概率论 中心极限定理共29页文档

=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre--Laplace)
设随机变量n(n=1,2, …) 服从参数为n,p (0<p<1)的二项分布 ，即 n ~ B(n, p).
则对任意x，恒有
lim P{n np x}
n
npq
1
x t2
e 2 dt
即 925 X 1075.
例1、 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从 均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只， 设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿 命的总和大于1920小时的概率.
解: 设第i只元件的寿命为 i , i=1,2, …,16 由题 设知，各 i 独立，
E( i)=100, D( i)=10000
P{14≤X≤30}≈
( 30 20 ) (14 20 )
4
4
=(5/2)-(-3/2)
=0.9937-1+0.9331=0.9268
例3 P170某单位有1000台电话分机，每台分机有5% 的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用 外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条 外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时 1/
6
5
/
6
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
故近似地有
2
6000
60001/ 6
5
/
6
1
0.99,
即
6000
60001/ 6
5
/
6
0.995,
查表得
6000
2.58,
60001/ 6 5 / 6

n
n
n
设一列随机变量 ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ,... 满足： (1) 相互独立; (2)服从同样的分布; Dξ i σ 2 (3)期望和方差都存在：Eξ i μ, ( i 1,2,..., n,...) (4)方差不等于0. n 2 ξ i N nμ, nσ 则
12

在定理的条件下， 当n充分大时, 由
X i nμ P i 1 nσ
n
x 0 ( x )
1 n Xi μ n i 1 N (0,1) σ 近似 n
X
i 1
n
i
nμ
nσ
~ N (0,1) 近似
nμ, nσ 2 N
1 0 1, 第i 次A发生 Yi ~ 1 p p ( i 1,2,..., n ) Yi 0, 第i 次A不发生 Y1 Y2 ... Yn X ~ b( n, p)
n个参数均为p的 0-1分布的和 是二项分布.
定理3.12 ( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 )
x n p x np X n n p P X n x P 0 npq npq npq
定理3.12 ( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 )
设随机变量 X n ~ b( n, p ), 0 p 1, 则对一切 x ,
( 解 设第 i 个零件 的重量为 X i 公斤. i 1,2,...,1200) X 1 , X 2 ,..., X 1200 独立, 同分布; EX i 1 μ 0.12 2 1200 1200 DX i
12
P X i 1202 1 P X i 1202 i 1 i 1 1200 X i1200μ 12021200μ i 1 1 P 1200 σ 1200 σ

DX
(20 3) (20 3)
2(20 3) 1 0.997
(20 3) 0.9985, 查表：20 3 2.97,因此=0.086.
故所求误差范围为0.086，0.086.
10
中心极限定理之所以重要的第一原因： 在理论上非常深刻，以至于被说成是概率论 中的第一定理．
*例5.7 设Xn , n 1 独立同分布的r.v.
n
n
)
6
当n充分大时,
n
~ Xi n 近似地
Yn i1 n
N(0, 1)
~ n
近似地
X Xi nYn n
N (n, n 2 )
i 1
7
补充例题：
为计算简便记，在进行加法运算时，对每个加数 都四舍五入取到百分位，其各加数的舍入误差可以认 为服从区间 0.5102, 0.5102 上的均匀分布,且相 互独立。现有100个数相加，求 0 使得误差总和
解 每次试验成功(病人痊愈)的概率为 0.25，用X表示100个病人中痊愈的人数，则
X ~ B100, 0.25 .
于是
27
PX
35
P
X
EX DX
35 25 25 0.75
1 2.31 1 0.9896 0.0104.
可见，如果新药完全无效，要想通过试验 被认为有效的概率是微乎其微的．
为极限分布.
~ 分
大
实际应 ,即 有
用 中 ,若 随 机
n np 近似地
npq
变 量 n
N (0,1)
~ B(n, p) ,只 要 n 充
近似地
, n ~ N np, npq .
P{a
n
b}

解 以 X 表示机器出现故障的台数，依题意， X ~ B(150，0.02) ，且 E(X ) np 150 0.02 3，
D(X ) np(1 p) 150 0.02 (1 0.02) 2.94 ， D( X ) 2.94 1.715 ，
由棣莫弗—拉普拉斯定理得
P{X
2} 1 P{X
5
000}
P
n i 1
Xi
50n
25n
5
000 50n 25n
5
000 50n 25n
．
随机变量的数字特征
中心极限定理
根据题意，令
5
000 50n 25n
0.977
(2)
，
即有 5 000 50n 2 ， 25n
解得 n 98.02 ，即每辆车最多可装 98 箱．
lim
P
Yn np
n np(1 p)
x 1
x
t2
e 2 dt
Φ(x) ．
2π
（4-29）
随机变量的数字特征
中心极限定理
由棣莫弗—拉普拉斯定理可知，只要 n 充分大，二项分布 B(n ，p) 可以用正态分布来近似计算，计算方 法如下．
（1）对 k 0，1， ，n，有
P{X k} P{k 0.5 k
P
100
Xi
i1
930
100
P
i 1
Xi
100 9.15
100 1.227 5
930
100
9.15
(1.35)
0.911 5
．
100 1.227 5
随机变量的数字特征
中心极限定理
例 2 某车间有 150 台同类型的机器，每台出现故障的概率都是 0.02，假设各台机器的 工作状态相互独立，求机器出现故障的台数不少于 2 的概率．

