2010~2018江苏高考三角函数汇编(文)

2010~2018高考三角函数汇编1、考纲要求：三角函数的概念B同角的三角函数的基本关系式B正弦函数、余弦函数的诱导公式B三角函数图像与性质B函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质A 两角和与差的正弦、余弦与正切C二倍角的正弦、余弦与正切B正弦定理、余弦定理与应用B2、高考解读：高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等简称为：变角、变名、变次.备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值见20XX三角解答题，第二类是给出在三角形中见20XX、2015年、2016年三角解答题，第三类是给出向量见20XX、2017年三角解答题.而20XX三角解答题则是二、三类的混合.通常一大一小也会出现两小一大情况，还有可能出现应用题，主要考察三角公式、三角函数的图像与性质、解三角形知识，一般都是容易题或中档题。

一、三角公式★7．〔5分〕〔2011•XX〕已知，则的值为．★★11．〔5分〕〔2012•XX〕设α为锐角，若cos〔α+〕=，则sin〔2α+〕的值为．★8．〔5分〕〔2015•XX〕已知tanα=﹣2，tan〔α+β〕=，则tanβ的值为．★5．〔5分〕〔2017•XX〕若tan〔α﹣〕=．则tanα=．★★★15．〔14分〕〔2013•XX〕已知=〔cosα，sinα〕，=〔cosβ，sinβ〕，0＜β＜α＜π．〔1〕若|﹣|=，求证：⊥；〔2〕设=〔0，1〕，若+=，求α，β的值．★★★15．〔14分〕〔2014•XX〕已知α∈〔，π〕，sinα=．〔1〕求sin〔+α〕的值；〔2〕求cos〔﹣2α〕的值．★★★16．〔14分〕〔2018•XX〕已知α，β为锐角，tanα=，cos〔α+β〕=﹣．〔1〕求cos2α的值；〔2〕求tan〔α﹣β〕的值．二、三角函数图像与性质★★★10．〔5分〕〔2010•XX〕定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．★★9．〔5分〕〔2011•XX〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕，〔A，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0〕的部分图象如图所示，则f〔0〕=．★1．〔5分〕〔2013•XX〕函数y=3sin〔2x+〕的最小正周期为．★5．〔5分〕〔2014•XX〕已知函数y=cosx与y=sin〔2x+φ〕〔0≤φ＜π〕，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．★★★9．〔5分〕〔2016•XX〕定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx 的图象的交点个数是．★★7．〔5分〕〔2018•XX〕已知函数y=sin〔2x+φ〕〔﹣φ＜〕的图象关于直线x=对称，则φ的值为．★★★16．〔14分〕〔2017•XX〕已知向量=〔cosx，sinx〕，=〔3，﹣〕，x∈[0，π]．〔1〕若，求x的值；〔2〕记f〔x〕=，求f〔x〕的最大值和最小值以与对应的x的值．三、解三角形★★★13．〔5分〕〔2010•XX〕在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．★★★★14．〔5分〕〔2014•XX〕若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．★★★★14．〔5分〕〔2016•XX〕在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．★★★13．〔5分〕〔2018•XX〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．★★★15．〔14分〕〔2011•XX〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．〔1〕若sin〔A+〕=2cosA，求A的值．〔2〕若cosA=，b=3c，求sinC的值．★★★15．〔14分〕〔2012•XX〕在△ABC中，已知．〔1〕求证：tanB=3tanA；〔2〕若cosC=，求A的值．★★★15．〔14分〕〔2015•XX〕在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．〔1〕求BC的长；〔2〕求sin2C的值．★★★15．〔14分〕〔2016•XX〕在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．〔1〕求AB的长；〔2〕求cos〔A﹣〕的值．★★★17．〔14分〕〔2010•XX〕某兴趣小组测量电视塔AE的高度H〔单位：m〕，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．〔1〕该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；〔2〕该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d〔单位：m〕，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α﹣β最大？★★★18．〔16分〕〔2013•XX〕如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C 处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=〔1〕求索道AB的长；〔2〕问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？〔3〕为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X围内？★★★17．〔14分〕〔2018•XX〕某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧〔P为此圆弧的中点〕和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．〔1〕用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值X围；〔2〕若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．。

