秋华师大版数学九上23.4.1《三角形的中位线》word导学案.doc.pdf

课题: 中位线【学情分析】在此之前，学生已经学习了相似三角形的性质及相似三角形的几种判定方法，在此基础上，结合平行线的性质，学生能较轻松学习本节的相关内容。

【学习内容分析】本节结合前面所学知识，换角度思考，引导学生猜想、验证，从而发现中位线的性质，并通过详细的例题解答来帮助学生理解和运用本节知识。

【学习目标】１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。

２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。

３、进一步训练说理的能力。

４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。

【重难点预测】因本节课知识点比较多，学生的说理能力又还比较薄弱，所以经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握这两个定理，并能利用它们灵活解决问题既是本节课的重点也是难点。

【学习过程】一、明确目标、自学指导[学习目标]１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。

２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。

３、进一步训练说理的能力。

【自学指导】认真看P57－59的内容，思考：1、三角形的中位线的条件是，有条2、三角形的中位线平行于并且等于的一半。

几何语言：∵∴3、三角形的重心是三条线的交点，分每条中线为：。

三角形的垂心是三条线的交点，4、梯形的中位线平行于，并且等于的一半。

几何语言：∵∴5分钟后，比谁能正确地做出相关习题。

二、自主学习，检测练习。

1、学生看书，教师巡视，确保人人紧张看书。

2、检测练习：P59练习1、2、3三、合作探究、成果展示1、个人独立自学后，小组内个人展示、交流。

2、全班展示：学生板演练习，学生自由更正，教师巡视，师生评价。

【整理学案】课堂小结，知识回归⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧面积公式性质（几何语言）定义（条件）梯形的中位线性质（辅助线）区别：中线（重心）条件定义条）三角形的中位线（中位线3。

可编辑修改精选全文完整版三角形的中位线教学目的：1. 使学生掌握三角形中位线概念与三角形中位线定理．2.使学生能熟练应用定理进行有关证明和计算，提高学生分析问题和解决问题的能力．重点难点：三角形中位线的概念和三角形中位线定理是本课的重点；三角形中位线定理的证明是本课的难点．教学过程：一、复习引入1. 复习平行线等分线段定理推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边．2. 如图：B、C两点被池塘隔开,在BC外选一点A,连结AB和AC,并分别找出AB和AC的中点D、E．如果测得DE =20m,那么B、C两点的距离是多少？二、新授1.三角形的中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．2.三角形中位线定理如图，DE是ΔABC的一条中位线，如果过D作DE∥BC，交AC于E’，那么根据平行线等分线段定理推论2，得E’是AC的中点，可见DE’与DE重合，所以DE∥BC．由此得到：三角形中位线平行于第三边．同样，过D作DF∥BC，且DE∥FC，DE=1/2BC．因此，又得出：三角形中位线等于第三边的一半．以上两点就是三角形中位线定理．例1：已知：如图ΔABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点（1）指出图中有几个平行四边形（2）图中与ΔDEF全等的三角形有哪几个（3）若AB=10cm，AC=6cm,则四边形ADFE的周长为______cm（4）若ΔABC周长为6cm,面积为12cm2,则ΔDEF的周长是 _____cm,面积是_____cm例2：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形师生共同写出已知求证，在分析的基础上写出证明过程．然后作适当的变式：（1）（1）若AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？（2）（2）若AC⊥BD，则四边形EFGH是什么图形？（3）（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是什么图形？例3：如图ΔABC的中线BE、CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，试猜想DF与GE有怎么的关系？并证明你的猜想．小结：（1）本课所授内容．（2）定理的特征与应用．。

华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《23.4 中位线》是学生在学习了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识后，进一步探究中位线的性质和应用。

本节内容通过介绍中位线的定义、性质和作法，使学生理解中位线在解决三角形和四边形问题中的应用，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面几何基本概念、三角形、四边形等知识，具备了一定的几何思维能力。

