四川省成都市石室中学2020-2021学年高一下学期半期考试数学试题 答案和解析

2020-2021成都石室佳兴外国语学校高一数学下期末第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知向量a v ，b v 满足4a =v，b v 在a v 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -v v 的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．82．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，//m β，则//αβ C ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C 223+D 33+6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 7．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）8．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=L （ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π10．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)211．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题13．不等式2231()12x x -->的解集是______． 14．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______． 15．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．17．直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．18．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______19．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到． 20．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 三、解答题21．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.22．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 23．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；25．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅，第五组[]17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18.m n ∈⋃求事件“1m n ->”发生的概率.26．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-r r r ，可求出||2b ≥r ，求22a b -r r 的最小值即可得出结果.【详解】因为b r 在a r上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-r r r， 即2||cos ,b a b =-<>r r r ，而1cos ,0a b -≤<><r r ， 所以||2b ≥r，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+r r r r r r r r r r r r r r22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+r r所以22484464a b -≥+⨯=r r ，即28a b -≥r r ，故选D.【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号． ∴122222(1)12S =⨯⨯⨯+++⨯322+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．6．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列7．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则240k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 8．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=L L .故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.9．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,2R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）=e ﹣2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()2a A B a BM a ==+=，，222313()2a A M a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．二、填空题13．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．14．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：Q111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>，∴2b a a b+≥，当且仅当2a b ==时取等号. 325611b a b a++≥+=. ∴32b a b a++的最小值等于11. 故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.15．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->- 若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈ 则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-， 则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-.故答案为：()4,5-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.16．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且cos 2A =，从而求得3bc =，所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30o 、45o 、60o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得解析：10x y -+=.【解析】【分析】【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．18．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答 解析：13【分析】【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．19．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出 解析：3π【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π==-，所以函数sin y x x =的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．20．【解析】故答案为 解析：75【解析】 1tan tan 17446tan tan 144511tan tan 644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭ 故答案为75. 三、解答题21．(Ⅰ)试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT P ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，. 又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点， 所以N 到平面的距离为. 取的中点，连结.由得，. 由得到的距离为，故145252BCM S =⨯⨯=V . 所以四面体的体积14532N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=V . 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．22．（1）3C π=（2）57【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=Q2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.23．（1）0；（2）,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】【分析】（1）首先化简()g x 解析式，然后求得左移ϕ个单位后函数()f x 的解析式，根据()f x 的奇偶性求得ϕ的值，进而求得()f ϕ的值.