四川省成都市石室中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学(理)试题

四川省成都市石室中学高三数学模拟试卷（理科）一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分2．（5分）复数的虚部是（）解：复数==i3．（5分）已知，则的值为（）．．．）﹣﹣﹣）﹣（﹣）4．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）6．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）．．D，由=3，T=．x+∴×．2=≥﹣8．（5分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（），由条件可得2，故⊥∵∴﹣2∴•，∴⊥9．（5分）反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录10．（5分）已知关于x的方程﹣2x2+bx+c=0，若b、c∈{0，1，2，3，4}，记“该方程有实数．．．．二、填空题：每小题5分，共25分11．（5分）已知数列{a n}的前n项和，则a n=﹣3×2n﹣1（n∈N*）．，得（12．（5分）（1+2x）n的展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n等于8．（•，4=4，=2×，解得13．（5分）如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为．高为的正四棱锥，，高为的正四棱锥V==故答案为：14．（5分）设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于．先求出解：∵∴=∴==故答案为：15．（5分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（﹣1，1），恒成立．有下列结论：①f（0）=0；②函数f（x）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f（x）是定义域内的增函数；④若，且a n∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列{f（a n）}为等比数列．其中你认为正确的所有结论的序号是①②④．，可证出，当，，则，则，所以，，，则=f三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知△ABC的面积S满足，的夹角为θ．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最大值．）由题意知=3tan∵∴，∴，∴．，∴，即时，，）的最大值为17．（12分）三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC，∠ACB=90°，AC=CB=2．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅱ）若，且异面直线PC与AD的夹角为60°时，求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．中，∴∵为正三角形，解得，，，∵，∴，∵，取的法向量为∴18．（12分）设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=﹣cos2x+cos2x+2sinx ﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若方程有解，求实数a的取值范围．先验证当时方程2a=的值域即可，分类讨论：①当时，当时，时，，则，因为函数时，，则，，+3（19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）﹣﹣取最大值，且时，当且仅当x=x=21．（13分）设数列{a n}为单调递增的等差数列，a1=1，且a3，a6，a12依次成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若，求证：．∴，）证明：22．（14分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．时，恒成立，即）知：）解：由题恒成立，即，则，则，知：∴=高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801。

2024学年四川省成都市青羊区石室中学物理高二下期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如图所示，空间中存在水平向左的匀强电场．在电场中将一带电液滴从b点由静止释放，液滴沿直线由b运动到d，且直线bd方向与竖直方向成45°角，下列判断正确的是( )A．液滴带正电荷B．液滴的电势能减小C．液滴的重力势能和电势能之和不变D．液滴的电势能和动能之和不变2、物理教材中有很多经典的插图能够形象的表现出物理实验、物理现象及物理规律，下列四幅图涉及到不同的物理知识，其中说法正确的是A．甲图中，卢瑟福通过分析粒子散射实验结果，发现了质子和中子B．乙图中，在光颜色保持不变的情况下，入射光越强，饱和光电流越大C．丙图中，射线甲由电子组成，射线乙为电磁波，射线丙由粒子组成D．丁图中，链式反应属于轻核裂变3、如图所示，一个边长为2L的等腰直角三角形ABC区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，其左侧有一个用金属丝制成的边长为L的正方形线框abcd，线框以水平速度v匀速通过整个匀强磁场区域，设电流逆时针方向为正。

则在线框通过磁场的过程中，线框中感应电流i随时间t变化的规律正确的是A ．B ．C ．D ．4、如图所示，直角三角形ABC 为一透明介质制成的三棱镜的截面，且∠A=30°.在整个AC 面上有一束垂直于它的平行光线射入，已知透明介质的折射率n>2，则（ ）A ．可能有光线垂直于AB 面射出 B ．一定有光线垂直于BC 面射出 C ．一定有光线垂直于AC 面射出D ．从AB 面和BC 面射出的光线可能相交 5、23290Th 具有放射性，经以下连续衰变过程：2322282282282089088899082Th Ra Ac Th Pb →→→→→，最后生成稳定的20882Pb ，下列说法中正确的是A ．23290Th 和22890Th 中子数相同，质子数不同B ．整个衰变过程共发生6次α衰变和4次β衰变C ．22888Ra 发生β衰变后变为22889Ac ，说明22888Ra 原子核内有β粒子D ．22888Ra 的半衰期为6.7年，取40个该种原子核，经过13.4年剩下10个该种原子核6、如图所示,甲图是电场中一条电场线,直线上有A 、B 、C 三点,且A 、B 间距离等于B 、C 间距离．一个带负电的带电粒子,由A 点仅在电场力作用下,沿电场线经B 点运动到C 点,其运动的v -t 图像如图乙所示,有关粒子的运动与电场的说法,下述正确的是( )A ．加速度BC a a < B ．电场强度A B E E >C ．电势A B ϕϕ<D ．电势差AB BC U U =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一､单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{}220,0,1A xx x B =-≤=∣，则A B ⋂=（）A.[]0,1B.{}0,1 C.[]0,2D.{}0,1,22.复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为（）A.()2,1- B.()1,1- C.()1,2 D.()2,23.函数()3,0ln ,0x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()1f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.-1B.0C.ln2D.24.在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（）A.1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,0 D.()1,π5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()323f x x x=+ B.()5tan f x x=C.()8f x x=-D.()f x x =+6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.14C.15D.177.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.14种C.12种D.9种8.收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）A.ˆ19.8463.7yx =- B.0.273.84ˆx ye -=C.2ˆ0.367202yx =- D.ˆy =9.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.-1B.1C.15D.1610.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C.D.11.函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m -恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()3,11- B.()3,11 C.[]2,7D.[]3,1112.已知函数()22(1)sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ++--'-'=（）A.-3B.3C.2D.-2二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()i 12i z =+的共轭复数为__________.14.10(1)x -的展开式的第6项系数是__________.15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是__________.16.已知,a b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为__________.三､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到图形C '.（1）写出曲线C '的平面直角坐标方程；（2）点P 在曲线C '上，求点P到直线60l y +-=的距离的最小值及此时点P 的坐标.18.（本小题12.0分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1.（1）求,a b 的值；（2）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.19.（本小题12.0分）随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天（共计20天）的需求量（单位：个），统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X 表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.（1）求X 的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元.20.（本小题12.0分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y 兆瓦0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2某位同学分别用两种模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于ˆi i y y-）经过计算得()()()()()888211172.8,42,686.8iiii i i i i x x y y x x t ty y ===--=-=--=∑∑∑，()8213570ii tt =-=∑，其中8211,8i ii i t x t t ===∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==---==--∑∑21.（本小题12.0分）已知函数()11x f x eax a -=-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）①若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合；②证明.()ln 20xe x -+>22.（本小题10.0分）在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l 经过点P .（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB PBPA+的值.答案和解析1.【正确答案】B解：集合{}{}{}22002,0,1A xx x x x B =-≤=≤≤=∣∣，则{}0,1A B ⋂=.2.【正确答案】A解.()()()()223i 1i 3i 33i i i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+--=====-++--则复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为()2,1-.3.【正确答案】D解：根据题意，函数()3,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()210f e -=>，则()21ln 2ln 2f f e e ⎡⎤-===⎣⎦，4.【正确答案】D解：圆2cos ρθ=-即22cos ρρθ=-，即2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示以()1,0-为圆心，半径等于1的圆.而点()1,0-的极坐标为()1,π，5.【正确答案】A解：函数()323f x x x =+是奇函数，且在定义域内是增函数，A 正确；函数()5tan f x x =在定义域内不具有单调性，B 错误；函数()8f x x=-在定义域内不具有单调性，C 错误；函数()f x x =+[)0,∞+，不具有奇偶性，D 错误；综上，应选A .6.【正确答案】C解：模拟程序的运行，可得1a =执行循环体，3a =不满足条件10a >，执行循环体，7a =不满足条件10a >，执行循环体，15a =满足条件10a >，退出循环，输出a 的值为15.故选.C 7.【正确答案】B【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故本题选B .8.【正确答案】B由决定系数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好.故选.B 9.【正确答案】C【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令1x =-得，443210(2)16a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=.故选：C.10.【正确答案】D解：当0x >时，ln ,1ln y x x y x ==+'，即10x e <<时，函数y 单调递减，当1x e>，函数y 单调递增，又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ，故选.D 11.【正确答案】D解：因为()3224f x x x x =--+，所以()2344f x x x =--+'，令()0f x '=得23x =或2x =-，可知函数()f x 在[)3,2--上单调递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而()()()24033,28,,333327f f f f ⎛⎫-=--=-==-⎪⎝⎭，所以函数()f x 在[]3,3-上的最小值为-33，因为当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，只需2min 14()m m f x -≤，即21433m m -≤-，即214330m m -+≤，解得311m ≤≤.故选D .12.【正确答案】C【分析】利用求导法则求出()f x '，即可知道()()f x f x '='-，再利用()()2f x f x +-=，即可求解.【详解】由已知得()()2222(1)sin (1)sin 11x x x xf x x x -+----==++，则()()2222(1)sin (1)sin 211x x x xf x f x x x ++--+-=+=++，()()()()222221cos 12(1)sin 1x x x x x x f x x'⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦=+()()()2222cos 12sin 1x x x xx ++-=+则()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++--=+'，即()()f x f x '='-，则()()()()2022202220222022f f f f ++-''--()()()()20222022202220222f f f f =+-+'-'-=，故选：C.13.【正确答案】2i --解：复数()i 12i 2i z =+=-+，其共轭复数为2i --.14.【正确答案】-252【分析】应用二项式定理写出第6项系数.【详解】由101011010C (1)(1)C rrr r r rr T xx --+=-=-，所以，第6项为5r =，则5555610(1)252T C x x =-=-，故第6项系数是-252.故-25215.【正确答案】乙解：假设甲会，那么甲､乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲､乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙､丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会.综上可得：会中国象棋的是乙，16.【正确答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()ln 1(0)a g a a a--=>求解.【详解】设()ln (0)f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于max ()0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意.当0a >时，()11(0)ax f x a x x x-=-=>'，∴当10x a <<时，()0f x >，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，max 1()ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭.由max ()0f x ≤得ln 1ln 1,b a b a a a --≥--∴≥.令()ln 1(0)a g a a a --=>，则()2ln ag a a='，当01a <<时，()()0,g a g a '<在()0,1上单调递减，当1a >时，()()0,g a g a '>在()1,∞+上单调递增，()min ()11g a g ∴==-，1ba ∴≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1,1a b ==-.故-1.17.【正确答案】解：（1）由2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中，得22()()143x y +=.即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程；（2）设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离为d ==其中255tan 2sin 55ϕϕϕ⎛=== ⎝⎭，当()sin 1θϕ+=时，即()22k k Z πθϕπ+=+∈，于是()sin sin 2cos 25k k Z πθπϕϕ⎛⎫=+-==∈ ⎪⎝⎭，同理25cos sin 5θϕ==，此时6152d =，即距离最小值为6152，此时点4515,55P ⎛ ⎝⎭.18.【正确答案】解：（1）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1，()234f x x ax b =+'+ ，且函数()f x 在1x =-处有极值1，()()13401120f a b f a b a ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+-+='⎪⎩，解得1;1a b =⎧⎨=⎩又当1a b ==时，()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，()f x ∴在(),1∞--和1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值，满足题意；综上，1a b ==；（2）当1,1a b ==时，()3221f x x x x =+++，则()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x -111,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()f x '-0+()f x 1单调递减极小值2327单调递增5所以[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为5.19.【正确答案】解：（1）X 可取162,163,164,165,166，()()()214163162,163,16420102052010P X P X P X =========，()()513165,16620420P X P X =====，所以分布列为：X162163164165166P 1101531014320（2）设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=，当163X =时，16350108140Y =⨯-=，当164X =时，164508200Y =⨯=，当165X =时，16450208220Y =⨯+=，当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.【正确答案】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+.由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑，8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，则()()()81821686.8ˆ0.193570i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，ˆˆ50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.190.16yx =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为2ˆ0.19100.1619.16y=⨯+=（兆瓦）.21.【正确答案】解：（1）因为()11x f x e ax a -=-+-，所以()1x f x e a -=-'，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间R 上单调递增；②当0a >时，令()0,ln 1f x x a >>+'，令()0,ln 1f x x a <<+'，所以()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增.（2）①由（1）可得当0a ≤，函数()f x 在区间R 上单调递增，又()0110f e a a =-+-=，所以1x <，则()0f x <，与条件矛盾，当0a >时，()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增，所以()()ln 1f x f a ≥+，由已知()ln 10f a +≥，所以aln 10a a --≥，设()ln 1g x x x x =--，则()1ln 1ln g x x x =--=-'，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()ln 1g x x x x =--单调递增，()1,x ∞∈+时，()0g x '<，函数()ln 1g x x x x =--单调递减，又()11ln110g =--=，所以不等式ln 10a a a --≥的解集为{}1.②证明：设()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'，当()2,1x ∈--时，()0h x '<，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递增，又()10ln10h -=-=，所以()1ln 20x x +-+≥，当且仅当1x =-时取等号，由（1）1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以()ln 20xe x -+>.22.【正确答案】解：（1）点P 的直角坐标是()1,0-，直线l 的倾斜角是34π，∴直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），由直角坐标与极坐标互化公式得曲线C 的直角坐标方程为22(1)9x y -+=.（2）将1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)9x y -+=，得250t +-=，设,A B 对应参数分别为12,t t，则12125t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义得：()()2222221212121212||2251855PA PB t t t t PAPBt t PB PA PA PB t t t t ++--⨯-++=====⋅⋅⋅-.。

