《三角形的中位线》导学案及练习题

学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________人教版初中数学八年级下册18.1.5三角形的中位线导学案一、学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线.难点：中位线定理的应用.二、学习过程：问题引入问题：A、B 两地被池塘隔开，如何测量A、B 两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？自主学习你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？【归纳】如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的_______.一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？合作探究探究：观察上图，你能发现△ABC 的中位线DE 与边BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与BC之间有什么数量关系？猜想：________________________________.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________定理证明如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 的中点.求证：DE∥BC，且DE=21BC.你还有其它证法吗？【归纳】三角形的中位线定理：__________________________________________________________________________________________.几何符号语言：∵_________________________，∴__________________________.学以致用问题：A、B 两地被池塘隔开，如何测量A、B 两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典例解析例1.如图，在△ABC 中，点M，N 分别是AB，AC 的中点，连接MN，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D.若BC＝4，求CD的长．【针对练习】如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M、N、P 分别是AD、BC、BD 的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．例2.如图，在△ABC 中，AB＝AC，E 为AB 的中点，在AB 的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例3.如图，D、E 是△ABC 边AB，AC 的中点，O 是△ABC 内一动点，F、G 是OB，OC 的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．例4.如图，E、F、G、H 分别为四边形ABCD 各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.【针对练习】如图，E、F、G、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例5.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点E，F 分别是BC，AC 的中点，延长BA 到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF 与DE 相交于点O.(1)求证：AF 与DE 互相平分；(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．达标检测1.如图，在△ABC 中，D、E 分别是边AB、AC 的中点，若BC=6，则DE 的长为()学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________A.2B.3C.4D.62.如图，在□ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，E 是BC 的中点，若OE=2cm,则CD 的长为()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm3.如图，已知四边形ABCD，R，P 分别是DC，BC 上的点，E，F 分别是AP，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是()A.线段EF 的长逐渐增长B.线段EF 的长逐渐减少C.线段EF 的长不变D.线段EF 的长不能确定4.如图，已知△ABC 的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2000个三角形的周长是()A .11998B .11999C .121998D .121999学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5.如图，D、E、F 分别是△ABC 各边的中点，且AB=11cm、BC=8cm、AC=6cm.则:DE=____cm，DF=____cm,EF=____cm,△DEF的周长是_____cm.6.如图，△ABC 中，D、E、F 分别是AB、BC、CA 的中点，AB=10cm，AC=6cm，则四边形ADEF的周长为_____cm.7.如图，□ABCD 的周长为36，对角线AC，BD 相交于点O,点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE的周长为_______.学习笔记记录区_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________8.如图，□ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD =12，求△DOE的周长．9.如图，等边△ABC 的边长是2，D、E 分别为AB、AC 的中点，延长BC 至点F，使CF=12BC，连接CD 和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．10.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN ⊥BN 于N 点，AN 平分∠BAC ，且AB =12，AC =16，求MN的长.。

23.4中位线【学习目标】1.了解三角形中位线的概念,掌握三角形中位线的性质.2.了解三角形重心的概念,掌握三角形重心的性质.3.会运用三角形中位线的性质和重心的性质解决相关的问题.【自学指导】请同学们认真阅读课本P77-P79,完成下列任务:（用时10分钟）1.学会证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边的一半.2.弄懂例1和例2的证明过程.3.尝试证明三角形重心的性质.【自学检测】1. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证:∠PMN=∠PNM.2. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,BE 是AC 边上的中线,两条中线交于点G ,若AG =6,则DG 的长为_________.3.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点.求证:四边形ADEF 是菱形.【当堂检测】1. 如图，在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 边的中点,若AD =6,则OE =_________.2. 如图,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,连结EF、FG、GH、EH.求证:四边形EFGH是平行四边形.【课堂小结】1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.2. 三角形的三条中线交于一点,这个交点叫做三角形的重心.重心与一边中点的连线的长是对应中线的三分之一.【课后作业】1. 如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,O是△ABC所在平面上的动点,连结OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连结点D、G、F、E.（1）当点O在△ABC内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;（2）若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?（直接写出答案,不需要说明理由）2. 如图所示,在△ABC 的外侧作正方形ABDE 和正方形ACGF ,K 、I 分别是正方形的中心,H 、J 分别为BC 、EF 的中点,猜想并证明四边形HIJK 的形状.温馨提示 天气转冷,注意保暖,预防感冒.C。