、选择题C1. 【2018全国二卷6】在△ ABC 中，cos —2A . 4j2B .30C.29D . 252.【2018全国二 二卷10】若f(x)cosxsinx 在[ a, a] 是减函数，则a的最大值是nn3 nA.-B . —C. —D . n4243.【2018全国三 一 *一卷4】若sin 1，则cos237 .【2018浙江卷5】函数y=2|x|sin2x 的图象可能是，BC 1，AC 5，则 AB 500 - 98〉D7 - 9G【2018全国三卷9】△ ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为a ,c ，若△ ABC 的面积为A .7tB .nC.— 4D .5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记 d 为点P (cos 0, sin B)到直线x my 20的距离，当 0, m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数ysin(2x 5)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数10 A 在区间吟上单调递增3B在区间［壬，］上单调递减5 C在区间［53］上单调递3D 在区间［—,2 ］上单调递减A.1.【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ,贝U f x 的最小值是 ____________________ . 2 .【2018 全国二卷 15 】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a 3) _____________________ .n3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x — 在0, n 的零点个数为64. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x ”(0)，若f(x)仁才)对任意的实数x 都成立，贝U 3的最小值为5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x )( )的图象关于直线x 对称，则的值是 . 2 2 36.【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 ,ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD 1，贝U 4a c 的最小值为 __________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .若a= , b=2, A=60 °则sin B= ______________ ,c= __________ . 三•解答题1. 【2018全国一卷17】在平面四边形 ABCD 中， ADC 90°, A 45o , AB 2, BD 5.(1)求 cos ADB ; (2)若 DC 2 2，求 BC ., 12. 【2018 北京卷 15】在厶 ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.二、填空题(I)求/ A；(I)求AC边上的高.3.【2018天津卷15】在4阮中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，°已知bsinA acos(B訐5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆(I )求角 B 的大小;(II )设 a=2, c=3，求 b 和 sin(2A B)的值.4.【2018江苏卷 16】已知4，为锐角，tan 3，cos() (1)求cos2 的值;(2 )求tan()的值.线段MN 构成.已知圆 O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为 50米•现规划在此农田上修建两个温室大棚，大 棚I 内的地块形状为矩形 ABCD,大棚H 内的地块形状为 △ CDP ,要求A,B 均在线段MN 上，C,D 均在圆弧上.设 OC 与MN 所成的角为 (1 )用分别表示矩形 ABCD 和厶CDP 的面积，并确定sin 的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚□内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 ：3 .求当 为何值时，能使甲、乙两种\ ；/L 丿r; rP1蔬菜的年总产值最大. (第门3 46.【2018浙江卷18】已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P( -，-―)5 55 (I)求 sin ( a +n)的值； (n)若角 B 满足 sin ( a + 3)=一，求 cos B 的值. 13 7.【2018上海卷18】设常数a R ，函数f(x ) asin2x 2 cos 2x (1 )若(力为偶函数，求a 的值；(2)若〔一〕1，求方程f(x ) 1 .2在区间［,］上的解. 4O 的一段圆弧 MPN ( P 为此圆弧的中点)和参考答案 、选择题1.A2.A3.B4.C5.C6.A7.D彳3^312 n21门、填空题1.2.3. 34.—5. -6. 97.；22367 •解答题1.解：（ 1) 在 △ ABD中，由正弦定理得BD ABsin Asin ADB由题设知，5 22，所以 sin ADBsin 45sin ADB5/ 2-23 由题设知，ADB 90，所以 cos ADB,1 —■ 255所以BC 5.又由 bsi nA acos(B —)，得 a si nB acos(B -n ),6 6（2）由题设及（1） 知, cos BDC sinADB 于在△ BCD 中，由余弦定理得BC 2 BD 2 DC 2BD DC cos BDC 258 2 5 2 3 辽 25.52•解：（1）在厶 ABC 中，••• 1cosB=—— 7n）sin B= 1 -------2、cos B4、3 7由正弦定理得—sin A sin B sin A77---- — 3 =4 3 , . sinA= . v B € 2，二 A €( 0, nn2），.上- (n )在厶 ABC 中，T sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—324、3 3 - 3 714如图所示，在△ ABC 中, ■/ sinC=-^ , . h= BC sinC = 7BC1433 23•解：在厶ABC 中，由正弦定理—，可得 bsin A asin B , sinA sinB.AC 边上的高为&卫2即sin B cos(B n)，可得tan B . 3 .又因为B (0 , n，可得B=n•6 3在厶ABC中，由余弦定理及a=2, c=3, B=n，3解:有b2c2 2accosB 7,故b= 7 .由bsinAnacos(B n，可得sinA因为a<c,故cos A2——.因此sin2A 2sin Acos A.74、372cos2 A 2cos A所以，si n(2A B) sin 2 Acos B cos2 As in B7 33 144.解：(1)因为tan 4,tan3也，所以sincos4 cos3因为sin2 2cos 1，所以2cos9，因此,25cos2 小2 2cos725(2)因为为锐角，所以(0, n •又因为cos( 所以sin( 2、~5因止匕tan(因为tan 所以tan2 2ta n1 tan 2247因此，tan( )tan[2 ( )] tan 2 tan(1 + tan2 tan(2115•解：(1)连结PO并延长交MN 于H,贝U PH丄MN，所以OH=10.过O作OE丄BC于E,则OE// MN，所以/ COE= 0,故OE=40cos0, EC=40sin 0,则矩形ABCD的面积为2X40co0 (40sin 0+10) =800 (4sin 0cos 0+cos 0),、 1△ CDP 的面积为一x 2 x 40c0s(40 - 40sin) =1600 (cos0 - sincos 0).2过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K,贝U GK=KN=10.1 n令/ GOK= 00，贝y sin 00= —, 00 €( 0,—).4 6当沃［如扌)时，才能作出满足条件的矩形所以si n0的取值范围是［^ , 1).4ABCD,答：矩形ABCD的面积为800 (4sin Qcos肝cos B)平方米，△ CDP的面积为1 1600 (cos0 - sir D cos B) , sin B 的取值范围是［—,1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0),则年总产值为4k x 800( 4sin 0cos0+cos 0) +3k x 1600( cos 0 - sirficos 0)n、=8000k (sin0cos0+cos0) , 0€ [ 00,—) 2设 f (0) =sin0cos0+cos0, 0€ [ 00上)，，2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令f飞)=。

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2018年高考数学分类汇编之三角函数一、选择题1。

【2018全国二卷6】在ABC △中，cos2C 1BC =,5AC =，则AB =A ．B C D ．2.【2018全国二卷10】若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3.【2018全国三卷4】若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-4．【2018全国三卷9】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ,b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-， 则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π65.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ)到直线的距20x my --=离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B 。

2 C. 3D.46。

【2018天津卷6】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函sin(25y x π=+10π数A 在区间上单调递增B 在区间上单调递减35[,44ππ3[,]4ππC 在区间上单调递增 D 在区间上单调递减53[,42ππ3[,2]2ππ7．【2018浙江卷5】函数y =sin2x 的图象可能是||2x A ．B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数，则的最小值是_________．()2sin sin 2f x x x =+()f x 2．【2018全国二卷15】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________．3。