（2）根据（1）中求得的()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求得226x πϕ++的取值范围，根据ϕ的取值范围，求得22πϕ+的取值范围，根据()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，以及正弦型函数的单调性列不等式，解不等式求得ϕ的取值范围.【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭Q 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ()2sin 2216f x x πϕ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭， 又()f x 为偶函数，则262k ϕππ+=+π（k Z ∈），02πϕ<≤Q ，6πϕ∴=． ()06f f πϕ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭． （2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫∴++∈++++ ⎪⎝⎭， 02πϕ<≤Q ，72,666πππϕ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦，32,222πππϕ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦， ()f x Q 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数．262ππϕ∴+≥且02πϕ<≤．,62ππϕ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.24．（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可.【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．（1）29人；（2）35． 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数； （2）结合频率分布直方图，计算出[)[]13,1417,18，两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可.【详解】（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人）， 所以该班成绩良好的人数为29人；（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人；成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率 其概率为11232563105C C P C ===. 3(1)5P m n ->=【点睛】 此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．26．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2n n b n =•，利用错位相减求出n T 。

四川省成都市石室中学远程教育学校2020-2021学年高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，则的值是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由等差数列和等比数列的性质可得a5和b5，再利用性质将所求化为，即可得到答案. 【详解】数列是等比数列,由等比数列性质得，即a5＝﹣2，数列是等差数列，由等差数列性质得，b5＝2π，＝sin（﹣）＝sin．故选：C【点睛】本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于中档题．2. 已知集合,,则（）A．B．C．D．参考答案：C略3. 已知实数，函数若，则a的值为( )A． B． C． D．参考答案：D4. 的值为（）A．B．C．D．1参考答案：Asin75°cos75°=sin75°cos75°=．5. 在等差数列{a n}中，若，，则（）A. 8B. 16C. 20D. 28参考答案：C因为为等差数列，则也成等差数列，所以。

故选C。

6. （4分）已知直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ky+3=0平行，则k的值是（）A．B．﹣C．﹣4 D．4参考答案：C考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：直接由两直线平行与系数间的关系列式求得k的值．解答：∵直线l1：x﹣2y+1=0与l2：2x+ky+3=0平行，∴，解得：k=﹣4．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的平行关系，关键是对公式的记忆与应用，是基础题．7. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.C. D.参考答案：D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得．考点：函数模型的应用．8. 下列对应不是映射的是( )参考答案：D选项A,B,C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性。

2020-2021成都石室佳兴外国语学校高一数学下期中第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ 2．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα4．直线20x y ++=截圆222210x y x y a ++-+-=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）A ．－3B ．－4C ．－6D ．36-5．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π6．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．2D ． 7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π9．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π10．设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β11．若方程124kx k =-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．53,124纟çúçú棼12．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160二、填空题13．给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________14．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．15．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.16．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.17．底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________18．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____19．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________20．若直线()():1210l m x m y m -+--=与曲线()2:422C y x =--+有公共点，则直线l 的斜率的最小值是_________. 三、解答题21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为3AP PC 的值. 22．已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.23．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．24．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．25．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，33DE AF ==.（1）证明：平面//ABF 平面DCE ；（2）在DE 上是否存在一点G ，使平面FBG 将几何体ABCDEF 分成上下两部分的体积比为3:11？若存在，求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.26．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A 6，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.2．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO „，即满足2PO „，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO „故22220000103634PO x y y y ==+-+„解得0825y 剟，0605x 剟 即0x 的取值范围是6[0,]5， 故选：B ． 【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 3．C解析：C【解析】【分析】【详解】若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误； 若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误.