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。

数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知i 为虚数单位，复数21iz =-，则复数z 的模为 A B ．1 C ．2 D ．122．一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21s at =+，若汽车在t ＝2时的瞬时速度为12，则a ＝ A ．12B ．13C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为 A ．2 B 1C 1D ．34．3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有 A ．34B ．43C ．34C D ．34A5．函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为 A ．10x y +-=B ．10x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-= 6．若函数32()f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数a ﹣b 的值为A ．21B ．﹣21C ．27D ．﹣277．100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为A ．349B ．198C ．197D ．3508．设随机变量Y 满足Y~B(4，12)，则函数2()44Y f x x x =-+无零点的概率是 A ．1116B ．516C ．3132D ．12 9．从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有 A ．140种B ．84种C ．35种D ．70种10．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是A B C D 第10题11．设5540145(1)(1)(1)x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++＝A ．﹣32B ．0C ．16D ．﹣1612．对于定义在(1，+∞)上的可导函数()f x ，当x ∈(1，+∞)时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，已知(2)a f =，1(3)2b f =，1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．61)3x的展开式中常数项是． 14．若随机变量X~N(μ，2σ)，且P(X ＞6)＝P(X ＜﹣2)＝0.3，则P(2＜X ≤6)＝．15．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法．16．函数1, 0()ln , 0x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x tx =-恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知复数22(43)()i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位． （1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()ln=-(a∈R)．f x x ax（1）当a＝2时，求函数()f x的极值；（2）讨论函数()f x的单调性；（3）若对x∀∈(0，+∞)，()0f x<恒成立，求a的取值范围．19．（本小题满分10分）在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北．某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队．（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望．20．（本小题满分12分）物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求．某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下：（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女”网上买菜达人”的概率．附公式及表如下：22()=()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-++++21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项为1，记01122123(, )(1)(1)(1n n n n n F x n a C x a C x x a C x -=-+-+-21111)(1)n n n n nn n n n x a C x x a C x ---+++-+．（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求(1, 2020)F -的值； （2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(, 2020)F x 是关于x 的一次多项式．22．（本小题满分14分）已知函数2()2x a f x e x ax =--，其中a ＞0．（1）当a ＝1时，求不等式2()4f x e >-在(0，+∞)上的解； （2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线x ＝lna 对称的函数为()y h x =，求证：当x ＜lna 时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<．参考答案1．A2．D3．B4．B5．B 6．A7．A8．A9．D10．D11．C12．D13．5314．0.2 15．150 16．(1e，1){0} 17．解：（1）∵复数z 是纯虚数，∴224300m m m m ⎧-+=⎪⎨-≠⎪⎩，解得130, 1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故m ＝3， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩，解得1301m m m m <>⎧⎨<>⎩或或，故m ＞3或m ＜0，∴实数m 的取值范围为(-∞，0)(3，+∞)．18．解：（1）。

四川省成都市石室中学2023届高三高考模拟测试数学
（理科）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数
．设zÎC，则在复平面内35
££所表示的区域的面积是（）
z
．B．C．D．
．
13
B ．
23
C ．
43
二、填空题
13．“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道E 处，小明14．已知点C 的坐标为()2,0，点,A B 是圆0AC BC ×=uuu r uuu r
，设P 为线段AB 的中点，则15．已知函数()()2e R x f x ax a =-Î有两个极值点围为___________．
三、双空题
信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在A部件上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据，结果如下：。

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题（理）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在A B C ∆中，“AC B ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是（）A ．9x =B ．6y =C ．乙的成绩的中位数为28D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4.用数学归纳法证明()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A ．1项B ．21k -项C ．+12k 项D ．2k 项5．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π2x =对称B ．()f x 的周期为πC ．(1π,4)是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增6．物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的概率为()1log b b n P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n k P n k ==∈+∑N ，则k 的值为（）A ．7B ．8C ．9D ．107．已知函数2()2ln f x x x =+的图象在两个不同点()()11,Ax f x 与()()22,B x f x 处的切线相互平行，则12x x+的取值可以为（）A ．14B ．1C ．2D ．1038.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABC D Y 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（）A ．平行B ．相交C ．异面且垂直D ．异面且不垂直9．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为（）A ．316B ．1316C ．716D ．91610．在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B -，向量OC mOA nOB =+，且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q （点P 在x 轴上方），双曲线右焦点为F ，则POF QOFS S ∆∆=（）A ．3+22B ．322-C ．196217+D ．196217-11．如图，射线l 与圆()()22:111C x y -+-=，当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转（A 、B 分别为0l 和l 上的点，转动角度AOB α∠=不超过π4）时，它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α，则其导函数()L α'的解析式为（）A ．()2sin2L αα='B ．()2cos2L αα='C ．()2cos2sin2L ααα='D ．()cos2sin2L ααα='12．若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩，且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若复数13i 22z =+（i 为虚数单位），则2z z ⋅=.14．已知a 是1与2的等差中项，b 是1与16的等比中项，则ab 等于.15.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x y 、均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，若()21f =，()510f =，则()724f =.16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示，其内部上口直径､下口直径､母线的长度依次等于8cm 、6cm 、12cm ，将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出，当水面恰好到达杯底（水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”）的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题（本题共6道小题，共70分）17．（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上，30CBD CDB ∠=∠=︒，75ACD ∠=︒．(Ⅰ)求sin sin BACABC∠∠的值；(Ⅱ)设AC =3，求2AB ．18．（本小题满分12分）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；(Ⅲ)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在[]21,25的条件下，至多1株高度低于23cm 的概率.19．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R .(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a ≤-.20．（本小题满分12分）已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面，AB α⊂，CD β⊂，且2AB CD ==，AB 和CD 的夹角为60︒.(Ⅰ)证明：四面体ABCD 的体积为定值；(Ⅱ)已知异于C 、D 两点的动点P β∈，且P 、A 、B 、C 、D的球面上.当PA ，PB 与平面α的夹角均为θ时，求cos θ.选考题：共10分。

