人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业及答案解析

第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2024年南充模拟)12－i ＝( )A ．－25＋15iB ．－25－15iC ．25＋15iD ．25－15【答案】C 【解析】12－i ＝2＋i (2－i )(2＋i )＝25＋15i.故选C ．2．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12【答案】C 【解析】i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.故选C ．3．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i.若(a ＋b i)2＝2i ，则a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A ．4．(2024年海口月考)若复数z ＝i1－i ，其中是i 虚数单位，则z ＝( )A ．12＋12iB ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i【答案】D 【解析】由z ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，得z ＝－12－12i.故选D ．5．(2024年景德镇月考)已知i 为虚数单位，若21＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2 019＋b 2 020＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由21＋i ＝1－i ＝a ＋b i ，得a ＝1，b ＝－1，∴a 2 019＋b 2 020＝12 019＋(－1)2 020＝2.故选C ．6．(2024年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ．7．(2024年汉中月考)z ＝5i1－2i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i【答案】C 【解析】∵z ＝5i1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i (1＋2i )5＝－2＋i ，∴z ＝－2－i.故选C ．8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0151＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，i 5＋i 6＋i 7＋i 8＝0，…，i 2009＋i 2010＋i 2011＋i 2012＝0，i 2013＋i 2014＋i 2015＝i －1－i ＝－1，所以z ＝－11＋i ＝－12＋12i ，所以对应点⎝⎛⎭⎫－12，12在其次象限．故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1【答案】BD 【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴A ：|z |＝2，B ：z 2＝2i ，C ：z 的共轭复数为－1＋i ，D ：z 的虚部为－1.故选BD ．10．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的为( ) A ．|z |＝ 2 B ．z ＝1－i C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD 【解析】复数z ＝1＋i ，则|z |＝2，故A 正确；z ＝1－i ，故B 正确；z 的虚部为1，故C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选ABD ．11．已知z 1与z 2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )A ．z 21＜|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R【答案】BC 【解析】z 1与z 2互为共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21＝a2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B 正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不肯定是实数，因此D 不肯定正确．故选BC ．12．设z 1，z 2是复数，则下列命题中是真命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【答案】ABC 【解析】对A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z 1＝z 2为真；对B ，若z 1＝z 2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z 1＝z 2为真；对C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z 1＝a 21＋b 21，z 2·z 2＝a 22＋b 22，所以z 1·z 1＝z 2·z 2为真；对D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21＝z 22为假．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝3＋2i 2－3i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z ＝________.【答案】－i 【解析】(方法一)z ＝3＋2i 2－3i ＝i (2－3i )2－3i ＝i ，所以z 的共轭复数为－i.(方法二)z ＝3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i13＝i ，所以z 的共轭复数为－i.14．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.【答案】12 【解析】m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i 2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.15．已知复数z 1，z 2满意|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的取值范围是________．【答案】[4,6] 【解析】(方法一)设z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，则易得z 1，z 2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1和5为半径的圆，易得|z 1－z 2|的最小值为4，最大值为6，故|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．(方法二)因为||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，所以|1－5|≤|z 1－z 2|≤|1＋5|，即4≤|z 1－z 2|≤6，则|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．16．复数z ＝21＋i(i 是虚数单位)，其共轭复数z ＝________.【答案】1＋i 【解析】∵z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z ＝1＋i. 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.依据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z＝－1＋3i.18．已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值．解：∵复数z 的模为1，∴z 在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1,2)的距离，如图．∴|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1，|z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 19．(2024年重庆月考)实数m 取什么数值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋1＋(m 2－1)i 分别是下列数？(1)实数； (2)纯虚数．解：(1)由m 2－1＝0且m ＋1≠0，得m ＝1，∴当m ＝1时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋1＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．20．(2024年重庆月考)已知复数z 满意(z －2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)． (1)求复数z ；(2)求|(3＋i)·z |.解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ，得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2.21．