故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系. 4．A解析：A【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，根据圆的弦长公式，进行求解即可.【详解】由题意，根据圆的方程222210x y x y a ++-+-=，即22(1)(1)2x y a ++-=-， 则圆心坐标为(1,1)-，半径1r a =-又由圆心到直线的距离为11222d -++==所以由圆的弦长公式可得222(1)(2)4a --=，解得3a =-，故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的因公，以及弦长公式的应用，其中根据圆的方程，求得圆心坐标和半径，合理利用圆的弦长公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC P P ， ∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 9．C解析：C【解析】【分析】由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可.【详解】设长方体的棱长分别为,,a b c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以()236abc =，于是213a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，设球的半径为R ，则2222414R a b c =++=，所以这个球面的表面积为24R π=14π． 本题选择C 选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.10．D解析：D【解析】【分析】利用空间直线和平面的位置关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A. 若a ∥α，b ∥α，则a 与b 平行或异面或相交，所以该选项不正确；B. 若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，所以该选项不正确；C. 若a ∥α，α∥β，则a ∥β或a β⊂，所以该选项不正确；D. 若α∥β，a α⊂，则a ∥β，所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=…与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=…，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <„，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．D解析：D【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.二、填空题13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．14．【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大此时所以圆心为半径为1考点：圆的方程解析：(0,1)-，1【解析】试题分析：圆的面积最大即半径最大，此时0k =()2211x y ∴++=，所以圆心为(0,1)-半径为1考点：圆的方程 15．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离．【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．16．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本 解析：60°【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o【点睛】 本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 17．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据解析：【解析】【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可.【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分.其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 60⨯︒=.ACPM 为梯形.则()352132N ACPM V -+⨯=⨯=143N ABC V -==故多面体ABC MNP -体积为33+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.18．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得 解析：372]+ 【解析】【分析】根据斜率的几何意义，()32x g x x =-表示函数y x =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解.【详解】 ()3x g x -=为点(x x 与点(2,3)连线的斜率， 点(),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =∈图像上， (1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k --=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得374k +=或374k -= 当374k +=时，37[0,1]3724x ==-∈+⨯， 当37k -=时，37[0,1]372x ==+∉-⨯ 不合题意，舍去， ()g x 值域为37[,2]+. 故答案为:37[,2]4+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.19．【解析】【分析】在平面中与的交点即为求出长即可求解【详解】连在正方体中所以四边形为矩形相交其交点为平面的交点是的中点为的中位线为中点正方体各棱长为1故答案为:【点睛】本题考查空间线面位置关系确定直线 5【解析】【分析】在平面11BB D D 中，1D M 与BD 的交点即为N ，求出BN 长，即可求解.【详解】连BD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11111,//,BB DD BB DD DD BD =⊥，所以四边形11BB D D 为矩形，1,BD D M 相交，其交点为1D M 平面ABCD 的交点N ，Q M 是1BB 的中点，111,//2BM DD BM DD ∴=，BM 为1DD N V 的中位线，B 为DN 中点，正方体各棱长为1，2BN BD ∴==，,1,2,135ABN AB BN ABN ==∠=o V ，2222cos AN AB BN AB BN ABN =+-⋅⋅∠2321252=+⨯⨯⨯=，5AN ∴=. 故答案为:5.【点睛】本题考查空间线面位置关系，确定直线与平面交点是解题的关键，意在考查直观想象能力，属于中档题.20．【解析】【分析】将直线的方程化为可求出直线所过的定点坐标作出曲线的图象利用数形结合思想可得出当直线与曲线有公共点时直线的斜率的最小值【详解】将直线的方程化为由得则直线过定点将曲线的方程变形为曲线为圆解析：15【解析】【分析】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，可求出直线l 所过的定点坐标，作出曲线C 的图象，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有公共点时，直线l 的斜率的最小值.【详解】将直线l 的方程化为()()210m x y x y +--+=，由2100x y x y +-=⎧⎨+=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩. 则直线l 过定点()1,1P -，将曲线C 的方程变形为()()()222242x y y -+-=≥，曲线C 为圆()()22224x y -+-=的上半圆，如下图所示：由图象可知，当直线l 过点A 时，直线l 的斜率取最小值211415PA k -==+. 故答案为：15. 【点睛】 本题考查利用直线与圆的位置关系求直线斜率的最值，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）3．【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得AP PC ．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）． 试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ，∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴12PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴11133A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -x =，解得4x =.∴AP =53AP PC =. 22．（1）240x y +-=；（2）点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】【分析】（1）利用两点式求得BC 边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得A 到直线BC 的距离，根据面积7ABC S ∆=以及点A 在直线2360x y -+=上列方程组，解方程组求得A 点的坐标.【详解】（1）由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---，即240x y +-=.