角的定义与表示

角的认识与分类角是几何学中的基本概念之一，它在很多数学和科学领域中都有重要的应用。

本文将介绍角的定义、角的分类以及角的应用。

1. 角的定义角是由两条射线共同确定的图形，其中一条射线称为角的边，另一条射线称为角的腿。

角的端点即两条射线的交点。

2. 角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。

- 锐角：角的度数小于90°，即角的边缘所夹的空间小于直角。

- 直角：角的度数等于90°，即角的边缘所夹的空间等于直角。

- 钝角：角的度数大于90°，即角的边缘所夹的空间大于直角。

除了按照大小分类外，角还可以按照方向分类：- 顺时针角：当从角的边上的一个点沿着边的方向逆时针旋转到另一个点时，所旋转过的角为顺时针角。

- 逆时针角：当从角的边上的一个点沿着边的方向顺时针旋转到另一个点时，所旋转过的角为逆时针角。

3. 角的应用角的概念在几何学以及其他许多领域中有广泛的应用。

以下是角的一些常见应用：- 三角函数：三角函数是角的度量与三角比例之间的关系。

通过三角函数，我们可以研究和计算角的各种性质，如正弦、余弦和正切等。

- 角度量：在测量领域中，角被用来度量方向和旋转。

例如，罗盘使用角度来表示方向，航海中使用角度来确定船只的航向。

- 图形设计：在图形设计中，角被用于创建各种几何形状和图案。

通过改变角度的大小和位置，设计师可以创造出丰富多样的效果。

- 物理学：在物理学中，角被用来描述物体的旋转、转动力和力矩等。

例如，刚体的旋转运动可以通过角来描述和计算。

总结：角是由两条射线共同确定的图形，其中有锐角、直角和钝角等分类。

角的概念在数学、物理和其他领域中有着广泛的应用，包括三角函数、角度量、图形设计和物理学等。

认识和理解角的分类和应用对于深入研究几何学以及涉及角度测量和图形设计的领域都非常重要。

通过对角的认识与分类的学习，我们可以更好地理解和应用角度概念，提高数学和科学领域的问题解决能力。

基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。

（其中一个角称为另一个角的余角。

)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。

（其中一个角称为另一个角的补角。

）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。

） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。

（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。

（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。

（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。

（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。

（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。

A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。

角（基础）知识讲解责编:康红梅【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O ，边是射线OA 、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1图2要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的160160角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB 和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB 是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB 与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB．12要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA 的方向是北偏东60°；射线OB 的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O 是观测点，所有方向线(射线)都必须以O 为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】（2015春•泰山区期中）下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）A．B．C．D．【答案】D．解：A、顶点B处有四个角，不能用∠B表示，错误；B、顶点B处有二个角，不能用∠B表示，错误；C、顶点B处有三个角，不能用∠B表示，错误；D、顶点B处有一个角，能同时用∠ABC，∠B，∠1表示，正确．2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角；(3)图中共有几个角(小于180°).【答案与解析】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．【总结升华】(1)顶点处只有一个角时，才可以用一个字母表示； (2)一般数角时不包括平角和大于平角的角．类型二、角度制的换算3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)，130300.560'⎛⎫'''=⨯= ⎪⎝⎭112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈° 所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°+24′+36×＝33°+24′+0.6′160'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝33°+24.6′＝33°+24.6×＝33.41°160⎛⎫⎪⎝⎭°类型三、角的比较与运算4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．5. （2015•建湖县一模）如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC= 度．【答案】180．【解析】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°，∴∠AOB+∠COD=180°．【总结升华】本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．【高清课堂：角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM 是∠AOB 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】∵OM 平分∠AOB，ON 平分∠COB，∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC.(角平分线的定义)1212∴∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOC=(∠AOB+∠BOC)121212=∠AOC=×80︒=40︒ .1212即∠MON=40︒.类型四、方位角6. A 看B 的方向是北偏东30°，那么B 看A 的方向是( ) ．A ．南偏东60°B ．南偏西60°C ．南偏东30°D ．南偏西30°【答案】D【解析】依题意画出示意图．由图可知，图中∠1即表示从A 看B 的北偏东30°，∠2是从B 看A 的方位角．由此可确定从B 看A 是南偏西30°．【总结升华】从本例的分析与结果来看，从A 看B 与从B 看A 正好是一对对立的观察过程，其方向是一种“相反”的对应关系．方位角的确定首先以什么点为基点（即人站在此处观察）要弄清楚，再由正南或正北到视线夹角测量出来．举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．【答案】北偏西30°类型五、钟表上有关夹角问题7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如图（1），设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4+0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4+0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如图（1），∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．举一反三：【变式】2时48分时针与分针的夹角．【答案】解法1：如图(2)，设2时48分时针与分针的夹角为∠α，所以∠α＝360°-(48×6°-2×30°-48×0.5°)＝360°-204°＝156°解法2：如图(2)∠BOD＝30°×4＝120°，∠COD＝2×6°＝12°，∠AOB＝48×0.5°＝24°，所以∠AOC＝∠BOD+∠COD+∠AOB＝156°．即2时48分时针与分针的夹角为156°．。

