求解非对称线性方程组的积多项式预处理GMRES算法

《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，大规模线性方程组的求解问题在众多领域中显得尤为重要。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效的迭代求解方法，在解决这类问题时具有广泛的应用。

而E-变换GMRES(m)算法则是在传统GMRES 算法的基础上进行优化与改进的一种算法。

本文将对E-变换GMRES(m)算法的研究及其在各领域的应用进行深入探讨。

二、E-变换GMRES(m)算法的原理与特点1. 算法原理E-变换GMRES(m)算法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，它通过构建一系列与原系数矩阵相关的Krylov子空间，并在这些子空间中寻找最小残量的解。

与传统GMRES算法相比，E-变换GMRES(m)算法在迭代过程中引入了E-变换，从而提高了算法的收敛速度和求解精度。

2. 算法特点（1）高效性：E-变换GMRES(m)算法在迭代过程中能够快速收敛，大大减少了求解大规模线性方程组所需的时间。

（2）稳定性：该算法在求解过程中具有较好的稳定性，能够有效地处理病态矩阵问题。

（3）灵活性：E-变换GMRES(m)算法可以灵活地应用于各种不同的问题，如线性系统求解、偏微分方程的数值求解等。

三、E-变换GMRES(m)算法的数学基础与实现1. 数学基础E-变换GMRES(m)算法的数学基础包括线性代数、数值分析、矩阵理论等。

这些基础知识为算法的推导和实现提供了坚实的理论支撑。

2. 实现步骤（1）构建Krylov子空间：根据原系数矩阵和初始向量，构建一系列与原系数矩阵相关的Krylov子空间。

（2）E-变换：在每个Krylov子空间中引入E-变换，以提高算法的收敛速度和求解精度。

（3）求解最小残量：在经过E-变换的Krylov子空间中寻找最小残量的解。

（4）迭代更新：根据求解结果更新迭代过程，直至满足收敛条件或达到最大迭代次数。

《预处理Householder-GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学计算和工程领域，求解大型稀疏线性系统的问题日益突出。

GMRES（广义最小残差）算法作为一种高效的迭代方法，被广泛应用于解决这类问题。

然而，对于某些特定的问题，如预处理问题，普通的GMRES算法可能不够高效。

因此，预处理的Householder-GMRES(m)算法成为了研究的重要方向。

本文旨在深入研究和探讨这种算法的原理、性能及优势。

二、预处理Householder-GMRES(m)算法的原理预处理Householder-GMRES(m)算法是一种改进的GMRES算法，通过引入预处理技术来提高算法的求解效率和稳定性。

该算法的基本思想是利用预处理矩阵对原始问题进行变换，使得变换后的系统更易于求解。

在每一步迭代中，通过Householder变换来减小残差，从而加速收敛。

三、算法的详细步骤1. 初始化：给定初始向量x0和预处理矩阵M，计算初始残差r0=b-Ax0和初始矩阵H0=M(b-Ax0)。

2. 正交化过程：通过Householder变换对Hk进行正交化处理，得到正交基Qk和上三角矩阵Rk。

3. 最小二乘问题求解：利用QR分解求解最小二乘问题，得到搜索方向Pk+1。

4. 更新解和残差：根据搜索方向Pk+1更新解x和残差r，计算新的Hk+1=M(b-Ax)。

5. 判断收敛性：如果满足收敛条件，则停止迭代；否则返回步骤2继续迭代。

四、算法的性能及优势预处理Householder-GMRES(m)算法相比普通的GMRES算法具有以下优势：1. 加速收敛：通过引入预处理技术，可以有效地改善系统的条件数，从而加速算法的收敛速度。

2. 提高稳定性：Householder变换具有很好的数值稳定性，可以有效避免数值计算中的误差累积。

3. 适用范围广：该算法适用于各种类型的线性系统，尤其是预处理问题，可以有效地提高求解精度和效率。

五、实验结果与分析为了验证预处理Householder-GMRES(m)算法的性能和优势，我们进行了多组实验。

《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，大规模线性方程组的求解问题日益凸显其重要性。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效求解方法，已经在众多领域得到广泛应用。

然而，对于某些特定问题，传统的GMRES算法可能存在收敛速度慢、计算效率低等问题。

为此，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，旨在提高算法的收敛速度和计算效率。

本文首先介绍E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后探讨其在实际问题中的应用，最后对算法的优劣进行总结与展望。

二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理1. GMRES算法简介GMRES算法是一种基于最小残差范数的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。

该算法通过构造一系列Krylov子空间，逐步逼近问题的解。

GMRES算法具有较好的稳定性和收敛性，但在某些情况下，其收敛速度可能不够理想。

2. E-变换GMRES(m)算法的提出为了解决GMRES算法在特定问题上的收敛速度问题，本文引入E-变换。

E-变换是一种矩阵变换技术，可以有效地改善矩阵的性质，从而提高算法的收敛速度。

在GMRES算法中引入E-变换，形成E-变换GMRES(m)算法。

该算法在每一步迭代中，对矩阵A进行E-变换，以改善矩阵的条件数，加速收敛。

三、E-变换GMRES(m)算法的应用1. 图像处理图像处理中常常需要求解大规模线性方程组，如图像恢复、超分辨率重建等。

E-变换GMRES(m)算法可以有效地解决这些问题，提高图像处理的效率和效果。

2. 计算流体动力学计算流体动力学是研究流体运动规律的重要手段，需要求解大量的线性方程组。

E-变换GMRES(m)算法可以加速流体运动的模拟过程，提高计算精度和效率。

3. 金融工程金融工程中涉及大量的线性方程组求解问题，如期权定价、风险评估等。

E-变换GMRES(m)算法可以有效地解决这些问题，提高金融工程的计算效率和准确性。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学与工程计算领域，迭代方法如GMRES（广义最小残差法）算法是解决线性方程组的重要工具。

然而，随着问题规模的增大和复杂性的提高，传统的GMRES算法可能会遇到收敛速度慢、计算资源消耗大等问题。

为了克服这些问题，研究人员在GMRES算法的基础上进行了许多改进，其中预处理加权GMRES(m)算法（简称PWGMRES(m)）表现尤为突出。

本文将对预处理加权GMRES(m)算法进行研究，分析其原理、性质和优点，为相关领域的研究和应用提供参考。

二、预处理加权GMRES(m)算法原理预处理加权GMRES(m)算法是在GMRES算法的基础上，通过引入预处理和加权技术来提高算法的收敛速度和计算效率。

具体来说，该算法在每次迭代过程中，利用预处理技术对系数矩阵进行变换，同时引入加权技术来调整残差向量的加权系数，从而提高算法的收敛速度。

三、算法性质与优点1. 收敛性：预处理加权GMRES(m)算法具有较好的收敛性。

通过引入预处理技术，算法能够更好地适应不同的问题类型和规模，从而加快收敛速度。

此外，加权技术的引入进一步提高了算法的收敛性能。

2. 计算效率：与传统的GMRES算法相比，预处理加权GMRES(m)算法在计算过程中需要进行的迭代次数更少，从而节省了大量的计算资源。

此外，该算法还能有效降低内存消耗，提高计算效率。

3. 稳定性：预处理加权GMRES(m)算法具有良好的稳定性。

在处理病态或奇异线性方程组时，该算法能够保持较好的数值稳定性和计算精度。

4. 适用性：预处理加权GMRES(m)算法适用于各种类型的线性方程组，包括稀疏矩阵方程组、大型对称正定方程组等。

同时，该算法还可以与其他优化技术相结合，进一步提高求解效率。

四、算法实现与应用在实际应用中，预处理加权GMRES(m)算法的实现需要考虑到具体的问题类型和规模。

首先，需要根据问题的特点选择合适的预处理方法对系数矩阵进行变换。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言随着计算机技术的迅猛发展，线性方程组的求解在许多科学与工程领域变得尤为重要。