（2）BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上，故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩，即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩，解得()3,4A 或()30A -,. 【点睛】本小题主要考查利用两点式求直线方程，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积公式，属于基础题.23．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.24．（1）证明见解析；（215 【解析】【分析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论.【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =， ,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =， 2223,2,3,()52OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15tan 3CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为15.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题.25．（1）见解析（2）存在点G 且1EG =满足条件.【解析】试题分析：（1）根据//,//DE AF AB CD ，结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；（2）先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，设EG t =，求得几何体GFBME 的体积，将其分割成两个三棱锥,B EFG B EGM --，利用t 表示出两个三棱锥的高，再利用体积建立方程，解方程组求得t 的值.试题解析：解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ，∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ， ()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=， 设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件. 点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G 的位置的值. 26．（1）见解析（2）45° 【解析】(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (03，0)，A 1(036)，M 60,0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以1A B u u u r ＝(136)，AM u u u u r ＝60,3,⎛ ⎝⎭. 因为1A B u u u r ·AM u u u u r ＝1×0＋(33)＋(660，所以A 1B ⊥AM .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC . 所以CB u u u r 是平面AMC 的一个法向量，CB u u u r＝(1,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA u u u r ＝(－10)，BM u u u u r＝⎛- ⎝⎭. 由0,{0nBA nBM ==u u u r u u u u r得0{0x x z -=-=，令z ＝2，得x，y. 所以n ＝，2)因为|CB u u u r |＝1，|n |＝cos 〈CB u u u r ，n 〉＝CB n CB n ⋅⋅u u u r u u u r＝2， 因此二面角B -AM -C 的大小为45°。

四川省成都石室中学高2023届2020-2021学年度下期4月月考数学试卷一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分 1. cos74sin14sin 74cos14的值为（ ）A. 12-B.12C.2D. D根据两角差的正弦公式的逆用，将条件中的式子进行化简，从而得到答案.cos74sin14sin 74cos14()()=sin 1474sin 60︒︒︒-=-sin 602︒=-=-.故选：D. 本题考查根据两角差的正弦公式的逆用求值，属于简单题.2. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且::1:2:3A B C =，则::a b c 等于．A. 2B. 1:2:3C. 2D. 3:2:1A先由::1:2:3A B C =，求出三个角，进而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出结果. 因为在ABC 中，::1:2:3A B C =， 所以30A =，60B =，90C =，由正弦定理可得：1::sin :sin :sin ::11:222a b c A B C ===.故选A 本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 3. 若0,,sin cos 4cos2,2παααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭则sin2α=（ ）A. 1516B.78C.D.1532A由余弦的二倍角公式变形后求得cos sin αα-，平方后结合正弦的二倍角公式可得．因(0,)2πα∈，sin cos 0αα+≠，22sin cos 4cos24(cos sin )ααααα+==-，所以1cos sin 4αα-=， 平方得221cos 2sin cos sin 16αααα-+=，11sin 216α-=，15sin 216α=．故选：A ．4. 函数()1cos 2f x x x =-，则下列结论错误的是（ ） A. f (x )的一个周期为2π- B. ()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C. ()f x π+的一个零点为6x π=D. ()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．由已知()sin()6f x x π=-，最小正周期是2T π=，2π-也是它的一个周期，A 正确；88()sin()1336f πππ=-=，所以83x π=是一条对称轴，B 正确；()sin()sin()66f x x x ππππ+=+-=--，显然6x π=时，()06f ππ+=，C 正确；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5(,)636x πππ-∈，x =23π时，2()13f π=，函数在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，在2(,)3ππ上递减，D 错误．故选：D ．结论点睛：本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由用正弦函数性质求解．在三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中若0()f x 是最值，则0x x =是一条对称轴，若0()0f x =，则0(,0)x 是一个对称中心．5. 在平行四边形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF 与BD 相交于E ，则AE =（ ）A. 1233AB AD +B.1344AB AD + C. 2133AB AD +D. 3144AB AD +A根据平面向量的线性运算求解．由//DC AB 得DEF BEA ，所以12DE FE DF EB AE AB ===， 所以222112()()333233AE AF AD DF AD AB AB AD ==+=+=+．故选：A ．6. 在ABC 中，若AB AC BA BC ⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形B取AB 中点D ，连接CD ，则2CA CB CD +=，利用向量数量积的运算律变形，得AB CD ⊥，从而可判断三角形形状．取AB 中点D ，连接CD ，则2CA CB CD +=，因为AB AC BA BC ⋅=⋅，所以0AB AC BA BC ⋅-⋅=，所以()20AB CA AB CB AB CA CB AB CD ⋅+⋅=⋅+=⋅=，所以AB CD ⊥，即AB DC ⊥，所以ABC 的是等腰三角形．故选：B ．7. 我舰在岛A 处南偏西50°方向的B 处，且,A B 距离为12千米，发现敌舰正离开岛A 沿北偏西10°的方向以每小时10千米的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为（ ） A. 28千米/时 B. 14千米/时C. 2千米/时D. 20千米/时B由题意可知10220AC =⨯=（千米），12AB =千米，120BAC ︒∠=，根据余弦定理解BC ，再求速度.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度大小为v 千米/时，在ABC 中，10220AC =⨯=（千米），12AB =千米，120BAC ︒∠=，所以2222cos120784BC AB AC AB AC ︒=+-⋅=，则28BC =千米，故14v =千米/时.故选：B本题考查余弦定理解三角形的实际问题，意在考查抽象概括能力，并读懂题意，数形结合分析问题.8. 