但部分学生对于中位线的性质和应用可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解中位线的定义、性质和作法。

2.学会运用中位线解决三角形和四边形问题。

3.培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.中位线的定义和性质。

2.中位线在解决三角形和四边形问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生探究中位线的性质和应用；通过分析典型案例，使学生理解中位线在解决三角形和四边形问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生解决问题的能力和团队协作精神。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关案例和练习题。

3.黑板、粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个三角形和一个四边形，引导学生观察并思考：如何找到这两个图形的中心点？引入中位线的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT呈现中位线的定义、性质和作法，引导学生理解并掌握中位线的相关知识。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，检验学生对中位线知识的掌握程度。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）以小组为单位，让学生运用中位线解决三角形和四边形问题。

教师参与小组讨论，指导学生解决问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：中位线在实际应用中还有哪些作用？如何利用中位线解决更复杂的问题？6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调中位线的性质和应用。

九年级上册《三角形的中位线》导学案数学教案
标题：九年级上册《三角形的中位线》导学案数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能：理解并掌握三角形中位线的概念，能运用公式计算三角形中位线的长度。

2. 过程与方法：通过观察、思考、操作等活动，培养学生空间观念和几何直观能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神和创新意识。

二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握三角形中位线的概念及其性质。

2. 教学难点：运用三角形中位线的性质解决实际问题。

三、教学过程
（一）导入新课
教师可以通过让学生回顾三角形的定义和性质，引出三角形中位线的概念。

（二）新课讲解
1. 三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（三）例题解析
选取一些典型的例题进行解析，使学生能够熟练运用三角形中位线的性质解决问题。

四、课堂练习
设计一些针对性的习题，供学生进行练习，以巩固所学知识。

五、课后作业
布置一些扩展性的问题，引导学生深入思考和探索。

六、教学反思
在教学结束后，教师应反思教学效果，以便对以后的教学进行改进。

23.4 中位线【学习目标】1.掌握三角形中位线的看法和三角形中位线定理；2．能够应用三角形中位线看法及定理进行有关论证和计算，进一步提升学生的计算能力；【学习要点】三角形中位线的概论与性质.【学习难点】三角形中位线定理的证明.【课标要求】【知识回顾】在△ ABC中， DE‖BC，找出图中的相似三角形.当点 D 是 AB 中点时，点 E 是 AC 的中点吗？AD EB C【自学指导】1 阅读教材77 页— 78 页内容，回答以下问题三角形中位线：三角形中位线定理：你有其余的证明方法吗？【例题学习】1、如图，△ABC中，点 D、 E 分别是边 BC、AB的中点， AD、 CE订交于 G.求证： GE GD1。

CE AD3AEGB D C三角形的重心：【牢固训练】1、如图；三角形三条中位线构成的图形与原三角形有如何的大小关系（面积和周长）？谈谈你的原由。

AD FB E C【拓展运用】已知：在四边形ABCD中， AB=CD， E、 F、G分别是 BD、 AC、BC的中点。

求证：⊿ EFG是等腰三角形。

DAE FBG C【归纳小结】【作业】1、已知：以以下图，在四边形ABCD中， E、F、 G、H 分别是 AB、 BC、CD、 DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．HAE DGCBF2、已知 :AD 是⊿ ABC 的中线， E是 AD的中点 . 求证 : FC=2AF 。

