角三角形，连接DE ，DF.求证：DE=DF.【解答】EABFCD图4-15-10竞赛链接例6（武汉竞赛试题）如图4-15-11，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE ，CF 相交于O ，AGLBE 于G ，AHLCF 于H. （1）求证：GH/∥BC；（2）若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH 的长度。

精锐教育学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 学科教师：季昌林 教学目标中位线教学内容一、知识点：1、三角形的中位线：⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 区别三角形的中位线与三角形的中线。

⑵三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．2、梯形的中位线：⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。

⑵梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

二、举例：例1：如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、、DA 的中点。

四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？例2：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形EFGH 是矩形吗？为什么？例3：已知：如图，AD 是△ABC 的中线，E 、G 分别是AB 、AC 的中点，GF ∥AD 交ED 的延长线于点F 。

FEDC BAHG FE o DC B A⑴猜想：EF 与AC 有怎样的关系？ ⑵试证明你的猜想。

例4：已知在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D ，M 为BC 的中点。

试说明DM=21AB例5：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，EF=18，AC ⊥AB ，∠B=60°，求梯形ABCD 的周长及面积。

例6、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 是梯形外一点，且AE=BE ，F 是CD 的中点。

试说明：EF ∥BC 。

例7：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是两条对角线BD 、AC 的中点，试说明：MN ∥BC 且MN ＝21(BC －AD)。

例8：已知：如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O ，点P 、Q 、R 分别为AO 、BO 、CD 的中点，且∠AOD ＝60°。