(2024年聊城高二期末)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1＋3i ，2i,2＋i ，z ，(1)求复数z ；(2)z 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．解：(1)复平面内A ，B ，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D 的坐标(x ，y )，由于AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2，－1)．∴x －1＝2，y －3＝－1，解得x ＝3，y ＝2，故D (3，2)，则点D 对应的复数z ＝3＋2i.(2)∵3＋2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，∴3－2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的另一个根，则3＋2i ＋3－2i ＝p 2，(3＋2i)(3－2i)＝q2，即p ＝12，q ＝26.22．已知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＝0(p ∈R )的两个根是x 1，x 2. (1)若x 1为虚数且|x 1|＝5，求实数p 的值； (2)若|x 1－x 2|＝2，求实数p 的值．解：(1)由题意知Δ<0，∴16－4p <0，解得p >4. 又x 1x 2＝p ，x 1x 2＝x 1x 1＝|x 1|2＝25，∴p ＝25.(2)x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝p .若方程的判别式Δ≥0，即p ≤4时，方程有两个实数根x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4p ＝4，解得p ＝3；若方程的判别式Δ<0，即p >4时，方程有一对共轭虚根x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝|4p －16|＝4p －16＝2，解得p ＝5.故实数p 的值为3或5.。

第七章 7.1 7.1.2A级——基础过关练1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C　【解析】z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．2．已知0<a<2，复数z＝a－i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是( )A．(1，)　B．(1，)C．(1，3)　D．(1，5)【答案】B　【解析】|z|2＝a2＋1，∵0<a<2，0<a2<4⇒1<a2＋1<5，∴1<|z|<.故选B．3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )A．z1＞z2B．z1＜z2C．|z1|＞|z2|D．|z1|＜|z2|【答案】D　【解析】z1，z2不能比较大小，排除选项A，B，又|z1|＝，|z2|＝，故|z1|＜|z2|.4．复平面内，向量OA表示的复数为1＋i，将OA向右平移一个单位后得到向量O′A ′，则向量O′A′与点A′对应的复数分别为( )A．1＋i，1＋i B．2＋i，2＋iC．1＋i，2＋i　D．2＋i，1＋i【答案】C　【解析】向量OA向右平移一个单位后起点O′(1，0)，∵OA′＝OO′＋O′A′＝OO′＋OA＝(1，0)＋(1，1)＝(2，1)，∴点A′对应复数2＋i.又O′A′＝OA，∴O′A′对应复数为1＋i.故选C．5．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则AB的模|AB|等于( )A．B．2C．4D．【答案】D　【解析】由于OABC是平行四边形，故AB＝OC，因此|AB|＝|OC|＝|3－2i|＝.6．(2021年成都模拟)(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是( )A．|z|＝B．复数z在复平面内对应的点在第四象限C．z的共轭复数为－1＋2iD．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上【答案】AC　【解析】|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B错误；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D错误．故选AC．7．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2的共轭复数为________．【答案】－2－3i　【解析】∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2，3)．∴z2＝－2＋3i.z2的共轭复数为－2－3i.8．已知复数z＝1－2m i(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．【答案】　【解析】|z|＝≤2，解得－≤m≤.9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i满足下列条件？(1)对应点在x轴上方；(2)对应点在直线y＝－x－5上．解：(1)由m2－2m－15>0，得当m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方．(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得当m＝或m＝时，z的对应点在直线y＝－x－5＝0上．10．已知O为坐标原点，OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若OZ1与OZ2共线，求a的值．解：因为OZ1对应的复数为－3＋4i，OZ2对应的复数为2a＋i，所以OZ1＝(－3，4)，OZ2＝(2a，1)．因为OZ1与OZ2共线，所以－3×1－4×2a＝0，解得a＝－，即a的值为－.B级——能力提升练11．(2021年太原月考)如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )A．－＋i B．－iC．－－i D．＋i【答案】D　【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.12．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( )A．5　B．2　C．7　D．3【答案】D　【解析】|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为－2＝3.13．(多选)下列命题中，正确的是( )A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|【答案】ABC　【解析】A任意复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝≥0总成立，故A正确；B由复数相等的条件z＝0⇔⇔|z|＝0，故B正确；C设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，所以|z1|＝|z2|，故C正确；D虚部不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错．14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B　【解析】因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0.又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B．15．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的值是________．【答案】5　【解析】由复数的几何意义可知，OC＝xOA＋yOB，即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i.由复数相等可得，解得∴x＋y＝5.16．(2021年武汉模拟)已知复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i(i为虚数单位)，若复数z是实数，则实数m＝________；若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则实数m的取值范围为________．【答案】3　(－5，－1－)　【解析】若复数z是实数，则解得m＝3.若复数z对应的点位于复平面的第二象限，则即即解得－5＜m＜－1－.17．已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.解：根据题意可画图形如图所示，设点Z的坐标为(a，b)，∵|OZ|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝±，即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)．∴z＝－1＋i或z＝－1－i.C级——探索创新练18．已知t为实数，复数z＝(t2＋t－2)＋(t2＋3t＋2)i.(1)当t为何值时，复数z为纯虚数？(2)当t＝0时，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最值时的m和n值．解：(1)复数z为纯虚数，∴解得t＝1.(2)当t＝0时，点Z(－2，2)，复数z在复平面内对应的点Z落在直线y＝－mx＋n 上，∴2m＋n＝2，∵mn＞0，∴＋＝＋m＋＝＋＋≥＋，当且仅当n2＝2m2等号成立．又2m＋n＝2，∴m＝2－，n＝2－2.。