GMRES(m)算法作为一种有效的迭代求解方法，已经在许多实际问题中得到了广泛的应用。

然而，对于某些特殊的问题，如大规模稀疏线性系统或具有特定结构特性的问题，传统的GMRES(m)算法可能存在收敛速度慢或数值稳定性差等问题。

为了解决这些问题，研究者们提出了预处理和加权GMRES(m)算法。

本文将重点研究预处理加权GMRES(m)算法，探讨其原理、应用及优势。

二、GMRES(m)算法概述GMRES(m)算法是一种基于Krylov子空间的迭代算法，用于求解线性方程组Ax=b。

该算法利用正交化过程，生成一组在Krylov子空间中关于矩阵A的向量，然后通过最小二乘法求解。

GMRES(m)算法具有较好的数值稳定性和求解效率，尤其适用于大型稀疏线性系统的求解。

三、预处理技术预处理技术是提高迭代法求解线性方程组性能的重要手段。

预处理的目的是通过将原始系统进行等价变换，改善系统的性质，从而加速算法的收敛速度。

常见的预处理方法包括Jacobi预处理、Gauss-Seidel预处理等。

这些方法通过对方程进行预处理，使得新生成的矩阵具有更好的条件数，从而提高算法的收敛速度。

四、加权GMRES(m)算法加权GMRES(m)算法是在GMRES(m)算法的基础上引入了权重因子。

这种算法在迭代过程中，对残差向量进行加权处理，从而使得算法对不同方向上的搜索具有不同的重视程度。

加权GMRES(m)算法可以提高算法的收敛速度和求解精度，特别适用于某些具有特殊结构或性质的线性系统。

五、预处理加权GMRES(m)算法预处理加权GMRES(m)算法是将预处理技术和加权GMRES(m)算法相结合的一种算法。

该算法首先利用预处理方法对原始系统进行等价变换，然后对变换后的系统应用加权GMRES(m)算法进行求解。

这种算法可以充分利用预处理和加权技术的优势，进一步提高算法的收敛速度和求解精度。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言随着计算机科学技术的发展，数值线性代数问题中的求解技术变得愈发重要。

在解决大规模、复杂的线性方程组时，预处理加权GMRES(m)算法是一种常用的迭代法。

本文将针对预处理加权GMRES(m)算法进行深入研究，分析其原理、特性以及应用场景，旨在为相关研究与应用提供参考。

二、GMRES算法概述GMRES（Generalized Minimum Residual）算法是一种基于最小二乘法的迭代法，用于求解线性方程组。

该算法通过构建Krylov子空间，逐步逼近方程组的解。

GMRES算法具有较好的数值稳定性和求解精度，广泛应用于各种工程领域。

三、预处理技术预处理技术是提高迭代法求解效率的重要手段。

通过对系数矩阵进行预处理，可以改善矩阵的性质，加速算法的收敛速度。

常见的预处理方法包括雅可比预处理、不完全LU分解预处理等。

预处理加权GMRES(m)算法结合了预处理技术和GMRES算法的优点，能够更有效地求解大规模、复杂的线性方程组。

四、预处理加权GMRES(m)算法原理预处理加权GMRES(m)算法在GMRES算法的基础上，引入了预处理技术和加权技术。

在算法迭代过程中，通过预处理技术改善系数矩阵的性质，利用加权技术调整残差向量的权重。

该算法能够在保证求解精度的同时，提高算法的收敛速度和求解效率。

五、算法特性分析预处理加权GMRES(m)算法具有以下特性：1. 数值稳定性：该算法基于最小二乘法，具有较好的数值稳定性。

2. 求解精度高：通过Krylov子空间的构建和加权技术的引入，该算法能够获得较高的求解精度。

3. 收敛速度快：预处理技术的运用可以改善系数矩阵的性质，加速算法的收敛速度。

4. 适用范围广：该算法可应用于各种大规模、复杂的线性方程组求解问题。

六、应用场景预处理加权GMRES(m)算法在许多领域都有广泛的应用，如计算物理、计算力学、计算流体力学、信号处理等。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学与工程计算领域，GMRES(m)算法以其优秀的迭代性能和良好的收敛特性而广受关注。

GMRES算法作为一种有效的线性方程组求解方法，广泛应用于大规模的稀疏矩阵问题。

然而，随着问题规模的增大，传统GMRES算法的计算复杂度逐渐显现出来，因此，对于其改进与优化成为了研究的热点。

本文将着重探讨预处理加权GMRES(m)算法（以下简称预处理加权GMRES 算法）的原理、实施及其实验分析。

二、预处理加权GMRES算法概述预处理加权GMRES算法是在GMRES算法的基础上，通过引入预处理和加权技术来提高算法的求解效率和稳定性。

预处理技术主要用于改善原始矩阵的条件数，从而加速算法的收敛速度；而加权技术则用于在迭代过程中对残差进行加权处理，进一步提高算法的求解精度。

三、预处理加权GMRES算法原理1. 预处理技术：预处理技术是通过引入一个预处理矩阵来改善原始矩阵的条件数。

预处理矩阵的选择对算法的求解效率和稳定性有着重要影响。

常用的预处理方法包括Jacobi预处理、SSOR 预处理等。

2. 加权技术：在GMRES算法的迭代过程中，加权技术用于对残差进行加权处理。

通过引入一个加权因子，可以调整迭代过程中残差的权重，从而提高算法的求解精度。

3. 算法流程：预处理加权GMRES算法的流程主要包括初始化、正交化过程、最小二乘求解和迭代终止条件等步骤。

在每一步迭代中，都需要根据加权因子对残差进行加权处理，并利用预处理矩阵对矩阵进行预处理。

四、预处理加权GMRES算法实施1. 参数选择：在实施预处理加权GMRES算法时，需要选择合适的预处理矩阵和加权因子。

这些参数的选择将直接影响算法的求解效率和稳定性。

2. 代码实现：根据算法流程，编写相应的代码实现预处理加权GMRES算法。

在代码实现过程中，需要注意保持数值计算的稳定性和精度。

3. 实验分析：通过实验分析，评估预处理加权GMRES算法在不同问题规模和不同条件数下的求解性能。

《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言在现代科学计算和数据处理中，线性方程组的求解是一个重要的研究领域。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效的迭代法，被广泛应用于解决大型稀疏线性方程组。