一、单选题1. 如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°．若测得DC ＝2，CE＝(单位：百米)，则A ，B 两点的距离为（）A．B ．2C ．3D ．22. 点(1,1)到直线的距离是（ ）A ．1B ．2C．3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A ．向右平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（ ）A．B ．存在时，使得C ．给定正整数，若，，且，则D ．设方程的三个实数根为，，，并且，则5. 以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于A．B．C．D．6. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A．B．C．D．7. 若数列满足，（且），则( )A．B．C．D．8. 点声源在空中传播时，衰减量（单位：dB ）与传播距离d （单位：米）之间的关系式为．若传播距离从20米变化到40米，则衰减量的增加值约为（参考数据：）（ ）A．B．C．D．9. 已知，，且，则（ ）四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题二、多选题A．B．C．D．10. 已知向量，的夹角为，，，则（ ）A ．2B．C．D．11. 设备的经济寿命是指设备从投入使用开始到因继续使用在经济上不合理而被更新所经历的时间，由维护费用的提高和使用价值的降低决定的设备的经济寿命有如下计算公式：，其中为设备的经济寿命（单位：年），P为设备目前实际价值，为设备N年末的净残值，为设备的低劣化值．若有一台设备，目前实际价值为8000元，预计经济寿命为7年，设备的低劣化值为300元，则该设备7年末的净残值为（ ）A ．600元B ．650元C ．700元D ．750元12. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13. 已知等差数列满足，前 项和为，则（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2414. 曲线在处切线的倾斜角为，则（ ）A ．2B．C ．1D．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，的延长线交于，，则的离心率（ ）A．B．C．D．16. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．17. 已知直线：，：，则下列结论正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C ．若，在x轴上的截距相等则D ．的倾斜角不可能是倾斜角的2倍18.如图，在长方体中，，下列命题正确的有（）A．B．三、填空题C ．平面平面D ．平面平面19. 已知直线l 过点，点，到l 的距离相等，则l 的方程可能是( )A．B．C．D．20.已知函数，则（ ）A ．在单调递减，则B ．若，则函数存在2个极值点C ．若，则有三个零点D ．若在恒成立，则21. 已知圆台上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）A ．与底面所成的角为60°B．二面角小于60°C．正四棱台的外接球的表面积为D ．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则22.设函数，给定下列命题，其中正确的是（ ）A．若方程有两个不同的实数根，则；B．若方程恰好只有一个实数根，则；C ．若，总有恒成立，则；D．若函数有两个极值点，则实数.23. 某数学学习小组甲、乙、丙三人分别构建了如图所示的正四棱台①，②，③，从左往右.若上底面边长、下底面边长、高均依次递增，记正四棱台①，②，③的侧棱与底面所成的角分别为，，，正四棱台①，②，③的侧面与底面所成的角分别为，，，则（）A．B．C．D．24. 如图所示，中，，点M 为线段AB 中点，P 为线段CM 的中点，延长AP 交边BC 于点N ，则下列结论正确的有（）．A．B．C．D ．与夹角的余弦值为25. 投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则.简单多数原则指个评委对个候选人进行一次表决，各自选出认为最佳的人选，按四、解答题每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评委先对个候选人排定顺序，第一名得分，第二名得分，依此类推，最后一名得1分，每个候选人最后的积分多少决定各自名次.下表是33个评委对A ､B ､C ､D 四名候选人作出的选择，则按不同原则评选，名次不相同的候选人是__________.选票数名次6753931st CA C A BD2nd A C D D A A 3rd BBBBD C 4thD D A CCB26. 已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为6，其内切球的半径为1，则此三棱锥的高为___．27. 已知向量与共线且方向相同，则_____.28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则_____________.29. 已知，向量，，且，则θ＝______________．30. 若双曲线的焦距为，则实数______．31.已知函数为偶函数，则的解集为__________．32.设直线系，对于下列四个命题：①M 中所有直线均经过一个定点；②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号）33. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：34. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．五、解答题35.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．36. 已知函数.(1)求f （x ）的最小正周期和在的单调递增区间；(2)已知，先化简后计算求值：37. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.38. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.8416.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．39.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、.（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数.40.已知：①函数；②向量，，且，；③函数的图象经过点.请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知______，且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．(1)若，且，求的值；(2)求函数在上的单调递减区间．(3)请用五点作图法作出函数的图象.41. 设函数图像的一条对称轴是直线 .（1）求；（2）求函数的单调递增区间;（3）画出函数在区间上的图像.42. 正六棱锥的高为，底面边长为．(1)按1∶1画出它的二视图；(2)求其侧面积；(3)求它的侧棱和底面的夹角．43. 若动点到定点与定直线的距离之和为4.（1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由.44. 如图为一块直四棱柱木料，其底面满足：，．(1)要经过平面内的一点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并写出作图说明，无需证明）(2)若，，当点是矩形的中心时，求点到平面的距离．六、解答题45. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，∠A ＝60°，E ，F 分别为线段AB ，CD 上的点，且BE ＝2AE ，DF ＝FC ，现将△ADE 沿DE 翻折至的位置，连接，．(1)若点G 为线段上一点，且，求证：平面；(2)当三棱锥的体积达到最大时，求二面角的正弦值．46.如图，直棱柱的底面是菱形，分别为棱，的中点，.（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值.47. 已知函数.(1)若在点处的切线方程为，求实数的值；(2)设.在（1）的条件下，若满足，求证：.48.已知函数，函数与函数的图象关于直线对称.（1）求函数；（2）时，求证：函数在区间不单调.49. 如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2．（1）求证：C 1E 平面ADF ；（2）设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ．50.已知如图，点为椭圆的短轴的两个端点，且的坐标为，椭圆的离心率为.七、解答题(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线不经过椭圆的中心，且分别交椭圆与直线于不同的三点（点在线段上），直线分别交直线于点.求证：四边形为平行四边形.51. 某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：奥数迷非奥数迷总计男243660女122840总计3664100(1)判断是否有的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？(2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.参考数据与公式：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中.52. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当时，产品为一级品；当时，产品为二级品；当时，产品为三级品．现用两种新工艺（分别称为A 工艺和B 工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：（以下均视频率为概率）．A 工艺的频数分布表：指标值分组频数10304020B 工艺的频数分布表：指标值分组频数510154030(1)若从B 工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B 工艺产品中至多有2件二级品”为事件C ，求事件C 的概率；(2)若两种新产品的利润率y 与质量指标值k 满足如下关系：（其中），应用统计知识，请你说明最好投资哪种工艺？53. 某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示:年份2016201720182019202020212022广告费支出1246111319销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4其中，(1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程；(2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？参考公式：，；54. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展．以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：年份20132014201520162017年份代码新能源乘用车年销量（万辆）（1）请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程类型? (给出判断即可，不必说明理由)（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并预测年我国新能源乘用车的销售量(精确到).附: 1.最小二乘法估计公式：其中55. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.八、解答题56. 2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：销售额不少于30万元销售额不足30万元合计线上销售时间不少于8小时1720线上销售时间不足8小时合计45(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X ，求X 的分布列及期望值.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.57.已知(1)若单调递增，求的取值范围；(2)证明：当时，58. 已知的三个角的对边分别为，且(1)求 B ；(2)若，求的面积.59.在等比数列中，，且成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n 项和．60. 已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若函数的图象总在函数的图象的上方，求实数的取值范围．61. 已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围.62. 已知函数.(1)若，求的极值.(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.。