1766年，德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师，把数列0，3，6，12，24，48，96，……经过一定的规律变化，得到新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……，科学家发现，新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离，并据此发现了“天王星”､“谷神星”等行星，这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律，新数列的第8项为（ ） A. 14.8 B. 19.2 C. 19.6 D. 20.4C0，3，6，12，24，48，96的规律是从第三项起，每一项是前一项的两倍，故该数列的第8项是192，0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，……的规律是原数列的每一项加4，再除以10，计算即可. 规律是将原数列的每一项加4，再除以10，故第8项为19.6，故选：C. 9. 在ABC 中，120A =︒，6BC =，则ABC 的面积的最大值为（ ） A. 12B. 1C.33D. 33 D由余弦定理得到22b c +36bc =-，应用不等式求bc 范围，即可求出面积最值.由余弦定理，2226cos1202b c bc+-︒=，即22362b c bc bc +=-≥，当且仅当b c =时，等号成立， 所以max ()12bc =，所以max 11sin 12222S bc A ==⨯= D关键点点睛：由余弦定理得到2236b c bc +=-，应用重要不等式求出bc 的最大值是解题的关键，属于中档题.10. 已知锐角,αβ满足22,tan tan 232πααββ+==()sin βα-=（ ） A. 12B.C.D.C求出tan()2αβ+，由两角和的正切公式展开，结合已知求得tan2α和tan β，然后求得sin ,cos ,sin ,cos ααββ，再由两角差的正弦公式计算．由223παβ+=得23απβ+=，所以tantan 2tan 21tan tan 2αβαβαβ+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-又tantan 22αβ=tantan 32αβ+=，由tan tan 32tan tan 22αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得tan 22tan 1αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或tan 12tan 2αβ⎧=⎪⎨⎪=⎩（舍去，此时α不是锐角），tan 1β=，β是锐角，4πβ⇒=，sin cos 2ββ==22tan12sin 21tan 2ααα===+，则cos α=，所以1sin()sin cos cossin 22224βαβαα-=-=-=．故选：C ． 思路点睛：本题考查两角和正切公式，万能公式，同角间的三角函数关系，两角差的正弦公式．解题关键是确定选用公式的顺序，解题时由函数名及角的关系确定选用的公式及顺序．． 11. 已知ABC 的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则ABC 内切圆的半径r =（ ）A. 1B.2C.32D. 2B设出三个边的边长，根据正弦定理、正弦的二倍角公式、余弦定理，结合三角形面积公式、同角的三角函数关系进行求解即可.因为ABC 的三边是连续的三个自然数，所以不妨设,1,2a x b x c x ==+=+，三边所对的角分别为,,A B C ，因为最大角是最小角的2倍，所以2C A =， 由正弦定理可知：22cos (1)sin sin sin 2sin cos 2a c x x x A A C A A A x++=⇒=⇒=， 由余弦定理可知：222222(1)(2)cos (2)22(1)(2)b c a x x x A bc x x +-+++-==++，由(1),(2)可解，4x =，243cos 244A +==⨯，所以可得sin 4A ===，由三角形面积可知：11()sin (33)(1)(2)224a b c r bc A x r x x ++⋅=⇒+=++⋅，把4x =代入得：r =B 关键点睛：根据角的关系利用正弦定理求出边长是解题的关键.12. 设点O 为坐标原点，角123,,θθθ，...，60θ的始边与x 轴非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边上分别有一点123,,P P P ，...，60P ，若()()()()*sin 30,sin 60,160,k OP k k k k N =︒-︒︒+︒≤≤∈，则1cos θ+2cos θ+3cos θ+...+60cos θ=（ ）A. 12-B. C.D.12A根据向量的坐标的定义和三角函数的定义求得cos k θ，然后利用正弦函数的性质求解．因为()()()()*sin 30,sin 60,160,k OP k k k k N =︒-︒︒+︒≤≤∈，所以()()()sin 30,sin 60k P k k ︒-︒︒+︒是射线k OP 上的点，sin(60)sin[90(30)]cos(30)k k k ︒+︒=︒-︒-︒=︒-︒，所以cos sin(30)k k θ=︒-︒，所以1cos θ+2cos θ+3cos θ+...+60cos θ=sin 29sin 28sin 0sin(1)sin(30)︒+︒++︒+-︒++-︒1sin 29sin 28sin10sin1sin 29sin 302=︒+︒++︒+-︒--︒-︒=-．故选：A ．关键点点睛：本题考查考查三角函数的运算，解题关键是掌握向量的与点的坐标之间的关系，掌握余弦函数的定义．求值式利用正弦函数的诱导公式变形后即可得值． 二､填空题：本大题共4小题，共20分13. 已知向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，若、、A B C 三点共线，则k =______ 11或2-由三点共线可知三点中的两点所确定的向量共线，即//AB BC ，根据已知条件分别表示出,AB BC ，再利用向量共线的坐标运算列出关于k 的方程，解方程即得k 的值。

成都石室中学2020—2021学年度下期高2022届半期考试数学试卷（理科）（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项． 1．在复平面内，复数11iz =-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．4B ．2CD ．3．经过点M 且与双曲线22143y x -=有共同渐近线的双曲线方程为（ ）A ．22168x y -=B ．22168y x -=C ．22186x y -=D ．22186y x -=4．下列函数在定义域上为增函数的是（ ）A ．4()2f x x =B ．()x f x xe =C ．()cos f x x x =-D ．()ln f x x x = 5．在极坐标系中，直线l 的方程为sin 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与曲线:2C ρ=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定，与θ有关6．下列命题中，正确的有（ ）①若平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，则平面//α平面β； ②“若11a b<，则a b >”的逆否命题为真命题； ③在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好； A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.已知F 是抛物线24y x =的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，6AF BF += 则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A ．32B ．1C ．2D ．528．已知函数()ln f x x x =，若2a f ⎛= ⎝⎭，12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()e c f =，其中e 2.718=⋅⋅⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b >> 9．已知函数()2x x f x e e x -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,110.“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕､着陆､巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3395公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为 （ ）A ．0.61B ．0.67C ．0.71D ．0.77 11．已知定义在R 上的函数23ln ,1(),1x x f x x x x >⎧=⎨-≤⎩，若函数()()k x f x ax =+恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,0)e -B ．1[,0)e -C ．1(,0)4-D ．1[,0)4- 12．若函数32()36f x x x ax =-+存在两个极值点1x ，2x ，（12x x <），则()1f x 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[0,)+∞二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．复数z 满足(1i)2i z ⋅+=-（i 是虚数单位），则z 的模||z =_________. 14．某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为 1.2y x a =+，据此模型预测，若使用年限为9年，估计维修费约为 万元．15．已知函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，当0x ≥时，1()2x f x e x -=-，则曲线()y f x =在点(1,1)--处的切线方程是________． 16．