然而，传统的GMRES算法在处理某些问题时仍存在收敛速度慢、计算效率低等问题。

为了解决这些问题，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，通过引入E-变换技术，提高了算法的收敛速度和计算效率。

本文将首先介绍E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后探讨其在实际应用中的研究现状与价值。

二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理GMRES算法是一种基于最小二乘法的迭代法，通过构建一个Krylov子空间来逼近原问题的解。

然而，传统的GMRES算法在处理某些问题时，可能存在收敛速度慢、计算量大等问题。

为了解决这些问题，本文引入了E-变换技术，提出了E-变换GMRES(m)算法。

E-变换GMRES(m)算法的基本思想是在每次迭代过程中，对当前残差向量进行E-变换，以增强算法的收敛性。

具体而言，该算法在每次迭代时，首先计算当前残差向量的E-变换结果，然后利用该结果更新Krylov子空间中的向量。

通过这种方式，E-变换GMRES(m)算法能够在迭代过程中逐渐逼近原问题的解，并且具有更快的收敛速度和更高的计算效率。

三、E-变换GMRES(m)算法的研究现状目前，E-变换GMRES(m)算法已经成为了国内外学者研究的热点。

在理论方面，学者们对该算法的收敛性、稳定性等性质进行了深入研究。

在应用方面，E-变换GMRES(m)算法已经被广泛应用于各种科学计算和数据处理领域，如计算流体动力学、电磁场仿真、图像处理等。

实践证明，该算法在这些领域中具有很好的应用效果和广泛的应用前景。

四、E-变换GMRES(m)算法的应用实例以计算流体动力学为例，我们将介绍E-变换GMRES(m)算法在解决Navier-Stokes方程中的应用。

求解非对称线性方程组的预对称混合 GMRES 算法朱雪芳;叶立军【期刊名称】《杭州师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(13)1【摘要】对于非对称线性方程组Ax＝ b ，当A是正定可对称化矩阵时，利用预对称化技术和混合迭代技术，结合GM RES算法提出了一种新的预对称混合GM RES迭代算法，理论表明，新算法可以使迭代的收敛效果得到明显改善。

数值例子表明该算法迭代次数要少于解非对称线性方程组的GM RES方法。

%This paper presented a new kind of pre-symmetry hybrid GMRES iterative method for the nonsymmetric linear system Ax = b ,in which A was the positive definite symmetrizable matrix .The new algorithm can improve the convergence effect of iteration .The numerical results show that the iterative times of the new algorithm are fewer than the GM RES method for the nonsymmetric linear systems .【总页数】4页(P68-71)【作者】朱雪芳;叶立军【作者单位】台州广播电视大学高职学院，浙江台州 318000;杭州师范大学理学院，浙江杭州 310036【正文语种】中文【中图分类】O241.6【相关文献】1.求解非对称线性方程组的松弛混合算法 [J], 钟宝江2.非对称多右端线性方程组的积混合块GMRES算法 [J], 孙春晓;王丙参3.求解非对称线性方程组的加权GMRES子空间算法 [J], 王雅4.求解非对称线性方程组的GMRES法的收敛性 [J], 陈桂芝;廉庆荣5.求解非对称线性方程组的积多项式预处理GMRES算法 [J], 孙春晓;徐乐顺因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《预处理加权GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在科学与工程计算领域，预处理加权GMRES(m)算法是解决大型稀疏线性方程组的一种有效方法。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法以其出色的数值稳定性和收敛速度，在许多实际问题中得到了广泛的应用。

而预处理和加权技术则能够进一步改善GMRES算法的求解效率。

本文将针对预处理加权GMRES(m)算法展开研究，分析其原理、实现过程及性能特点。

二、预处理加权GMRES(m)算法概述GMRES算法是一种迭代方法，通过求解最小二乘问题来逼近解。

在标准的GMRES算法中，引入预处理和加权技术可以有效地改善算法的数值性能。

预处理步骤通过变换系数矩阵，使其具有更好的条件数，从而加速收敛。

而加权技术则根据系数矩阵的特性，对不同部分赋予不同的权重，以适应不同的求解需求。

三、算法原理1. 预处理步骤：预处理步骤通过对系数矩阵进行变换，改善其条件数。

常用的预处理方法包括Jacobi预处理、不完全LU分解预处理等。

这些方法能够有效地减少矩阵的谱半径，加速算法的收敛。

2. 加权GMRES：在预处理后的矩阵上执行标准的GMRES 算法，并引入加权技术。

加权技术通过为不同部分赋予不同的权重，使得算法在求解过程中能够更加灵活地适应不同的问题。

3. 迭代过程：在加权GMRES算法的迭代过程中，通过求解一系列最小二乘问题来逼近解。

每次迭代都会产生一个新的近似解，直到满足一定的收敛条件或达到预设的迭代次数。

四、算法实现1. 输入：系数矩阵A、右端向量b及预处理的参数设置等。

2. 预处理：根据选定的预处理方法对系数矩阵进行变换，得到新的矩阵A_pre。

3. 初始化：设置初始向量x_0、初始残差r_0等。

4. 迭代过程：执行标准的加权GMRES算法，计算每一步的搜索方向和残差向量等。

5. 输出：当满足收敛条件或达到预设的迭代次数时，输出最终的近似解x_approx。

2008年9月天水师范学院学报Sep．，2008第28卷第5期J our nal of Ti ans h ui N or m al U ni ve rsi t y V01．28N o．5非对称多右端线性方程组的积混合块G M R ES算法孙春晓t，王丙参2(1．西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100；2．天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001)摘要：在对块G懈嬲算法及其性质进行研究的过程中，发现块G枷嬲算法具有互相补足的性质，由此产生一种新算法——积混合块G舰耶算法(PHB G M R ES)。

数值试验表明，新算法比混合日G枷Es在残量收敛方面具有明显的优势。

关键词：块迭代方法；多右端项系统；K r yk,v空问；矩阵值多项式中圈分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1671—1351(2008)05—0006-03引言考虑多右端线性方程组A X=B(1)其中A∈R“非奇异，B=【6。

b各…，6，】．求解线性方程组(1)的很多块迭代法都可归类于多项式法。

设石眄是(1)的初始近似解，尺晒胡一A X e*为其对应的残矩阵，km=s pan{R(cn，…4¨R彻}为由R西和A产生的块K r yl ov子空间。

块G M R ES方法第r t t步迭代解满足x㈣∈X o+k，即xr呻=X卿+y∥，V。

为k。

的一组标准正交基，产眇Ir…，们7，yl∈即”．令矩阵值多项式也=∑二A誊，￡∈R“，则等价的R(呻=R(o)一A V．y‘=足‘o’一A E兰j谚(A)R‘o’M+l(2)=尺‘o’一∑留A“1R‘o’％服这个困难的一种方法是采用重新开始的迭代格式．另一种方法是应用混合迭代的格式。