成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下，则函数()f x 有A ．1个极大值点，1个极小值点B ．2个极大值点，2个极小值点C ．3个极大值点，1个极小值点D ．1个极大值点，3个极小值点2．已知数列{}n a 是等比数列，若2a ，48a 是22760x x -+=的两个根，则12254849a a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为A ．354B．C．±D ．2433．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，B 为B 的对立事件，则事件A B +发生的概率为A ．13B ．12C ．23D ．564．若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1,)-+∞上是减函数，则b 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-5．某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单．如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种6．若随机变量X 的可能取值为1,2,3,4，且()P X k k λ==（1,2,3,4k =），则()D X =A ．1B ．2C ．3D ．4xy1x x 4O2x 3x ∙∙∙∙7．A 、B 两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片．如果某人已赢得所有卡片，该游戏终止．那么恰好掷完5次硬币时游戏终止的概率是A ．116B ．332C ．18D ．3168．在2024(x 的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于A ．30352B ．30352-C ．30362D ．30362-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数3()1f x x x =++，则A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线10．已知X ，Y 都是服从正态分布的随机变量，且211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，其中12,R μμ∈，12,R σσ+∈，则下列命题正确的有A ．1()E X μ=B ．1()D X σ=C ．若12μ=，11σ=，则(1)(3)1P X P X ≤+≤=D ．若120μμ==，12σ=，23σ=，则(||1)(||1)P X P Y ≤>≤11．斐波那契数列{}n f 满足121f f ==，21n n n f f f ++=+（*N n ∈）．下列命题正确的有A ．28791f f f =+B ．存在实数λ，使得1{}n n f f λ+-成等比数列C ．若{}n a 满足11a =，111n n a a +=+（*N n ∈），则1n n nf a f +=D ．012345678910201918171615141312111020C C C C C C C C C C C f ++++++++++=第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．函数()2cos f x x x =+（π02x <<）的最大值为．13．甲乙二人同时向某个目标射击一次．甲命中的概率为45，乙命中的概率为35，且两人是否命中目标互不影响．若目标恰被击中一次，则甲命中目标的概率为．14．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+（*N n ∈），则122024111m a a a =+++L 的整数部分是．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差；（2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．16．（本小题15分）如图所示，斜三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为3π，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ．（1）证明：点1B 在平面ABC 上的射影O 为AB 的中点；（2）求二面角1C AB B --的正切值．17．（本小题15分）已知函数2()()e x f x x ax a -=++（a 为常数，e 为自然对数的底）在0x =时取得极小值．（1）试确定a 的取值范围；（2）当a 变化时，设由()f x 的极大值构成的函数为()g a ，试判断曲线()y g x =只可能与直线230x y m -+=、320x y n -+=（m ，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．18．（本小题17分）椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为1e -，直线l 与y 轴交于点(0,)P m （0m ≠），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且4OA OB OP λ+=uur uu u r uu u r ．（1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．19．（本小题17分）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出m 条鱼，在鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘．一段时间后，再从鱼塘中捞出n 条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，就能估计出鱼塘中的鱼的总数N ．已知200m =，设第二次捞出的n 条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变量X ．（1）若已知4000N =，40n =．①求X 的均值；②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）？（2）若700n =，其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使(30)P X =最大的N 作为估计值）．参考数据：lg3.760.5752≈，lg3.80.5798≈，lg3.960.5977≈，lg 40.6021≈．成都石室中学2023～2024学年度下期高2025届零诊模拟考试数学参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ．2．C ．3．C ．4．C ．5．B ．6．A ．7．D ．8．B ．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．BC ．10．ACD ．11．BC ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．π6+．13．811．14．1．四、解答题：共73分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+，（3分）解得1d =或0d =．（6分）（2）由（1）因此数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =．（8分）由于22n a =或22n a n =，（10分）由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +-==--．（13分）注：漏掉0d =的扣5分．16．证明：（1）过1B 作1B O AC ⊥于O ，（2分）由平面11ABB A ⊥平面ABC 得1B O ⊥平面ABC ，因此160B BA ∠=︒，（5分）从而1ABB V 为等边三角形，O 为AB 中点．（7分）（2）由于ABC V 是等边三角形，所以CO AB ⊥而平面11ABB A ⊥平面ABC ，所以CO ⊥平面1ABB ．（10分）过O 作1OH AB ⊥于H ，连接CH ，则OHC ∠是二面角1C AB B --的平面角．（13分）由于CO =，CH =tan 2OHC ∠=．因此二面角1C AB B --的正切值为2．（15分）17．解：（1）2()e [(2)]x f x x a x -'=---．（2分）当2a =时，()f x 无极值；当2a <时，0x =是()f x 的极小值点；当2a >时，0x =是()f x 的极大值点．因此2a <．（7分）（2）2x a =-是()f x 的极大值点．因此2()(2)e (4)a g a f a a -=-=--（2a <）．于是2()e (3)x g x x -'=--．（10分）令2()e (3)x h x x -=--，则2()e (2)x h x x -'=--，故()h x 在(,2)-∞上单调递增，()(2)1h x h <=，即()1g x '<恒成立．（13分）所以曲线()y g x =的切线的斜率可能为23，不可能为32，即只可能与230x y m -+=相切．（15分）18．解：（1）设椭圆的方程为22221y x a b +=（0a b >>），c，则2c a =．（2分）由题意，1a c -=-（5分）解得1a =，22b c ==，因此椭圆的方程为2221x y +=．（8分）（2）由题意可知3λ=．（10分）显然直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y kx m =+．联立方程消去y ，得222(2)2(1)0k x kmx m +++-=，224(22)0k m ∆=-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222kmx x k +=-+，212212m x x k -=+．（12分）由于1230x x +=，即123x x =-．因此1222x x x +=-，从而1232km x k -=+，222kmx k =+，所以2221222231(2)2k m m x x k k --==++，整理得22224220k m m k +--=，（15分）22222041m k m -=>-，解得112m -<<-或112m <<．经检验，此时0∆>．因此m 的取值范围是11(1,(,1)22--U ．（17分）19．解：（1）①由题意可知X 服从超几何分布，则40200()24000E X ⨯==．（3分）（2）②由于(1)1(0)P X P X ≥=-=，而404038004040003800379937613760(0)()4000399939613960C P X C ⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯L L ，（5分）从而lg (0)40(lg3.76lg3.96)0.91P X =>-≈->-，（7分）因此(0)0.1P X =>，(1)0.9P X ≥<，所以没有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼．（8分）（2）由题意，30670200200700(30)N NC C P X C -==且700(20030)870N ≥+-=．（9分）只需求使得670200700N N NC a C -=最大的N ．由于(200)!700!(700)!!670!(870)!N N N a N N -⨯⨯-=⨯⨯-，1(199)!700!(699)!(1)!670!(869)!N N N a N N +-⨯⨯-=+⨯⨯-，（11分）从而1(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N a a N N N N N N +-⨯⨯--=---+-+⨯⨯-(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=⨯+-+-++⨯⨯-(200)!700!(700)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=--+-+--+⨯⨯-(200)!700!(700)!(13997030)(1)!670!(869)!N N N N N -⨯⨯-=-+⨯⨯-（14分）因此，当4665N ≤时，1N N a a +>，当4666N ≥时，1N N a a +<．所以，当4666N =时，(30)P X =最大．综上所述，N 的估计值为4666．（17分）注：第（2）问用70020030⨯来计算的，结果是4666的得2分，结果是4667的不得分．。