第二部分三角函数与解三角形一．填空题（共20小题）1．（2013?江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝．3．（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．4．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．5．（2010?江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．6．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（2008?北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．8．（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（2015?江苏）已知tanα＝10．（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα＝．11．（2013?上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．12．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．13．（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．14．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．15．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（2011?新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．17．（2010?江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．18．（2009?湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．19．（2008?江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是．20．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．二．解答题（共10小题）21．（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．22．（2012?江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．23．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（1）证明：B﹣A=；（2）求sinA+sinC的取值范围．24．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．25．（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．26．（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα＝．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．27．（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．28．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．29．（2015?山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．第二讲三角函数与解三角形参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2013?江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝﹣．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα＝，sinα＝），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ＝，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ＝﹣．故答案为：﹣3．（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π＝又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ＝故φ＝∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：4．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．5．（2010?江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．6．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ＝﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（2008?北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．8．（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sinβ＝，sin2β=2sinβcosβ＝∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．9．（2015?江苏）已知tanα＝【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．10．（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα＝．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα＝，故答案为：．11．（2013?上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．12．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．13．（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．14．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．15．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．16．（2011?新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinAcosA﹣cos120°s inA）+4sinA=2（sin120°=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：217．（2010?江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：418．（2009?湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）19．（2008?江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2．【解答】解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB?BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．20．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：二．解答题（共10小题）21．（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．22．（2012?江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．【解答】解：（1）∵?=3?，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．23．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．25．（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．26．（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα＝．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα＝．∴cosα＝﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα＝=﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα＝．∴cos2α=1﹣2sin2α＝，sin2α=2sinαcosα＝﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α＝=﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．27．（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．28．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．29．（2015?山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．30．（2013?江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．。

2010~2018年函数与试题汇编1、考纲要求：函数的概念B函数的基本性质B指数与对数B指数、对数函数的图像与性质B幂函数A函数与方程B函数模型及其应用B导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B2、高考解读：函数是高考的重头戏，所占分值比较高，难度系数一般比较大，通常会有两到三个填空题，一道解答题，在其他解答题中还有出现的可能。

主要考查分类讨论的思想，分析问题的能力，逻辑思维能力和综合应用能力。

江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.一、函数的性质★5．（5分）（2010•江苏）设函数f（x）=x（e x+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=．★2．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．★5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为．★★10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为．★5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是．★★11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是．★5．（5分）（2018•江苏）函数f（x）=的定义域为．★★9．（5分）（2018•江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．二、函数与不等式★★11．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．★★★13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为．★★11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．★★10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．★★★11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．三、函数与方程★★★13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．★★★13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为．★★★14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．★★11．（5分）（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．四、函数与导数★★★14．（5分）（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是．★★8．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是．★★11．（5分）（2011•江苏）已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．★★★12．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P 作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．★★9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．★★★13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．★★★11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．五、导数的综合应用★★★★20．（16分）（2010•江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；②求函数f（x）的单调区间．（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m 为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．★★★★19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g （x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．★★★17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．★★★★18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f （x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．★★★★20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．★★★★19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．★★★★17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．b≠1）．（1）设a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．★★★★19．（16分）（2018•江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b ＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．高考一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总（含答案）专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠ 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β2.（全国Ⅱ文11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B 5C 3D 253.（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．12．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-3．(2018北京)在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH4．（2017新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ．29 D ．795．（2017山东）已知3cos 4x =，则cos2x =A ．14-B ．14C ．18-D ．186．（2016年全国III 卷）若1tan 3θ=-，则cos2θ=A ．45-B ．15-C ．15D ．457．（2015重庆）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β= A ．17 B ．16 C ．57 D ．568．（2015福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-9．（2014新课标1）若0tan >α，则A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α 10．（2014新课标1）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=11．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为A ．19- B ．13 C ．1 D ．7212．(2013新课标2)已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=A ．16B ．13C ．12D ．2313．（2013浙江）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-14．（2012山东）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin A ．53 B ．54 C ．47 D ．4315．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A ．−34B ．34C ．−43D ．4316．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．4517．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则 cos()2βα+=A．3 B．3- C．9 D．9- 18．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12-B ．12C ．2D ．-2二、填空题19．（2017新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα- =__________．20．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α=13，则sin β=_________． 21．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．22．（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 23．（2015四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________． 24．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 25．（2014新课标2）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_______． 26．（2013新课标2）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_____. 27．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan2α的值是____________．28．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．三、解答题29．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．30．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 31．（2015广东）已知tan 2α=．（Ⅰ）求tan()4πα+的值；（Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．32．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值． 33．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ． （1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．34．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．35．（2013北京）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值．（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值． 36．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．2019年1.解析 由题意和题图可知，当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析 由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cosααα=.因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin 5α=.故选B. 3.解析 由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan 4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-． 当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10． 2010-2018年1．B 【解析】由题意知cos 0α>，因为22cos 22cos 13αα=-=，所以cos α=，sin α=|tan |α=，由题意知|||tan |12a b α-=-，所以||a b -=．故选B ．2．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 3．C 【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，利用三角函数可得yx yx <<，所以0x <，0y >．所以P 所在的圆弧是EF ，故选C ．4．A 【解析】由4sin cos 3αα-=，两边平方得161sin 29α-=，所以7sin 29α=-，选A ．5．D 【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ． 6．D 【解析】由1tan 3θ=-，得sin θ=，cos θ=或sin θ=，cos 10θ=-，所以224cos2cos sin 5θθθ=-=，故选D ．7．A 【解析】71312113121tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =⨯+-=++-+=-+=ab a a b a a b a b ．8．D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．9．C 【解析】tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ．10．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<， 所以2παβα-=-，所以22παβ-=．11．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b =，∴上式=72．12．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 13．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=，可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．14．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