[31目前典型的混合迭代算法是首先执行B G M R ES迭代。

并从伴随迭代的块A r nol di过程中得到一些有关矩阵A的谱的消息．然后根据这些信息执行R i cha r ds on迭代。

《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言在科学与工程计算领域，线性方程组的求解是一项重要任务。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种高效的迭代求解方法，在处理大规模稀疏线性方程组时表现出色。

然而，随着问题规模的增大和复杂性的提高，传统的GMRES算法在某些情况下可能无法满足求解精度和效率的要求。

为此，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，旨在提高算法的求解性能。

本文将首先介绍E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后分析其性能，最后探讨该算法在实际中的应用。

二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理E-变换GMRES(m)算法是在传统GMRES算法的基础上，引入E-变换技术，以提高算法的求解性能。

E-变换是一种矩阵变换技术，通过对方程组的系数矩阵进行适当的变换，可以改善矩阵的性质，从而提高算法的求解效率。

在E-变换GMRES(m)算法中，首先对原问题系数矩阵进行E-变换，得到一个新的矩阵。

然后，利用GMRES算法对新矩阵进行迭代求解。

在迭代过程中，通过控制迭代次数m，可以在保证求解精度的同时，降低算法的复杂度。

此外，E-变换GMRES(m)算法还具有较好的稳定性，能够在处理病态问题时保持较高的求解精度。

三、E-变换GMRES(m)算法的性能分析E-变换GMRES(m)算法在性能上具有以下优点：1. 求解精度高：通过引入E-变换技术，可以改善原问题系数矩阵的性质，从而提高算法的求解精度。

2. 求解效率高：通过控制迭代次数m，可以在保证求解精度的同时，降低算法的复杂度，提高求解效率。

3. 稳定性好：该算法在处理病态问题时表现出较好的稳定性，能够保持较高的求解精度。

与传统的GMRES算法相比，E-变换GMRES(m)算法在处理大规模稀疏线性方程组时具有更高的求解性能。

在实际应用中，该算法可以有效地解决各类工程和科学计算问题。

四、E-变换GMRES(m)算法的应用E-变换GMRES(m)算法在以下领域具有广泛的应用：1. 科学计算：在物理、化学、生物等领域中，经常需要求解大规模稀疏线性方程组。

《E-变换GMRES(m)算法的研究与应用》篇一一、引言在科学与工程计算领域，线性方程组的求解是一项重要任务。

GMRES（Generalized Minimum Residual）算法是一种迭代法，常用于解决大型稀疏线性方程组。

然而，传统的GMRES算法在处理某些问题时可能存在收敛速度慢或计算量大的问题。

为此，本文提出了一种E-变换GMRES(m)算法，通过引入E-变换，有效提高了算法的收敛速度和计算效率。

本文首先介绍了E-变换GMRES(m)算法的基本原理，然后探讨了其在实际应用中的效果。

二、E-变换GMRES(m)算法的基本原理1. GMRES算法简介GMRES算法是一种基于Arnoldi过程的迭代法，通过构造Krylov子空间来逼近线性方程组的解。

其基本思想是利用前m个Arnoldi向量构成子空间，然后在该子空间中求解最小二乘问题，以达到逼近原问题解的目的。

2. E-变换的定义E-变换是一种矩阵变换方法，通过引入一个矩阵E对原矩阵进行变换，以改善矩阵的性质，从而加速迭代算法的收敛速度。

3. E-变换GMRES(m)算法的实现E-变换GMRES(m)算法在传统GMRES算法的基础上，引入E-变换。

具体实现步骤如下：（1）选择一个合适的矩阵E；（2）利用E对原矩阵进行E-变换；（3）在变换后的矩阵上应用GMRES算法。

三、E-变换GMRES(m)算法的数学性质和收敛性分析1. 数学性质E-变换GMRES(m)算法具有较好的数学性质，如稳定性、有界性和收敛性等。

这些性质保证了算法在处理大型线性方程组时的可靠性和有效性。

2. 收敛性分析E-变换GMRES(m)算法的收敛速度取决于原矩阵的性质和所选的矩阵E。

当原矩阵具有良好的性质时，引入E-变换可以显著提高算法的收敛速度。

此外，通过选择合适的m值，可以在保证计算精度的同时，进一步提高算法的计算效率。

四、E-变换GMRES(m)算法的应用1. 科学计算领域的应用E-变换GMRES(m)算法在科学计算领域具有广泛的应用，如流体力学、电磁场计算、量子力学等。

《预处理Householder-GMRES(m)算法研究》篇一一、引言在现代大规模数值计算领域中，求解线性方程组的问题占据着重要的地位。

其中，GMRES（Generalized Minimum Residual）算法作为一种有效的迭代法，常被用于解决非对称和对称不定线性方程组的求解问题。

预处理技术作为提高算法性能和稳定性的重要手段，其与GMRES算法的结合成为了研究热点。

本文将重点研究预处理Householder-GMRES(m)算法，分析其原理、性能及其在各类问题中的应用。

二、预处理Householder-GMRES(m)算法原理1. GMRES算法概述GMRES算法是一种基于最小二乘原理的迭代法，用于求解线性方程组Ax=b的近似解。

该算法通过构建Krylov子空间，逐步逼近方程的解。

2. 预处理技术预处理技术是通过对方程进行变换，改善其条件数，从而提高求解的稳定性和效率。

常见的预处理方法包括Jacobi预处理、SSOR预处理等。

3. Householder变换与Householder-GMRES(m)算法Householder变换是一种矩阵变换方法，可以有效地减少矩阵的病态性。

将Householder变换与GMRES算法结合，形成了预处理Householder-GMRES(m)算法。

该算法通过引入Householder变换对系数矩阵进行预处理，再利用GMRES算法求解。

三、算法性能分析1. 收敛性分析预处理Householder-GMRES(m)算法通过改善系数矩阵的条件数，提高了算法的收敛速度。

在适当的选择预处理技术和参数的情况下，该算法可以快速收敛到方程的解。

2. 稳定性分析由于预处理技术的引入，该算法在求解过程中具有较好的稳定性。

即使在面对病态或复杂的问题时，该算法仍能保持较高的求解精度。

3. 计算复杂度分析预处理Householder-GMRES(m)算法的计算复杂度主要取决于预处理技术和GMRES算法的执行过程。

《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》篇一一、引言随着科技的发展，线性方程组的求解在众多领域中扮演着重要的角色。

传统的解法如高斯消元法、LU分解法等在处理大规模、复杂线性方程组时，往往面临计算量大、效率低下等问题。

因此，寻求一种高效、稳定的迭代算法成为研究的热点。

本文将介绍一种针对解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法，旨在提高求解的效率和精度。

二、VRP-GMRES(m)迭代法概述VRP-GMRES(m)是一种基于Krylov子空间的迭代算法，用于求解大型稀疏线性方程组。

该算法结合了GMRES算法的优点和共轭梯度法的特性，能够在一定程度上减少计算量，提高求解速度。

此外，通过引入残差向量和Gram-Schmidt正交化过程，使得算法在处理实际问题时具有较好的稳定性和收敛性。

三、VRP-GMRES(m)迭代法原理1. 算法基本思想：VRP-GMRES(m)算法通过构建一系列Krylov子空间来逼近原问题的解。

在每个子空间中，利用GMRES算法的残差向量和Gram-Schmidt正交化过程来更新解向量。

2. 算法步骤：首先，设定初始解向量和初始残差向量；然后，通过Gram-Schmidt正交化过程构建Krylov子空间；接着，利用GMRES算法计算下一步的搜索方向；最后，根据搜索方向和残差向量更新解向量。