AFEB D C【教课反思】。

九年级上册《三角形的中位线》导学案一、导学目标1.理解三角形的定义和性质；2.掌握三角形中位线的概念和性质；3.学会运用中位线的性质解决相关问题。

二、导学内容1. 三角形的定义和性质回顾在我们学习三角形的中位线之前，我们首先来回顾一下三角形的定义和基本性质。

定义1:三角形是由三条边和三个内角组成的图形。

性质1:三角形的内角和为180度。

性质2:三角形的任意两边之和大于第三边。

性质3:三角形的任意两边之差小于第三边。

2. 三角形的中位线概念定义2:三角形的中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

下图为三角形ABC的中位线AD。

A/ \\/ \\B-----C3. 三角形中位线的性质a.三角形中位线的中点是三角形重心G。

定理1:过三角形的三个顶点和其重心G可以作出三条互相平行的中位线。

定理2:三角形中位线的中点是重心所在中线的一半。

定理3:三角形的三条中位线交于一点，且这个交点是重心。

b.三角形中位线的比例关系。

定理4:在三角形中，三条中位线所分割的三个小三角形的面积，与它们对应的原三角形的面积比是1:3。

定理5:三角形中位线的长度之比为2:1。

4. 练习题请根据以上导学内容，尝试解决以下练习题。

题目1:如图，已知三角形ABC的中位线DE与AB交于点F，求证：AF = FB。

A/ \\D-----E|F提示:利用三角形中线的性质。

题目2:在三角形ABC中，AD和BE分别是BC和AC的中位线。

若BD = 6cm，CE = 10cm，求AC的长度。

提示:利用三角形中位线的比例关系。

三、总结通过本次导学，我们学习了三角形的中位线的概念和性质。

我们知道，三角形的中位线对于研究三角形的性质和解决相关问题非常有用。

希望同学们通过练习题的实际操作，能够更加深入地理解和掌握中位线的性质和应用。

第23章图形的相似23.4 三角形的中位线教学目标：知识目标1、理解三角形中位线的概念；2、会运用定理进行相关的论证和计算。

能力目标1、经历观察、测量、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力。

2、通过交流与合作培养学生的探究式学习的方法，学会几何推理。

情感目标1、落实新课程“合作学习，主动探究”思想。

2、培养学生自己探索数学的精神；教学重难点：重点：三角形中位线定理及其应用。

难点：三角形中位线定理的验证及添加辅助线解决实际问题。

教法：五步教学法课前准备：多媒体、课件、教案、三角板。

教学过程：一、根据目标及重、难点自主预习书P77-78二、实验探究，引出概念：活动：动手实践任意一张三角形纸片，能否只剪一刀，使分成的两部分拼成一个平行四边形?结合刚才的学习，回答以下几个问题：1、概念-----连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2、几何语言：∵点D、E分别是AB和AC的中点∴DE是△ABC的中位线反过来也成立∵DE是△ABC的中位线∴点D、E分别是AB和AC的中点3、提问：三角形有几条中位线？答：有三条中位线。

4、区别中位线与中线概念三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．【引导启发】启发学生发现剪出的这条线段与第三边之间有怎样的关系？（提示学生回答位置关系和数量关系）二、教师释疑：引导学生从观察、测量、猜测、证明 这四步探索法得出定理。

----形成探索问题的一般方法。

1、观察、测量。

2、猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3、证明：已知：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点。

求证：DE ∥BC ，DE=BC 21 方法一：利用三角形相似方法二：构造平行四边形（提示：由剪纸、拼图得到启发，从而构造平行四边形）4、形成定理：C B A ED C B AE D①、三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

