七年级数学竞赛练习题(一)

七年级数学竞赛班入学考试试卷考试时间：50分钟 总分：100分学校姓名 联系方式 得分基础巩固模块一、填空题。

（1-8题每空5分，共40分）1、甲数的43等于乙数的53，（甲数不等于0）甲数____乙数。

（用＞，＜号填空） 2、61＜()5＜32，（ ）里可以填写的最大整数是（ ）。

3、在自然数中，（ ）既是偶数又是质数；4、已知4x ＋8=10，那么2x ＋4=（ ）。

5、在括号里填入＞、＜或=。

1小时30分（ ）1.3小时6、在含盐率30％的盐水中，加入3克盐和7克水，这时盐水中盐和水的比是（ ）。

二、计算题。

（每小题5分）7、 25×1.25×328、列式计算：一个数的43比30的25％多1.5，求这个数。

竞赛之窗（9-16题每小题5分，共40分）9、(2004,江苏省竞赛)有3堆硬币,每枚硬币的面值相同,小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放入第1堆,这样每堆有16枚硬币,则原来第1堆有硬币 枚,第2堆有硬币 枚,第3堆有硬币 枚.10、有100个运动员，穿白色和黄色两种服装，带的帽子为红、绿两色。

若已知红帽白衣的队员有28人，绿帽的队员有62人，穿黄衣服的有36人，则绿帽黄衣的队员共有 人。

11、（2004，四川省联赛）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元，若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元。

现购铅笔、圆珠笔各1支，练习本1本，共需（ ）元。

A 、2.4B 、2.1C 、1.9D 、1.812、有4人对话如下：甲：我们当中只有1人说假话乙：我们当中只有2人说假话丙：我们当中只有3人说假话丁：我们都说假话则说假话的有 个人。

13、（2001，江苏省中考）用●表示实圆，用表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下：●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…，则前2001个圆中，有个空心圆。

第一、二章数学练习题一、填空1、321-的倒数是 ，321-的相反数是 ，321-的绝对值是 ， 已知|a|＝4，那么a ＝ 。

2、最小的正整数是____，绝对值最小的有理数是__ __，绝对值等于3的数是__ __， 绝对值等于本身的数是 。

3、绝对值大于1而不大于3的整数有 ，它们的和是 。

4、有理数－3，0，20，－1.25，143， －12- ，－(－5) 中，正整数是 ，负整数是 ，正分数是 ，非负数是 。

5. 化简: －=+-)21(____________，()[]2+--=_______________. 6、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， －11；21；－31；41； ； ；……；第2003个数是 。

7、32b a -系数是___________，次数是___________。

8、已知x n y 2和21x 2y m-1是同类项，则m=_________，n=_________. 9、如果3x n -(m-1)x+1是关于x 的三次二项式，则-m+n 2=________.10、已知x 2+3x 的值为2，则3x 2+9x-6的值为_________________.11、个位数字是a ，十位数是b ，百分数字是c 的三位数可表示为_________________.12、三个连续奇数，中间一个是n ，则这三个数的和为 .13、a=3，|b|=10，且|b-a|=-（b-a ），则a-b=____14、a ，b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则2a-3dc+2b=__ __ 15、若0|1|232=-+b a ，则a=____，b=____16、近似数2.58万，精确到__ __位，有____ 个有效数字。

17、如果多项式3x 2＋2xy n ＋y 2是个三次多项式，那么n= 。

18、观察单项式-x,2x 2,-3x 3,4x 4,…,-19x 19,20x 20,…则第2007个单项式为________.19、已知多项式ax 5＋bx 3＋cx ，当x=1时值为5，那么该多项式当x=－1时的值为 。

七年级数学上册月考试题(时间120分钟，总分120分)一、选择题（每题3分，共30分）1．2008年9月27日16时41分至17时许，宇航员翟志刚在太空进行了19分35秒的舱外活动中，飞行了9 165 000 米，成为中国“飞得最高、走得最快”的人．将9 165 000 米保留两位有效数字用科学记数法记为（） A．92×105 米 B．9.2×106 米． C．9.17×106 米． D．9.2×103 米．2．在一次智力竞赛中，主持人问了这样的一道题目：“a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，请问：a、b、c三数之和为多少？”你能回答主持人的问题吗？其和应为（） A. －1 B. 0 C. 1 D. 24．当x＝－1时，多项式ax5＋bx3＋cx－1的值是5，则当x＝1时，它的值是（）．A．－7 B.－3 C．－17 D7.一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全部试卷，得了70分，他一共做对了（）.（A）17道（B）18道（C）19道（D）20道8.某商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中，该商贩（）.（A）不赔不赚（B）赚9元（C）赔18元（D）赚18元9. （2005，深圳）一件衣服标价132元，若以9折降价出售，仍可获利10%，则这件衣服的进价是（A）106元（B）105元（C）118元（D）108元10.（2005，常德）右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）（A）69 （B）54（C）27 （D）40.76．在下面所给的2008年12月份的日历表中，任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是（） A．69． B．54． C．27． D．40．7．一家三口人（父亲、母亲、女儿）准备参加旅游团外出旅游，甲旅行社告知“父母全票，女儿半价优惠”，乙旅行社告知家庭可按团体票计价，即每人均按全价8折收费。

数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π4. 以下哪个表达式的结果等于0？A. 3 - 3B. 2 × 0C. 5 ÷ 5D. 4 + 05. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它本身的数是______。

7. 一个数的绝对值是它本身的数是非负数，那么这个数是______或______。

8. 一个三角形的内角和等于______度。

9. 如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是______或______。

10. 一个数的立方等于它本身，这个数是______、______或______。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × (7 - 2)。