重复上述步骤，直到满足收敛条件或达到最大迭代次数。

四、VRP-GMRES(m)迭代法的应用VRP-GMRES(m)迭代法在众多领域有着广泛的应用，如计算物理、计算力学、信号处理等。

通过将该算法应用于实际问题，可以有效地求解大规模、复杂线性方程组，提高求解的效率和精度。

五、结论VRP-GMRES(m)迭代法是一种高效的解线性方程组的迭代算法，其结合了GMRES算法和共轭梯度法的优点，具有较好的稳定性和收敛性。

通过构建Krylov子空间，该算法能够有效地求解大规模、复杂线性方程组，提高求解的效率和精度。

《解线性方程组的VRP-GMRES(m)迭代法》篇一一、引言在科学与工程计算中，线性方程组的求解是一个常见的任务。

传统的直接解法如高斯消元法在处理大规模或稀疏的线性方程组时效率较低。

因此，迭代法成为了处理这类问题的有效手段。

其中，GMRES（Generalized Minimum Residual）算法以其出色的稳定性和收敛性在众多迭代法中脱颖而出。

本文将介绍一种改进的GMRES算法——VRP-GMRES(m)，它具有更高的计算效率和更好的求解性能。

二、VRP-GMRES(m)算法原理VRP-GMRES(m)是一种基于Krylov子空间的迭代算法，其核心思想是通过最小化残差来逐步寻找方程组的解。

该算法在传统的GMRES算法基础上进行了优化，通过引入向量重排（Vector Reordering Procedure）和截断（Truncation）技术，提高了算法的收敛速度和计算效率。

三、算法步骤1. 初始化：设定初始向量x0，以及容差ε和最大迭代次数m。

计算初始残差r=b-Ax0，并生成初始Krylov子空间。

2. 迭代过程：在每个迭代步骤中，计算Krylov子空间的基向量，并利用GMRES算法求解最小二乘问题。

如果解的范数小于容差ε或达到最大迭代次数m，则停止迭代。

3. 向量重排：在迭代过程中，对生成的基向量进行重排，以减小后续计算的成本。

这一步有助于提高算法的效率和稳定性。

4. 截断技术：根据需要，对生成的Krylov子空间进行截断，以减少存储需求和计算量。

这一步有助于控制算法的复杂度，提高求解速度。

5. 更新解：根据最小二乘问题的解，更新当前解x。

6. 检查收敛性：计算当前解与上一次解的差值，如果小于容差ε，则认为算法收敛，停止迭代。

否则，返回步骤2继续迭代。

四、算法优点及应用领域VRP-GMRES(m)算法具有以下优点：1. 收敛性好：该算法基于Krylov子空间，具有很好的收敛性，能够快速找到方程组的解。

基于加权GMRES的多项式预处理广义极小残差法关朋燕;李春光;景何仿【摘要】Essai对求解非对称线性方程组的广义极小残差法(GMRES)进行改进，提出加权GMRES方法(WGMRES)。