小学数学角的初步认识知识点
小学数学角的初步认识主要涉及以下几个知识点：
1. 角的定义：角是由两条射线或线段所围成的图形，其中的两条射线或线段称为角的边，交点称为角的顶点。

2. 角的度量：角的度量可以用度、弧度或百分度来表示。

其中，度是最常用的度量单位，一个角度等于360度。

3. 角的分类：角根据其度数可以分为锐角、直角、钝角和平角。

锐角指角的度数小于90度，直角指角的度数等于90度，钝角指角的度数大于90度，平角指角的度数等于180度。

4. 角的比较：通过比较两个角的度数可以判断它们的大小关系。

度数更大的角更大，度数更小的角更小。

5. 角的补角和余角：两个角的补角指的是它们的度数相加等于90度，两个角的余角指的是它们的度数相加等于180度。

6. 角的四种基本运算：角的四种基本运算包括相加、相减、相乘和相除。

当两个角相加时，可以直接将它们的度数相加；当两个角相减时，可以直接将被减角的度数从减角的度数中减去；当角与一个数相乘时，可以将角的度数与这个数相乘；当角与一个数相除时，可以将角的度数除以这个数。

以上是小学数学角的初步认识知识点的简要介绍。

在学习角的过程中，还需要理解角的概念和性质，并进行一些实际问题的应用。

数学中的角的分类与性质角是数学中非常重要的概念，它具有多种分类和性质。

本文将介绍角的分类和性质，以帮助读者更好地理解和应用数学中的角度概念。

一、角的基本定义在数学中，角是由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。

公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的边。

角被表示为∠ABC或∠C，其中A为顶点，B、C为边上的点。

二、角的分类基于角的大小和度量，角可以被分为以下三类：1. 零角（Zero Angle）：零角是指两条射线完全重合，即边重合的角。

零角的度数为0°。

[插入零角示意图]2. 直角（Right Angle）：直角是指两条相互垂直的射线形成的角。

直角的度数为90°。

[插入直角示意图]3. 钝角（Obtuse Angle）：钝角是指两条射线夹角大于直角但小于平角的角。

钝角的度数大于90°但小于180°。

[插入钝角示意图]4. 锐角（Acute Angle）：锐角是指两条射线夹角小于直角的角。

锐角的度数小于90°。

[插入锐角示意图]三、角的性质角的性质是指角在相关操作中表现出的一般规律和特征。

以下是角的一些重要性质：1. 余角（Complementary Angle）：两个角的和等于90°时，它们互为余角。

例如，∠ABC和∠CBD是余角关系，因为∠ABC + ∠CBD = 90°。

2. 补角（Supplementary Angle）：两个角的和等于180°时，它们互为补角。

例如，∠ABD和∠CDB是补角关系，因为∠ABD + ∠CDB = 180°。

3. 对顶角（Vertical Angles）：对顶角是指两对互相相邻的角，它们的顶点和边相同。

对顶角相等，即∠ABC = ∠CDE，∠ABD = ∠CDE。

4. 内角和外角（Interior and Exterior Angles）：在两条平行线被一条横切线相交时，所形成的角被称为内角或外角。

角的认识与分类角（英文缩写：angle）是几何学中常见的概念之一，它是由两条射线共同确定的两个半平面所形成的图形部分。

在现实生活中，我们常常会遇到各种不同种类的角，它们有着不同的性质和分类方式。

本文将对角的认识与分类进行详细介绍。