12. 计算下列表达式的值：(-2)³ - 3 × 2²。

13. 计算下列表达式的值：√(49) + √(16)。

14. 计算下列表达式的值：(-1)⁴ - 2²。

四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。

16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求它的斜边长度。

17. 一个数列的前三项是1，3，6，求这个数列的第四项。

五、证明题（每题25分，共25分）18. 证明：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么较小的锐角的度数是30°。

答案：一、选择题1. B2. D3. C4. A5. D二、填空题6. 07. 正数，08. 1809. 0，110. 0，1，-1三、计算题11. 6412. -813. 714. 3四、解答题15. 周长：(15 + 10) × 2 = 50厘米；面积：15 × 10 = 150平方厘米。

2024-2025学年人教版七年级数学上册《第1章有理数》自主学习选择同步练习题（附答案）1．下列选项中具有相反意义的量是（）A．胜1局和亏损2万元B．向东行驶5km与向北行驶10kmC．运进6kg苹果与卖完5kg苹果D．水位上升0.6米与水位下降1米2．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了用算筹表示正负数的方法，即“正算赤，负算黑”．如果向西走80米记作“−80米”，那么向东走40米记作（）A．+40米B．+80米C．−80米D．−40米3．人体的正常体温大约为36.5℃，如果低于正常体温0.5℃记作−0.5℃；那么高于正常体温0.8℃应该记作（）A．−0.8℃B．+0.8℃C．−37.3℃D．+37.3℃4．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果收入100元记作+100，那么−40表示为（）A．收入40元B．支出40元C．收入60元D．支出60元5．下列说法中不正确的是（）A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示B．一个负数的绝对值等于它的相反数C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大D．任何有理数都有相反数6．古人都讲“四十不惑”，如果以40岁为基，张明60岁，记为+20岁，那么王横25岁，记为（）A．25岁B．−25岁C．−15岁D．+15岁7．一袋面粉的标准质量是15kg，如果把一袋面粉15.5kg记为+0.5kg，那么另一袋面粉14.7kg记为（）A．−14.7kg B．+14.7kg C．-0.3kg D．+0.3kg8．下列各数中，最小的数是（）．A．1B．2C．−12D．−39．下列各数中是负数的是（）A．−3B．−(−1)C．0D．−210．在下列数−56，+1，6.7，0，722，−5，25%中整数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（）A．−1B．−1.5C．+0.5D．+112．下列比较大小正确的是（）A．−3=−−73B．−56<−45C．−−21<+−21D．−|−10|>813．下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．+−2和−+2B．−−2和+2C．−−2和−2D．−+2和−+214．下列化简正确的是（）A．−+2=2B．−−2=−2C．+−2=−2D．−+2=2 15．在−1，0，53，−6.8和2024这五个有理数中，正数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．在−2，0，3.14，102，3，−−2021，100%中，非负整数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．如果在数轴上A点表示−3，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（）A．−1B．−1和−5C．+1或−5D．−518．液体沸腾时的温度叫做沸点，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最低的物质是（）物质酒精液态甲醛液态一氧化碳花生油沸点/℃78−19.5−191.5335A．液态一氧化碳B．液态甲醛C．酒精D．花生油19．若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是（）A．+0.9B．−3.5C．−0.5D．+2.520．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．>B．−>−C．>D．−>−参考答案1．解：A、胜1局和亏损2万元不具有相反意义的量，故选项不合题意；B、向东行驶5km与向北行驶10km不具有相反意义的量，故选项不合题意；C、运进6kg苹果与卖完5kg苹果不具有相反意义的量，故选项不合题意；D、水位上升0.6米与水位下降1米是一对意义相反的量，故选项符合题意．故选：D．2．解：∵向东走与向西走是一对意义相反的量，∴如果向西走80米记作“−80米”，∴向东走40米记作+40米，故选：A．3．解：体温低于正常体温0.5℃记作−0.5℃；那么高于正常体温0.8℃应该记作+0.8℃，故选：B．4．解：如果收入100元记作+100，那么−40表示为支出40元．故选：B．5．解：∵实数与数轴上的点一一对应，故选项A正确；∵负数的绝对值等于它的相反数，∴一个负数的绝对值等于它的相反数，故选项B正确；∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故选项C不正确；∵任何有理数都有相反数，故选项D正确．故选：C．6．解：由题意得：王横25岁，记为−15岁，故选：C．7．解：一袋面粉15.5kg记为+0.5kg，那么另一袋面粉14.7kg记为-0.3kg．故选：C．8．解：∵−3<−12<1<2，∴所给的各数中，最小的数是−3．故选：D9．解：A．−3=3是正数，不符合题意；B．−(−1)=1是正数，不符合题意；C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意；D．−2是负数，符合题意；故选：D．10．解：−56，+1，6.7，0，722，−5，25%中整数有：+1，0，−5，共3个，故选：B．11．解：∵−1=1,−1.5=1.5,+0.5=0.5,+1=1，∴−1.5>−1=+1>+0.5，∴+0.5的位置距离原点最近，故选：C．12．解：A、∵−=−723，−−7=723，∴−<−−7符合题意；B、∵−=56=2530，−=45=2430，∴−56<−45，故本选项正确，符合题意；C、∵−−21=21，+−21=−21，∴−−21>+−21，故本选项错误，不符合题意；D、∵−|−10|=−10，∴−|−10|<8，故本选项错误，不符合题意．故选：B．13．解：A、+−2=−2，−+2=−2，故两数不是相反数，不符合题意；B、−−2=−2，+2=2，两数互为相反数，符合题意；C、−−2=2，−2=2，故两数不是相反数，不符合题意；D、−+2=−2，−+2=−2，故两数不是相反数，不符合题意．故选：B．14．解：A、−+2=−2，此选项化简错误，不符合题意；B、−−2=2，此选项化简错误，不符合题意；C、+−2=−2，此选项化简正确，符合题意；D、−+2=−2，此选项化简错误，不符合题意；故选：C．15．解：正数有：53和2024，有2个正数．故选B．16．解：−2为负数，不符合题意；0为非负整数，符合题意；3.14为小数，不符合题意；102=5为非负整数，符合题意；3为小数，不符合题意；−−2021=2021为非负整数，符合题意；100%=1为非负整数，符合题意；综上所述，非负整数的个数有4个，故选：C．17．解：如图所示，∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是−1和−5．故选B．18．解：∵−191.5>−19.5，∴−191.5<−19.5<78<335，∴沸点最低的液体是液态一氧化碳．故选A．19．解：+0.9=0.9,−3.5=3.5,−0.5=0.5,+2.5=2.5，∵0.5<0.9<2.5<3.5，∴从轻重的角度看，最接近标准的是−0.5，故选：C．20．解：由图可得：0<<，且|U<|U，∴A、<，故此选项不符合题意；B、−>−，故此选项符合题意；C、|U<|U，故此选项不符合题意；D、|−U<|−U，故此选项不符合题意；故选：B．。