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}230A x x x =-<，{3x B x =≥，则A B ⋃=（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．(0,)+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知z 的共轭复数是z ，且||12i z z =+-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（）A ．32B ．32-C ．2i -D ．2-3．下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A ．这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B ．这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C ．这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D ．图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%4．设实数x ，y 满足约束条件20,20,2360,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩则2z x y =-的最小值为（）A ．8-B ．6-C ．4-D ．2-5．412(12)x x ⎛⎫--⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A ．10-B ．8-C ．6-D ．4-6．我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”．刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积．利用该方法，由圆内接正n 边形与圆内接正2n 边形分别计算出的圆周率的比值为（）A ．180sin n ⎛⎫︒⎪⎝⎭B ．180cos n ⎛⎫︒⎪⎝⎭C．3602sin n ⎛⎫︒⎪⎝⎭D ．3602cos n ⎛⎫⎪⎝⎭︒7．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ．24B ．27C ．30D ．368．已知双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点O 对称．若PF QF ⊥，且PQF △的面积为4，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．2C D ．39．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，(1)(1)0f x f x ++-=，当(0,1)x ∈时，()2xf x =()4log 80f =（）A ．5-B ．5-C D 510．已知抛物线2:8C y x =与直线(2)(0)y k x k =+>相交于A ，B 两点，F 为抛物线C的焦点，若||2||FA FB =，则AB 的中点的横坐标为（）A ．52B ．3C ．5D ．611．设121a =，ln1.05b =，0.05e 1c =-，则下列关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C．c b a>>D ．c a b>>12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面上一动点，1N 为正方形1111A B C D 所在平面上一动点，且1NN ⊥平面ABCD ，则下列命题正确的个数为（）①若MN 与平面ABCD 所成的角为4π，则动点N 的轨迹为圆；②若三棱柱111NAD N A D -的侧面积为定值，则动点N 的轨迹为椭圆；③若1D N 与AB 所成的角为3π，则动点N 的轨迹为双曲线；④若点N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则动点N 的轨迹为抛物线．A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a ，b 满足(3,2)a b +=- ，(1,)a b x -= ，且0a b ⋅=，则x 的值为________．14．已知直线1:(2l y x =-，2:(2l y x =+，圆C 与1l ，2l 都相切，则圆C 的一个方程为________．（写出满足题意的任意一个即可）15．已知三棱锥P -ABC 的体积为3，各顶点均在以PC 为直径的球面上，AC =，2AB =，2BC =，则该球的表面积为________．16．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）针对我国老龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案．某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示．支持保留不支持50岁以下80004000200050岁以上（含50岁）100020003000（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体，从这10人中任意选取3人，求50岁以下人数ξ的分布列和期望．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12n n S a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2log n n b a =，从①n n n c b a =⋅，②2141n n c b =-，③2(1)n n n c b =-⋅三个条件中任选一个，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图1，在ABC △中，B =90°，AB =4，BC =2，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，现将ADE △沿着DE 折起，使点A 到达点P 的位置，连接PB ，PC ，得到四棱锥P -BCED ，如图2所示，设平面PDE ⋂平面PBC =l ．（Ⅰ）求证：l ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若点B 到平面PDE PEC 与平面PBD 夹角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为F．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）椭圆C 的右顶点为A ，若点P ，Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()2ln 2(1)(0)f x a x x a x a =+-+<．（Ⅰ）讨论()f x 的零点个数；（Ⅱ）若()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:1l x y +=与曲线222,1:21x t C t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）在极坐标系中，射线3:08m πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 分别交于点A ，B ，若||1)||OA OB =-，求α的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥成立，0a >，0b >．（Ⅰ）求2a b +的取值范围；（Ⅱ）求22a b +的最小值．成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届二诊模拟考试理科数学参考答案答案及解析1．C【解析】由题意可得，集合{}03A x x =<<，12B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，所以{}0A B x x ⋃=>．故选C ．2．D 【解析】设i(,)z x y x y =+∈R ．因为||12i z z =+-，所以i 12i (1)(2)i x y x y =-+-=+-+，所以1,x y =++=⎪⎩，解得3,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩则32i 2z =-，所以复数z 的虚部为2-．故选D ．3．D【解析】这7年我国跨境电商交易规模的平均数为5.56.37.18.039.711.512.18.07++++++>（万亿元），故A 错误；这7年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故B 错误；这7年我国跨境电商交易规模的极差为12.1 5.5 6.6-=（万亿元），故C 错误；我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.1%14.5%13.8%2+=，故D 正确．故选D ．4．B 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，2z x y =-可化简为1122y x z =-，即斜率为12的平行直线．由20,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,4,x y =⎧⎨=⎩则(2,4)A ．结合图形可知，当直线2z x y =-过点(2,4)A 时，z 取最小值．min 2246z =-⨯=-，故选B．5．A【解析】4(12)x -展开式的通项公式为144C (2)C (2)r r r r rr T x x +=-=-⋅，所以412(12)x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1044C (2)(2)C 8210⨯-+-⨯=--=-．故选A ．6．B【解析】对于正n 边形，其圆心角为360n ⎛⎫⎪⎝⎭︒，面积为211360360sin sin 22n S n r r r n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒．对于正2n 边形，其圆心角为3602n ⎛⎫ ⎪⎝⎭︒，面积为2213601802sin sin 22S n r r nr n n ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒．由此可得，221222360180180sin sin cos 1802cos 180180sin sin n r nr S n n n S n nr nr n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝︒︒︒︒︒⎭⎝⎭=== ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭︒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ．7．C 【解析】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有23A 6=个奇数；第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，则先把奇数排个位，再排其他，故有21123222C C C A 24=个奇数．由加法原理可得，奇数的个数为62430+=．故选C ．8．C【解析】因为双曲线的右焦点为F，所以c =．设其左焦点为1F ．因为PF QF ⊥，点P ，Q 关于原点O对称，所以||2||PQ OF ==．由PQF △的面积为4，得1||||42S PF QF =⋅=，则||||8PF QF ⋅=．又222||||||20PF QF PQ +==，所以||||2PF QF -=．又由双曲线的对称性可得1||QF PF =，则由双曲线的定义可得1||||22PF PF a -==，所以1a =，则离心率ce a==C ．9．D【解析】因为()f x 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，又因为(1)(1)0f x f x ++-=，所以(2)[1(1)][1(1)]()()f x f x f x f x f x +=++=--+=--=，所以()f x 是周期为2的奇函数．又因为(0,1)x ∈时，()2x f x =-，所以()()()(4442log 802log 5log 5log f f f f =+===()(2log 22log 22log 25f f --=--=--．故选D ．10．A 【解析】如图，设AB 的中点为G ，抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-，焦点为(2,0)F ，直线(2)(0)y k x k =+>过定点(2,0)P -，过点A ，B 分别作AM l ⊥于点M ，BN l ⊥于点N ．由||2||FA FB =，得||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||||2OB FA FB ==，故点B 的横坐标为1，则点A 的横坐标为4，所以AB 的中点G 的横坐标为14522+=．故选A ．11．C 【解析】令()e 1(0)xf x x x =--≥，则()e 1xf x =-'，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()e 1(0)0xf x x f =-->=，即e 1x x ->，取0.05x =，所以0.05e 10.05->．令()ln(1)(0)g x x x x =+-≥，则1()111x g x x x-'==-++，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即ln(1)x x +<，取0.05x =，所以ln1.050.05<，故0.05ln1.05e 1<-．令()ln(1)(0)1xh x x x x=+-≥+，则2211()1(1)(1)xh x x x x ='-=+++，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以当0x >时，()(0)0h x h >=，即ln(1)1xx x+>+，取0.05x =，所以0.0551ln1.0510.0510521>==+．故选C ．12．A【解析】如图所示．对于①，因为MN 与平面ABCD 所成的角为4π，所以1DN MD ==，所以动点N 的轨迹为圆，故①正确；对于②，当三棱柱111NAD N A D -的侧面积为定值时，因为高为2，则||||NA ND +为定值，且大于||AD ，所以动点N 的轨迹为椭圆，故②正确；对于③，因为AB CD ∥，11CD C D ∥，所以11AB C D ∥，于是满足条件的1D N 运动成圆锥面，又11C D ∥平面ABCD ，所以圆锥面被平面ABCD 所截的交线为双曲线，故③正确；对于④，因为点N 到直线1BB 与直线DC 距离相等，所以动点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，故④正确．故选A．13．±【解析】因为(3,2)a b +=- ，(1,)a b x -= ，所以22,2x a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，21,2x b --⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．又因为0a b ⋅= ，所以2221022x x-+--⨯+⨯=，解得x =±．14．22(2)(2)2x y -+-=，22(2)(2)6x y ++-=等（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由题意可得，直线1l ，2l 关于直线y x =±对称．当圆心C 在直线y x =上时，圆C 的方程形如222(2)(2)2(0)x a y a a a -+-=≠；当圆心C 在直线y x =-上时，圆C 的方程形如222(2)(2)6(0)x a y a a a ++-=≠．15．20π【解析】由AC =，2AB =，2BC =，得23ABC π∠=，所以242sin3ACr π==，得2r =（r 为ABC△外接圆半径）．又1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=△则1333P ABC ABC V S h h -=⋅==△，所以2h =，即点P 到平面ABC 的距离为2，所以外接球球心O （PC 的中点）到平面ABC 的距离1d =，所以外接球半径2225R r d =+=，所以2420S R ππ==球．16．5【解析】因为函数()2sin()f x x ωϕ=+，04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以,4m m πωϕπ-+=∈Z ①．又因为44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线4x π=是()f x 图象的对称轴，所以,42n n ππωϕπ+=+∈Z ②．由①②可得，()24m n ππϕ=++．又02πϕ<<，所以4πϕ=，则41,n n ω=+∈Z ．又()f x 在2,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，()f x 的最小正周期为2πω，所以2918πππω-≤，即116ω≤，解得6ω≤，故ω的最大值为5．17．解：（Ⅰ）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000+++++=，其中从持“不支持”态度的人数200030005000+=中抽取了30人，所以30200001205000n =⨯=．（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，50岁以下及50岁以上人数之比为2∶3，因此抽取的10人中，50岁以下与50岁以上的人数分别为4人，6人，故0,1,2,3ξ=，则36310C 1(0)C 6P ξ===，1246310C C 1(1)C 2P ξ===，2146310C C 3(2)C 10P ξ===，34310C 1(3)C 30P ξ===．ξ的分布列为：ξ123P1612310130期望11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18．解：（Ⅰ）因为12n n S a +=-，所以12(2)n n S a n -=-≥．将上述两式相减，得12(2)n n a a n +=≥．因为12a =，122S a =-，即122a a =-，所以24a =，所以212a a =，所以()12n n a a n *+=∈N ．因为120a =≠，所以()12n na n a *+=∈N ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，22log log 2nn n b a n ===．若选①：2nn n n c b a n =⋅=⋅，则1231222322nn T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅．将上述两式相减，得123112222222212n nn n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅-，所以1(1)22n n T n +=-⋅+．若选②：221111114141(21)(21)22121n n c b n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，则111111111111111232352572212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭若选③：22(1)(1)nnn n c b n =-⋅=-⋅．当n为偶数时，()()222222(1)1234(1)122n n n T n n n +⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+=++⋅⋅⋅+=⎣⎦；当n 为奇数时，211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n T T c n +++++=-=-+=-．综上，(1)(1)2nn n n T +=-．19．（Ⅰ）证明：因为90B =︒，所以BC BD ⊥．因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，所以DE BC ∥，所以DE ⊥BD ，DE ⊥PD ．又BD ，PD ⊂平面PBD ，BD PD D ⋂=，所以DE ⊥平面PBD ．因为DE BC ∥，DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以DE ∥平面PBC ．又DE ⊂平面PDE ，平面PDE ⋂平面PBC l =，所以l DE ∥，所以l ⊥平面PBD ．（Ⅱ）解：如图，过点B 作BFPD ⊥，垂足为F ．由（Ⅰ）可知，平面PDE ⊥平面PBD ．又平面PDE ⋂平面PBD =PD ，所以BF ⊥平面PDE ，所以点B 到平面PDE 的距离即为BF 的长，则BF =．在Rt BDF △中，sin 2BF PDB BD ∠==，所以60PDB ∠=︒．又BD =PD =2，所以PBD △是边长为2的等边三角形．取BD 的中点O ，连接OP ，则OP BD ⊥，OP =由（Ⅰ）可知，DE ⊥平面PBD ．又OP ⊂平面PBD ，所以DE ⊥OP ．又BD DE D ⋂=，BD ，DE ⊂平面BCED ，所以OP ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴，且以过点D 与OP 平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)D ，P ，(0,1,0)E ，(2,2,0)C ，所以(1,1,PE =- ，(2,1,0)EC = ，(0,1,0)DE =．设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =，则0,20.PE m x y EC m x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，z =所以(1,2,m =-是平面PEC 的一个法向量．易知(0,1,0)DE =是平面PBD 的一个法向量，所以|||cos ,|2||||m DE m DE m DE ⋅〈〉===，所以平面PEC 与平面PBD夹角的正弦值为2．20．解：（Ⅰ）依题意，得22222311,4,c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴，故可设PQ ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．由221,4,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以122814mk x x k -+=+，21224414m x x k-=+，()22Δ16410k m =+->，即2241k m +>．由120AP AQ k k ⋅=，得121212220y y x x ⋅=--，消去1y ，2y 得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，即()()221212121220202024k x x km x x m x x x x +++=-++，所以222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=⋅+++++，整理得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =，所以直线PQ ：(2)y k x =-或(3)y k x =+．又因为直线PQ 不经过点(2,0)A ，所以直线PQ 经过定点(3,0)-，所以直线PQ 的方程为(3)y k x =+，易知0k ≠，设定点(3,0)B -，则APQ ABP ABQ S S S =-△△△121||2AB y y =-125||2k x x =-5|2k =5|2k =5||2k ==．因为Δ0>即2241k m +>，且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，所以()22215955533143APQ k k S k -+==⋅⋅+△，当且仅当2114k =时取等号，所以APQ △面积的最大值为53．21．（Ⅰ）解：2222(1)22()(1)()22(1)a x a x a x a x f x x a x x x-++--=+-'+==．因为0a <，所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增．所以min ()(1)12f x f a ==--．当120a -->，即12a <-时，()f x 的零点个数为0．当120a --=，即12a =-时，()f x 的零点个数为1．当120a --<，即102a -<<时，注意到10e 1a <<，121211e 2e 2(1)e e 2e 21e 0a a a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为22()2(1)2(1)22f x a x x a x x x a ≥-+-+=--，所以(2)20f a >->．因此，11e ,1a x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，2(1,2)x ∃∈，使得()()120f x f x ==，所以此时()f x 的零点个数为2．综上，当12a <-时，()f x 的零点个数为0；当12a =-时，()f x 的零点个数为1；当102a -<<时，()f x 的零点个数为2．（Ⅱ）证明：（证法一）由（Ⅰ）可知，当1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 有两个零点，且1201x x <<<．令2()(2)()2ln 22x F x f x f x a x x -⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，(0,1)x ∈，则2(1)()4(2)x F x a x x -'-=⋅-．当(0,1)x ∈时，()0F x '>，所以()F x 在区间(0,1)上单调递增，所以()()()1112(1)0F x f x f x F =--<=．所以()()()1122f x f x f x -<=．因为1201x x <<<，所以121x ->．又由（Ⅰ）可知，()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以122x x -<，故122x x +>．（证法二）由()()120f x f x ==，得211122222(1)2ln ,2(1)2ln ,x a x a x x a x a x ⎧-+=-⎨-+=-⎩则121212ln ln 2(1)2x x x x a a x x -+-+=-⋅-．由对数平均不等式121212ln ln 2x x x x x x -+<-，得121212(1)4x x a a x x +-+>-⋅+，所以()()212122(1)40x x a x x a +-+++>，所以()()1212220x x x x a +-+->．又1220x x a +->，所以122x x +>．22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，(0,2]x ∈．（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=，易得1||sin cos OA αα=+．曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，易得||2cos OB α=．由已知，得11)cos sin cos ααα=-+，21sin 22cos 2αα++=，1sin 21cos22αα+++=，1sin 2cos22αα-+=，两边平方并整理得sin 42α=-．又308πα<<，即3042πα<<，所以443πα=，则3πα=．23．解：（Ⅰ）由题意，知|||2||()(2)||2|2x a x b x a x b a b a b +--≤+--=+=+．因为存在0x ∈R ，使得0024x a x b +--≥，所以只需24a b +≥，即2a b +的取值范围是[4,)+∞．（Ⅱ）由柯西不等式，得()()2222212(2)16a b a b ++≥+≥，当45a =，85b =时，22a b +取得最小值165．。