三角形的中位线定理练习题一、填空选择题:1．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm2、三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为_________3.三角形的三边长分别为12cm、16cm、20cm,则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为____ 和___.4.三角形一条中位线分三角形所成的新三角形与原三角形周长之和为60 cm ,则原三角形的周长为_______. 5．三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是6．已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（C ）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长不能确定7、在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=1cm，那么对角线BD=____cm．8、在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE的度数是____度．18°9．梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为( B )A.12cmB.5cmC.10cmD.20cm10．如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为( C ) A.4 B.7 C.10 D.14 11．已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5，腰AD的长为4，则这个等腰梯形的周长为. 18 12．在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是( ) 13．梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是cm. 12 cm14.梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于（B ）A．4 B．6 C．8 D．1015．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是. 216．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝cm2，那么梯形的面积是cm2.217．如图，EF 是△ABC 的中位线，BD 平分∠ABC 交EF 于D ，若DE ＝2，则EB ＝_____．2二、证明题：1．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．3．如图，已知四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并且点E 、F 、G 、H 有在同一条直线上．求证：EF 和GH 互相平分．4．如图，同底边BC 的△ABC 与△DBC 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、DB 、DC 的中点，求证：EH 与FG 互相平分。

【学习目标】1. 掌握三角形的中位线概念及定理。

2. 会利用三角形的中位线定理进行计算和证明。

【知识准备】线段的中点：_____ 三角形的中线：__________ 【自学提示】1. 自学课本第30页的内容，完成三角形的中位线概念。

三角形的中位线：______________________________自学课本第31页内容，猜想归纳并证明三角形的中位线定理。

证明：三角形的中位线定理：__________________ 【问题积累】你自学过程中遇到了哪些问题？ 【共同释疑】 1. 学习例1如图，点E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB,BC,CD,DA 的中点。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

2. 对应练习课本第32页挑战自我 【当堂测试】1. 三角形有----条中位线，把原三角形分成---个全等三角形，每个三角形的面积D是原三角形面积的________,周长是原三角形周长的________。

2. 顺次连接任意四边形各边的中点，所得到四边形的形状是_______； 顺次连接对角线互相平分的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____； 顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____； 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____。

3. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

〔选做题〕第二课时 勾股定理的逆定理【学习目标】1、探索并理解勾股定理的逆定理得出过程；2、会运用勾股定理的逆定理判断三边长度的三角形是不是直角三角形. 【知识准备】1、勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于.2、在直角三角形中，两直角边长分别是3和4，那么斜边长是.3、直角三角形其中两边的长分别为5㎝和3㎝，那么第三边的长是_________. 【自学提示】一、自学教材第56页-57页例1内容，完成以下题目： 〔一〕“实验与探究〞局部：1、长度为12单位的细绳首尾相接围成的△ABC 的 三边的长分别为：〔图上标出即可〕2、该△ABC 的长22b a +2c 〔填“=〞或“≠〞〕3、你用三角尺或量角器检验可知∠B90°，所以该△ABC 是三角形.4、图7-15中，最长为13单位的边所对角的度数为，所以该△也是.5、结合图7-16，利用勾股定理和SSS 可得出：勾股定理的逆定理： 如果两条直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是. 〔二〕勾股定理的逆定理的应用：1、判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是不是直角三角形: 〔1〕15=a ，8=b ，17=c ；〔2〕x 2，x 3，x 4.2、如果把一个直角三角形的三边同时扩大到原来的n 倍，得到的新三角形还是直角三角形吗？ 【问题积累】在学习中还存在哪些疑问？【共同释疑】(用多媒体出示)1、ABC Δ的三边分别a,b,ca=22n m -,b=2mn,c=22n m +(m>n,m,n 是正整数)，ABC Δ是直角三角形吗？说明理由.2、例2〔该四边形ABCD 的面积是多少？〕【当堂测试】1、如果三条线段长a ，b ，c 满足222b c a -=，其中最长的边为，最长的边所对角的度数为，该三角形是三角形.2、有6根细木棒，它们的长度分别是2,4,6,8,10,12，从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，那么这三根细木棒的长度分别是〔〕A 、2,4,8B 、4,8,10C 、6,8,10D 、8,10,123、三角形的三条边的长度分别是3，4，5，试判断该三角形是否是直角三角形.4、如下列图，点D 是ABC Δ上的一点，假设AB=10，AD=8， AC=17，BD=6，求BC 的长.。