二元一次方程组练习题100道（卷一）（范围：代数： 二元一次方程组）一、判断1、⎪⎩⎪⎨⎧-==312y x 是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-910326523y x y x 的解 …………（ ） 2、方程组⎩⎨⎧=+-=5231y x xy 的解是方程3x -2y =13的一个解（ ）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（ ）4、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++25323473523y x y x ，可以转化为⎩⎨⎧-=--=+27651223y x y x （ ）5、若(a 2-1)x 2+(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（ ）6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（ ）7、方程组⎩⎨⎧=+-=+81043y x xm my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（ ）8、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+623131y x y x 有无数多个解 …………（ ） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（ ） 10、方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组⎩⎨⎧=+=-3513y x y x 的解 ………（ ）11、若|a +5|=5，a +b =1则32-的值为b a ………（）12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则437yx +=（ ） 二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（ ） （A ）一个解； （B ）两个解；（C ）三个解； （D ）无数多个解；14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（ ） （A ）5个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个 15、如果⎩⎨⎧=+=-423y x ay x 的解都是正数，那么a 的取值范围是（ ）（A ）a <2； （B ）34->a ； （C ）342<<-a ； （D ）34-<a ； 16、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+my x my x 932的解是方程3x +2y =34的一组解，那么m 的值是（ ）（A ）2； （B ）-1； （C ）1； （D ）-2；17、在下列方程中，只有一个解的是（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+0331y x y x（B ）⎩⎨⎧-=+=+2330y x y x（C ）⎩⎨⎧=-=+4331y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+3331y x y x18、与已知二元一次方程5x -y =2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）（A ）15x -3y =6 （B ）4x -y =7 （C ）10x +2y =4 （D ）20x -4y =319、下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+9114y x y x （B ）⎩⎨⎧=+=+75z y y x（C ）⎩⎨⎧=-=6231y x x（D ）⎩⎨⎧=-=-1y x xyy x20、已知方程组⎩⎨⎧-=+=-135b y ax y x 有无数多个解，则a 、b 的值等于（ ）（A ）a =-3,b =-14（B ）a =3,b =-7 （C ）a =-1,b =9（D ）a =-3,b =14 21、若5x -6y =0，且xy ≠0，则y x yx 3545--的值等于（ ）（A ）32（B ）23 （C ）1 （D ）-122、若x 、y 均为非负数，则方程6x =-7y 的解的情况是（ ） （A ）无解 （B ）有唯一一个解 （C ）有无数多个解 （D ）不能确定23、若|3x +y +5|+|2x -2y -2|=0，则2x 2-3xy 的值是（ ）（A ）14 （B ）-4 （C ）-12 （D ）12 24、已知⎩⎨⎧-==24y x 与⎩⎨⎧-=-=52y x 都是方程y =kx +b 的解，则k 与b 的值为（ ）（A ）21=k ，b =-4 （B ）21-=k ，b =4 （C ）21=k ，b =4（D ）21-=k ，b =-4三、填空：25、在方程3x +4y =16中，当x =3时，y =________，当y =-2时，x =_______ 若x 、y 都是正整数，那么这个方程的解为___________； 26、方程2x +3y =10中，当3x -6=0时，y =_________；27、如果0.4x -0.5y =1.2，那么用含有y 的代数式表示的代数式是_____________； 28、若⎩⎨⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+1242a y x b y ax 的解，则⎩⎨⎧==______________b a ； 29、方程|a |+|b |=2的自然数解是_____________； 30、如果x =1，y =2满足方程141=+y ax ，那么a =____________； 31、已知方程组⎩⎨⎧-=+=+m y x ay x 26432有无数多解，则a =______，m =______；32、若方程x -2y +3z =0，且当x =1时，y =2，则z =______；33、若4x +3y +5=0，则3(8y -x )-5(x +6y -2)的值等于_________；34、若x +y =a ，x -y =1同时成立，且x 、y 都是正整数，则a 的值为________； 35、从方程组)0(030334≠⎩⎨⎧=+-=--xyz z y x z y x 中可以知道，x :z =_______；y :z =________；36、已知a -3b =2a +b -15=1，则代数式a 2-4ab +b 2+3的值为__________；四、解方程组37、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1332343n m nm ； 38、)(6441125为已知数a a y x a y x ⎩⎨⎧=-=+；39、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+125432y x yx y x ； 40、⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++0)1(2)1()1(2x y x x x y y x ； 41、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=+=+6253)23(22)32(32523233y x y x yx y x ； 42、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++1213222132y x y x ；43、⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+=-+3113y x z x z y z y x ； 44、⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+101216x z z y y x ；45、⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+35351343z y x z y x z y x ； 46、⎪⎩⎪⎨⎧=+-==30325:3:7:4:z y x z x y x ；五、解答题：47x 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==475847107y x ；乙看错了方程②中的y 的系数，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==19177681y x ，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；48、使x +4y =|a |成立的x 、y 的值，满足(2x +y -1)2+|3y -x |=0，又|a |+a =0，求a 的值；49、代数式ax 2+bx +c 中，当x =1时的值是0，在x =2时的值是3，在x =3时的值是28，试求出这个代数式；50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a 的值。