郫都区2020—2021学年度下期期中考试高二理科数学说明：1.本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.2.所有试题均在答题卡相应的区域内作答.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．函数2)(++=x e x f x ，其导函数为)(x f '，则=')0(fA.2B.3C.4D.1+e 2．已知向量),34,2(),1,2,3(m -=-=，若b a //，则实数m 的值为 A.6 B.38 C.23 D.32- 3．在曲线2x y =上且切线倾斜角为π4的切点是A ．(0,0)B ．(2,4) C.)161,41( D.)41,21( 4．已知n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面. 若αββα⊥⊥⊥，且n m ,，则下列结论一定正确的是A. n m ⊥B.n m //C.相交与n mD.异面与n m 5.若函数x ax x f cos )(-=为增函数，则实数a 的取值范围是A ．),1[+∞-B ．),1[+∞C ．),1(+∞-D ．),1(+∞ 6．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为N M AC OB ,,,分别是CB OA ,的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量OG 为 A.313161++= B.OC OB OA OG 323221++=C.3232++=D.OC OB OA OG 323121++=7．函数xx xx f -+=e e 2)(的部分图象大致为A B C D8．如图，阴影部分是曲线x e y =与轴轴y x ,及直线1=x 围成的封闭图形. 现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC 内随机投入800个点，其中恰有500个点落在图中阴影部分，则由此次模拟实验可以估计出e 的值约为 A .2.667 B.2.737 C. 2.718 D.2.7859.如图，长方体1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的正方形，41=AA ，点M E 、分别为棱11BB CC 、的中点. 若平面ACM 平面1111D C B A =l ，则直线l 与平面E D B 11所成角的正切值为A.36B.2C.3D.23 10.><a ,表示a 在b 方向上的投影，换个角度，点O 在直线OB 的法向量方向上的投影就是点Ａ到直线ＯＢ的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A 到平面BCD 的距离为A.32 B. 63 C.22 D. 3311．如果过点)1,0(可作曲线c x x x f +-=2331)(的三条切线，则实数c 的取值范围是 A.)31,(-∞ B.)1,32( C.)32,31( D.),32(+∞12．已知)(x f 是定义在)0(∞+，上的函数，且1)1(=f ，导函数)(x f '满足)()(x f x f <'恒成立，则不等式1)(-<x ex f 的解集为A.)1(∞+，B.]21,0[C.]121[， D.)1,0(第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．=⎰-dx x 11sin _________．14．函数x x x f ln )(=的单调递减区间为__________．15．在直三棱柱111ABC A B C -中，90=∠ABC ，=AB 11BC CC ==，则异面直线1AB 与C A 1所成角 的正弦值为__________．16．若函数x ae x x x f -++=1)(2有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）设函数bx x x f +=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）求函数)(x f y =的极值.18．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且66,61142==+S a a . （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足11+=n n n a a b ，求证：121<+⋅⋅⋅++n b b b . 19．（本小题满分12分）2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务. 但巩固贫困成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式. 某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间]500,200[（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在)350,300[)300,250[，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽取2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元/千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.5.35405.04752.04253.037524.032516.027505.0225=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯参考数据：20．（本小题满分12分）在五边形AEBCD 中，BE AE BC CD AB AB CD CD BC ⊥==⊥,22,//,，AE BE =（如图1），将ABE ∆沿AB 折起使得平面⊥ABE 平面ABCD ，线段AB 的中点为O （如图2）.（1）求证：平面⊥ABE 平面DOE ；（2）求平面ABE 与平面CDE 所成的锐二面角的大小.图1 图221.（本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,. 已知2cos)sin(A c B A a ⋅=+⋅. （1）求A ；（2）已知3,1==c b ，且边BC 上有一点D 满足ADC ABD S S ∆∆=3，求AD .22．（本小题满分12分）已知函数xxa x f ln )(-=. （1）若．)(x f 在1=x 处取得极值，求实数a 的值； （2）讨论)(x f 在)1,0(上的单调性； （3）在（1）的条件下证明0)(>+x xe x f .郫都区2020—2021学年度下期期中考试高二理科数学参考答案一、选择题ADDAB ACABD BA 二、填空题13. 0 14. )1,0(e 15. 1 16. ),3()1,0(+∞e三、解答题17.解：（1）由b x x f +='23)(得43083)21(-==+='b b f ，； …………4分 （2）)21)(21(3433)(2+-=-='x x x x f ，由0)(>'x f 得2121-<>x x 或，由0)(<'x f 得2121<<-x ，所以函数)(x f 在),21()21,(+∞--∞和单调递增，在)2121(，-单调递减. ……8分所以)(x f 的极大值为41)21(=-f ，极小值为41)21(-=f …………10分18.解：（1）由6611611==a S 得66=a …………2分设公差为d ，则1,4426=∴==-d d a a …………4分 所以n n d n a a n =⨯-+=-+=1)1(2)2(2 …………6分 （2）由（1）得111)1(1+-=+=n n n n b n …………8分所以)111()3121()211(21+-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++n n b b b n1111<+-=n …………12分 19.解：（1）由题意，脐橙质量在)300,250[和)350,300[的比例为2:3∴应分别在)300,250[和)350,300[的脐橙中各取2个和3个 ……………………2分记抽取质量在)300,250[的脐橙为21,A A ；质量在)350,300[的脐橙为321`,,B B B ，则从5个脐橙中随机抽取2个的情况有：32312132221231211121,,,,,,,,B B B B B B B A B A B A B A B A B A A A ，，共10种其中质量至少有一个小于300克的情况有7种 ……………………5分 故所求概率为107……………………6分 （2）方案B 好，理由如下：由频率分布直方图可知，脐橙质量落在区间，，，)350,300[)300,250[)250,200[ )500,450[)450,400[)400,350[，，的频率依次是05.0,2.0,3.0,24.0,16.0,05.0且各段脐橙的个数依次为5000,20000,30000,24000,16000,5000个按方案A 收购，总收益为()248150710001000005.354=⨯÷⨯元 …………9分 按方案B 收购，总收益为()255000355000224000160005000=⨯+⨯++元 …………11分故该村选择方案B 收购收益更好. …………12分 20.解：（1）证明：由题意O CD AB ,2=是线段AB 的中点，则CD OB =， 又AB CD //，所以OBCD 是平行四边形， 又CD BC ⊥，所以OD AB ⊥.因为OA OB BE AE ==,，所以AB EO ⊥， …………3分 又O DO EO = ，所以ABE AB DOE AB 平面又平面⊂⊥,，所以DOE ABE 平面平面⊥ …………5分 （2）由（1）知，OE OD OB ,,两两垂直，以O 为坐标原点，以OE OD OB ,,所在直线分别为z y x ,,建立如图所示空间直角坐标系xyz O -.因为EAB ∆为等腰直角三角形，且BC CD AB 22==，则，则，取1=====BC CD OE OD OB OA)1,1,0(),0,0,1(),1,0,0(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,0(-=-=E D C O …………7分设平面ECD 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0DE n ，即⎩⎨⎧=+-=-00z y x ，取)1,1,0(=n …………9分 因为ABE OD 平面⊥，所以平面ABE 的一个法向量为)0,1,0(= …………10分 设平面ECD 与平面ABE 所成锐二面角为θ，则22|,cos |cos =><=θ 所以4πθ=，故平面ECD 与平面ABE 所成锐二面角为4π…………12分 21．解：（1）因为2cossin A c C a =， 由正弦定理得2cos sin sin sin AC C A =， ……………2分因为，0sin >C 所以2cos sin AA =，所以2cos 2cos 2sin 2AA A = ……………4分因为20π<<A ，所以02cos ≠A ，212sin =A ，所以62π=A ，所以3π=A ……………6分（2）解法一：设ABD ∆的AB 边上的高为1h ，ADC ∆的AC 边上的高为2h ， 因为1,3,3===∆∆b c S S ADC ABD ， ……………7分 所以2121321h b h c ⋅⨯=⋅ ……………8分 所以21h h =，AD 是ABC ∆角A 的内角平分线，所以 30=∠BAD ，……………9分因为ADC ABD S S ∆∆=3，可知ABC ABD S S ∆∆=43， ……………10分 所以60sin 214330sin 21⨯⨯⨯=⨯⨯AC AB AD AB ， 所以433=AD . ……………12分 解法二：设),3,0(,παα∈=∠BAD则απ-=∠3DAC ， ……………7分因为1,3,3===∆∆b c S S ADC ABD ， 所以)3sin(213sin 21απα-⨯⨯⨯=⨯⨯AD b AD c ……………8分 所以)3sin(sin απα-= ……………9分所以 3033tan ,sin 21cos 23sin =∠=-=BAD ，即αααα ……………10分 因为ADC ABD S S ∆∆=3，可知ABC ABD S S ∆∆=43， ……………11分 所以60sin 214330sin 21⨯⨯⨯=⨯⨯AC AB AD AB ， 所以433=AD . ……………12分 解法三：设,,α=∠=BDA x AD 则απ-=∠ADC ， 在△ABC 中，由1,3==b c 及余弦定理得7=a因为ADC ABD S S ∆∆=3，可知4733==DC BD ， ……………8分 在△ABD 中，αcos 2222⋅⋅-+=AD BD AD BD AB ， 即αcos 273166392⋅⋅-+=AD AD ， ……………9分 在△ADC 中，()απ-⋅⋅-+=cos 2716712AD AD ，即αcos 2716712⋅⋅++=AD AD ， ……………11分 所以433=AD . ……………12分 22．解：因为2ln 1)('xxa x f +--=， （1）由0)1('=f 得1-=a ， ……………2分 经验证，1-=a 时)(x f 在1=x 处取极小值； ……………3分 （2）令0)('=x f ，得1+=a e x ,若1-<a ，则101<<+a e ，当),0(1+∈a e x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减，当)1,(1+∈a e x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； ……………5分 若1-≥a ，则11≥+a e ，当)1,0(∈x 时0)('<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述：1-<a 时)(x f 在),0(1+a e 单调递减，在)1,(1+a e 单调递增； 1-≥a 时)(x f 在)1,0(单调递减. ……………7分 （3）1-=a 时0)(>+x xe x f 01ln )(2>--=⇔x e x x h xx e x x x h x 1)2()('2-+= ，令)(')(x h x =ϕ，)0(01)24()('22>>+++=x xe x x x x ϕ )(x ϕ∴即)('x h 在),0(+∞单调递增，又04169)41('41<-=e h ，0245)21('21>-=e h ，所以存在)21,41(0∈x ，使0)('0=x h ，当),41(0x x ∈时，0)('0<x h ，)(x h 单调递减；当)21,(0x x ∈时，0)('0>x h ，)(x h 单调递增. ……………9分故1ln )()(0200min 0--==x e x x h x h x ，)21,41(0∈x 因01)2()('002000=-+=x e x x x h x ， ∴210200+=x e x x1ln 21)(00min --+=∴x x x h ，)21,41(0∈x 设)2141(1ln 21)(<<--+=x x x x λ，则)2141(01)2(1)('2<<<-+-=x xx x λ， )(x λ在)21,41(单调递减，0532ln )21()(>-=>λλx ，即01ln 21)(00min >--+=x x x h 所以0)(>+x xe x f . ……………12分。