100
∑
数，则利用中心极限定理可得 P{i=1Xi ≤ 55} 的近似值为
∑ 解：X
为
0-1
分布，则
E(X)
=
1 2
，D(X)
=
1 4
，由中心极限定理可得

¯
X
∼
1
N( 2 ,
1
4 /n)
，故
100
P{i= 1Xi
≤
55}
=
¯
P{X
≤
0.55}
=
0.55 − 0.5
1
Φ( 2 /10 )
=
Φ(1)
。
Processing math: 100%
=
Φ(x)
n
1∑
nk=1Xk − µ
¯
X−µ
对标准化变量进行变形，即 Yn = σ/√n = σ/√n ，也即均值为 µ 、方差为 σ2 > 0 的 n 个随机变量的算术平均值在样本足够大时，近似服 从 N(µ, σ2/n) 。
应用
例一
1
（2020考研数学一）设 X1, X2, . . . , Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 P{X = 0} = P{X = 1} = 2 ，Φ(x) 表示标准正态分布函
对标准化变量进行变形即yn1nk1nxk?nx??????nyn1nk1nxk?nx??n也即均值为方差为2020的nn个随机变量的算术平均值在样本足够大时近似服从n2nn2n
概率论 -中心极限定理 概率论 - 中心极限定理
目录
定理内容
定理一（独立同分布的中心极限定理）：设随机变量 X1, X2, . . . , Xn, . . . 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差： E(Xk) = µ ，

n
n
若
δ > 0, 1 Bn2+δ
∑ E (| X k μ k |
k =1
n
2+δ
) → 0
n →∞
则对于任意实数 x ,
n n ∑ X k ∑ μk k =1 ≤ x lim P k =1 n→ ∞ Bn
=
1 2π
∫
t2 x 2 e dt ∞
= Φ (x)
定理3
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
P (0 ≤ rX ≤ a ) = 99.9%
由于将 X 近似地看成正态分布，故 a 120 0 120 r P(0 ≤ rX ≤ a ) = Φ Φ 48 48 a 120 ≈Φ r 0 120 48 Φ 48
≈ 0
= Φ ( 1 7 .3 2 )
X ~ N ( 28500 , 47500 )
P(10 ×1900 ≤ X ≤ 3600 × 8) = p(19000 ≤ X ≤ 28800)
28800 28500 19000 28500 ≈ Φ Φ 47500 47500
≈ Φ (1.376) Φ ( 43.589)
≈ 0.9162
k =1 n
近似
定理2
李雅普诺夫(Liapunov)定理
设随机变量序列 X 1 , X 2 ,
和方差：
E ( X k ) = μ k , D( X k ) = σ > 0 , k = 1,2,
记
Bn2 = ∑ D( X k ) = ∑ σ k2
k =1 k =1
解法二
X 19000 — 1900个产品中需重复检查的个数 10 X 19000 近似 ~ B (1900,0.5) ~ N ( 950, 475 ) 10

正态分布是最重要的概率分布(原因)：
(1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从 正态分布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的.
E (X)=n p=100×0.9=90，D (X)=n p(1-p)=100×0.9×0.1=9，
P(84 X9)5P (8 49 0X9 09 59)0
333 P(2X901.67 )
3
(1.6)7 ( 2) (1.6)7 (2)1 0 .95 0 .2 95 7 1 7 0 .9 2297
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布N n,n2
i1
n
Xi n 近似
i 1
n
~ N(0,1)
另一种形式：
X 近似
~ N(0,1)
/ n
近似
或 X~N(,2/n)
2020/4/17
8
由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量 的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个 相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的 和近似服从正态分布。
n
Y
* n
X i n
i1
n
的分布函数
F n ( x ) 满足如下极限式
lni m Fn(x)lni m P i n1Xn inx x
1
t2
e2dt(x)
2
2020/4/17
7
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n ，不管

中心极限定理
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理

又记Y=X1+X2+…+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42. 设供电量为y, 则从
中解得
16,18
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象
解：用 Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
§4.4 中心极限定理
独立随机变量和
设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为
Ø 讨论独立随机变量和的极限分布,
Ø 并指出极限分布为正态分布.
独立同分布下的中心极限定理
定理1 林德贝格—勒维中心极限定理 设 {Xn} 为独立同分布随机变量序列，数学期
望为, 方差为 2>0，则当 n 充分大时，有
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
= 0.99979
二项分布的正态近似
定理2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设sn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充 分大时，有
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
注 意 点 (1)
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。根据题意
从中解得 又由
可解得
17,20
n = 271
独立不同分布下的中心极限定理
定理3 林德贝格中心极限定理
设{Xn }为独立随机变量序列，若任对 > 0，有
林德贝格条件
则
李雅普诺夫中心极限定理
林德贝格条件较难验证. 定理4 李雅普诺夫中心极限定理