数轴上的线段与动点问题一、与数轴上的动点问题相关的基本概念:数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概念：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值|a-b|,也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数.2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2.3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b.二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法：1.表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）.2.根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）.3.根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列方程.三、典例分析：例1：已知数轴上A,B,C三点对应的数分别为-1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP.（1）若AP=BP，则x=__________；（2）若AP+BP=8，求x的值；（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，三点同时出发.设运动时间为t秒，试判断：4BP-AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由.A B C-1 3 5练习1：已知：,a b 满足130a b -++=，数轴上A 、B 两点对应的数分别为,a b ，点P 为数轴上一动点.（1）若点P 到A 、B 两点的距离相等，求点P 对应的数；（2）若点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动，点A 以每分钟2个单位长度向右运动，点B 以每分钟5个单位长度向右运动，问它们同时出发，几分钟后P 点到A 、B 的距离相等？（3）若点B 以每分钟1个单位长度的速度向左运动，点A 以每分钟5个单位长度向右运动，点P 以每分钟2个单位长度从O 点向右运动，问AP-BP 的值会随时间变化而变化吗？若变化，说明理由，若不变，求出其值.练习2：A ，B 是数轴上的两点（点B 在点A 的右侧），点A 表示的数为﹣15，A ，B 两点的 距离AB 是点A 到原点O 的距离OA 的4倍，即AB ＝4OA ．（1）数轴上点B 表示的数是 ，点C 为数轴上的动点，当AC +BC ＝78时，可知点C 表示的数为 ；（2）动点P ，Q 分别从点B 和A 同时出发向左匀速运动，点P ，Q 的速度分别为每秒7个单位长度和每秒3个单位长度，当点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度时，求此时点P 和点Q 在数轴上所表示的数；（3）在（2）条件下，设运动时间为t ，点M 是PQ 的中点，点M 在运动到点O 的过程中，PQ ﹣OM 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由．例2： 如图，若点A 在数轴上对应的数为a ，点B 在数轴上对应的数为b ，且a ，b 满足｜a ＋2｜＋（b －1）2＝0.（1）求线段AB 的长；（2）点C 在数轴上对应的数为2，在数轴上是否存在点P ，使PA ＋PB ＝PC ，若存在，求 出点P 对应的数；若不存在，说明理由.（3）若P 是A 左侧的一点，PA 的中点为M ，PB 的中点为N ，当P 点在A 点左侧运动时， 有两个结论：①PM ＋PN 的值不变；②PN －PM 的值不变，其中只有一个结论正确，请判断 正确结论，并求出其值.练习1：如图，有两条线段，AB=2（单位长度），CD=1（单位长度）.在数轴上，点A 在数轴上表示的数是-12，点D 在数轴上表示的数是15. A 0 B（1）点B 在数轴上表示的数是___________，点C 在数轴上表示的数是_____________，线段BC 的长度是___________；（2）若线段AB 以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.当点B 与C 重合时，点B 与点C 在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB 以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动.设运动时间为t 秒，当0<t<24时，M 为AC 中点，N 为BD 中点，则线段MN 的长为多少？练习2：如图，在数轴上A 点表示的数为a ，B 点表示的数为b ，C 点表示的数为c ，b 是最 大的负整数，且a ，c 满足|a +3|+（c ﹣9）2＝0．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度 向左运动，到达点A 后立刻返回到点C ，到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）a＝ ，b ＝ ，c ＝ ．（2）点P 从点B 离开后，在点P 第二次到达点B 的过程中，经过x 秒钟，P A +PB +PC ＝13，求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时，数轴上的动点M ，N 分别从点A 和点C 同时出发，相向而行，速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t 秒钟时，P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的t 的值．A 0 C D B。