成都石室中学2020-2021学年度下期高2021届入学考试理科综合能力测试本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题）1至21题，第Ⅱ卷（非选择题）22至38题。

试卷满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 Fe-56 Zn-65第Ⅰ卷（共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1下列关于教材实验的叙述，正确的是( )A.NaOH在每一琼脂块内扩散的速率不同，可以反映细胞的物质运输的效率不同B.探究培养液中酵母菌种群数量的变化的实验中，不需要重复实验，但要对照组C.土壤中小动物类群丰富度的研究，按预先确定的多度等级进行记名计算法统计D.落叶是在土壤微生物的作用下腐烂的，实验组土壤要灭菌处理，对照组不处理2.下列有关物质之间的比值与细胞代谢关系的叙述，正确的是( )A.在细胞衰老过程中，结合水/自由水的值将减小B.吞噬细胞摄取抗原的过程会导致ATP/ADP的瞬时值减小C.在剧烈运动过程中，肌细胞释放CO2量/吸收O2量的值将增大D.在适宜光照下，若减少CO2供应，则短时间内叶绿体中C3/C5的值将增大3.下图所示为外界O2进入肝细胞中被消耗的路径，下列相关叙述正确的是( )A.毛细血管壁细胞和肝细胞生活的液体环境相同B.外界O2被肝细胞消耗至少需要经过9层细胞膜B.O2跨膜运输时需要载体蛋白协助，但不耗能量D.线粒体中消耗O2的场所与产生H2O的场所不同4.关于植物生命活动调节，相关叙述错误的是( )A.在幼嫩的芽、叶和发育中的种子中，色氨酸在核糖体上完成脱水缩合转变成生长素B.在胚芽鞘、芽、幼叶和幼根中，生长素只能从形态学上端运输到形态学下端，而不能反过来运输C.生长素在植物体各器官中都有分布，但相对集中分布在生长旺盛的部分D.在植物的生长发育过程中，几乎所有生命活动都受到植物激素的调节5.将某一经3H充分标记DNA的蟾蜍精原细胞(染色体数为2n)置于不含3H的培养基中培养，该细胞经过两次连续分裂后形成4个大小相等的子细胞。