函数()()g x y f x =⎡⎤⎣⎦在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()ln ln y g x f x =⋅，然后两边同时求导得()()()()()ln f x y g x f x g x y f x '''=+， 于是()()[]g x y f x '=()()()()()ln f x g x f x g x f x ⎡⎤''⋅+⎢⎥⎣⎦，用此法探求()()10xy x x =+>的导数_________.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为sin 42ρθπ⎛⎫-=⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1M -，若曲线1C ，2C 相交于,A B 两点，求MA MB ⋅的值.18．（本小题满分12分）为了解成都市某区居民对接种新冠疫苗的态度，某机构日前通过社交媒体，进行了问卷调查，结果显示，多达73.4%的该区受访者最担心接种疫苗后会有副作用.其实任何一种疫苗都有一定的副作用，接种新型冠状病毒疫苗后也是有一定副作用的，这跟个人的体质有关系，有的人会出现副作用，而有的人不会出现副作用.在接种新冠疫苗的副作用中，有发热、疲乏、头痛等表现.为了了解接种某种疫苗后是否会出现疲乏症状的副作用，某组织随机抽取了该区1000人进行调查，得到统计数据如下：无疲乏症状 有疲乏症状 总计 未接种疫苗 500100600接种疫苗 xyn总计800m1000（1）求22⨯列联表中的数据x ，y ，m ，n 的值，并确定能否有99%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关.（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，再从4人中随机抽取2人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的2人中，每有一人有疲乏症状减1分，每有一人没有疲乏症状加2分，求得分结果总和为11的概率.附:()22()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++()20P K k ≥0.1500.1000.0500.0250.0100k2.072 2.7063.841 5.024 6.63519.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，SD DB ⊥，SB AC ⊥.（1）证明：SD ⊥平面ABCD ；（2）已知22SD AB ==，点E 是棱SD 上的点，满足()01DE DS λλ=<<，若二面角C AE D --的余弦值为33，求λ的值.20．（本小题满分12分）已知函数()()212xa f x xe x =-+． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当0x >时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知0x =是函数()ln(1)1axf x x x =+-+的极值点．（1）求a 的值，并证明()0f x ≥恒成立； （2）证明：对于任意正整数n ，1(1)(2)(2)n n nn n n en ++⋅+>22.（本小题满分12分）已知平面内动点M 到两定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之和为4. （1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）已知曲线2220Ax Bxy Cy D +++=上点00(,)x y 处切线方程为0000()0Ax x B x y xy Cy y D ++++=.若直线4x =与圆()2249x y -+=相交于,P Q 两点，动点(4,)N t 在线段PQ 上运动，从N 向轨迹E 作切线，切点分别为,A B ;（ⅰ）求证：直线AB 过定点；（ⅱ）求AOB ∆面积的取值范围．成都石室中学2020—2021学年度下期高2022届半期考试数学参考答案（理科）（时间：120分钟 满分：150分）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．每小题只有一个正确选项． DAACB BCBDA CD二.填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分. 1314．11; 15．y x =; 16．()1[ln(1)]1x x y x x x '=++++.三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由11x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得：()()22112x y -+-=，即1C 的普通方程为：()()22112x y -+-=；由sin 42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭得：cos sin 222ρθρθ-=， 2C ∴的直角坐标方程为：1x y -=，即10x y --=； …………………….5分（2）()0,1M -满足2C 方程，M ∴在2C 上，可得2C参数方程：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将2C 参数方程代入1C普通方程整理得：230t -+=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12123t t MA M t B t ⋅=⋅⋅==. .…………………….10分 18．【解析】（1）由题意得：1000800200m =-=，100100y m =-=，800500300x =-=，300100400n x y =+=+=，因为()22100050010010030012510.417 6.63580020060040012K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99%的把握认为有疲乏症状与接种此种疫苗有关. ……………….6分（2）从接种疫苗的n 人中按是否有疲乏症状，采用分层抽样的方法抽出4人，可知4人中无疲乏症状的有6人，记为,,a b c ，有疲乏症状的有2人，记为A ，从4人中随机抽取2人，总基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a A b A c A 共6件，当这2人中恰有1人有疲乏症状时，得分为11分，记“得分结果总和为11”为事件M ，事件M 包括了3件基本事件，则()3162P M ==. …….12分19.【解析】（1）因为底面四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 又SB AC ⊥，SB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 又AC ⊂平面ABCD ，所以平面SBD ⊥平面ABCD ， 因为SD BD ⊥，SD ⊂平面SBD ，平面SBD平面ABCD BD =，所以SD ⊥平面ABCD . …………5分 （2）由已知及（1）可知SD AD ⊥，SD CD ⊥，AD CD ⊥，以D 为原点，DA ，DC ，DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 因为22SD AB ==，所以()0,0,0D ，()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C ，()0,0,2S ，()0,0,2E λ，得()2,0,2EA λ=-，()0,2,2EC λ=-， …………7分设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则由n EA ⊥，n EC ⊥得00n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x z y z λλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取2z =，得()2,2,2n λλ=. …………9分易知平面ADE 的一个法向量为()0,2,0DC =. …………10分所以，222223cos 382241n DC n DCθλλλλ===+⋅⋅=+⋅，解得22λ=. (12)分20．【解析】() 1定义域为R ，()(1)()x f x x e a '=+-,①0,0,(,1)xa e a x ≤-≥∈-∞-时，()0,f x '<所以()f x 在上单调递减；()(1,),0,x f x '∈-+∞>所以()f x 在上单调递增；当0,a >时，()120,1,ln ,f x x x a '==-= ②当1,ln 1a a e>>-时，()(,1)(ln ,),0,x a f x '∈-∞-+∞>与所以()f x 在单增，当()(1,ln ),0,x a f x '∈-<所以()f x 在上单调递减； ③当1,ln 1a a e<<-时，()(,ln )(1,),0,x a f x '∈-∞-+∞>与所以()f x 在单增，当()(ln ,1),0,x a f x '∈-<所以()f x 在上单调递减； ④当1a e=时，()0f x '≥恒成立，且只有当1x =-时，()0f x '=，所以()f x 在R 上单增； 综上，①当0a ≤时，()f x 在上单调递减，在上单调递增；②当1a e >时， ()f x 在单增，在上单调递减； ③当1a e <时， ()f x 在单增，在上单调递减；④当1a e=时， ()f x 在R 上单增. (8)分（2）由端点效应，(0)02af =-≥,所以0a ≤，由（1）知：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)02a f x f >=-≥，满足题意，所以0a ≤. …………12分21.