一、解答题1．计算：－32＋2×（－1）3－（－9）÷213⎛⎫ ⎪⎝⎭ 解析：70 【分析】先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减，即可得到答案．【详解】解：原式=92(1)(9)9-+⨯---⨯=9281--+=70．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．2．计算：（1）5721()()129336--÷- （2）22115()(3)(12)23-+÷-⨯---⨯ 解析：（1）37；（2）50．【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）原式=572()(36)152824371293--⨯-=-++=． （2）原式=15(3)(3)(14)2145650-+⨯-⨯---⨯=-++=． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．3．（1）在图所示的数轴上标出以下各数：52-，-5.5，-2，+5， 132 （2）比较以上各数的大小，用“＜”号连接起来；（3) 若点A 对应 5.5-，点B 对应132，请计算点A 与点B 之间的距离．解析：（1）画图见解析；（2） 5.5-＜52-＜2-＜132＜+5；（3）9. 【分析】（1）先画数轴，根据数轴上原点左边的为负数，原点右边的为正数，在数轴上描出对应各数的点即可得到答案；（2）根据数轴上的数，右边的数大于左边的数，直接用“＜”连接即可得到答案；（3）数轴上点A 与点B 对应的数分别为,a b ，则AB a b =-或b a -，根据以上结论代入数据直接计算即可得到答案．【详解】 解：（1）如图，在数轴上表示各数如下：（2）因为数轴上的数，右边的数总大于左边的数：所以按从小到大排列各数为：5.5-＜52-＜2-＜132＜+5 （3）因为：A 表示 5.5-，B 表示132， 所以：点A 与点B 之间的距离为：()13 5.5 3.5 5.599.2AB =--=+== 【点睛】本题考查的是利用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离，绝对值的含义，掌握以上知识是解题的关键．4．计算（1）28()5(0.4)5+----；（2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯； （4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦； （5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦． 解析：（1）3；（2）3；（3）667-；（4）3-；（5）315.4【分析】 （1）先把运算统一为省略加号的和的形式，再利用加法的运算律，把互为相反数的两数先加，从而可得答案；（2）先把除法转化为乘法，再利用乘法的分配律把运算化为：()()()1573636363612-⨯-+⨯--⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（3）把原式化为：()233662557-⨯+-⨯-⨯，逆用乘法的分配律，同步进行乘法运算，最后计算减法即可得到答案； （4）先计算小括号内的运算与乘方运算，再计算中括号内的运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案；（5）先计算乘方运算，同步把除法转化为乘法，再计算小括号内的减法运算，同步进行乘法运算，最后计算加法运算即可得到答案．【详解】解：（1）28()5(0.4)5+---- 2850.45=--+ 3.=（2）1571361236⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()157363612⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭()()()1573636363612=-⨯-+⨯--⨯- 123021=-+3.=（3）2336()(2)()(6)575⨯---⨯-+-⨯ ()233662557=-⨯+-⨯-⨯ 2366557⎛⎫=-⨯+- ⎪⎝⎭ 667=-- 667=- （4）42019213(20.2)(2)(1)5⎡⎤---+-÷⨯---⎢⎥⎣⎦()()1132212⎡⎤⎛⎫=---+-⨯--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()313212⎛⎫=---+⨯-+ ⎪⎝⎭()31212⎛⎫=---⨯-+ ⎪⎝⎭131=--+3.=-（5）24512.5()(0.1)(2)(2)10⎡⎤÷-⨯---+-⎣⎦ ()()1=2.5101632100⨯-⨯-- ()1164=--- 1164=-+ 315.4= 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，乘法分配律的应用，掌握运算法则与运算顺序是解题的关键．5．某校七年级（1）至（4）班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，下表是实际购书情况：（2）这4个班实际共购书多少本？（3）书店给出一种优惠方案：一次购买不少于15本，其中2本书免费．若每本书的售价为30元，请计算这4个班整体购书的最低总花费是多少元？解析：（1）42，+3，22；（2）118本；（3）3120元．【分析】（1）由于4班实际购入21本，且实际购买数量与计划购买数量的差值=-9，即可得计划购书量=30，进而可把表格补充完整；（2）把每班实际数量相加即可；（3）根据已知求出总费用即可．【详解】解：（1）由于4班实际购入21本书，实际购入数量与计划购入数量的差值=-9，可得计划购入数量=30（本），所以一班实际购入30+12=42本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值=33-30=3本，3班实际购入数量=30-8=22本．故答案依次为42，+3，22；（2）4个班一共购入数量=42+33+22+21=118（本）；（3）由118157÷=余13得，如果每次购买15本，则可以购买7次，且最后还剩13本书需单独购买，得最低总花费＝30×（15-2）×7+30×13＝3120（元）．.【点睛】本题考查了正负数的应用．在生活实际中利用正负数的计算能力，并通过相关运算来比较大小，进而得出最佳方案；这里要注意，生活中在选择方案时，要注意所有可能的情况． 6．计算：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦（2）121123436⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解析：（1）10；（2）3【分析】（1）先算乘方和小括号，再算中括号，后算加减即可；（2）把除法转化为乘法，再用乘法的分配率计算即可．【详解】解：（1）32(1)(2)(34)5⎡⎤--+---⨯⎣⎦ 1[4(1)5]=+--⨯1(45)10=++=；（2）1211121(36)23436234⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121(36)(36)(36)234=-⨯-+⨯--⨯- 182493=-+=．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算；如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行；有时也可以根据运算定律改变运算的顺序．7．计算：（1）113623⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭ （2）2233(3)3(2)|4|-÷-+⨯-+-解析：（1）2；（2）-21．【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；（2）根据有理数的混合运算法则即可求解．【详解】解：（1）113623⎛⎫-⨯-⎪⎝⎭ =1136623-⨯+⨯ =332-+=2；（2）2233(3)3(2)|4|-÷-+⨯-+-=993(8)4-÷+⨯-+=1244--+=-21．【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．8．计算：（1）()4235524757123⎛⎫÷--⨯-÷- ⎪⎝⎭； （2）()3218223427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭． 解析：（1）0；（2）1-．【分析】（1）原式先把除法转换为乘法，再逆用乘法分配律进行计算即可得到答案；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】解：（1）()4235524757123⎛⎫÷--⨯-÷- ⎪⎝⎭ 45355171271234⎛⎫=⨯--⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 4535571271212=-⨯-⨯+ 43517712⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭ 5012=⨯ 0=； （2）()3218223427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎪⎝⎭()98427427⎛⎫-⨯+-⨯- ⎝=⎪⎭98=-+1=-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．9．计算：()22216232⎫⎛-⨯--⎪⎝⎭ 解析：2【分析】原式先计算乘方，再运用乘法分配律计算，最后进行加减运算即可．【详解】解：()22216232⎫⎛-⨯-- ⎪⎝⎭=2136()432⨯-- =213636432⨯-⨯- =24-18-4=2．【点睛】 此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．10．