E D CBA 中位线定理三角形中位线：定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半三条中位线把三角形分为四个全等的三角形，由这三条中位线组成的三角形的周长是原三角形周长的一半中线：连接一个顶点和它的对边中点的线段中线的性质：中线把三角形分成面积相等的两个三角形 三条中线的交点叫重心，重心把中线分为1:2的两段1、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE =5，则BC =（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122、如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD =6，CD =3，BD =4，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( ) A.7 B .9 C .10 D .113、（倍长中线）已知：如图，△ABC 中，C 是DB 上一点，∠BAC =90°，∠CAD =45°，且BC =CD ,求证：AB =2AC梯形中位线连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底并且等于上下底之和的一半1、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，AD =a ，EF =b ，则BC 的长是________.2、直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为a ，那么它的下底长是______.3、如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O ，已知AC =BD ，M ，N 分别是AD ，BC 中点，MN 与AC ，BD 分别相交于E ，F .求证：OE =OF .4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，延长CB 到点E ，使BE =AD ，连接DE 交AB 于点M .（1）求证:△AMD ≌△BME ；（2）若N 是CD 的中点，且MN =5，BE =2，求BC 的长.DCABF E D CBA NMOFEDCB A5、如图，DE 是△ABC 的中位线，M 、N 分别是BD 、CE 的中点，MN =6，则BC =_______N M ED CBA6、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB =10cm ，则MD的长为_______.7、如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（ ）A ．38B .39C .40D .418、如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，PR 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长保持不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关NMCAAEPD9、如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点．若∠ACB =66°，∠CAD =20°，则∠EFG =____．ACD FEG10、如图，在梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于点P ，且点P 恰好在梯形的中位线EF 上．若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．9B ．10.5C ．12D ．1511、顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． 如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是_________形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是___________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是_____________________． 由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．HD G F BE A12、如图，在四边形ABCD 中，AD=BC,E,F,G 分别是AB,CD,AC 的中点，H 是EF 的中点，求证：GH ⊥EF中位线中的相似1、如图，△ABC 中，D,E,F 分别是AB,AC,BC 的中点，（1）若EF=5厘米，则AB=（ ）；若BC=9厘米，则DE=（ ）PF E D CBA（2）若G为AF的中点，连接BG并延长，交AC于点H，若AC=12，求CH的长EG2、如图，△ABC的中线AF,BD相较于点E,DG∥BC交AF于点E，求AF3、如图，△ABC的中线CF,BD相较于点E,且BD⊥CF，若BD=3,CE=2，则△ABC的面积为（）3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为重心，连接AD,作DE∥BC，若AB=6,BC=9.则DE的长度为（）4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为重心，AD⊥CE,AE=CE=BE（1）求证△CAD∽△BAC（2）△ADE和△ABC的面积比5、如图，F,G,H,I分别是EA,EB,EC,ED的中点，已知四边形FGHI的面积是5，则四边形ABCD 的面积为（）。

华师大版九年级上册《三角形的中位线》教案与反思《华师大版九年级上册《三角形的中位线》教案与反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。

三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。

三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。

三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。

二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。

利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。

教学目标1、认知目标(1)知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。

(2)理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。

(3)通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力.2、能力目标引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。

3、德育目标对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。

4、情感目标利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。

教学重难点【重点】：三角形中位线定理【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题;第二环节：教师讲授、传授新知;第三环节：师生共析、证明定理;第四环节：灵活运用、自我检测;第五环节：回顾小结、共同提升;第六环节：分层作业，拓展延伸;第七环节：课后反思。