人教版高中数学必修二《第七章 复数》课后作业《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-i2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y =D ．2x =，0y =3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x +yi =1+i 的充要条件是x =y =1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a +i >b +i ； ③若x 2+y 2=0，则x =y =0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．以复数3i 3-的实部为虚部的复数是________. 7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______. 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》课后作业答案解析基础巩固1．复数2i -的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-i【答案】C【解析】复数2i -的虚部为－1，故选C ．2．适合2()x i x y i -=+的实数x ，y 的值为（ ） A ．0x =，2y = B ．0x =，2y =- C ．2x =，2y = D ．2x =，0y =【答案】B【解析】由题意得：02x x y =⎧⎨+=-⎩，解得：02x y =⎧⎨=-⎩故选：B3．设i 是虚数单位，如果复数()()17a a i ++-+的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】由题意得17,3a a a +=-=，选B.4．若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．1或1-【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=±本题选择D 选项.5．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0.6．以复数32i 32i -的实部为虚部的复数是________. 【答案】33i -. 【解析】32i -的虚部为3，32i -的实部为3- ∴所求复数为33i -故答案为：33i -7．若x 是实数，y 是纯虚数，且()212i x y -+=，则x ，y 的值为______.【答案】12x =，2i y = 【解析】由()212i x y -+=，得210,2i ,x y -=⎧⎨=⎩解得12x =，2i y =.故答案为：12x =，2i y =． 8．（1）已知21(2)0x y y i -++-=，其中i 为虚数单位，求实数x ，y 的值； （2）已知()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，其中i 为虚数单位，求实数x 、y 的值.【答案】（1）122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）42x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】（1）()2120x y y i -++-= 21020x y y -+=⎧∴⎨-=⎩，解得：122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）由()()()()12321x y y i x y y i ++-=+++得：23121x y x y y y +=+⎧⎨-=+⎩，解得：42x y =⎧⎨=-⎩能力提升9．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】B【解析】若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.10．若不等式()2222i 9i m m m m m---<+成立，则实数m 的值为______. 【答案】2【解析】依题意可得2220209m m m m m ⎧-=⎪-⎪=⎨⎪<⎪⎩，即0? 22033m m m m =⎧⎪=≠⎨⎪-<<⎩或且，解得2m =.故答案为:2. 11．已知复数()()2123i z m m m m =-++-，当实数m 取什么值时，（1）复数z 是零； （2）复数z 是实数； （3）复数z 是纯虚数.【答案】（1）1m =（2）1m =或3m =-（3）0m = 【解析】（1）若复数z 是零，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解得1m =，即当1m =时，复数z 是零.（2）若复数z 是实数，则2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 即当1m =或3m =-时，复数z 是实数. （3）若复数z 是纯虚数，则()210230m m m m ⎧-=⎨+-≠⎩，解得0m =，即当0m =时，复数z 是纯虚数.素养达成12．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？【答案】①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【解析】()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =.②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠.③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.《7.1.2 复数的几何意义》课后作业基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ） A ．1BCD ．54．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．310．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．《7.1.2 复数的几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．在复平面内，复数－2＋3i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】复数－2＋3i 在复平面内对应的点为(－2,3)，故复数－2＋3i 对应的点位于第二象限．2．设O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( )A ．－5＋5iB ．－5－5iC ．5＋5iD ．5－5i【答案】D【解析】 由复数的几何意义，得OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2)，BA →＝OA →－OB →＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．所以BA →对应的复数是5－5i.3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（ ）A ．1BCD ．5【答案】D【解析】由题意，34z i =-，∴z 对应的向量OA 的坐标为()3,4-5=.故选:D .4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【答案】C【解析】 复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.5．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3) D ．(1,5)【答案】B【解析】 |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)． 6．已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a ＝________. 【答案】±2【解析】依题意，a 2＋1＝4＋1，∴a ＝±2.7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．【答案】5【解析】由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.8．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．【答案】m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.【解析】由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.能力提升9．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．3【答案】D【解析】 ∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D.10．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 【答案】12【解析】由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.11．