计算：（1）()110822⎫⎛---÷-⨯-⎪⎝⎭ （2）()2313232154⎫⎛-⨯--⨯-÷- ⎪⎝⎭解析：（1）12- ；（2）0【分析】（1）先去绝对值，同时把除变乘，再计算乘法，最后加减即可（2）先计算乘方和括号内的，把除变乘，再计算乘法，最后加减法即可【详解】（1）()110822⎫⎛---÷-⨯- ⎪⎝⎭=1110822⎛⎫⎛⎫--⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=102--=-12（2）()2313232154⎫⎛-⨯--⨯-÷- ⎪⎝⎭=()()2386154-⨯---⨯-=243660--+=0【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．11．计算：（1）()222112136⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+---÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）131121346⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭解析：（1）1；（2）9-【分析】（1）先算括号里面的，再算括号外面的即可；（2）根据乘法分配律计算即可；【详解】（1）()222112136⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+---÷- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 11463⎡⎤=-+-⨯⎢⎥⎣⎦， 121=-+=；（2）131121346⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭， ()()()431121212346=-⨯--⨯+-⨯， 16929=-+-=-；【点睛】 本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．12．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上互为相反数的点A 和点B 刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．（1）写出点A 和点B 表示的数；（2）写出在点B 左侧，并与点B 距离为9.5厘米的直尺左端点C 表示的数；（3）若直尺长度为a 厘米，移动直尺，使得直尺的长边CD 的中点与数轴上的点A 重合，求此时左端点C 表示的数．解析：（1）点A 表示的数是-3，点B 表示的数是3；（2）点C 表示的数是-6.5；（3）3-0.5a【分析】（1）根据AB=8-2=6，点A 和点B 表示的数是互为相反数，即可得到结果；（2）利用点B 表示的数3减去9.5即可得到答案；（3）利用中点表示的数向左移动0.5a 个单位计算即可．【详解】（1）∵AB=8-2=6，点A 和点B 表示的数是互为相反数，∴点A 表示的数是-3，点B 表示的数是3；（2）点C 表示的数是：3-9.5=-6.5；（3）∵直尺长度为a 厘米，直尺中点表示的数是-3，∴直尺此时左端点C 表示的数-3-0.5a ．【点睛】此题考查利用数轴表示数，数轴上两点之间的距离，数轴上点移动的规律，熟记数轴上点移动的规律进行计算是解题的关键．13．计算（1）1140336177⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()341110.5123⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦解析：（1）-6；（2）52-【分析】（1）根据加法运算律计算即可；（2）先算括号里面，再算括号外面的即可；【详解】 （1）1140336177⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1140363177⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭， 42=--，=-6；（2）()()341110.5123⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦， 111923=--⨯⨯， 312=--，52=-． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确应用加法运算律解题的关键．14．某粮仓原有大米132吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（运进大米记作“+”，运出大米记作“-”，例如：当天运进大米8吨，记作8+吨；当天运出大米15吨，记作15-吨）若经过这一周，该粮仓存有大米88吨．（1）求星期五粮仓大米的进出情况；（2）若大米进出粮仓的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用． 解析：（1）星期五粮仓当天运出大米20吨；（2）2700元．【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位费用乘以总量，可得答案．【详解】（1）m ＝88﹣(132﹣32+26﹣23﹣16+42﹣21)=﹣20，∴星期五粮仓当天运出大米20吨；（2）（|﹣32|+|+26|+|﹣23|+|﹣16|+|﹣20|+|+42|+|﹣21|）×15＝2700(元)， 答：这一周该粮仓需要支付的装卸总费用为2700元．【点睛】本题考查了用正负数表示相反意义的量及有理数加减法的应用，第（2）问利用单位费用乘以总量是解题关键．15．计算：（1）()()674-+--；（2）()3232--⨯． 解析：（1）17-；（2）14【分析】（1）根据有理数的加减法即可求出值；（2）原式先计算乘方，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；【详解】解：（1）原式134=-17=-（2）原式()86=--14=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．计算：2334[28(2)]--⨯-÷-解析：21-．【分析】先计算有理数的乘方，再计算括号内的除法与减法，然后计算有理数的乘法，最后计算有理数的减法即可得．【详解】解：原式[]9428(8)=--⨯-÷-， []942(1)=--⨯--， 943=--⨯，912=--，21=-．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．17．将n 个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n 个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组． （1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1 2 3 4 =（2）若数组1，4，6，m 是“运算平衡”数组，则m 的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n 个整数，则这n 个整数需要具备什么样的规律？ 解析：（1）是，+1-2-3+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）这n 个整数互不相同，在这n 个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m 的方程，解方程即可；（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n 个数的规律．【详解】解：（1）数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+1-2-3+4=0；（2）要使数组1，4，6，m 是“运算平衡”数组，有以下情况：1+4+6+m=0；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16中情况，经计算得m=±1，±3，±9，±11；（3）这n 个整数互不相同，在这n 个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0．【点睛】本题考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键．18．计算（1）442293⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭2； （2）313242⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭3()32490.5234-⨯-÷+-． 解析：(1)16-；(2)34【分析】 (1)按照有理数的四则运算进行运算即可求解；(2)按照有理数的四则运算法则进行运算即可，先算乘方，注意符号．【详解】解：(1)原式944163616499=-⨯⨯=-⨯=-， (2)原式113924()(8)8444=⨯--⨯-⨯+ 39324=-++ 34=， 【点睛】本题考查有理数的加减乘除乘方运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的，计算过程中细心即可．19．计算：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+-． 解析：33【分析】有理数的混合运算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【详解】 解：2202013(1)(2)4(1)2-÷-⨯---+- =1(2)4192-÷⨯--+ =192(2)4-⨯⨯--+ =3641-+=33．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．20．计算：(1)－8＋14－9＋20(2)－72－5×(－2) 3＋10÷(1－2) 10解析：（1）17；（2）1．【分析】（1）原式利用加法结合律相加即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】解：（1）814920--++()()=891420--++=17-+34=17（2）2310752+()(1012)--⨯-÷-()1=4958+10--⨯-÷=49+40+10-=1【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．计算：（1）2×（-3）3-4×（-3）（2）-22÷（12-13）×（-58） 解析：（1）-42；（2）15【分析】（1）先算乘方、乘法，再算加减法即可；（2）先算括号和乘方，再算乘除即可．