第2课时 简单的三角恒等变换题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ .(2)计算：tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 (1)12cos 2x (2)－4解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝ .(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为 . 答案 (1)－1 (2)－1718解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3sin 20°－cos 20°cos 20°)＝cos 10°·2(32sin 20°－12cos 20°)cos 70°＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°cos 70°＝－1.(2)cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16， ∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718. 题型二 三角函数的求值 命题点1 给值求值问题例2 (1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝ .答案 12解析 ∵α为锐角， ∴sin α＝1－(17)2＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)<sin α，∴α＋β>π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)(2015·广东)已知tan α＝2.①求tan(α＋π4)的值；②求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.解 ①tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.命题点2 给值求角问题例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为 . (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 .答案 (1)7π4 (2)－3π4解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010， ∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－(13)2＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝ . 答案 π4解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法； (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.(1)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则2α－β＝ .(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于 . 答案 (1)π2 (2)π4解析 (1)由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(π2－α)，所以sin(α－β)＝sin(π2－α)，又因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.(2)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.题型三 三角恒等变换的应用例4 (2016·天津)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎤－π4，π4上的单调性. 解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }.f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减. 思维升华 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.思想方法指导 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数.(2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决. 规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[5分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[7分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[8分]从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[10分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[12分]综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.[14分]1.sin 15°＋sin 75°的值是 . 答案62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15° ＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 2.(2016·全国甲卷改编)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝ . 答案 －725解析 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35， 所以sin 2α＝2×925－1＝－725.3.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝ . 答案 －34解析 (sin α＋2cos α)2＝52，展开得3cos 2α＋4sin αcos α＝32，再由二倍角公式得32cos 2α＋2sin 2α＝0，故tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－322＝－34.4.函数f (x )＝cos x 2·(sin x 2－3cos x2)的最小正周期为 .答案 2π解析 因为f (x )＝cos x 2(sin x 2－3cos x2)＝12sin x －32(cos x ＋1) ＝sin(x －π3)－32，所以f (x )的最小正周期为2π.5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y ＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－π2，0])的最大值为 .答案 12＋22解析 y ＝sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α ＝1－cos 2α2－12sin 2α＝12－12cos 2α－12sin 2α ＝12－22sin(2α＋π4). ∵α∈[－π2，0]，∴－3π4≤2α＋π4≤π4，∴当2α＋π4＝－π2时，函数取最大值y max ＝12＋22.6.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为 .答案 ⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z 解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z ).∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).7.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x2－1sin x 2cosx2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 . 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sinπ6＝8. 8.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ . 答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.9.化简：3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ .答案 －4 3解析 原式＝3·sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12°＝23(12sin 12°－32cos 12°)cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3.10.设α∈(0，π3)，β∈(π6，π2)，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 . 答案 －210解析 由53sin α＋5cos α＝8， 得sin(α＋π6)＝45，∵α∈(0，π3)，∴π6<α＋π6<π2，∴cos(α＋π6)＝35.由2sin β＋6cos β＝2， 得sin(β＋π3)＝22，∵β∈(π6，π2)，∴π2<β＋π3<56π，∴cos(β＋π3)＝－22.∴cos(α＋β)＝sin[π2＋(α＋β)] ＝sin[(α＋π6)＋(β＋π3)] ＝sin(α＋π6)cos(β＋π3)＋cos(α＋π6)sin(β＋π3) ＝－210. 11.已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x . (1)求函数f (x )的最大值，并写出当f (x )取得最大值时x 的取值集合；(2)若α∈(0，π2)，f (α＋π6)＝335，求f (2α)的值. 解 (1)f (x )＝sin(x ＋π6)＋cos x ＝32sin x ＋12cos x ＋cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin(x ＋π3). 当x ＋π3＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即x ＝2k π＋π6(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 3. 此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π＋π6，k ∈Z }. (2)由(1)知，f (x )＝3sin(x ＋π3)， 又f (α＋π6)＝335， 所以3sin(α＋π6＋π3)＝3cos α＝335， 即cos α＝35.因为α∈(0，π2)，所以sin α＝45， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×35＝2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 所以f (2α)＝3sin(2α＋π3)＝32sin 2α＋32cos 2α ＝32×2425－32×725＝243－2150. 12.已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f (π6)的值； (2)若sin α＝35，且α∈(π2，π)，求f (α2＋π24). 解 (1)f (π6)＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝(32)2＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin(2x ＋π4)， 所以f (α2＋π24)＝12＋22sin(α＋π12＋π4) ＝12＋22sin(α＋π3)＝12＋22(12sin α＋32cos α). 又因为sin α＝35，且α∈(π2，π)， 所以cos α＝－45， 所以f (α2＋π24)＝12＋22(12×35－32×45) ＝10＋32－4620. 13.已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)当α∈(π2，π)时，若f (α)＝22，求α的值. 解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin(4x ＋π4)， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (2)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为α∈(π2，π)，所以4α＋π4∈(9π4，17π4). 所以4α＋π4＝5π2.故α＝9π16.。

第2讲 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α，B 级要求；2.π2±α，π±α，－α的正弦、余弦的诱导公式，B 级要求.知 识 梳 理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( )(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )解析 (1)对于α∈R ，sin(π＋α)＝－sin α都成立． (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．sin 600°的值为________．解析 sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案 －323．(2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 答案 154．(2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sinθ－cos θ＝________.解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，∴sin θ－cos θ＝23或－23. 又∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin θ－cos θ＝－23.答案 －235．(必修4P23习题11改编)已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析 原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案 3考点一 同角三角函数基本关系式及其应用 【例1】 (1)(2015·福建卷改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．(2)(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为________．(3)(2016·全国Ⅲ卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________.解析 (1)∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512. (2)∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (3)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 答案 (1)－512 (2)32 (3)6425规律方法 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 【训练1】 (1)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝________. (2)(2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α＝________.解析 (1)由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即()2cos α＋12＝0，∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.(2)3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23＝103.答案 (1)－1 (2)103考点二 诱导公式的应用【例2】 (1)化简：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)； (2)求值： 设f (α)＝π＋απ－α－π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，求f ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6的值．解 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α＋2sin αsin α＋2sin α＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3. 规律方法 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 【训练2】 (1)已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．(2)化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α＝______.解析 (1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.(2)原式＝－tan α·cos α－cosαπ＋α－π＋α＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.答案 (1){2，－2} (2)－1考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用【例3】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.(2)(2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α＝________. 解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α. 因为－π<α<－π2，所以－7π12<α＋5π12<－π12.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以－π2<α＋5π12<－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.答案 (1)－33 (2)－223规律方法 (1)常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．(2)常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. (2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)由f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，得f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋56π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋sin 56π.因为当0≤x <π时，f (x )＝0. 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫236π＝0＋12＝12.答案 (1)12 (2)12[思想方法]1．同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其它三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如a sin x ＋b cos x c sin x ＋d cos x ，a sin 2x ＋b sin x cos x＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝….[易错防范]1．利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.基础巩固题组(建议用时：30分钟)1．(2016·四川卷)sin 750°＝________.解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.答案 122．(2017·镇江期末)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝________.解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.答案 －1253．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝________. 解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 －554.1－π＋π－＝________. 解析1－π＋π－＝1－2sin 2cos 2＝－2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 sin 2－cos 25．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43.答案 －436．(2017·扬州中学质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝________.解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13. 答案 －137．(2017·广州二测改编)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.答案 138．(2017·泰州模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是________． 解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α ＝α＋cos α2α＋cos αα－cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2. 答案 29．已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 解析 因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案 －7410．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为________． 解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝25－1＝－35.答案 －3511．化简：sin2α＋ππ＋α－α－2ππ＋α3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α－2π＝________.解析 原式＝sin 2α－cos ααtan α·cos 3α－sin α＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案 112．(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为________．解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 －3能力提升题组 (建议用时：15分钟)13．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝________.解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案π314．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________．解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 1－ 515．(2017·苏州调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝59. 答案 5916．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0。