23.4 中位线￿※教学目标※【知识与技能】￿1.掌握三角形的中位线的概念和定理.￿2.了解三角形重心及其性质.￿【过程与方法】￿灵活运用三角形中位线解决有关问题.￿【情感态度】￿结合实际问题，进一步理解三角形中位线的概念及性质，培养创造性思维.￿【教学重点】￿经历三角形中位线的性质定理的形成过程，并能利用它解决简单的问题.￿【教学难点】￿训练说理的能力.￿※教学过程※￿一、复习引入￿如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.￿1.如果D是AB的中点，那么E是AC的中点吗？DE与BC的比是多少？￿2.上述问题的逆命题是什么？￿￿二、探索新知￿1.逆命题：如果D、E分别是AB、AC边的中点，那么DE∥BC，DE=￿2.证明：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC.￿∴∠ADE=∠ABC，∴DE∥BC且DE=￿思考:此命题还有其他证法吗？￿证法一：如图，延长DE到F，使EF=DE.在△ADE和△CEF中，￿∵AE=EC，DE=EF，￿∠AED=∠CEF，￿∴△ADE≌△CFE.￿∴AD=CF，∠A=∠ECF，￿∴AB∥CF.￿又∵AD=DB，￿∴CF=BD.￿∴四边形BCFD是平行四边形.￿∴DF∥BC，DF=BC.￿∴DE∥BC且DE=BC.￿￿3.归纳：￿（1）我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.￿（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.￿4.应用：￿【例1】求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.￿已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.求证：AE、DF互相平分.￿证明：连结DE、EF.∵AD=DB，BE=EC，∴DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.￿同理可得EF∥BA.￿∴四边形ADEF是平行四边形.￿∴AE、DF互相平分.￿￿【例2】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证：证明：连结ED.￿∵D、E分别是边BC、AB的中点，￿∴DE∥AC，(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)，￿∴△ACG∽△DEG，￿￿三、巩固练习￿1.三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是cm.￿2.如图，在△ABC中，D、E、F分别为边BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB=6，BC=10，AC=8.试求出线段DE、OA、OF的长及∠EDF的大小.（结果保留根号）￿￿￿3.求证：顺次连结四边形各边的中点所得的四边形是平行四边形.￿答案：1.28￿2.∵在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∴，∴△ABC为直角三角形.∵D为斜边BC的中点，∴AD=BC=5.∵D、E分别为BC、AC的中点，∴DE∥AB，且DE=AB=3.∵O为BE与AD的交点，∴O为△ABC的重心，∴OA=∵F 为AB的中点，∴AF=DE=3.∴CF==.∴∴四边形AFDE为平行四边形.∴∠EDF=∠BAC=90°.￿3.已知：如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，连结EF、FG、GH、HE.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：如图所示，连结AC.￿∵E、H分别为AD、CD的中点，∴EH∥AC，且EH=AC.又∵F、G分别为AB、BC的中点，∴FG∥AC，且FG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形.￿￿四、应用拓展￿在教材第78页【例2】中作另外两条三角形的中线，是否也有这个结论？￿学生讨论，总结如下：￿三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.五、归纳小结￿1.三角形中位线与中线的区别.￿2.中点四边形一定是平行四边形.判断它是不是某一特殊平行四边形，只需看原四边形对角线是否垂直或相等.￿※课后作业※￿教材第79页习题23.4的第2、3、4题.。

23.4 中位线一、知识回顾：1、如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，证明：△ADE∽△ABC二、探索新知猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？1、三角形中位线定义：连接三角形的线段,叫做三角形的中位线思考：三角形的中位线有几条?理解三角形的中位线定义的两层含义:(1)如果D、E分别为AB、AC的中点，那么DE为△ABC的(2)如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的。

2、三角形的中位线定理：三角形的中位线第三边并且等于它的。

几何语言：练一练:(1)若△ABC三边AB、AC、BC的长分别为8、6、4，它的三条中位线围成的△DEF的周长_____ 。

(2)若△ABC的三条中位线围成的三角形周长为15cm，△ABC的周长是____ 。

(3)若△ABC的三条中位线长分别为3、4、5，则△ABC的周长为，面积为。

三、例题赏析例1、已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF＝FC．（1）四边形ADEF是什么形状的四边形？并加以证明。

（2）DF与AE有什么关系？变式1：已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证四边形EFGH是平行四边形。

B F变式2：已知：等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是菱形。

变式3：已知：矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是。

变式4：已知：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形。

《三角形的中位线》导学案学习目标：1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 学习过程： 一、探究新知例1：如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ．1.定义：连接三角形___________的______叫做三角形的中位线。

思考:（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？2.三角形中位线定理：三角形的中位线_______ _____第三边，并且等于___________ ____．3.两条平行线间的距离：两条平行线间__________的______叫做两条平行线间的距离。