该方法具有良好的收敛效果，但计算量较大。

本文利用加权GMRES本身构造出一种有效的多项式预处理并与加权GMRES结合，构造了一种新算法。

该算法能够显著地减少加权GMRES迭代次数，并能减少运算量和储存量。

数值算例表明，相对于加权GMRES方法来说，新算法减少了运算时间和迭代次数。

%Essai presented a weighted GMRES method (GMRES) by improving GMRES method to solve nonsymmetric linear systems. The method has good convergence, but the computation cost is increasing. In this paper, we propose an efficient polynomial precondi-tioner based on WGMRES, and obtain a new algorithm. Numerical experiments indicate that the new algorithm can considerably reduce the iterative steps and computation cost.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】10页(P697-706)【关键词】多项式预处理;加权Arnoldi算法;加权GMRES算法;迭代法;平行板突扩管【作者】关朋燕;李春光;景何仿【作者单位】北方民族大学信息与计算科学学院，银川 750021;北方民族大学数值计算与工程应用研究所，银川 750021;北方民族大学数值计算与工程应用研究所，银川 750021【正文语种】中文1 引言许多科学计算问题经过离散可归结为解线性方程组其中A∈CN×N非奇异，b是列向量．解这类方程组的一类方法就是基于最小残差法其中qn−1(x)为多项式且degqn−1≤n−1，使得‖rn‖最小，或rn=b−Axn表示残差，Kn(r0,A)=span{r0,Ar0,···,An−1r0}是Krylov子空间．令pn=b−zqn−1(z)，此为残差多项式，于是rn=pn(A)r0．在这类方法中应用最广的是GMRES方法[1]，GMRES是在Krylov子空间上进行迭代，该算法的收敛性由残差模的单调性得出，而且具有良好的数值稳定性，但具有较长的迭代公式，因此每步迭代的计算量与储存量都线性增长，同时难以有效的并行运算．Saad采用循环GMRES法，但GMRES(m)[2]会失去超线性收敛，产生停滞．1998年，Essai对GMRES方法进行改进，提出加权GMRES方法[3]，其优点在于具有良好的收敛性，但也增加了计算量．Nachtigal等[4-11]讨论了GMRES和其他方法相结合策略．文献[12–17]是将加权思想与其他方法相结合文章．本文采用多项式预处理加权GMRES(m)法及多项式预处理加权GMRES(m)法．其主要问题是找到有效的低阶多项式pn(x)，迭代解应用到pn(A)Ax=pn(A)b中，这会产生一个Krylov子空间它是Krylov子空间K(n+1)(m−1)+1(A;r0)的子空间．本文直接利用加权GMRES 方法本身来构造预处理多项式，多项式的预处理和混合迭代[4]极为相似，其思想就是尽可能减少迭代次数．随着迭代次数的减少，存储量和运算量也会相应减少．2 加权Arnoldi算法先来定义D-内积及D-范数．如果D=diag{d1,d2,···,dn}(di＞0,i=1,2,···,n)是一个对角矩阵，u,v∈Rn是两个向量，那么它们的D-内积就定义为显然，当d1=d2= ···=dn=1时，(u,v)D=(u,v)．如果(u,v)D=0，就称u和v关于D相互正交，也可以表示为u⊥Dv．同样可以定义D-范数求解方程组(1)的加权Arnoldi算法[2]：步骤1 构造v1，进行第2至第6步，对于j=1,2,···,k；步骤2 计算w=Avj；步骤3 计算hij=(w,vi)D,w=w−hijvi,i=1,2,···,j；步骤4 计算hj+1,j=‖w‖D；步骤5 如果hj+1,j=0，则停止；步骤6 计算vj+1=w/hj+1,j；步骤7 结束．3 预处理多项式的构造加权GMRES方法的主要思想是Krylov子空间Kn(r0,A)找到一个向量zn，使其D-范数极小化zn∈Kn(r0,A)可写作zn=Vnyn，其中Vn=(v1,v2,···,vn)，使得是加权ArnoldiD 正交过程形成的Krylov子空间的一组向量．所以有其中现在利用残差多项式来构造出多项式预处理因子，Kn表示N×n矩阵，其列为Krylov子空间Kn=span{r0,Ar0,···,An−1r0}的基向量．由加权GMRES方法，有以下迭代公式因为Vn的列和Kn的列张成的是同一个空间，我们有其中Cn为上三角矩阵由(4)式表示出向量vj和vj+1，并代入(3)式，比较两边关于Ajv0的系数，可得到再用加权GMRES方法解Hessenberg矩阵最小二乘问题，得xn=x0+Vny．因为Vny=KnCny，可得出向量Cny为多项式qn−1(z)的系数pn(z)=1−zqn−1(z)即为残差多项式．可得令k=n−1，由此式可得qk(A)≈ A−1，可参见文献[17]，所以可用qk(A)作预处理矩阵．4 多项式预处理加权GMRES(m)算法根据上面的分析，给出以下多项式加权GMRES(m)算法，简记为PWGMRES(m)算法：1) 输入：近似解精度ε，Krylov子空间的维数m，所需计算的预处理多项式qn−1(z)的次数k，初始值x0；2) 计算3) 选择向量d，使得4) 利用加权Arnoldi过程计算Hk,Vk；5) 对于j=1,2,···,k；6) 根据(6)式计算cj+1；7) 计算8) 结束j循环；9) 由QR分解计算最小二乘问题得到的解为ym，并令xk=x0+Vky；10) 计算预处理多项式qk(z)；11) 对qk(A)Ax=qk(A)b用加权GMRES(m)算法；12) 结束．5 数值算例为了说明PWGMRES(m)算法的有效性，给出数值算例．关于加权di的选择，Essai在文献[3]中WGMRES算法里建议取其中r0的任意分量不能为零．选取向量b使得方程Ax=b的精确解为其相关残差需要说明的是本文所有算法的程序是用Matlab在4CPU,3.20GHz，内存为1.00GB的或残差电脑上编写的，且每个算例中r0的任意分量不为零．算例1 本例中矩阵nos2−sm取自矩阵市场(/MatrixMarket/)，条件数为6.3E+09，非零元素个数为2547，阶数为957×957,ε=10−15,η≤ 10−8．其k=10,m=30预处理后的矩阵与没作预处理的矩阵的残差与迭代次数和残差与迭代时间的关系，如图1所示．图1: 算例1中PWGMRES(30)和WGMRES(30)比较算例2 本例中矩阵orsirr−1−sm取自矩阵市场(/MatrixMar ket/)，条件数为1E+02，非零元素个数为6858，阶数为1030×1030,ε=10−8,η≤10−7．其k=2,m=40预处理后的矩阵与没作预处理的矩阵的残差与迭代次数和残差与迭代时间的关系，如图2所示．图2: 算例2中PWGMRES(40)和WGMRES(40)比较算例3 本例中矩阵orsreg−1−sm取自矩阵市场(/MatrixMar ket/)，条件数为1E+02，非零元素个数为14133，阶数为2205×2205,ε=10−6,η≤10−6．其k=1,m=30预处理后的矩阵与没作预处理的矩阵的残差与迭代次数和残差与迭代时间的关系，如图3所示．图3: 算例3中PWGMRES(30)和WGMRES(30)比较算例4 本例中矩阵为Grcar，阶数为1000×1000,ε=10−12,η≤ 10−8．其k=10,m=30预处理后的矩阵与没作预处理的矩阵的残差与迭代次数和残差与迭代时间的关系，如图4所示．图4: 算例4中PWGMRES(30)和WGMRES(30)比较算例5 平行板组成的突扩管道，如图5所示，流动为层流，进口为均匀流速，根据文献[18]中提出的圆图扩管内流动雷诺数的定义Re=ud/v，导出相应的进口速度uin=Re∗v/d，管道壁面为光滑的无滑移边界，密度保持恒定不变，为ρ=1.0kg/m3，进口宽度为2d=2，整个管道的宽为2D=4，其上下管道都足够长(这里取30)，出口边界采用充分发展条件，试确定管道中流体的速度分布与压力分布．