【解析】（1）'21(1)()1(1)a x ax f x x x +-=-++，'(0)10f a =-=，1.a = …………3分'2211()ln(1),()11(1)(1)x x f x x f x x x x x =+-=-=++++，''(1,0),()0,(),(0,),()0,(),x f x f x x f x f x ∈-<↓∈+∞>↑min ()(0)0f x f =≥，…………6分 (,1)-∞-(1,)-+∞(,1)(ln ,)a -∞-+∞与(1,ln )a -(,ln )(1,)a -∞-+∞与(ln ,1)a -(,1)-∞-(1,)-+∞(,1)(ln ,)a -∞-+∞与(1,ln )a -(,ln )(1,)a -∞-+∞与(ln ,1)a -（2）由（1）知即，12112211ln(1),ln(1)121211112n n n n n n n n n n +>=+>==>++++++ 11ln(1)111kk k nk n n n k n n k+>=>++++…………10分上式累加得：1ln(1)1nk k n n n =+>⇒+∑1(1)(2)(2)nn nn n n e n ++⋅+>…………12分 22.【解析】（1）由题意知，121242MF MF F F +=>=，所以，动点M 的轨迹是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点，长轴长为4的椭圆，方程为221;43x y +=………3分（2）（ⅰ）设()()1122,,,A x y B x y ，则在,A B 处的切线方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y+=，因为两直线都过(4,)N t ，所以11112222411433411433x y t y t x x y t y t x ⎧⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=+=⎪⎪⎩⎩，则()()1122,,,A x y B x y 两点的坐标均满足一元二次方程13ytx +=，故直线AB 的方程为13yt x +=，过定点(1,0)； ……..7分（ⅱ）12222221226112(12)6270327341212t yt y y x t t y ty y y x y t ⎧⎧+=⎪+=⎪⎪+⇒+--=⇒⎨⎨-⎪⎪=+=⎩⎪+⎩，由题知[3,3]t ∈-，由椭圆的对称性，不妨设[0,3]t ∈，224(9)(12)t AB t +==+， (9)分原点到直线AB 的距离d =，所以，12S ABd ==，令m ∈，26633m S m m m==++，…10分，记3()h m m m =+，m ∈，由23()10h m m '=->，所以3 ()]2h m∈，即AOB∆面积的取值范围为3]2………12分。

一、选择题1．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 2．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 3．(0分)[ID ：12399]设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( ) A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③5．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．3 6．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．(0分)[ID ：12394]如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12366]已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 10．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1011．(0分)[ID ：12359]若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16012．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．3B 1033C ．23D 83313．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离14．(0分)[ID ：12370]如图1，ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE ∆与BCF ∆分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ∆与BCF ∆分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（ ）图1 图2（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12479]光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．17．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.18．(0分)[ID ：12512]一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________19．(0分)[ID ：12470]已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．20．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12442]正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为 ．23．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．24．(0分)[ID ：12472]已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.25．(0分)[ID ：12435]已知直线1:1l y x =-上有两个点11(,)A x y 和22(,)B x y , 且12,x x 为一元二次方程2610x x -+=的两个根, 则过点,A B 且和直线2:1l x =-相切的圆的方程为______________.三、解答题26．(0分)[ID ：12590]已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -.（1）求BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标.27．(0分)[ID ：12587]如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，1,D D 分别是BC 和11B C 的中点.（1）求证：11//A D 平面1AB D（2）若平面ABC ⊥平面111,60BCC B B BC ∠=︒，求三棱锥1B ABC -的体积.28．(0分)[ID ：12586]如图，在三棱锥A BCD -中，,E F 分别为棱,BC CD 上的中点.（1）求证：EF 平面ABD ；（2）若,BD CD AE ⊥⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD .29．(0分)[ID ：12585]如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求证：BD ⊥平面PAC .30．(0分)[ID ：12583]如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．C3．B4．B5．A6．B7．A8．A9．D10．D11．D12．B13．B14．C15．D二、填空题16．4x－5y+1=0【解析】【分析】先求P点关于直线x+y+1=0对称点M再根据两点式求MQ方程即得结果【详解】因为P点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与18．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别19．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m可以和面β成任意角度①不正确；l⊂γl⊥m所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l⊂βl⊥α20．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所23．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.2．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.3．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+ 解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围． 4．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．5．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ==== ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 6．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等， 所以22(1)(2)x y -+-22(3)(1)x y =-+-．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意，从而可得答案．【详解】对于B项，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．D解析：D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 2522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为104，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．