函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )关于原点对称就叫做奇函数2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()11f =，()22f =，则()()124f f --等于（）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（）A ．2020B ．3C ．2D ．15．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-，[]3π=.已知函数()21xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,16．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe x D ．y ＝22xe x 7．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-8．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1D ．[]0,19．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 有()()55f x f x +=-+，若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，()12f -=，则()2021f =（）A ．5B ．-2C ．1D ．210．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．211．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））关于函数()sin xf x x=，()0,x ∈+∞的性质，以下说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 在()0,π上有极值C ．函数()f x 在()0,∞+单调递减D ．函数()f x 在()0,∞+内有最小值12．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()26f x f x -=-+，当[]0,4x ∈时，()31,02,164,24,x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩则()()()20202021f f f +=（）A ．1-B ．4C ．4-D ．113．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．015．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减16．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．17．（2010·安徽高考真题（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．218．（2016·四川高考真题（理））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5((1)2f f -+54-=____________.19．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．20．（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．C 【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.2．C 【分析】由()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得()20log 0f a ==，从而可求出1a =，进而可求得()2021f 的值【详解】解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-，因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==，所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.3．C 【分析】根据函数的周期性与奇偶性计算可得；【详解】解：∵若()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴()()f x f x -=-，(5)()f x f x +=，∴(12)(12)f f -=-(2)2f =-=-，(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，∴(12)(4)2(1)1f f --=---=-，故选：C .4．D 【分析】本题由不等式()()33f x f x +≥+和()()11f x f x +≤+，带入()()1g x f x x =+-后得到即()()1g x g x +≤，即()()1g x g x ≤+，可得()()1g x g x +=，可得周期为1，即可得解.【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()1g x f x x =+-，所以()()()33113g x x g x x +++-≥+-+，即()()3g x g x +≥.又对任意的x ∈R ，()()11f x f x +≤+，所以()()()11111g x x g x x +++-≤+-+，即()()1g x g x +≤，所以()()()()321g x g x g x g x ≤+≤+≤+，即()()1g x g x ≤+，所以()()1g x g x +=，从而()g x 是周期为1的周期函数.又()()22121g f =+-=，所以()()202021g g ==.故选：D5．B 【分析】由()21xf x x =+为奇函数，可先分析函数0x >时值域，即可得函数在R 上值域，利用高斯函数的意义求解即可.【详解】因为x ∈R ，()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数.当0x >时，()210122x x f x x x <=≤=+，所以当x ∈R 时，()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B 6．C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除D 项2x =时218e y =<，排除故选：C7．A 【分析】先求出()f x 的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到()f x 的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出()g x 的值域．【详解】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可.【详解】解：()2xxf x e ex -=-- 的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x ee xf x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12xx f x e e'=+- ，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立，故()120x x f x e e '=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f axf ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f axf ax ≥--对x R ∀∈恒成立，即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得：01a <≤，综上所述：[]0,1a ∈.故选：D.9．D【分析】先根据对称性分析出()f x 的奇偶性，然后根据()()55f x f x +=-+分析出()f x 为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出()2021f 的值.【详解】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称可知，函数()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，又由()()55f x f x +=-+，得()()()()555555f x f x f x f x ++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为10的偶函数.所以()()()()2021120210112f f f f =+⨯==-=，故选：D.结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数()y f x a =+的图象关于直线x a =-对称，则()f x 为偶函数；（2）若函数()y f x a =+的图象关于点(),0a -成中心对称，则()f x 为奇函数.10．C【分析】根据()f x 为R 上的奇函数可求出a ，又()1f x +为偶函数，可推出()f x 为周期函数，利用周期性即可求解.【详解】解： ()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =，1a \=，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+，()()2f x f x ∴+=-，又 ()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.【点睛】()数，利用周期性求解.11．D【分析】根据周期性的定义可知，函数()f x 的周期不是2π；再利用导数即可判断函数的单调性，极值和最值．【详解】对于A ，因为()()sin 2sin 222x x f x x x ππππ++==++，当sin 0x ≠时，()()2f x f x π+≠，所以函数()f x 的周期不是2π，A 错误；对于B ，因为()2cos sin x x x f x x-'=，设()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-，当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()()00g x g <=，即()0f x '<，故函数()f x 在()0,π上单调递减，B 错误；对于C ，()()20f f ππ==，所以函数()f x 在()0,∞+上不单调，C 错误；对于D ，因为当0sin 1x ≤≤时，()0f x ≥，当1sin 0x -≤<时，()sin 10x f x x x >=≥-，当且仅当()322x k k N ππ=+∈时取等号，而1y x=-在()0,∞+上单调递增，所以当32x π=时，函数()f x 取得最小值，D 正确．故选：D.12．C【分析】由已知可求得函数()f x 的周期为8，再利用函数的解析式代入可得选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =，又()()26f x f x -=-+，所以()()2262f x f x ⎡⎤⎡⎤--=-+-⎣⎦⎣⎦，即()()()444f x f x f x -=-+=--，所以函数()f x 的周期为8，所以()()4164402020f f =-⨯==，()()()202000f f f ==，()()()()20215316434f f f ==-=--⨯=-，故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.13．A【分析】由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期2T =的周期函数，结合函数的奇偶性，可作出()f x 的图象.令()0f x x -=，可将函数()y f x x =-的零点问题转化为()y f x =和()g x x =的图象交点个数问题，进而求出交点个数即可.【详解】因为()()2f x f x +=，即函数()f x 是周期2T =的周期函数.又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[0,1]x ∈时，()πcos2f x x =，∴当[1,0)x ∈-时，ππ()()cos()cos 22f x f x x x =-=-=，令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[1,0)-上有1个交点，在[0,1]上有一个交点，当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点.综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点个数问题.一般的，求函数()y f x =的零点个数，常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数；（2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．A【分析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22x x a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22x xf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.15．D根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．17．A【解析】∵f(x)是R 上周期为5的奇函数∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-2+1=-118．-2【详解】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.19．②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．-1;(],0-∞.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x x f x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.-∞即实数a的取值范围是(],0。

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届周考理科综合能力测试4月7日注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 Fe-56 Te-128第Ⅰ卷（共126分）一、选择题（本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1．下列各项实验中所用的试剂，作用相同的是A．“体验制备细胞膜的方法”和“显微镜观察叶绿体”实验中，蒸馏水的作用B．“检测生物组织中的还原糖”和“检测生物组织中的蛋白质”实验中，CuS04的作用C．“绿叶中色素的提取”和“检测生物组织中的脂肪”实验中，酒精的作用D．“观察植物细胞有丝分裂”和“低温诱导植物染色体数目变化”实验中，盐酸的作用2．结构与功能相统一是生物学的基本观点之一。

下列叙述不能说明这一观点的是A．叶绿体内类囊体膜堆叠使膜面积增大，利于光能充分利用B．神经细胞轴突末梢有大量突起，有利于附着更多的神经递质受体蛋白C．细胞骨架能维持真核细胞的形态，它与细胞的物质运输等活动有关D．线粒体内膜向内突起形成嵴，有利于附着更多的有氧呼吸有关的酶3. 取一只果蝇某部位细胞制成临时装片，观察到细胞内有5种不同形态的染色体，在不考虑变异的情况下，关于该果蝇及取材细胞的叙述正确的是A. 该果蝇为雄性，取材细胞一定来自于果蝇的精巢B. 取材细胞内的5种不同形态的染色体构成了一个染色体组C. 若取材细胞含2个染色体组，则一定正在发生基因的自由组合D. 若该细胞内染色体着丝点已分裂，则该细胞正处于有丝分裂后期4. 最新研究发现，给正常植物外施赤霉素（GA）能降低种子贮藏蛋白的积累，而GA合成突变体植物则表现为种子贮藏蛋白含量升高，这表明GA参与了种子贮藏物质积累的调控。

2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知：()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆.故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2B ．2C ．3D ．62【答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC AD ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭ ，22MN MN ∴== .故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．022a <<B ．2222a -<<C ．22a <-或22a >D ．22a >【答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得22a >，故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[1,2]【答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO = ，max2PO =，[0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故答案为：3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故答案为：2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故答案为：(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C 的距离为233；②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33．【答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的截面，并说明该截面为边长为2的正六边形，由条件得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C 的距离为111333|AP n |d |n |⋅===，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则323212cos 22n n |n ||n |θ⋅===⋅ ，θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=(，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(- ，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA 的距离为1442()23A P n d n λμν⋅++-== ，由12λμν++=得2()2333d λμν++-==易知12322)234BDA S =⨯(=△，则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE ，22220000112B D AB AD =+=+=，在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，22002B E BE BB =+=，同理可得，02EG GH HF D F ====，∴六边形00B D FHGE 为正六边形，且边长为2，则其面积2362)4S =⨯⨯(33=，12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33，故④正确．故答案为：②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+-．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c + (a b )c μ∴+=，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1323AA AC ==，D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【答案】(1)77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA AC ==，则11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，11,3,3)A D =(-- ，1,3,0)BC =(-- ，11137cos 772|A D BC ||||A D ||BC |θ⋅-∴===⨯⋅uuur uuu r uuur uuu r ；（2）由题可知1,0,0)A (，11,0,23)C (-，112,0,0)A C =(- ，1,3,3)AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则111111133020m A D x y z m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则222233020n AD x y z n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)32πVr =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：32πV r =；则当302πV r <<时，()0S r '<，()S r 单调递减；当32πV r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当32πV r =时，表面积()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【答案】(1)66(2)55．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，()2,0,0A ,()0,2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E -，()0,0,2P ，232,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且(0,2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,,2)22PB =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则2202322022CB n x y PB n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，26cos ,626OG n OG n OG n⋅===⨯ ，由题知π(0,)2θ∈，二面角B l A --的余弦值为66；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE ，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由2PO =，又22OF =，2210PF PO OF ∴=+=，25sin 510PO PFO PF ∠===，l ∴与平面ABCE 所成角的正弦值为55．22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=++-+++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。