结论：两条平行线间的距离_______________ 二、自学检测1.如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点的距离是 m ，理由是 ．2.在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=5，则DE 的长是3.已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，连结各边中点所成三角形的周长为___ _． 4．△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为____ __． 5．已知：△ABC 中，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点，如果△DEF 的周长是12cm ，那么△ABC 的周长是 cm ．6.直角三角形的两条直角边边长分别为6cm 和8cm,则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）A.3cm B. 4cm C. 5cm D. 12cm7.如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是CD 中点，连接OE,若OE=3cm,ze AD 的长为（ ）A.3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm8．已知△ABC 中，AB ：BC ：CA=3：2：4且AB=9cm ，DF 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则△DEF 的周长是9．四边形的两条对角线分别是12cm 和10cm ，顺次连结各边中点所得四边形的周长是10．一个三角形的周长是135cm ，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm ．11.如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，（1）求证：四边形DECF 是平行四边形。

《三角形的中位线》教学设计一、教材分析：1、教材中所处的地位：本节课是华东师大数学教材九年级上册第二十三章第四节内容。

三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。

在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想。

由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于开展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜测、推理及应用的全过程，对于今后的学习具有重要的指导意义。

2、教学背景：通过教材和班级的实际情况，对教材中的三个地方需要稍加处理，才更适合我们的学生的实际情况，更符合学生的认知开展规律，抓住学生的最近开展区，提高课堂教学效率。

〔1〕设计困惑：①课堂上解决“如何把一个三角形分为四个全等的三角形〞这个问题过于费时，学生很多想不到，就算是做出来也不明白为什么。

②教材中给出的定理证明方法为中位线倍长法，难度相当大，学生根本上都无法理解。

③中点四边形的证明如何作辅助线、为什么要这样作辅助线学生感到很困难。

〔2〕教材处理：①我正在开展协同教育课题研究，学生是通过我协同平台来完成学习任务的，于是我充分利用资源，让学生登陆协同平台完成我发布的作业，通过三个问题作铺垫：学生很快就搞定了。