图5: 算例5二维图扩管示意图边界条件：对称线上入口处：u,v为给定值；固体边界线上：u=v=0；雷诺数：Re=200．将求解区域进行剖分，网格数为15×10，方程离散后的系数矩阵呈五对角状，非零元素的个数为1500，ε=10−6,η≤10−6．其k=5,m=30．解得算例5预处理后的矩阵和没作预处理的矩阵，其最后一个压力残差与迭代次数和残差与迭代时间的关系，如图6所示．图6: 算例5中PWGMRES(30)和WGMRES(30)比较为了说明计算的效率，表1给出上述五个算例所用的CPU时间及迭代的次数；表2给出了算例5所用外迭代次数与CPU时间．表1:所用的CPU时间及迭代次数算例算法迭代次数CPU(s)算例1 PWGMRES(m)340 16.7739 WGMRES(m)3121 77.4142算例2 PWGMRES(m)776 62.7500 WGMRES(m)2490 175.6090算例3 PWGMRES(m)142 71.8600 WGMRES(m)274 86.6250算例4PWGMRES(m)406 61.4060 SIMPLEC 1041 69.5150 0.3590一个压力矩阵算例5中最后PWGMRES(m)18 WGMRES(m)112 1.5150表2: 平行板突扩管网格数为15×10时算法的CPU比较算法1外迭代次数CPU(s)PWGMRES(m)94 191.3807 WGMRES(m)94 223.7347从以上五个数值算例的迭代次数和迭代时间分别与残差的关系图及CPU时间表比较可看出，PWGMRES(m)算法收敛所需要的迭代次数以及CPU时间均比WGMRES(m)算法的少，从而说明了所构造的算法的有效性．大量的例子表明：通常解大型稀疏对称矩阵或块三对角矩阵时，预处理多项式qk(z)次数k的选择可以随意选择，但当取k为5–15时收敛效果相对较好；解其它大型稀疏类型的矩阵时k值不宜过大，这样会增加计算预处理子的时间与运算量，有可能还会导致矩阵不收敛．6 结论本文我们利用多项式预处理技术对WGMRES(m)进行改进，得到PWGMRES(m)较之WGMRES(m)有较好的收敛速度，同时也大大减少了运算量与运算时间，但如何选取预处理多项式qk(z)次数k与权值d使PWGMRES(m)收敛速度达到最优，目前我们建议的值只是经验值．参考文献：[1]Saad Y,Schultz M H.GMRES:a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems[J].Computational and Applied Mathematics,1986,7(3):856-869[2]蔡大用，白峰杉.高等数值分析[M].北京：清华大学出版社，1997 Cai D Y,Bai F S.Advanced Numerical Analysis[M].Beijing:Tsinghua University Press,1997 [3]Essai A.Weighted FOM and GMRES for solving nonsymmtric linear systems[J].Numerical Algorithms,1998,89(3-4):277-292[4]Nachtigal N M,et al.A hybrid GMRES algorithm for nonsymmetric linear systems[J].Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Matrix Analysis and Applications,1992,13(3):765-825[5]Saad Y.Least squares polynomials in the complex plane and their ues for solving any nonlinear systems[J].Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Numerical Analysis,1987,24(1):155-169[6]An H B,Bai Z Z.NGLM:a globally convergent Newton-GMRESmethod[J].Mathematica Numerica Sinica,2005,27(2):151-174[7]An H B,Bai Z Z.On efficient variants and global convergence of the Newton-GMRES method[J].Journal of Numerical Methods and Computer Applications,2005,26(4):291-300[8]徐钟济.蒙特卡罗方法[M].上海：上海科学技术出版社，1985 Xu Z J.Monte Carlo Method[M].Shanghai:Shanghai Science and Technology Press,1985 [9]全忠，向淑晃.基于GMRES的多项式预处理广义极小残差法[J].计算数学，2006,28(4):365-376 Quan Z,Xiang S H.A GMRES method based on polynomial preconditioning algorithm[J].Mathematica Numerica Sinica,2006,28(4):365-376[10]Niu Q,et al.Accelerate weighted GMRES by augmenting error approximations[J].International Journal of ComputerMathematics,2010,87(9):2101-2112[11]杨圣炜，卢琳璋.一种加权的Simpler GMRES算法[J].厦门大学学报(自然科学版)，2008,47(4):484-488 Yang S W,Lu L Z.A weighted SimpleGMRES[J].Journal of Xiamen University(Natural Science),2008,47(4):484-488[12]Cao Z H,Yu X Y.A note on weighted FOM and GMRES for solving nonsymmetric linear systems[J].Applied Mathematics and Computation,2004,151(3):719-727[13]Jing Y F,Huang T Z.Restarted weighted full orthogonalization method for shifted linear systems[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,57(9):1583-1591[14]Najaf iH S,Zareamoghaddam H.A new computational GMRESmethod[J].Applied Mathematics and Computation,2008,199(2):527-534 [15]Najaf iH S,Ghazvini H.Weighted restarting method in the weighted Arnoldi algorithm for computing the eigenvalues of a nonsymmetric matrix[J].Applied Mathematics and Computation,2006,175(2):1276-1287[16]Meng B.A weighted GMRES method augmented with eigenvectors[J].Far East Journal of Mathematical Sciences,2009,34(2):165-176[17]Salyor P E,Smolarski D C.Implementation of an adaptive algorithm for Richardson’s method[J].Linear Algebra and its Applications,1991,154-156:615-646[18]罗奇，等.计算流体力学[M].北京：科学出版社，1983 Roach,etputational Fluid Mechanics[M].Beijing:Science Press,1983。