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 【答案】(1)|z 1|＞|z 2|. (2)见解析 【解析】(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．素养达成12．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ →. (1)若OZ →的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ →|； (2)若OZ →的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．【答案】(1)m ＝4，|OZ →|＝1. (2)m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.【解析】(1)log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1. 所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ →＝(0,1)，|OZ →|＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)<0，log 2(m －2)>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i +B ．i -C ．1D ．1- i2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+；（2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．CD ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.《7.2.1 复数的加、减法运算及其几何意义》课后作业答案解析基础巩固1．计算(3)(2)i i +-+的结果为（ ） A ．52i + B ．i -C ．1D ．1- i【答案】C【解析】由题得()()32i i +-+=3+i-2-i=1.故选C 2．若5634z i i +-=+，则复数z 的值为（ ） A ．210i -+ B ．15i -+C ．410i -+D ．110i -+【答案】A【解析】∵5634z i i +-=+，∴()3456210z i i i =+--=-+，故选：A 3．34i z =-，则复数()1i z z -+-在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】34i z =-，5z ∴=，∴()1i 34i 51i 15i z z -+-=--+-=--，∴复数()1i z z -+-在复平面内对应的点为()1,5--，在第三象限.故选：C.4．在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD 对应的复数是 ( )A ．2+4iB ．-2+4iC ．-4+2iD ．4-2i【答案】D【解析】 由题意可得，在平行四边形中CD BA OA OB ==-， 则(3)(13)42i i i +--+=-，所以CD 对应的复数为42i -，故选D ．5．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足1z y xi =+，2z yi x =-，且122z z -=，则xy 的值是（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-【答案】A【解析】12()()i 2z z y x x y -=++-=，即2,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩1x y ∴==，1xy ∴=.故选：A6．复平面内122,3z i z i =+=-两个复数122,3z i z i =+=-对应的两点之间的距离为_______．【解析】21|12|d z z i =-=-==7．复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA 的复数为_________. 【答案】9i + 【解析】BA OA OB =-，所以，表示向量BA 的复数为()()65349i i i +--+=+.故答案为：9i +.8．已知i 为虚数单位，计算： （1）(12)(34)(56)i i i ++--+； （2）5[(34)(13)]i i i -+--+； （3）()(23)3(,)a bi a bi i a b R +---∈.【答案】（1）18i --；（2）44i -+；（3）(43)a b i -+-【解析】（1）(12)(34)(56)(42i)(56)18i i i i i ++--+=--+=--. （2）5[(34)(13)]5(4)44i i i i i i -+--+=-+=-+.（3）()(23)3(2)[(3)3](43)a bi a bi i a a b b i a b i +---=-+---=-+-能力提升9．设f(z)=|z|,z 1=3+4i,z 2=-2-i,则f(z 1-z 2)= ( )A B ．C D ．【答案】D【解析】 由题意得1255z z i -=+，所以12()(55)55f z z f i i -=+=+==故选D ．10．已知复数12z ai =+，()2z a i a R =+∈，且复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．【答案】(2,)+∞【解析】由题得12z z -=（2-a ）+(a-1)i ,因为复数12z z -在复平面内对应的点位于第二象限，所以20,210a a a -<⎧∴>⎨->⎩.故答案为(2,)+∞ 11．如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) ,AO BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)B 点对应的复数．【答案】(1) －3－2i (2) 5－2i (3) 1＋6i【解析】(1) AO OA =-，所以AO 所表示的复数为－3－2i . 因为BC AO =，所以BC 所表示的复数为－3－2i .(2) CA OA OC =-，所以CA 所表示的复数为(3＋2i )－(－2＋4i )＝5－2i . (3) OB OA OC =+，所以OB 所表示的复数为(3＋2i )＋(－2＋4i )＝1＋6i ， 即B 点对应的复数为1＋6i .素养达成12．已知平行四边形OABC 的三个顶点O A C ，，对应的复数为032i -24i ++，，. （1）求点B 所对应的复数0z ；（2）若01z z -=，求复数z 所对应的点的轨迹.【答案】（1）016z i =+；（2）复数z 对应点的轨迹为以1,6B （）为圆心，1为半径的圆【解析】（1）由已知得(3,2),(2,4)OA OC ==-， ∴(1,6)OB OA OC =+=， ∴点B 对应的复数016z i =+． （2）设复数z 所对应的点Z ， ∵01z z -=，∴点Z 到点()1,6B 的距离为1，∴复数z 所对应的点Z 的轨迹为以()1,6B 为圆心，1为半径的圆， 且其方程为()()22161x y -+-=.《7.2.2 复数的乘除运算》课后作业基础巩固1．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ）AB C ．3D ．52．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．2C D ．23．若复数12az i i=+-（i 为虚数单位，a R ∈）的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．53-B ．13- C ．1- D ．5-4．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =（ ） A ．4-B ．3-C ．3D ．46．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 7．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为______. 8．计算：（1）(4)(62)(7)(43)i i i i -+--+； （2）32322323i ii i+-+-+； （3）(2)(1)(1)(1)i i i i i--+-+.能力提升9．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-10．在复平面内，复数z 与52i-对应的点关于实轴对称，则z =______.11．在复数范围内解下列一元二次方程： （1）290x +=；（2）210x x -+=.素养达成12．古代以六十年为一个甲子用十天干和十二地支相配六十年轮一遍，周而复始。

7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。