课题：三角形中位线定理学习目标：1. 掌握三角形中位线及其性质，并能熟练进行证明或计算。

2、能运用综合法证明有关定理的结论一、自主学习 相关知识链接1、三角形的中线的定义2、一个三角形有______条中线 ·知识点一：三角形中位线 自学课本内容1、如图1，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段DE 叫做三角形ABC 的什么三角形中位线的定义：________________________________ 2、.三角形的中位线与三角形的中线有什么区别 】三角形的中位线是连结 的线段 三角形的中线是连结 的线段 一个三角形共有 条中位线，在图2上画画看。

二、合作探究（独学、对学、群学、展示、点评）1） ^ 2） 如图1，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，通过度量你发现DE 与 BC 有怎样的数量关系2）如图1，用量角器量一量∠ADE 与∠B 的度数，你发现DE 与BC 有怎样的位置关系你能不能用语言叙述你发现的性质：________________________________________ 3）能证明你的发现吗 已知：在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线 求证：]由此得到三角形中位线定理：______________________________________________________。

数学语言表示： 。

|三、当堂检测1、如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE=4，则BC=_______．2、如图2，已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是________3、如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，且S △DEF=3，则△ABC 的面积等于（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 "4、如图3，△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，若AB=10cm ，AC=•6cm ，•求四边形ADEF 的周长．图1 图2 图3A B C D》 E （2）。

浙教版数学八年级下册《4.5 三角形的中位线》教案1一. 教材分析《三角形的中位线》是浙教版数学八年级下册第四章第五节的内容。

本节主要让学生掌握三角形的中位线的性质，学会运用中位线解决一些几何问题。

教材通过生活实例引入中位线的概念，然后引导学生探究中位线的性质，最后给出中位线的判定条件。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平行四边形的性质，对图形的变换有一定的了解。

但他们对三角形的中位线可能还比较陌生，因此需要通过实例和探究活动来帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.了解三角形的中位线的定义，掌握三角形中位线的性质。

2.学会运用中位线解决一些简单的几何问题。

3.培养学生的观察、思考、动手能力，提高他们的几何素养。

四. 教学重难点1.三角形中位线的定义和性质。

2.运用中位线解决几何问题。

五. 教学方法1.实例引入：通过生活实例引入中位线的概念，让学生感受中位线在实际问题中的应用。

2.探究活动：引导学生通过小组合作、讨论、实验等方式，探究中位线的性质，培养学生的动手能力和思考能力。

3.讲解示范：教师在学生探究的基础上，进行讲解和示范，让学生进一步理解和掌握中位线的性质。

4.练习巩固：设计一些练习题，让学生运用中位线解决实际问题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含三角形中位线定义、性质、应用等方面的PPT。