历年高考试题集锦（文）——三角函数1、弧度制任意角与三角函数1．（2014大纲文）已知角的终边经过点（-4,3），则cos=(D)A.45B.35C.－35D.－452．（2013福建文）已知函数2x3,x 0f(x)，则f(f())-2tan x,0x 4253．（2013年高考文）已知a是第二象限角,sin a ,则cosa （A）131255A．B．C．1313131213D．2、同角三角函数间的关系式及诱导公式514．（2013广东文）已知sin()，那么cos （C）252112A．B．C．D．55555．（2018北京文）在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,G H是圆x2y21上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若tan cos sin，则P所在的圆弧是（C）（A）AB（B）CD（C）EF（D）G H6、（2017年全国I卷）已知πa(0，),tanα=2，则2πcos()=_____310410_____。

7．（2014安徽文）若函数f x x R是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f xx(1x),0x 1，sin x,1x 2第1页（共14页）2941则f f _______46【简解】原式=f(-34)+f(-76)=-f(34)-f(76)=-31-sin(4475)=6165,结果168、（2018江苏）函数f(x)满足f(x 4)f(x)(x R)，且在区间(2,2]上，f(x)xcos,0x2,21|x|,-2x0,2则f(f(15))的值为22．9、（2015年广东文）已知tan 2．1求t an4的值；2求sin 2的值．sin sin cos cos 212【答案】（1）3；（2）1．3、三角函数的图象和性质10．（2014大纲）设a sin33,b cos55,c tan35,则（C）A．a b c B．b c a C．c b a D．c a b11．(2014福建文)将函数y sin x的图象向左平移个单位，得到函数y f x的函数图象，则下列说2法正确的是（D）第2页（共14页）A.y f x是奇函数B.y f x 的周期为C y f x xD y f x.的图象关于直线对称.的图象关于点-，0对称2212．（2018天津文）)将函数y sin(2x )的图象向右平移510个单位长度，所得图象对应的函数（A）353[,]上单调递增(B)在区间(A)在区间[,]上单调递减444533(C)在区间[,2]上单调递减[,]上单调递增(D)在区间42213、（2013山东）将函数y=sin（2x +）的图象沿x轴向左平移则的一个可能取值为（B）8个单位后，得到一个偶函数的图象，（A）34（B）4（C）0（D）414．（2013山东）函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为(D)π115．（2016 年全国I 卷）将函数y=2sin(2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（D）64ππππ（A）y=2sin(2x+)（B）y=2sin(2x+)（C）y=2sin(2x–)（D）y=2sin(2x–)434316．（1）（2018新课标2文）若f(x)cos x sin x在[0,a]是减函数，则a的最大值是（C）A．π4B．π2C．3π4D．π（2）（2018新课标理文）若f(x)cos x sin x在[a,a]是减函数，则a的最大值是（A）A．π4B．π2C．3π4D．π17.(2014四川理)为了得到函数y sin(2x 1)的图象，只需把函数y sin2x的图象上所有的点（A）A、向左平行移动12个单位长度B、向右平行移动12个单位长度C、向左平行移动1个单位长度D、向右平行移动2个单位长度ππ18、（2013四川）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(A)22第 3 页（共 14 页）π3 A．2，－π6B．2，－π6C．4，－π3D．4，19.（2016年全国II卷）函数y=Asin(x )的部分图像如图所示，则（A）（A）y 2sin(2x )（B）y 2sin(2x )63（C）y 2sin(2x+)（D）y 2sin(2x+)6320.(2013天津文)函数f(x)＝sinπ2x－4在区间π0，2上的最小值为(B)A．－1B．－22C.22D．021.(2014浙江)为了得到函数y sin3x cos3x的图象，可以将函数y 2sin3x的图象（C）A.向右平移4个单位 B.向左平移4个单位 C.向右平移12个单位 D.向左平移12个单位322.（2012大纲）已知为第二象限角，sin cos ，则cos 2355A．B．C．3959D．5312【简解】原式两边平方可得1sin 2sin 2332215是第二象限角，因此sin 0,c os 0，所以cos sin (cos sin)133第4页（共14页）225cos 2cos sin (cos sin )(cos sin)323．（2013福建文）将函数f(x)sin(2x )()的图象向右平移(0)个单位长度后得到223函数g(x)的图象，若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,)，则的值可以是（）2A．53B．56C．2D．6【简解】P在f(x)上，θ=，f(x)=sin(2x+)；g(x)=sin[2(x-φ)+]过点P，φ=333π2x＋3的最小正周期为(C) 24．(2017年新课标Ⅱ文)函数f(x)＝sinπ2 A.4πB.2πC.πD.56满足条件。