【详解】（1）原式 =2(27)12⨯-+=-54+12= 42-．（2）原式 =154()68-÷⨯- =5468⨯⨯=15．【点睛】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则及运算顺序是关键．22．如图，数轴上A，B两点之间的距离为30，有一根木棒MN，设MN的长度为x．MN数轴上移动，M始终在左，N在右．当点N移动到与点A，B中的一个重合时，点M所对应的数为9，当点N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数是多少？解析：点M所对应的数为24或-6．【分析】设MN=x，然后分类计算即可：①当点N与点A重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9；②当点N与点B重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9．【详解】设MN=x，①当点N与点A重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9，∵AB=30，∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+9+15=x+24，∴点M所对应的数为x+24-x=24；②当点N与点B重合时，点M所对应的数为9，则点N对应的数为x+9，∵AB=30，∴当N移动到线段AB的中点时，点N对应的数为x+9-15=x-6，∴点M所对应的数为x-6-x=-6；综上，点M所对应的数为24或-6．【点睛】本题综合考查了数轴的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．数形结合并分类讨论是解题的关键．23．点A、B在数轴上所表示的数如图所示，回答下列问题：（1）将A在数轴上向左移动1个单位长度，再向右移动9个单位长度，得到点C，求出B、C两点间的距离是多少个单位长度？（2）若点B在数轴上移动了m个单位长度到点D，且A、D两点间的距离是3，求m的值．解析：（1）B、C两点间的距离是3个单位长度；（2）m的值为2或8．【分析】（1）利用数轴上平移左移减，右移加可求点C所表示的数为﹣3﹣1+9＝5，利用绝对值求两点距离BC＝|2﹣5|＝3；（2）分类考虑当点D在点A的左侧与右侧，利用AD=3，求出点D所表示的数，再利用BD=m 求出m 的值即可．【详解】解：（1）点C 所表示的数为﹣3﹣1+9＝5，∴BC ＝|2﹣5|＝3.（2）当点D 在点A 的右侧时，点D 所表示的数为﹣3+3＝0，所以点B 移动到点D 的距离为m ＝|2﹣0|＝2，当点D 在点A 的左侧时，点D 所表示的数为﹣3﹣3＝﹣6，所以点B 移动到点D 的距离为m ＝|2﹣（﹣6）|＝8，答：m 的值为2或8．【点睛】本题考查数轴上平移，两点距离问题，利用AD 的距离分类讨论点D 的位置是解题关键． 24．在数轴上，一只蚂蚁从原点O 出发，它先向左爬了2个单位长度到达点A ，再向右爬了3个单位长度到达点B ，最后向左爬了9个单位长度到达点C ．（1）写出A ，B ，C 三点表示的数；（2）根据点C 在数轴上的位置回答，蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬了几个单位长度？解析：（1）A ，B ，C 三点表示的数分别是-2，1，-8；（2）向左爬了8个单位．【分析】（1）向左用减法，向右用加法，列式求解即可写出答案；（2）根据C 点表示的数，向右为正，向左为负，继而得出答案．【详解】解：（1）A 点表示的数是0-2=-2，B 点表示的数是-2+3=1，C 点表示的数是1-9=-8；（2）∵O 点表示的数是0；C 点表示的数是-8，∴蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬了8个单位．【点睛】本题考查了数轴的知识及有理数的加减法的应用，属于基础题，比较简单，理解向左用减法，向右用加法，是关键．25．计算：（1）()()()923126--⨯-+÷-（2）()2235112342⎛⎫-+--÷- ⎪⎝⎭． 解析：（1）1；（2）-1.【分析】（1）先算乘除，再算加减即可求解；（2）先算乘方，后算除法，最后算加减即可求解.【详解】（1）()()()923126--⨯-+÷-=962--=1；（2）()2235112342⎛⎫-+--÷- ⎪⎝⎭ =11891632-+-÷ =1893216-+-⨯ =892-+-=-1.【点睛】 此题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．26．探索代数式222a ab b -+与代数式2()a b -的关系（1）当5a =，2b =-时，分别计算两个代数式的值．（2）你发现了什么规律？（3）利用你发现的规律计算：2220182201820192019-⨯⨯+解析：（1）49， 49；（2）a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）1．【分析】（1）将a 、b 的值分别代入a 2−2ab ＋b 2与（a−b ）2计算可得；（2）根据（1）中的两式的计算结果即可归纳总结出关系式；（3）原式变形后，利用完全平方公式计算可得结果．【详解】解：（1）当a ＝5，b ＝−2时，a 2−2ab ＋b 2＝52−2×5×（−2）＋（−2）2＝25＋20＋4＝49，（a−b ）2＝[5−（−2）]2＝72＝49；（2）根据（1）的计算，可得规律：a 2−2ab ＋b 2＝（a−b ）2；（3）20182−2×2018×2019＋20192＝（2018−2019）2＝（−1）2＝1．【点睛】本题考查了代数式的求值及完全平方公式的应用，解题的关键是掌握代数式的求值方法以及利用完全平方公式简便运算．27．（1）()()()()413597--++---+；（2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭．解析：（1）-6；（2）715． 【分析】 （1）原式根据有理数的加减法法则进行计算即可得到答案；（2）原式把除法转换为乘法，再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：（1）()()()()413597--++---+=-4-13-5+9+7=-22+9+7=-13+7=-6；（2）340.2575⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭ =174435⨯⨯ =715． 【点睛】 此题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．计算下列各题：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； （2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解析：（1）19-；（2） 3.-【分析】 （1）利用乘法的分配律把原式化为：()()()1573636362912⨯--⨯-+⨯-，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可得到答案； （2）先计算乘方运算与小括号内的运算，同步把除法转化为乘法，再计算乘法运算，最后计算减法运算即可得到答案．【详解】解：（1）()157362912⎛⎫-+⨯- ⎪⎝⎭； ()()()1573636362912=⨯--⨯-+⨯- 182021=-+-19=-（2）()()2362295321343⎛⎫⎛⎫-÷⨯---+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()4452741993⎛⎫=⨯⨯---+⨯ ⎪⎝⎭ 16733⎛⎫=--- ⎪⎝⎭16733=-+ 9 3.3=-=- 【点睛】本题考查的是乘法的分配律的应用，含乘方的有理数的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．29．计算（1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭； （2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦；（3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭． 解析：（1）22；（2）2117-；（3）54-． 【分析】（1）原式利用乘法分配律计算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算括号内的运算，最后除法运算即可得到结果； （3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果；【详解】（1）112(24)243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ 112(24)(24)(24)243⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12616=-+=22；（2）3221(2)(3)⎡⎤÷---⎣⎦()2189=÷--()2117=÷-2117=-； （3）2202035|5|(1)( 3.14)02π⎛⎫---⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭ 255104=-⨯+ 54=-． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30．计算（1）)()()(2108243-+÷---⨯-；（2）)()(22000112376⎡⎤--⨯--÷-⎥⎢⎦⎣． 解析：（1）20-；（2）116-． 【分析】（1）先计算有理数的乘方与乘法，再计算有理数的除法，然后计算有理数的加减法即可得；（2）先计算有理数的乘方，再计算有理数的加减乘除法即可得．【详解】（1）原式108412=-+÷-，10212=-+-，20=-；（2）原式())(112976=--⨯-÷-， ())(11776=--⨯-÷-， )(7176=-+÷-， 116=--， 116=-． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．。