2.练习题：准备一些有关三角形中位线的练习题，包括填空、选择、解答等题型。

3.教具：准备一些三角形模型，以便在课堂上进行演示。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例引入三角形的中位线概念，如在建筑设计中，如何利用中位线来确定建筑物的对称性。

让学生观察和思考，引发他们对中位线的兴趣。

2. 呈现（10分钟）呈现PPT，展示三角形的中位线性质。

通过动画演示和实物模型，让学生直观地了解中位线的性质。

同时，引导学生进行小组讨论，分享他们的观察和发现。

3. 操练（10分钟）让学生进行小组合作，利用教具进行实际操作，验证中位线的性质。

6.3 三角形的中位线1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14米，那么A，B间的距离是() A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE ＝60°，那么∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，那么DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.假设△ABC 的周长为10，那么△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD 的周长为16 cm，那么△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)假设DE＝10 cm，那么AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜测．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，那么∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，假设DE＝2，那么EB＝____．11．如图，△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2021个三角形的周长为________．12．如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，AB＝10，BC＝15，MN＝3.(1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长．14．如图，在▱ABCD中，AE＝BF，AF，BE相交于点G，CE，DF相交于点证：GH∥BC且GH＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点证：GF＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2202112. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND ＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC.第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质一．选择题〔共8小题〕1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，那么添加的条件不能为〔〕A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．实数x，y满足，那么以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是〔 〕A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，那么∠BDC的度数是〔 〕A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°5．等腰三角形的两边长分别是3和5，那么该三角形的周长是〔 〕A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136.如图，给出以下四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，；②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，；④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，． 其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有〔 〕A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部， 那么这个等腰三角形的底边长为〔 〕A． 7 B． 11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，那么顶角的度数为〔 〕A． 60° B． 120° C． 60°或150° D． 60°或120°二．填空题〔共10小题〕9．等腰三角形的一个内角为80°，那么另两个角的度数是 _________ ．10．如图，AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，那么∠ACD= _________ ．第10题 第11题 第12题 第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，那么∠B= _________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，那么∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，那么BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，那么∠BAC=_________ °．第14题 第15题 第16题 第17题 第18题15.如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB ，∠A=50°，∠B＝30°，那么∠D的度数为_____.16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，那么∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，那么∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP ，CP=CF，那么∠EPF=_________ 度．三．解答题〔共5小题〕19．：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：〔1〕△ABD≌△ACD；〔2〕BE=CE．21．如下图，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB 的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出以下四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．〔1〕上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？〔用序号写出所有的情形〕〔2〕选择〔1〕小题中的一种情形，说明AB=AC．23．〔1〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、A C于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？〔2〕如图，假设点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜测线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜测．参考答案一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、30°；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE〔AAS〕．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：〔1〕∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD〔SSS〕；…〔4分〕〔2〕由〔1〕知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE 〔SAS〕，∴BE=CE〔全等三角形的对应边相等〕．〔其他正确证法同样给分〕…〔4分〕21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD〔SAS〕．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、〔1〕答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．〔2〕解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：〔1〕成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．〔2〕∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。

23.4 中位线一、知识回顾：1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，证明：△ADE∽△ABC二、探索新知猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？1、三角形中位线定义：连接三角形的线段,叫做三角形的中位线思考：三角形的中位线有几条?理解三角形的中位线定义的两层含义:(1)如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的(2)如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。

2、三角形的中位线定理：三角形的中位线第三边并且等于它的。

几何语言：练一练:(1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____ 。

(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为15cm，△ABC的周长是____ 。

(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则△ABC的周长为，面积为。

三、例题赏析例1、已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．（1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。

（2）DF与AE有什么关系？变式1：已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形。

B F变式2：已知：等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形。

变式3：已知：矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是。

变式4：已知：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形。

三角形的中位线练习题三角形中位线定义： .符号语言：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点, 则：线段DE 是△ABC 的__ __，三不同点：①三角形中位线的两个端点都是三角形边的中点。