求解非对称线性方程组的积多项式预处理GMRES算法孙春晓;徐乐顺【摘要】When the number of condition of coefficient matrix was too large, the pretreatment method was usually to be used to solve the nonsymmetrical linear equation set. Based on the complementary convergence behavior of GMRES algorithm, an effective product polynomial pretreatment factor was constructed. Under certain condition, the coefficient matrix was pretreated with the product polynomial and the number of spectral condition could be reduced remarkably so that the convergence of the residual would be significantly accelerated. Numerical experiment showed that the new algorithm would have a distinct advantage in connection with residual convergence.%当系数矩阵的条件数过大时,求解非对称线性方程组通常采用预处理方法.根据GMRES算法的补足收敛特性,构造一种有效的积多项式预处理因子.在一定条件下,应用积多项式对系数矩阵进行预处理,可以显著降低谱条件数,从而加快残量的收敛速度.数值试验表明,新算法在残量收敛方面具有明显的优势.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2012(038)005【总页数】4页(P145-148)【关键词】多项式预处理;Krylov子空间;迭代法;GMRES【作者】孙春晓;徐乐顺【作者单位】西北农林科技大学理学院,陕西杨凌712100;西北农林科技大学理学院,陕西杨凌712100【正文语种】中文【中图分类】O241.6很多科学计算问题经过离散可归结为求解线性方程组式中：A∈RN×N是非奇异的.求解线性方程组（1）的很多迭代法可归结于多项式法，即满足：这里xn（n≥0）为第n步迭代解，rn=bn-Axn为其对应的迭代残量.等价地式中：pn（z）=1-zqn-1（z）称为残量多项式.或有其中，κn（r0，A）=span是对应于r0，A 的krylov子空间.容易证明，此时残量rn满足：式中：‖·‖为RN上的Euclidean范数.由此定义的迭代方法称为最小残量法，如GMRES算法.由最小残量所产生的残量按范数‖·‖是非增的，且当n=N 时得到方程组（1）的精确解，因此此类方法总是收敛的.但在实际应用中，由于矩阵的阶数可达106以上，执行整体的最小残量法所需的存储量和计算量会随着迭代步数的增加而变得不可接受［1］.Saad采用循环 GMRES（m）算法，但此算法会失去超线性收敛性，产生停滞［2］.N.M.Nachtigal等提出混合GMRES算法，但此算法的收敛性从理论上得不到保证，而且在实际应用中，其Richardson迭代可能收敛得很慢甚至发散［3］.为了提高Krylov子空间的稳定性，实际求解时通常采用预处理方法［4-5］.本文采用多项式预处理 GMRES（m）方法，找到有效的低阶多项式s（x），这样迭代解被应用到s（A）Ax=s（A）b中.这种预处理方法在解决某些大型稀疏线性方程组的系数矩阵A的条件数过大时是很有效的.本文利用GMRES（m）算法的补足收敛性质构造预处理多项式.由此给出一种新的算法，称为积多项式预处理GMRES算法（PP-GMRES）.1 预处理多项式的构造1.1 GMRES（m）算法的补足收敛性质定义GMRES（m）算法第n次循环对应的双纽线为其中设λ是A 的任一特征值，若λ包含在Ln中，则｜pn，m（λ）｜＜τn.｜pn，m （λ）｜取值越小，迭代残量在这一特征向量方向有明显下降.下面用数值实验来说明GMRES（m）算法的补足收敛性质.例1 考虑线性方程组Ax=b.其中取δ=0.05，初始迭代向量x0=［0，0，0，0］T.记 A 的谱σ （A ） = （λ1，λ2，λ3，λ4）=（0.5，1.0，1.5，2.0）.GMRES （3）算法前两次循环所对应的双纽线如图1所示.重新开始GMRES（m）算法的不同迭代循环所产生的迭代残量偏向于不同的特征向量，使其所形成的残量多项式在收敛方向上相互补足，从而残量的收敛达到一种平衡.以相继迭代循环的残量多项式作乘积，形成积多项式，这样能够保证残量在所有特征向量方向上都有均匀、明显的下降.取前两次循环的残量多项式作乘积π2，3（z）=p1，3（z）p2，3（z），做双纽线图1 例1GMRES（3）前两次循环的双纽线；特征值：·Fig.1 Lemniscates of the first two cycles and their eigenvalues of GMRES（3）for example 1；eigenvalues：·图2中所有特征值包含在双纽线L中，π2，3（z）在矩阵A的谱上得到了整体的下降.图2 GMRES（3）前两次循环对应的积多项式的双纽线；特征值：·Fig.2 Lemniscates of a product polynomial corresponding to the first two cycles and their eigenvalues of GMRES（3）；eigenvalues：·1.2 理论基础引理1［6］设方程组Ax=b的系数矩阵A是可对角化的且其谱分解为其中，λi（i=1，2，…，N）都是正实数.不妨设λ1≤λ2≤…≤λN，则给定初始估计x0，执行m 步GMRES算法，有其中是A的条件数.下面利用积多项式构造多项式预处理因子s（z），使得κ（s（A）A）尽可能小.由于式中由此可得定理1 设方程组（1）的系数矩阵A可对角化，其特征值λ1，λ2，…，λN 均为实的.若则有证明由于s（A）A=IN-πn，m（A），A 可对角化，则s（A）A也可对角化.λi 为A 的任一特征值，故1-πn，m（λi）为s（A）A的任一特征值.又且πn，m（λi）均为实的.由矩阵条件数的定义［7］可知，矩阵的任何一种条件数都大于等于1.根据定理1，若τ足够小，预处理矩阵s（A）A的条件数接近于1.这样，对预处理方程组s（A）A=s（A）b执行GMRES算法将会得到较好的收敛效果.而适当的选取积多项式πn，m（z），可使其在矩阵A 的谱上整体下降［8-9］，即τ≪1.2 积多项式预处理GMRES算法根据上面的分析，给出积多项式预处理GMRES算法（PP-GMRES）.选取初始迭代向量x0.1）执行GMRES（k）算法n次，得到残量多项式序列；构造积多项式2）由πn，k（z）=1-s（z）z 得到预处理多项式s（z）.3）对s（A）Ax=s（A）b执行循环GMRES（m）算法，直至收敛.对新算法的几点说明：1）数k和参数m 可以不一致，这样使得算法很灵活.2）GMRES（m）循环在第m 步得到的近似解xm，是在预处理krylov子空间上使得残量范数最小［10］.3）根据残量多项式的互补性理论［6］及数值试验，通常取n=2，即如果实际执行效果不太好，可适当放大n.4）计算单次残量多项式的系数有两种方法.一是文献［5］的迭代公式，二是通过求解特征矩阵的特征多项式来求解残量多项式［11-12］.3 数值实验本节给出三个数值试验比较PP-GMRES（m），PolyGMRES（m）［13］，HGMRES（m），GMRES（m）四种算法的执行结果.为了使数值结果便于重复，这里具体给出各参数的值，而不考虑算法的执行细节.选取右端项b=（1，1，…，1）T，初始估计x0=（0，0，…，0）T.例2 同文献［5］中例1，选取A为三对角Toeplitz矩阵由图3可以看出，四种算法都使迭代残量下降.比较起来，PP-GMRES（5）算法下降最快，说明积多项式π2，5（z）在矩阵A 的谱上的值比较小，使得预处理后的系数矩阵的条件数较小，从而加速了收敛.例3 选取A为Grear矩阵图3 例2收敛曲线：工作量和残量对数的范数Fig.3 Convergence curve of log.residual norm vs work for example 2由于该矩阵伪谱的凸包中含零点，在这种情况chebyshev类型或其他一些混合算法将导致失败.由图4可以看出GMRES算法失败，但PP-GMRES算法有很满意的收敛效果.图4 例3收敛曲线：工作量和残量对数的范数Fig.4 Convergence curve of log.residual norm vs work for example 3参考文献：［1］JOUBERT W D，VARGA R S.A hybrid Arnoldi-Faber iterative method for nonsymmetric linear systems ［J］.Part Ⅰ：Theory，PartⅡ：Parallel implementation.Internat J Comput Math，1992，44（1）：243-267.［2］SAAD Y，SCHULTZ M H.GMRES：A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems［J］.SIAM J Sci Stat Comput，1986，7：856-869.［3］YIN Junfeng.A class of preconditions based on matrix splitting for nonsymmetric linear systems ［J］.Applied Mathematics and Computation，2010，16：1694-706.［4］YIN Junfeng，KEN Hayam.Preconditioned GMRES method with incomplete orthogonalization method for large sparse least-squares problems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，26：177-186.［5］NACHTIGAL N M，REICHEL L，TREFETHEN L N.A hybrid GMRES algorithm for nonsymmetric linear systems［J］.SIAm J Matrix Anal Appl，1992，13（3）：796-825.［6］MORGAN R B.A restarted GMRES method augmented with eigenvectors［J］.SIAM J Matrix Anal Appl，1995，16：1112-1135.［7］李庆杨，王能超，易大义.数值分析［M］.武汉：华中科技出版社，2002：206-207.［8］ZHONG B J，MORGAN R plementary cycles of restarted GMRES［J］.Numer Linear Algebra Appl，2008，15：559-571.［9］ZHONG B J.A product hybrid GMRES algorithm for nonsymmetric linear systems ［J］.Journal of Computational Mathematics，2005，23：82-92.［10］SAAD Y.A flexible inner-outer preconditioned GMRES algorithm ［J］.SIAM J Sci Comput，1993，14：461-469.［11］钟宝江.一种灵活的混合GMRES算法［J］.高等学校计算数学学报，2001，3：261-272.［12］NAJAFI H S，MOGHADDEN H Z.A new computational GMRES method［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，199：527-534.［13］全忠，项淑晃.基于GMRES的多项式预处理广义极小残差法［J］.计算数学，2006，4：365-376.。

具有适当参数的再开始的GMRES算法
徐明华
【期刊名称】《江苏石油化工学院学报》
【年(卷),期】1999(011)003
【摘要】求解大型非对称线性方程组的ＧＭＲＥＳ算法再开始算法，这样可以减少存储量以及正交化工作量。

然而，可以证明再开始的ＧＭＲＥＳ算法：ＧＭＲＥＳ，有可能发生停滞，这是ｍ为某一固定的整数。

为了克服这一缺陷，给出了一个具有适当参数ｍ的ＧＭＲＥＳ（ｍ）算法。

【总页数】4页(P52-55)
【作者】徐明华
【作者单位】江苏石油化工学院基础课部
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一种预条件的再开始的GMRES算法 [J], 童凯郁
2.具有范围选择的传感网络再编程协议算法研究 [J], 谭劲;张曼曼;褚娜
3.混合分数Brown运动环境下具有时变参数的再装期权定价 [J], 胡倩倩;周霞
4.基于ABC-SMC回归算法具有观测噪声的AR(p)模型的参数估计 [J], 许淑婷;郑斌斌;李安水;张慧增
5.具有超临界参数和二次中间再热的汽轮机装置动力系统的设计指标 [J], 吉桂明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。