江苏历届高考试题分类汇编（三角函数2）（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为（2015江苏高考第15题）15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.（2016江苏高考第9题）9、 定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 13、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A =则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分） 在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （1） 求AB 的长；（2） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.（2017江苏高考第16题） 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ⊥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.(第12题)【答案】（2014江苏高考第5题）5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.（2014江苏高考第14题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.（2014江苏高考第15题） 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.（2015江苏高考第14题）14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ，则1110()k k k a a +=⋅∑ 的值为【答案】【解析】试题分析：20111(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+2(1)21(21)cossincos cos sin cos 6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111012k k k a a +=⋅==∑ 考点：向量数量积，三角函数性质（2015江苏高考第15题） 15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（12【解析】（2016江苏高考第9题） 10、定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是__▲__（2016江苏高考第13题） 14、在锐角三角形ABC 中，若sin 2sinBsinC,A 则tan tan tan A B C 的最小值是__▲____（2016江苏高考第15题） 15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π= （3） 求AB 的长； （4） 求cos()6A π-的值（2017江苏高考第12题）12.如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为OA 与OC的夹角为α,且tanα=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ,则m n +=.【答案】3(第12题)（2017江苏高考第16题）16.（本小题满分14分）已知向量(cos,sin),(3,[0,π].a b==∈x x x（1）若a⊥b,求x的值；（2）记()f x=⋅a b,求()f x的最大值和最小值以及对应的x的值.。

2 3 330 三角函数和解三角形1.（2018 年全国 1 文科·8）已知函数 f ( x ) = 2 cos 2 x - sin 2x + 2 ，则 BA. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 3B. f ( x ) 的最小正周期为 π，最大值为 4C. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 3D. f (x ) 的最小正周期为2π ，最大值为 42.（2018 年全国 1 文科·11）已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1，a ) ， B (2 ，b ) ，且cos 2= 2，则 a - b = B 3A.15 B. 5C. 25 5D ．13.（ 2018 年全国 1 文科· 16） △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 已知b s in C +c sin B = 4a sin B sin C ， b 2 + c 2 - a 2 = 8 ，则△ABC 的面积为 ．4. （2018 年全国 2 文科·7）．在△ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB = AA. 4 2 5B. C ． D ．25.（2018 年全国 2 文科·10）若 f (x ) = cos x - sin x 在[0, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 CA.π4B.π 2C. 3π4D. π6．（2018 年全国 2 文科·15）已知 tan(α -5π) = 1，则tan α = 3．4 527.（2018 年全国 3 文科·4）若sin= 1，则cos 2= B3A.89B.79C. - 79 D. - 89229 58.（2018 年全国 3 文科·6）函数 f (x) =tan x1+ tan2x的最小正周期为CA．πB．πC．πD．2π 4 29.（2018 年全国3 文科·11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a2 +b2 -c2△ABC 的面积为4，则C =CππA.B．2 3ππ C．D．4 610.（2018 年北京文科·7）在平面直角坐标系中， AB, C D, E F , G H 是圆x2+y2= 1上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O为始边，OP 为终边，若tan< cos< sin，则P 所在的圆弧是C（A） AB （B）C D（C）E F （D）G H11.（2018 年北京文科·14）若△ABC 的面积为cB=60°；的取值范围是（2，+∞）.a3(a2 +c2 -b2 ) ,且∠C 为钝角，则412.（2018 年天津文科·6）将函数y = sin(2x +图象对应的函数A ππ) 的图象向右平移个单位长度，所得5 107 （A ）在区间[- π π, ] 上单调递增（B ）在区间[- 4 4 π , 0] 上单调递减4π ππ（C ）在区间[ , ] 上单调递增（D ）在区间[ , π] 上单调递减4 2213.（2018 年江苏·7）．已知函数 y = sin(2x +)(- π << π) 的图象关于直线 x = π对称，则的值是．2 2 314. （2018 年江苏·13）在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ， ∠ABC = 120︒ ，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D ，且 BD = 1，则4a + c 的最小值为 9 ．15.（2018 年浙江·13）在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 a = ，b =2，A =60°，则 sin B =217 ，c = 3 ．16.（2018 年北京文科·16）（本小题 13 分）已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期；（Ⅱ）若 f (x ) 在区间[- π , m ] 上的最大值为 3，求m 的最小值.3216.（共 13 分）解：（Ⅰ）f (x ) = 1- cos 2x +3 sin 2x = 3 sin 2x - 1 cos 2x + 1 = sin(2x - π) + 1 ，2 2 2 2 2 6 2所以 f (x ) 的最小正周期为T =2π = π .2（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x ) = sin(2x - π) + 1.6 2π π 5π π因为 x ∈[- , m ]，所以2x - ∈[- , 2m - ] .3 6 6 67 π π 要使得 f (x ) 在[- π , m ] 上的最大值为 3 ，即sin(2x - π) 在[- π, m ] 上的最大值为 1.所以2m - ≥ 6 2 3 ，即 m ≥π 2 6 3π .学科&网 3所以m 的最小值为 .317.（2018 年天津文科·16）（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b sin A =a cos(B – π)．6（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）设 a =2，c =3，求 b 和 sin(2A –B )的值．（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分 13 分．（ Ⅰ ） 解： 在△ ABC 中， 由正弦定理 a = sin A bsin B， 可得 b sin A = a sin B ， 又由 b sin A = a cos(B - π) ，得 a sin B = a cos(B - π) ，即sin B = cos(B - π) ，可得tan B = 6 6 6．又因为 B ∈(0 ，π) ，可得 B = π．3（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及 a =2，c =3，B = π，有b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B = 7 ，3故 b = ．由 b s in A = a cos(B - π) ， 可 得 6sin A =． 因 为 a <c ， 故cos A =． 因 此sin 2 A = 2sin A cos A =4 3 ， cos 2 A = 2 cos 2 A - 1 = 177所以， sin(2 A - B ) = sin 2 A cos B - cos 2 A sin B =4 3 ⨯ 1 - 1⨯ 3 = 3 3 7 2 7 2 1418.（2018 年江苏·16）（本小题满分 14 分）33 727已知,为锐角，tan=4，cos(+) =-5．3 5（1）求cos 2的值；（2）求tan(-)的值．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14 分．解：（1）因为tan=4 ，tan=sin，所以sin=4 cos．3 cos 3因为sin2+c os2=1，所以cos2=9，25因此，cos 2= 2 cos2- 1 =-7 ．25（2）因为,为锐角，所以+∈(0,π)．又因为cos(+)=-5，所以sin(+)=5=2 5，5因此tan(+)=-2．因为tan=4，所以tan 2=32 tan1 -tan2=-24，7因此，tan(-) = tan[2- (+)] =tan 2- tan(+)=-2．1+ t an 2tan(+) 1119.（2018 年浙江·18）（本题满分14 分）已知角α 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-3，-4）．5 5（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β 满足sin（α+β）= 5，求cosβ 的值．1318.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