一、角的定义角由两条射线共同确定，在射线的起点处形成顶点。

我们可以通过角度来衡量角的大小，角度用度或弧度表示。

度是常用的角度单位，它用符号“°”表示，360度等于一个完整的圆周。

弧度是角度的另一种度量方式，用符号“rad”表示。

二、角的分类根据角度的大小以及两条射线的位置关系，我们可以将角分为以下几类：1. 锐角锐角是指角的大小小于90°的角。

在锐角中，射线之间的夹角较小，形状更为尖锐。

例如，30°、45°都是典型的锐角。

2. 直角直角是指角的大小等于90°的角。

直角的射线之间形成一个正交（垂直）的关系，形状类似于一个“L”的形状。

3. 钝角钝角是指角的大小大于90°但小于180°的角。

钝角中，射线之间的夹角超过90°，形状比较扁平。

例如，120°、150°都是典型的钝角。

4. 平角平角是指角的大小等于180°的角。

平角实际上是一条直线，射线完全重合形成一个笔直的角度。

除了根据角的大小进行分类，我们还可以根据角的位置关系进行分类。

5. 对顶角对顶角是指两个角的顶点和两条射线上的点相互重合，两个角的度数相等的情况。

对顶角通常是由平行线与其相交的两直线所形成的。

6. 共顶点角共顶点角是指两个角共享同一个顶点的情况，但两条射线上的点不重合。

共顶点角的度数可以是相等的，也可以是不相等的。

在几何图形中，多边形的每个顶点所形成的角度都属于共顶点角。

7. 夹角夹角是指两条射线之间的角度。

夹角可以是锐角、直角或钝角，取决于两条射线之间的夹角大小。

三、角的应用角的概念在几何学中有着广泛的应用。

角有关的概念角是几何学中一个基本的概念，它是由两条射线共同确定而形成的。

角通过测量角度大小来描述角所占用的空间。

在这里，我将回答您所提到的与角有关的概念，涵盖角的定义、分类、度量、性质以及角的运算。

一、角的定义和分类：角是由两条射线共同确定的。

其中，射线的起点称为角的顶点，两条射线的公共终点构成角的两个边。

一般来说，角可以通过角顶点标记或用字母表示。

根据角的大小，我们可以将角分为以下几类：1. 零角：两条射线在同一条直线上，并且无重叠部分。

2. 锐角：两条射线在同一平面上，夹角小于90度。

3. 直角：两条射线在同一平面上，夹角等于90度。

4. 钝角：两条射线在同一平面上，夹角大于90度。

5. 平角：两条射线在同一平面上，夹角等于180度。

二、角的度量：我们通常使用角度来度量角的大小。

角度是通过将一个完整的圆分成360等份来定义的，每一份对应一个角度单位。

一个完整的圆对应的角度为360度，一个角度单位也可以表示为1/360个圆周。

在角度计量系统中，我们使用度作为角度单位。

例如，一个直角对应的角度是90度，一个平角对应的角度是180度。

同时，我们也可以使用弧度来度量角的大小。

弧度是通过将一个完整的圆的周长分成2π等份来定义的，每一份对应一个弧度。

一个完整的圆周对应的弧度为2π。

三、角的性质：角的度量不仅仅是一个数值，还可以描述角的性质和特点。

以下是一些常见的角性质：1. 互补角：两个角的和为90度，它们的和称为补角。

2. 余角：两个角的和为180度，它们的和称为余角。

3. 对顶角：由两组对立的角所构成的，它们的和为180度。

4. 同位角：由两对相邻的内角或相邻的外角所构成的，它们的和为180度。

5. 相等角：两个角的度量相等。

6. 互为补角的两个角是等角。

7. 夹角的大小不受角的顺序影响。

四、角的运算：角的运算包括角的相加、相减、相乘和相除等操作。

以下是一些常见的角运算规则：1. 角的相加：两个角相加等于它们的和。