高中数学必修二第七章复数知识点总结归纳完整版单选题1、已知复数z =2−3i ，若z̅⋅(a +i )是纯虚数，则实数a =（ ）A ．−23B ．23C ．−32D ．32答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案.解：z̅⋅(a +i )=(2+3i )(a +i )=2a −3+(3a +2)i 是纯虚数，则{2a −3=03a +2≠0 ，解得a =32. 故选：D.2、若关于x 的实系数一元二次方程的两个根分别是x 1=1+√3i 和x 2=1−√3i ，则这个一元二次方程可以是（ ）.A ．x 2−2x +2=0B ．x 2−2x +4=0C ．3x 2−2x +1D ．x 2+2x +4=0答案：B分析：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，根据韦达定理分别将b,c 用a 表示，即可得出答案.解：设方程为ax 2+bx +c =0(a ≠0)，则x 1+x 2=−b a =2，所以b =−2a ，x 1x 2=c a =4，所以c =4a ，则方程为a (x 2−2x +4)=0(a ≠0)，故只有B 选项符合题意.故选：B.3、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.4、如果复数z 满足|z +1−i |=2，那么|z −2+i |的最大值是（ ）A ．√13+2B ．2+√3C ．√13+√2D ．√13+4答案：A分析：复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离，求出|CM|即可得出．复数z 满足|z +1−i|=2，表示以C(−1,1)为圆心，2为半径的圆．|z −2+i|表示圆上的点与点M(2,−1)的距离．∵|CM|=√32+22=√13．∴|z −2+i|的最大值是√13+2．故选：A ．小提示：本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程|z +1−i|=2表示的圆的半径为2，而不是√2．5、若复数z 满足(1+i )z =|1+i |，则z 的虚部为（ ）A ．−√2iB ．−√2C ．−√22i D ．−√22 答案：D分析：先利用复数的模长和除法运算化简得到z =√22−√22i ，再根据虚部的定义，即得解 由(1+i )z =|1+i |=√2，得z =√21+i =√2(1−i )(1+i )(1−i )=√22−√22i ， ∴z 的虚部为−√22. 故选：D6、复数i 2+i 3+i 2022=（ ）A ．iB ．−2−iC ．−2+iD ．−1答案：B分析：由复数的乘方化简计算．i 2+i 3+i 2022=(−1)+(−i)+(−1)=−2−i ．故选：B ．7、(2+2i )(1−2i )=（ ）A ．−2+4iB ．−2−4iC ．6+2iD ．6−2i答案：D分析：利用复数的乘法可求(2+2i )(1−2i ).(2+2i )(1−2i )=2+4−4i +2i =6−2i ，故选：D.8、已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2,1)，(1,b )，若z 1z 2是纯虚数，则b =（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．－2答案：A分析：根据复数的几何意义，可得z 1=2+i,z 2=1+bi ，根据复数的运算法则，即可得答案.由题意得：z 1=2+i,z 2=1+bi ，所以z 1z 2=(2+i)(1+bi)=2+2bi +i +bi 2=2−b +(2b +1)i ，又z 1z 2是纯虚数，所以{2−b =02b +1≠0， 解得b =2，故选：A.小提示：本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.多选题9、若复数z 1=2+3i ，z 2=−1+i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）A ．z1z 2∈R B ．z 1⋅z 2=z 1⋅z 2C ．若z 1+m (m ∈R )是纯虚数，那么m =−2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA⃑⃑⃑⃑⃑ ，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ （O 为坐标原点），则|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5 答案：BC分析：利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.对于A ，z 1z 2=2+3i −1+i =(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )=1−5i 2=12−52i ，A 错误； 对于B ，∵z 1⋅z 2=(2+3i )(−1+i )=−5−i ，∴z 1⋅z 2=−5+i ；又z 1⋅z 2=(2−3i )(−1−i )=−5+i ，∴z 1⋅z 2=z 1⋅z 2，B 正确；对于C ，∵z 1+m =2+m +3i 为纯虚数，∴m +2=0，解得：m =−2，C 正确；对于D ，由题意得：OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,−3)，OB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，∴AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,2)， ∴|AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=√9+4=√13，D 错误. 故选：BC10、已知复数z =(1+2i )(2−i )，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为3iB ．|z |=5C ．z −4为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限答案：BCD解析：先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可.因为z =(1+2i )(2−i )=4+3i ，则z 的虚部为3，|z̅|=|z |=√16+9=5，z −4=3i 为纯虚数，z 对应的点(4,−3)在第四象限，故选：BCD ．11、已知复数z =4−3i ，下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的虚部是−3iB ．复数z 的模为5C．复数z的共轭复数是−4−3i D．在复平面内复数z对应的点在第四象限答案：BD分析：根据复数的相关定义、模的运算与几何意义即可求得答案.复数的虚部为-3，A错误；复数的模为√42+(−3)2=5，B正确；复数的共轭复数为4+3i，C错误；复数对应的点的坐标为(4,−3)，在第四象限，D正确.故选：BD.填空题12、设z=1−i1+i+3i，则|z|=___________________ ．答案：2分析：根据复数的除法运算法则化简复数z，再代入模长公式计算.z=1−i1+i +3i=1−2i+i21−i2+3i=−i+3i=2i，所以|z|=2所以答案是：213、若复数z满足z+|z|=2，则z=__________．答案：1分析：设z=a+b i(a,b∈R)，根据题意，结合求模公式、复数相等的条件等知识，列出方程组，即可得答案. 设z=a+b i(a,b∈R)，所以z+|z|=a+b i+√a2+b2=2，所以{a+√a2+b2=2b=0，解得{a=1b=0，所以z=1．所以答案是：114、在△ABC中，若面积S=b2+c2−a24，则∠A=______．答案：π4##45∘分析：结合三角形面积公式与余弦定理得sinA =cosA ，进而得答案.解：由三角形的面积公式得S =12bcsinA ，S =b 2+c 2−a 24 所以b 2+c 2−a 24=12bcsinA ， 因为b 2+c 2−a 2=2bccosA ，所以2bccosA 4=12bcsinA ，即sinA =cosA ，因为A ∈(0,π)，所以A =π4所以答案是：π4 解答题15、设复数z =3cosθ+2i sinθ，求函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值以及对应的θ值． 答案：当θ=arctan √62时，y 取得最大值arctan √612分析：根据辐角的主值定义，结合两角差的正切公式、基本不等式进行求解即可. 由z =3cosθ+2i sinθ，可得tan(argz)=2sinθ3cosθ=23tanθ，tany =tan(θ−argz)=tanθ−tan(argz)1+tanθ⋅tan(argz)=tanθ−23tanθ1+23tan 2θ=tanθ3+2tan 2θ=13tanθ+2tanθ,因为0<θ<π2，所以tanθ>0，于是3tanθ+2tanθ≥2√3tanθ⋅2tanθ=2√6， 当且仅当3tanθ=2tanθ时取等号，则当tanθ=√62时取等号，即当θ=arctan √62时取等号，因此有tany ≤2√6=√612，因此函数y =θ−argz (0<θ<π2)的最大值为arctan √612，此时θ=arctan√62.。