②三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形一个顶点。

相同点：都是一条线段，都有三条。

三角形中位线定理： .符号语言表述：∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE) ∴DE //21BC练习1．连结三角形___________的线段叫做三角形的中位线． 2．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______． 3．一个三角形的中位线有_________条． 4.如图△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则线段CD 是△ABC 的＿＿＿， 线段DE 是△ABC ＿＿＿＿＿＿＿5、如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点 （1）假如EF ＝4cm ，那么BC ＝＿＿cm 假如AB ＝10cm ，那么DF ＝＿＿＿cm （2）中线AD 与中位线EF 的关系是＿＿＿6．如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ，则EF=_______cm ．(1) (2) (3) (4)7．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_________cm ．8．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角边中点的线段长为_______． 9．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ，则原三角形的周长为（ ）E DBEDAA ．4.5cmB ．18cmC ．9cmD ．36cm10．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个方法：先在地上取一个可以直接到达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为（ ） A ．15m B ．25m C ．30m D ．20m11．已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成其次个三角形，•再连结其次个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、22009112．如图3所示，已知四边形ABCD ，R ，P 分别是DC ，BC 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A ．线段EF 的长渐渐增大 B ．线段EF 的长渐渐削减 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长不能确定13．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．4014．如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．15.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；16．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．BG A E FH D C 图5 17．如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．18．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．19.如图，点E ，F ，G ，H 分别是CD ，BC ，AB ，DA 的中点。

《三角形中位线定理》导学案学习目标：1、经历探索、猜想、证明三角形中位线定理的过程，进一步发展推理能力。

2、掌握三角形中位线定理并能运用解决一些实际问题。

3、体会证明过程中所用的归纳、概括、转化等数学思想。

体验合作学习乐趣、增强学习信心。

重难点：三角形中位线定理的证明及运用。

课前预习案[使用说明与学法指导]1． 用10分钟左右的时间，阅读课本基础知识，自主高效预习，提升阅读理解能力。

2． 用20分钟左右的时间完成课前预习案设置的问题并能正确描述三角形中位线定义及三角形中位线定理，最后完成预习自测。

一、自主探究 (一)知识链接：平行四边形的判定方法有哪些？（二）预习导读：1.你是用什么方法验证小明的做法的？2.△DEF 的三边是△ABC 的三条由此归纳总结出三角形中位线与第三边的关系： （ 即三角形中位线定理）化成几何语言：∵∴（三）预习自测：1．如图D 、E 分别是AB 、AC 中点． 若BC=12cm ，则DE= ；若DE=8cm ，则BC=2.已知三角形三边长分别为8cm ，10cm 和12cm ， 则以三边中点为顶点的三角形周长=3. 如右图.AC 与BD 互相平分，Ｅ、Ｆ分别是ＢＣ、ＣＤ的中点， 则ＯＥ是 的中位线；ＯＦ是 的中位线，ＥＦ是 的中位线。

思考：上图中，如果再加一条线，又能找到一条中位线，你准备怎么加？（四）我的疑惑：（请将课前预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与同学和老师探究解决。

）课内探究案探究点一：三角形中位线定理的证明方法。

教师结合学生的预习情况和学生一起回顾探讨三角形中位线定理的证明方法。

探究点二：四边形四边中点连线与原四边形的关系. 二、探索规律（一）探究一般四边形四边中点连线：已知：点E 、F 、G 、H 分别是不规则四边形ABCD 四边中点 试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论。