三角函数(江苏高考真题)1.(2019)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；(2)若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．2.(2018)已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．3.（2017）已知向量=（cosx ，sinx ），=（3，﹣），x ∈[0，π]．(1)若∥，求x 的值；(2)记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．4.(2016)在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==（1）求AB 的长；（2）求πcos(6A -)的值.5.（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值．6.(2014)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.7.(2013)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a+b ＝c ，求α，β的值．8.(2012)在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC = ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．9.(2011)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin(2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值．10.(2019)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是.11.(2018)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是12.（2017）若tan （α﹣）=．则tanα=．13.(2016)定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是14.(2016)在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是15.（2015）已知tanα=﹣2，tan （α+β）=，则tanβ的值为．16.（2015）设向量=（cos ，sin +cos ）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．17.(2014)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是.18.(2014)若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是.19.(2013)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________．20.(2012)设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为21.(2011)已知tan()24x π+=，则xx 2tan tan 的值为22.(2011)函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则(0)f 的值是23.(2010)定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与x sin =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为.24.(2010)在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b+=，则tan tan tan tan C C A B +=25.(2009)函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω=。

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(T (α＋β))2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)【知识拓展】1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( × )(3)若α＋β＝45°，则tan α＋tan β＝1－tan αtan β.( √ ) (4)对任意角α都有1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2.( √ )(5)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × )(6)在非直角三角形中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √)1.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ . 答案3解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 2.(2016·四川)cos 2π8－sin 2π8＝ .答案22解析 由题意可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22(二倍角公式).3.(2016·全国丙卷改编)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝ .答案 45解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 4.(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 .答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.5.(2016·全国甲卷改编)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为 . 答案 5解析 由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用例1 (2016·盐城模拟)已知α为锐角，cos(α＋π4)＝55.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin(2α＋π3)的值.解 (1)因为α∈(0，π2)，所以α＋π4∈(π4，3π4)，所以sin(α＋π4)＝1－cos 2(α＋π4)＝255，所以tan(α＋π4)＝sin (α＋π4)cos (α＋π4)＝2.(2)因为sin(2α＋π2)＝sin 2(α＋π4)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝45，cos(2α＋π2)＝cos 2(α＋π4)＝2cos 2(α＋π4)－1＝－35，所以sin(2α＋π3)＝sin[(2α＋π2)－π6]＝sin(2α＋π2)cos π6－cos(2α＋π2)sin π6＝43＋310.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.(1)(2016·全国丙卷改编)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝ .(2)计算：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 .答案 (1)6425 (2)12解析 (1)tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.题型二 和差公式的综合应用 命题点1 角的变换例2 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)(2016·镇江期末)由sin 36°＝cos 54°，可求得cos 2 016°的值为 . 答案 (1)2525 (2)－5＋14解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β). 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)由sin 36°＝cos 54°，得sin 36°＝2sin 18°cos 18°＝cos(36°＋18°)＝cos 36°cos 18°－sin 36°sin 18°＝(1－2sin 218°)·cos 18°－2sin 218°cos 18°＝cos 18°－4sin 218°·cos 18°，即4sin 218°＋2sin 18°－1＝0，解得sin 18°＝－2＋22＋162×4＝5－14，cos 2 016°＝cos(6×360°－144°)＝cos 144°＝－cos 36°＝2sin 218°－1＝－5＋14. 命题点2 三角函数式的变形例3 (1)(2016·无锡调研)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝ .答案 －17解析 方法一 因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43. 又tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12－tan β1＋12tan β＝－13，故tan β＝1.所以tan(β－2α)＝tan β－tan 2α1＋tan βtan 2α＝1－431＋43＝－17.方法二 tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β) ＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131－12×(－13)＝－17.(2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°).解 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°(cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°)＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin (30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2(12cos 10°－32sin 10°)2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)(sin θ2－cos θ2)2－2cos θ(0<θ<π).解 ∵0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)∴原式＝2sin θ2(sin θ2＋cos θ2)(sin θ2－cos θ2)2sinθ2＝－cos θ.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等.(1)(2016·泰州模拟)若sin(π4＋α)＝13，则cos(π2－2α)＝ .(2)(2016·南京模拟)化简(tan α＋1tan α)·12sin 2α－2cos 2α＝ .(3)计算：sin 50°(1＋3tan 10°)＝ . 答案 (1)－79(2)－cos 2α (3)1解析 (1)∵sin(π4＋α)＝13，∴cos(π4－α)＝13，∴cos(π2－2α)＝cos 2(π4－α)＝2×19－1＝－79.(2)原式＝1sin αcos α·12sin 2α－2cos 2α＝1－2cos 2α＝－cos 2α.(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋3sin 10°cos 10°)＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2(12cos 10°＋32sin 10°)cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.8.利用联系的观点进行角的变换典例 (1)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 .(2)若tan α＝2tan π5，则cos (α－3π10)sin (α－π5)＝ .思想方法指导 三角变换的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)；α＝(α－β)＋β；α＋π12＝(α＋π3)－π4；15°＝45°－30°等. 解析 (1)∵α为锐角且cos(α＋π6)＝45>0，∴α＋π6∈(π6，π2)，∴sin(α＋π6)＝35.∴sin(2α＋π12)＝sin[2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. (2)cos (α－3π10)sin (α－π5)＝sin (α－3π10＋π2)sin (α－π5)＝sin (α＋π5)sin (α－π5)＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsinπ5＝sin αcos αcos π5＋sin π5sin αcos αcos π5－sin π5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cos π5cos π5－sinπ5 ＝3sinπ5sin π5＝3.答案 (1)17250(2)31.(2016·苏州暑假测试)已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan(α＋π4)＝ .答案 17解析 由α∈(0，π)，cos α＝－45，得tan α＝－34，则tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.2.(2016·盐城三模)若角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝12x 上，则tan α的值为 . 答案 －13解析 若角α＋π4的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝12x 上，则tan(α＋π4)＝12，又tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α，所以tan α＝－13.3.(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ .答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.4.(2016·江苏启东中学阶段检测)若α、β均为锐角，且cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，则cos β＝ . 答案 13解析 由于α、β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)， 又cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，所以sin α＝12217，sin(α＋β)＝14251，所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－4751×117＋14251×12217＝13.5.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是 .答案3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝2(cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.6.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝ .答案539解析 由已知得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.7.化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·12·sin 2αcos 2α＝12. 8.(2016·江苏无锡普通高中期末)已知sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°，则cos 2α的值为 . 答案725解析 因为sin(α－45°)＝－210且0°<α<90°， 所以cos(α－45°)＝1－(－210)2＝7210. cos 2α＝sin(90°－2α)＝－sin(2α－90°)＝－sin [2(α－45°)]＝－2sin(α－45°)cos(α－45°) ＝－2×(－210)×7210＝725. 9.(2016·南京模拟)已知cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 .答案 58解析 因为cos(π4＋θ)cos(π4－θ)＝(22cos θ－22sin θ)(22cos θ＋22sin θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos 2θ＝14. 所以cos 2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝(1－cos 2θ2)2＋(1＋cos 2θ2)2＝116＋916＝58. 10.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 .答案 π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)， 所以此函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)的图象，由题意得m ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∵m >0，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z 且k ≥0)， ∴m 的最小值是π6. 11.已知α∈(π2，π)，sin α＝55. (1)求sin(π4＋α)的值； (2)求cos(5π6－2α)的值. 解 (1)因为α∈(π2，π)，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin(π4＋α)＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×(－255)＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×(－255)＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(55)2＝35， 所以cos(5π6－2α)＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝(－32)×35＋12×(－45)＝－4＋3310. 12.已知α∈(0，π2)，tan α＝12，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值. 解 ∵tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43， 且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，而α∈(0，π2)，∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35， ∴sin(2α＋π3)＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 13.已知cos(π6＋α)cos(π3－α)＝－14，α∈(π3，π2). (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值. 解 (1)cos(π6＋α)·cos(π3－α) ＝cos(π6＋α)·sin(π6＋α) ＝12sin(2α＋π3)＝－14， 即sin(2α＋π3)＝－12. ∵α∈(π3，π2)，∴2α＋π3∈(π，4π3)， ∴cos(2α＋π3)＝－32， ∴sin 2α＝sin[(2α＋π3)－π3] ＝sin(2α＋π3)cos π3－cos(2α＋π3)sin π3＝12. (2)∵α∈(π3，π2)，∴2α∈(2π3，π)， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