D解析：D 【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC ,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．B解析：B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =⋅=. 故选：B.解析：B【解析】【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离2d <，得到直线与圆的位置关系为相交．【详解】根据题意，圆的参数方程为1232x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），则圆的普通方程为22(1)(3)4x y ++-=，其圆心坐标为(1,3)-，半径为2.直线的方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的普通方程为13(1)y x +=+，即320y x --=，圆心不在直线上.∴圆心(1,3)-到直线320y x --=的距离为25d ==<，即直线与圆相交.故选A.【点睛】本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与圆的参数方程变形为普通方程. 14．C解析：C【解析】【分析】（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面FGT ；（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立.【详解】（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ∆是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC AB ⊥，又平面ABE 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面AE ⊂平面ABC ，此时AE BC ⊥；（2）设AB BC a ==，则2AC a =，且有AE CF a ==，翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，AE CE ⊥，即AE FC ⊥；（3）如下图所示：翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .ABE ∆是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE 平面ABC AB =，DE ⊂平面ABE .DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴，DE ⊄平面FGT ，FG ⊂平面FGT ，//DE ∴平面FGT .G 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，AB ⊄平面FGT ，GT ⊂平面FGT ，//AB ∴平面FGT .DE AB D =，∴平面//EAB 平面FGT ；（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=， 即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行.因此，可能正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题. 15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．4x －5y+1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M 再根据两点式求MQ 方程即得结果【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为所以反射光线方程为【点睛】本题考查点关于直线对称问解析：4x －5y +1=0【解析】【分析】先求P 点关于直线x+y+1=0对称点M ，再根据两点式求 MQ 方程，即得结果.【详解】因为P 点关于直线x+y+1=0对称点为(4,3)M --， 所以反射光线方程为13:1(1),451014MQ y x x y +-=--+=+. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，考查基本分析求解能力，属基本题. 17．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与 解析：163,32⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=, 所以221643,8BD d ⎡⎤=-∈⎣⎦, 所以四边形ABCD 的面积1163,322S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦; 故答案为:163,32⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.18．【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为则球心为线段的中点利用勾股定理求出球的半径由此能求出球的表面积【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是且每个顶点都在球的球面上∴设此直三棱柱两底面的中心分别 解析：21π【解析】【分析】设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，利用勾股定理求出球O 的半径2R ，由此能求出球O 的表面积．【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的球面上，∴设此直三棱柱两底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为线段12O O 的中点，设球O 的半径为R ，则222323213234R ⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴球O 的表面积2S 4R 21ππ== .故答案为：21π．【点睛】本题考查球的表面积的求法，空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、属于中档题．19．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本 解析：60°【解析】【分析】首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小.【详解】由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥⋂=，所以SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而SA SC S ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==2SC =，所以在Rt SAC ∆中，12SA SC =，所以30SCA ∠=，所以60EDC ∠=. 故答案为：60【点睛】 本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为得底面所在平面截其外接球所成圆半径为又由高为则球心到圆的球心距为根据球心距截面圆半径球半径构成的直角三角形满足勾股定理我们易得半径满足：已知求得正三棱柱外接球所 解析：【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成圆O 半径为23r =，又由高为2，则球心到圆O 的球心距为1d =，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径R 满足：22273R r d =+=，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为22843S R ππ==． 考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离． 【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．23．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程 解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内， 且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．24．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：(()121211416832833V S S S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=. 故答案为：28．【点睛】 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25．或【解析】【分析】由题意可知所以中点坐标为圆心在直线的中垂线上故过圆心满足直线设圆心的坐标为由圆与直线相切故由弦长公式可得圆心到直线的距离为由勾股定理可知解得：当时；当时得解【详解】上有两个点和为一解析：223(2)16x y -+-=（）或2211(6)144x y -++=（） 【解析】【分析】由题意可知，126x x +=，124y y +=，所以AB 中点坐标为32（，），圆心在直线AB 的中垂线上，故过圆心满足直线5y x =-+，设圆心的坐标为a 5a -（，），由圆与直线2:1l x =-相切故r a 1=+，由弦长公式可得21218AB k x =+-=，圆心到直线AB222221r (a 1)2(3)162d AB a =+↔+=-+解得：当3a =时，r 4=；当11a =时，r 11=得解。