BB（二）．探究特殊四边形四边中点连线：依次连接菱形四边中点，能得到什么图形呢？依次连接矩形四边中点，能得到什么图形呢？展示交流：1．通过以上探索，得出四边形四边中点连线是否为特殊平行四边形，这主要与原四边形的哪个元素有关？2.能进一步升华你的结论么？三、巩固练习必做：1. 的四边形，四边中点连线是菱形？2. 的四边形，四边中点连线是矩形？3.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点求证：四边形FGEH是平行四边形选做：1.对角线相等又互相垂直的四边形四边中点连线是形.2.如右图，在三角形ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，AB=9cm，AC=8cm则四边形AFDE周长= cm.四、我的收获：（反思静悟、体验成功）五、自我检测：必做：1.△ABC三边中点组成的三角形周长为9cm，则△ABC的周长=2.顺次连接四边形ABCD四边中点得到矩形，则这个四边形ABCD可能是①菱形②矩形③等腰梯形④正方形⑤对角线垂直的任意四边形⑥对角线相等的任意四边形A．①③⑤ B.②④⑤ C. ②③⑥ D.①④⑤3. △ABC，E是AC上一点，AE=BC,G、F、H分别是BE、AB、EC边中点求证：FG=GH选做：如图，EF=FC,B点在AF上，ADBE是平行四边形求证：AF∥DC六、课外练习：必做：见伴你学同步巩固练习一，二，三选做：能力挑战1DC。

图24.4.2图24.4.2 6.4三角形的中位线学习目标：1.理解三角形中位线的概念与性质，并能应用三角形中位线定理进行相关的论证和计算；2. 在探索三角形中位线性质的过程中，经历观察、操作、猜想、验证的过程， 发展学生的创新能力. 教学重点：掌握和运用三角形中位线的性质 教学难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法） 教学过程：（1）创设情境，引入课题 通过设置问题，引出课题。

问题1：4.14青海玉树大地震牵动着全国人民的心.B 、C 两个地方被倒塌的楼房隔开了，为了测量B 、C 间的距离，一名测量人员另选了一个点A ，使A 、B 、C 三个点构成一个三角形，并在AC 、AB 边上分别找到它们的中点E 、D ，测量ED 后，这位测量者认为2ED 就是BC ，你认为这位测量者的做法妥当吗？所得结果正确吗？（2）对比归纳，建构概念 E 、D 是AC 、AB 边上的中点 问题2：线段DE 与中线CD 有什么不同？ 在对比中引入概念：画一画：一个三角形一共有几条中位线? 请学生动笔画出△ABC 的所有中位线.尝试交流：活动一：拼拼看把一个三角形沿着中位线剪开，你能拼成什么图形？说出你的理由 （3）合情推理，大胆猜想问题3：中位线DE 和第三边BC 之间什么关系？你能有什么猜想？提出猜想： 位置上:数量上:验证发现： （4）演绎助阵，证明定理图24.4.2图24.4.2进一步认识定理（三种语言的转换）：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.几何语言表述定理：活动二：中位线定理的简单应用 以最快的速度回答下面的问题第1题图 第2题图1.己知：如图(1)∵ E 、F 分别为AB 、AC 的中点。

∴ EF ∥BC （根据 ） (2)若BC =10cm ，则EF = ㎝。

(3)若EF =6cm ，则BC = cm 。

2.如图：在△ABC 中，DE 是中位线（1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm ，则DE= cm ，为什么？3.等腰三角形的两边长为9和8，则连接两腰中点的线段长为（ ） A.4.5 B.4 C.8.5 D.4.5或4(5)巩固新知，应用拓展 练习1：解决实际问题1问题1：4.14青海玉树大地震牵动着全国人民的心.B 、C 两个地方被倒塌的楼房隔开了，为了测量B 、C 间的距离，一名测量人员另选了一个点A ，使A 、B 、C 三个点构成一个三角形，并在AC 、AB 边上分别找到它们的中点E 、D ，测量ED 后，这位测量者认为2ED 就是BC ，你认为这位测量者的做法妥当吗？所得结果正确吗？再思考：如果D 、E 之间也有障碍物呢？ 活动三：与中位线有关的结论中点四边形：已知：在四边形ABCD E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点.试判断四边形EFGH 的形状。