第二部分三角函数与解三角形一．填空题（共20小题）1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ．3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα= ．11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．17．（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．18．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是．20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．二．解答题（共10小题）21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（1）证明：B﹣A=；（2）求sinA+sinC的取值范围．24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．第二讲三角函数与解三角形参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ= ﹣．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣3．（2011•江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= ．【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：4．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．法2：依题意，sin2x=cosx ，即cosx （2sinx ﹣1）=0，故cosx=0或sinx=， 因为x ∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．5．（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 ．【解答】解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，即6cosx=，化为6sin 2x+5sinx ﹣6=0，解得sinx=．线段P 1P 2的长为故答案为．6．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx ﹣cosx 的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f （x ）=sinx+cosx=2sin （x+），y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），∴f （x ﹣φ）=2sin （x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．7．（2008•北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．8．（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．9．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为 3 ．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．10．（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα= ．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．11．（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．12．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．13．（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．14．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．15．（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．16．（2011•新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2（2010•江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+ 17．的值是 4 ．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：418．（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 2 ，AC的取值范围为（）．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）19．（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2．【解答】解：设BC=x，则AC=x，=AB•BCsinB根据面积公式得S△ABC=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S=x=，△ABC由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S取得最大值2．△ABC20．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B= ．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：二．解答题（共10小题）21．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．22．（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．【解答】解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．23．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．25．（2016•江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．26．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα==﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α==﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．27．（2016•四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．28．（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．29．（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．30．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为 v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．。

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2010～2018年高考立体几何试题汇编1、考纲要求：柱、锥、台、球及简单组合体A柱、锥、台、球的表面积和体积A平面及其性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B2、高考解读：通常一大一小,填空题主要考查空间几何体的表面积与体积，解答题主要考查空间的平行与垂直关系，其中三年也考查以几何体为背景的应用题。

这些题目难度不大，主要考查学生的基础知识和空间转换能力。

属于中档题。

一、空间几何体的表面积与体积★★7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．★★8．（5分）（2013•江苏)如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= ．★★8．(5分)（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2,体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．★★9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．★★6．（5分)（2017•江苏）如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是．★★10．（5分）（2018•江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．二、空间点、线、面的位置关系★★★16．(14分）（2010•江苏）如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC,∠BCD=90°．（1）求证:PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．★★★16．（14分）（2011•江苏）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点,求证：(1）直线EF∥平面PCD；（2)平面BEF⊥平面PAD．★★★16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE．★★★16．（14分）（2013•江苏)如图,在三棱锥S﹣ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB,垂足为F，点E，G分别是棱SA,SC的中点．求证：（1)平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．★★★16．（14分)（2014•江苏)如图,在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．（14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC,BC=CC1,★★★16．设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．★★★16．（14分）（2016•江苏）如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F．★★★15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证:(1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．★★★15．（14分）（2018•江苏)在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证:（1）AB∥平面A1B1C；(2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．三、以空间几何体为背景的应用题★★★17．(14分）（2011•江苏)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1)若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．★★★17．(14分）（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2）若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大?★★★★18．（16分)(2017•江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）(1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．。