②通过动画演示及教具演示，让学生直观感受中位线倍长法与旋转法、平行法的联系。

③通过教具演示，加上温馨提示，学生自然就明白作辅助线的微妙了。

二、目标分析：1、教学目标：（一）知识目标：〔1〕理解三角形中位线的定义；〔2〕掌握三角形中位线定理证明及其应用。

〔3〕理解三角形中位线定理的本质与核心，培养学生的化归思想。

〔新增〕〔二〕能力目标：〔1〕通过动手操作与合作交流，开展学生的合作交流、实践操作及推理能力。

〔2〕通过对三角形中位线定理的猜测及证明，提高学生分析问题及解决问题的能力。

华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案23.4 中位线学习目标：1．理解三角形中位线的概念与性质．（重点）2．能够利用三角形中位线解决实际问题．（难点）自主学习一、新知预习如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出他需要篱笆的长度吗？合作探究一、探究过程探究点1：三角形的中位线及其性质【典例精析】例1如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=1.5，则BC的长是（）A．3 B．4 C．2 D．1图1 图2【归纳总结】我们把连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的_____．【针对训练】1.如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A.8B.10C.12D.14【典例精析】例2如图3，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A．80° B．90° C．100° D．110°图3 图4 【针对训练】2.如图4，△ABC 中，AB=AC ， AD 平分∠BAC ， DE ∥AC 交AB 于E ， 则S △EBD ∶S △ABC =（ ） A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.2∶3 【归纳总结】三角形中位线容易和其他知识联系在一起，如例2中中位线与平行线结合求角度问题；针对训练中中位线与相似结合，由中位线知相似比进而求面积比.中位线还可以结合更多知识一起考察，比如结合角平分线等等.探究点2：三角形的重心【探究活动】 如图，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G. 求证：31==AD GD CE GE .【探究】如果在图中，取AC 的中点F ，假设BF 与AD 交于G ′，那么我们同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的.于是，我们有以下结论：【归纳总结】三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_____.【针对训练】3.如图，△ABC 中，D 是△ABC 的重心，连接AD 并延长，交BC 于点E ．若AD=8，则DE=（ ）A ．3B ．3.5C ．4 D.4.5二、课堂小结内容描述 1.三角形中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的_______． 2.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的______． 3.三角形的重心 三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31. 当堂检测1.如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若AD ＝3，EF =1,则AB 的长为( )A.2 B ．4 C ．8 D ．12第1题图 第2题图2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G3.如果△ABC 的两边长分别为3和5，那么连接△ABC 三边中点D 、E 、F 所得的△DEF 的周长可能是（ ）A.3B.4C.5D.64.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，点O 是△ABC 内部任意一点，连接OB 、OC ，点G 、F 分别是OB 、OC 的中点，顺次连接点D 、G 、F 、E .求证：四边形DGFE 是平行四边形．参考答案 自主学习 一、新知预习解：∵点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，∴21==AC AF AB AE .∵∠A=∠A ，∴△AEF ∽△ABC.∴∠AEF=∠B,21=BC EF .∵EF=5米，∴BC=2EF=10米.∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∴BE=CF=12BC=5米.∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(米)． 合作探究一、探究过程【典例精析】例1 A【归纳总结】中点 一半【针对训练】 1. C【典例精析】 例2 A【针对训练】 2.B【探究活动】证明: 如图，连接ED.∵ D 、E 分别是边BC 、AB 的中点. ∴ DE ∥AC ，21=AC DE （三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）. ∴△DEG ∽△ACG.∴ 21===AC DE AG GD GC GE .∴31==AD GD CE GE . 【归纳总结】中线 13【针对训练】 3.C二、课堂小结中位线 一半 中线当堂检测1.C2.A3.D4.证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE ∥BC ，且DE=12BC ，同理，GF ∥BC ，且GF=12BC ，∴DE ∥GF.又∵DE=GF ，∴四边形DGFE 是平行四边形．。

华东师大版九年级数学上册 第23章 23.4 中位线 导学案【学习目标】１、经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握两个定理，并能利用它们解决简单的问题。

２、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。

３、进一步训练说理的能力。

４、通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯；进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点；转化的思想。

【重、难点预测】因本节课知识点比较多，学生的说理能力又还比较薄弱，所以经历三角形中位线的性质定理和梯形中位线的性质定理形成过程，掌握这两个定理，并能利用它们灵活解决问题既是本节课的重点也是难点。

【教学过程】一、情境导入如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点F .若DF ＝3，则AC 的长为( )A.32B ．3C ．6D ．9 解析：∵D 、E 分别为AC 、BC 的中点，∴DE ∥AB ，∴∠2＝∠3，又∵AF 平分∠CAB ，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD ＝DF ＝3，∴AC ＝2AD ＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】 利用三角形中位线定理求角如图，C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∠E ＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( )A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°解析：∵C 、D 分别为EA 、EB 的中点，∴CD 是三角形EAB 的中位线，∴CD ∥AB ，∴∠2＝∠ECD .∵∠1＝110°，∠E ＝30°，∴∠ECD ＝80°，故选A.方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】 运用三角形的中位线性质进行证明如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点N 为BC 的中点，AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，垂足为点M ，延长CM 交AB 于点D ，求MN 的长．解析：为证MN 为△BCD 的中位线，应根据三线合一，得到DM ＝MC ，即可解决问题．解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴MN ＝12(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．【类型四】 中位线定理的综合应用如图，E 为平行四边形ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．解析：本题可先证明△ABF ≌△ECF ，从而得出BF ＝CF ，这样就得出了OF 是△ABC 的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF 与线段AB 的关系．解：AB ＝2OF .证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，OA ＝OC .∴∠BAF ＝∠CEF ，∠ABF ＝∠ECF .∵CE ＝DC ，在平行四边形ABCD 中，CD ＝AB ，∴AB ＝CE .∴在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CEF ，AB ＝CE ，∠ABF ＝∠BCE ，∴△ABF ≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．三、板书设计1．三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．2．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．【教学反思】本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.。