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课后训练巩固提升1.若复数z 满足z+i-3=3-i,则z 等于( )A.0B.2iC.6D.6-2iz+i-3=3-i,∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D.2.在复平面内,O 是原点,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( ) A.-5+5iB.-5-5iC.5+5iD.5-5iBA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是(2-3i)-(-3+2i)=5-5i.3.已知复数z=(2m 2+3i)+(m-m 2i)+(-1+2mi)(m ∈R),若z 为纯虚数,则m 等于( )A.-1B.3 C .12 D.-1或32+m-1)+(3+2m-m 2)i.由题意得{2m 2+m -1=0,3+2m -m 2≠0,解得m=12.4.(多选题)在复平面内,O 是原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则( )A .AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为-5-iB .OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为-1+6iC .BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示的复数为4-4iD.|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4项中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)-(-2,1)=(5,1),故A 不正确;B 项中,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1)+(1,5)=(-1,6),故B 正确;C 项中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)-(-1,6)=(4,-4),故C 正确;D 项中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1)+(3,2)=(1,3),|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,故D 不正确.5.若|z-1|=|z+1|,则在复平面内,复数z 对应的点在 () A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限D.第二象限|z-1|=|z+1|,∴点Z 到(1,0)和(-1,0)的距离相等,即点Z 在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.6.已知x ∈R,y ∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,∴{x +4=y -1,x +y =3x -1,解得{x =6,y =11.117.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,在复平面内,若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则CD⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 .BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以BA⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是(3+i)-(-1+3i)=4-2i. 因为四边形ABCD 为平行四边形,所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA⃗⃗⃗⃗⃗ , 故CD⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是4-2i.8.设复数z 满足z+|z|=2+i,则z= .z=x+yi(x,y ∈R), 则|z|=√x 2+y 2.即x+yi+√x 2+y 2=2+i,得{x +√x 2+y 2=2,y =1, 解得{x =34,y =1.故z=34+i.9.在复平面内,A,B,C 三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数; (2)判断△ABC 的形状;(3)求△ABC 的面积.AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为2+i-1=1+i, BC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i, AC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为-1+2i-1=-2+2i. (2)∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√10,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8=2√2, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, ∴△ABC 为直角三角形.(3)S △ABC =12×√2×2√2=2.10.已知z0=2+2i,|z-z0|=√2.(1)求复数z在复平面内对应的点Z的集合是什么图形?(2)求|z|的最小值和最大值.由z0=2+2i,知Z0(2,2),由|z-z0|=√2,知复平面内点Z到点Z0的距离为√2,所以复数z对应的点Z的集合是以Z0(2,2)为圆心,√2为半径的圆,如图所示.(2)当z对应的点Z在OZ0的连线上时,|z|有最大值或最小值.因为|OZ0|=2√2,半径r=√2,所以|z|min=√2,|z|max=3√2.。

课时作业18 复数的加、减运算及其几何意义知识点一 复数的加减运算1.已知复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i(i 为虚数单位)．在复平面内，z 1－z 2对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，∴z 1－z 2＝－2＋2i ，故z 1－z 2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．2．设z 1＝1－i ，z 2＝a ＋2a i(a ∈R )，其中i 是虚数单位，若复数z 1＋z 2是纯虚数，则有( ) A ．a ＝1 B ．a ＝12C ．a ＝0D ．a ＝－1答案 D解析 ∵复数z 1＋z 2＝1－i ＋a ＋2a i ＝1＋a ＋(2a －1)i 是纯虚数，∴a ＋1＝0,2a －1≠0，∴a ＝－1.知识点二 复数加减运算的几何意义3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5 B.13 C.15 D.17答案 B解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ， ∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴BD 的长为13.4．已知复数z 1对应的向量的终点在第二象限，复数z 2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z 1＋z 2对应的向量的终点在( )A ．第一象限B ．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝5的点的集合是( )A．正方形B．直线C．线段D．圆答案 C解析|z－2i|＋|z＋1|＝5表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数5，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．答案2 2解析由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2 2.知识点三复数加减运算几何意义的应用7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z －z3|，则z对应的点是△ABC的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心答案 A解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( ) A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案 A解析|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋3i＋z|的取值范围是( )A．[1,3] B．[1,4]C．[0,3] D．[0,4]答案 D解析 复数z 对应的点Z (a ，b )的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋3i ＋z |表示点Z (a ，b )到点M (－1，－3)的距离．因为(－1，－3)在|z |＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．10．设z ∈C ，在复平面内z 对应的点为Z ，那么满足|z －i|2－5|z －i|＋6<0的点Z 的集合是什么图形？解 ∵|z －i|2－5|z －i|＋6<0，∴(|z －i|－2)(|z －i|－3)<0，∴2<|z －i|<3.不等式|z －i|<3的解集是圆|z －i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z －i|>2的解集是圆|z －i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z －i|<3的点Z 的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．一、选择题1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i ＝( ) A ．－8i B ．13＋8i C ．8＋13i D ．13－12i答案 D解析 原式＝10－4i ＋3－3i －5i ＝13－12i.故选D.2．如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1－z 2＝( )A ．－1＋2iB ．－2－2iC ．1＋2iD ．