初中数学竞赛：几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明． 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、 逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变⌒思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关． 思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．⌒注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．专题训练1．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ． 4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )A ．1B ．22 C ．2 D ．13-5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案。

初一数学竞赛测试题及答案【测试题一】题目：计算下列表达式的值：\[ 2^3 + 3^2 - 4 \times 5 \]【答案】首先，按照运算顺序，先计算乘方和乘法，再计算加法和减法。

\[ 2^3 = 8 \]\[ 3^2 = 9 \]\[ 4 \times 5 = 20 \]然后进行加减运算：\[ 8 + 9 - 20 = 17 - 20 = -3 \]所以，表达式的值为 -3。

【测试题二】题目：如果一个数的平方等于这个数本身，这个数是什么？【答案】设这个数为 \( x \)，根据题意，我们有：\[ x^2 = x \]这个方程可以重写为：\[ x^2 - x = 0 \]\[ x(x - 1) = 0 \]根据零乘律，\( x = 0 \) 或 \( x - 1 = 0 \)，所以 \( x = 0 \) 或 \( x = 1 \)。

【测试题三】题目：一个长方体的长、宽、高分别是 8 厘米、6 厘米和 5 厘米，求这个长方体的体积。

【答案】长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算：\[ \text{体积} = 长 \times 宽 \times 高 \]\[ \text{体积} = 8 \times 6 \times 5 = 240 \text{ 立方厘米} \]【测试题四】题目：一个圆的半径是 7 厘米，求这个圆的周长和面积。

【答案】圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \)，面积公式是 \( A = \pi r^2 \)。

将半径 \( r = 7 \) 厘米代入公式中：\[ C = 2 \times \pi \times 7 \approx 44 \text{ 厘米} \]\[ A = \pi \times 7^2 \approx 153.94 \text{ 平方厘米} \]【测试题五】题目：一个班级有 40 名学生，其中 2/5 是男生，3/5 是女生。

如果班级里增加了 10 名男生，那么班级里男生和女生的比例是多少？【答案】首先，计算原有男生和女生的人数：男生：\( 40 \times \frac{2}{5} = 16 \) 人女生：\( 40 \times \frac{3}{5} = 24 \) 人增加 10 名男生后，男生总数变为 \( 16 + 10 = 26 \) 人，女生人数不变。