24.4 中位线第1课时 三角形的中位线学前温故如图，在△ABC 中，D 为AB 边的中点，且DE ∥BC ，则E 为AC 边的____．新课早知1．三角形的中位线____于第三边并且等于__________． 2．如图，△ABC 的中位线DE 长为10，则BC ＝__________.3．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是__________．4．三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的______．5．Rt △ABC 中，点G 是重心，∠C ＝90°，AB ＝12cm ，则GC ＝__________cm.答案：学前温故 中点 新课早知1．平行第三边的一半2．203.矩形4.135.4三角形中位线【例题】如图所示，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于D ，点E 是BC 的中点．求证：(1)DE ∥AB ；(2)DE ＝12(AB －AC)．分析：从要证的结论来看，与三角形中位线类似，而根据已知条件，E 为BC 的中点，而AD 平分∠BAC ，又CD ⊥AD ，则延长CD 交AB 于F ，易证D 为CF 的中点，AC ＝AF ，从而问题得证．证明：(1)延长CD 交AB 于F ，∵AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵∠DAC ＝∠DAF ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌△ADF.∴AC ＝AF ，DC ＝DF.又∵E 是BC 的中点，∴DE ∥BF ，即DE ∥AB ．(2)∵D 、E 分别是BC 、CF 的中点， ∴DE ＝12BF.∴DE ＝12(AB －AF)＝12(AB －AC)．点拨：在三角形中，涉及中点问题，常需转化为中位线来解决，其中构造中位线是关键，这就是常说的“遇中点，想到中位线”．1．在等边△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，DE ＝3，则△ABC 的周长为()．A ．6B ．9C ．18D ．242．如图，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于G ，FG ＝2，则CF 的长为()．A ．4B ．4.5C ．5D ．63．如图，DE 是△ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则四边形DBCE 的面积为__________．4．如图，已知矩形ABCD ，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是PA 、PR 的中点．如果DR ＝3，AD ＝4，则EF 的长为__________．5．已知：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边的中点．求证：四边形AFDE 是平行四边形．答案：1．C2．DG 是△ABC 的重心，由“三角形重心与一边中点的连线的长度是对应中线长的13”求解，即CF ＝3FG ＝6.3．9cm 2由中位线的性质知，DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，所以△ADE ∽△ABC ，其相似比为1∶2，利用相似三角形的性质求得S △ABC ＝12cm 2，从而S 四边形DBCE ＝9cm 2.4．2.5利用勾股定理求得AR ＝5，再利用三角形中位线定理求得EF ＝12AR ＝2.5.5．证明：∵D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 边的中点，∴DF 、DE 是△ABC 的中位线．∴DF ∥AC ，DE ∥AB ， 即DF ∥AE ，DE ∥AF.∴四边形AFDE 是平行四边形．。

23.4中位线【学习目标】1.掌握三角形中位线的概念和三角形中位线定理；2．能够应用三角形中位线概念及定理进行有关论证和计算，进一步提高学生的计算能力；【学习重点】三角形中位线的概论与性质.【学习难点】三角形中位线定理的证明.【课标要求】【知识回顾】在△ABC中，DE‖BC，找出图中的相似三角形.当点D是AB中点时，点E是AC的中点吗？BAC D E【自学指导】1阅读教材77页—78页内容，回答问题三角形中位线：三角形中位线定理：你有其他的证明方法吗？【例题学习】1、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.F ED C B AG F E D C B A求证：13GE GD CE AD ==。

B ACD EG三角形的重心：【巩固训练】1、 如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？ 说说你的理由。

【拓展运用】已知：在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点。

求证：⊿EFG 是等腰三角形。

【归纳小结】【作业】1、已知：如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．A BCDGEF H2、已知:AD 是⊿ ABC 的中线,E 是AD 的中点.求证: FC=2AF 。

【教学反思】教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。