1－2i答案 B解析 由题意，知z 1＝－2－i ，z 2＝i ，所以z 1－z 2＝－2－2i.故选B. 3．设f (z )＝z －2i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)是( ) A ．1－5i B ．－2＋9i C ．－2－i D ．5＋3i答案 D解析 ∵f (z )＝z －2i ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2－2i ＝(3＋4i)－(－2－i)－2i ＝(3＋2)＋(4＋1－2)i ＝5＋3i.4．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD |等于( )A ．5 B.13 C.15 D.17 答案 B解析 依据复数加法、减法的几何意义可得BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)，所以BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)，所以|BD |＝|BD →|＝22＋32＝13.5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i ＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.二、填空题6．设a 为非零实数，则(1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 是________；(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 是________． 答案 (1)纯虚数也可能是零 (2)实数解析 (1)满足|z ＋a |＝|z －a |的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在虚轴上，这样的复数z 可能是纯虚数也可能是零．(2)满足|z ＋a i|＝|z －a i|的复数z 在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a )与点(0，a )连线段的垂直平分线，即复数z 对应的点在实轴上，复数z 一定是实数．7．已知f (z ＋i)＝3z －2i(z ∈C )，则f (i)＝________. 答案 －2i解析 解法一：∵f (z ＋i)＝3z －2i ＝3z ＋3i －5i ＝3(z ＋i)－5i ，则f (x )＝3x －5i ， ∴f (i)＝3i －5i ＝－2i.解法二：令z ＝0可得f (i)＝－2i.8．设复数z 满足|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，则复数z 在复平面上对应点的集合是________．答案 直线解析 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ， 由|z －3＋4i|＝|z ＋3－4i|，得 (x －3)2＋(y ＋4)2＝(x ＋3)2＋(y －4)2， 化简可得3x －4y ＝0，所以复数z 在复平面上对应点的集合是一条直线． 三、解答题9．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，由|z ＋2－2i|＝1，得|z －(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.10．在平行四边形ABCD 中，已知AC →，DC →对应的复数分别为z 1＝3＋5i ，z 2＝－1＋2i.(1)求B C →对应的复数； (2)求B D →对应的复数；(3)求平行四边形ABCD 的面积．解 (1)由于AC →＝AB →＋BC →＝DC →＋BC →，所以BC →＝AC →－DC →. 故BC →对应的复数为z ＝z 1－z 2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于BD →＝AD →－AB →＝BC →－DC →，所以BD →对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i. (3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD 中， AB →＝DC →＝(－1,2)，AD →＝BC →＝(4,3)，所以cos ∠DAB ＝AB →·AD→|AB →||AD →|＝25×5＝2525. 因此sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝11525. 于是平行四边形ABCD 的面积S ＝|AB →||AD →|sin ∠DAB ＝5×5×11525＝11.。

第七章复数练习题1、数系的扩充和复数的概念 (1)2、复数的几何意义 (6)3、复数的加、减运算及其几何意义 (14)4、复数的乘、除运算 (22)1、数系的扩充和复数的概念基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(1+)i的实部与虚部分别是( )A.1,B.1+,0C.0,1+D.0,(1+)i【解析】选C.(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以实部a=0,虚部b=1+.2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=( )A.-2B.2C.±2D.4【解析】选B.由纯虚数的定义可知,解得a=2.3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=( )A.4B.2C.3D.1【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,y=-1,所以x+y=3-1=2.4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( )A.1B.1或-4C.-4D.0或-4【解析】选C.由复数相等的充要条件得解得:a=-4.5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为( )A.3-4iB.-3+4iC.-4+3iD.4-3i【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.是分数B.i是无理数C.-i2不是虚数D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.【解析】由条件知a2-3+2a=0,所以a=1或a=-3.答案:1或-38.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________.【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3(舍去).答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m<0或m>1且m≠-2.所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.提升练习一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.复数z=2-i的实部与虚部的差为( )A.-1B.1C.2D.3【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则( )A.C=R∪IB.R∪I={0}C.R=C∩ID.R∩I=∅【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=⌀.故选D.3.(多选题)下列命题中为真命题的是( )A.复数一定是虚数B.实数一定是复数C.复数的平方数一定是非负实数D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.由题意得1+xi=y+2i,所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.二、填空题(每小题5分,共20分)5.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=________.【解析】方程可化为解得x=2.答案:26.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.答案:3-i27.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.【解析】根据复数相等的充要条件,得所以b+ai=-2+i.答案:-2+i8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1<a<1.答案:(-1,1)三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+i=y-3i,求x与y.【解析】设y=bi(b∈R且b≠0),代入(3x-10)+i=y-3i,整理得(3x-10)+i=bi-3i, 由复数相等的充要条件得解得所以x=,y=4i.10.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足(1)z是实数;(2)z是纯虚数.【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.(2)由解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y 的值.【解析】由定义运算=ad-bc,得=3x+2y+yi,故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.因为x,y为实数,所以有得得x=-1,y=2.2、复数的几何意义基础练习一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则( )A.z=-1+iB.z=1+iC.z+i是实数D.z+i是纯虚数【解析】选 C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是( )A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】选 D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==,|z2|==,所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为( )A. B. C.2 D.【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,所以=(-3,2),=(1,-1),则+=(-2,1),所以|+|==.4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于( )A.2+IB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为( )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)= (-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是( )A.=a-biB.若=z,则b=0C.若|z|=0,则z=0D.若|z|≠0,则ab≠0【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi =a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C 正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.答案:1-i 28.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.答案:-3 -4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.(1)求实数x,y的值;(2)求.【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,。

高中数学必修二第七章复数基础知识手册单选题1、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（ ） A ．2B ．−2C ．3D ．−3 答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得. 由题可知a −2=1+2a ， 解得a =−3. 故选：D ． 2、复数z =|√3+i |的虚部是（ ）A ．−12B ．12C ．−12i D ．12i 答案：A分析：先根据模的定义计算，并化简得到z =12−12i ，再根据虚部的定义作出判定.∵z =|√3+i|=√(√3)+12=1−i 2=12−12i ，∴z 的虚部为−12， 故选：A. 3、复数2−i1+3i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：C分析：利用复数的除法可化简2−i1+3i ，从而可求对应的点的位置. ∵2−i1+3i=(2−i )(1−3i )10=−1−7i 10，所以该复数对应的点为(−110,−710)，在第三象限.故选：C.4、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A．2√3B．−2√3i C．√3−3i D．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i)[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i2+3i22=−2√3i．故选：B．5、若z(1−2i)=2+i，则复数z̅=（）A．-1B．−i C．1D．i答案：B分析：由复数的除法运算和共轭复数的概念，即可求出结果.由z(1−2i)=2+i，得z=2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−2+i+4i5=i，则z̅=−i.故选：B.6、复数1−cosθ−i sinθ(θ∈[0,2π))的三角形式是（）A．2sinθ2(cosθ+π2+i sinθ+π2)B．2sinθ2(cosπ−θ2+isinπ−θ2)C．2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)D．2cosθ2(cosπ−θ2+i sinπ−θ2)答案：C分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1−cosθ−i sinθ=2sin2θ2−2i sinθ2cosθ2=2sinθ2(sinθ2−i cosθ2)=2sinθ2(cosπ−θ2−i sinπ−θ2)=2sinθ2[cosπ−θ2+i sin(−π−θ2)]=2sinθ2(cosθ−π2+i sinθ−π2)，故选：C.7、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D8、设(1+i)x=1+y i，其中i为虚数单位，x,y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．√2C．√3D．2答案：B分析：先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x=1+y i，所以{x=1y=x，解得{x=1y=1，所以|x+y i|=√x2+y2=√2.故选：B.多选题9、已知z1与z2是共轭复数（虚部均不为0），以下4个命题一定正确的是（）A．z12<|z2|2B．z1z2=|z1z2|C．z1+z2∈R D．z1z2∈R答案：BC分析：z1与z2是共轭复数，设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0)，z2=a−bi．利用复数的运算性质及其有关概念即可得出合适的选项.因为z1与z2是共轭复数，设z1=a+bi(a,b∈R，b≠0)，则z2=a−bi，对于A选项，当ab≠0时，z12=a2−b2+2abi，|z2|2=a2+b2，z12和|z2|2不能比大小，A选项错误；对于B 选项，z 1z 2=(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=|z 1z 2|，B 选项正确； 对于C 选项，z 1+z 2=(a +bi )+(a −bi )=2a ∈R ，C 选项正确； 对于D 选项，若ab ≠0，z 1z 2=a+bi a−bi=(a+bi )2a 2+b 2=a 2−b 2+2abi a 2+b 2∉R ，D 选项错误.故选：BC ．10、在复平面中，已知复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020对应的点在第二象限，则实数a 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：CD分析：化简复数，再由复数所在象限列不等式组，即可求解.因为复数(a +1)i 2021+(1−a)i 2020=(1−a)+(a +1)i 在第二象限，所以{a +1>01−a <0⇒a >1故选：CD.11、一个复数集X 称为某种运算的“和谐集”是指X 满足性质:①X ⊆C ；②∀a ，b ∈X 对某种规定的运算a ⊕b ，都有a ⊕b ∈X .则下列数集X 是相应运算的“和谐集”的是（ ）A ．X ={x ∈c|x =i n ,∀n ∈Z}，其中i 是虚数单位，规定运算:a ⊕b =ab ，(∀a ，b ∈X )B ．X ={x ∈C|x ⋅x̅=1}，规定运算:a ⊕b =ab ,(∀a,b ∈X)C ．X ={x ∈C||x |≤1}，规定运算:a ⊕b =ab ，(∀a ，b ∈X )D ．X ={x ∈c||x̅|+|y ̅|≤|x −y |,y =1+i}，规定运算:a ⊕b =a +b ，(∀a ，b ∈X ) 答案：ABCD分析：利用虚数单位的幂的运算性质可以判定A;利用共轭复数的性质可以判定B,利用复数的模的性质可以判定C;利用复数的模的三角不等式可以得到集合X 中的元素满足的充分必要条件是x ∈X⇔存在实数k ≤0，使得x =k(1+i)，进而根据复数的加法运算公式可判定D.对于A,设a =i n 1,b =i n 2(n 1,n 2∈Z)则a ⊕b =ab=i n 1+n 2,∵n 1,n 2∈Z ，∴n 1+n 2∈Z ,所以i n 1+n 2∈X ,即a ⊕b ∈X ,故A 正确；对于B,∀a,b ∈X ,则a ·a −=1,b ·b −=1,故aa̅bb̅=1,即(ab )·(ab )−=1,∴ab ∈X , 即a ⊕b ∈X ,故B 正确；对于C,∀a,b ∈X ,则|a |<1,|b |<1,∴|a ·b |=|a ||b |<1，即a ·b ∈X , 即a ⊕b ∈X ,故C 正确；对于D,由于在复数范围内，|x̅|=|x |,|y ̅|=|y |,所以由|x|+|y |≤|x −y |⇔|x|+|y|≤|x −y |，有复数的模的不等式得到存在实数k ≤0，使得x =ky(k ≤0)，又y =1+i ，于是x ∈X⇔存在实数k ≤0，使得x =k(1+i)，∀a,b ∈X ，a =k (1+i ),b =k′(1+i)(k ≤0,k '≤0),所以a ⊕b =a +b =(k +k ′)(1+i),因为k ≤0,k '≤0，∴k +k ′≤0，所以即a ⊕b ∈X ,故D 正确； 故选：ABCD.小提示：本题考查复数的运算和模的性质，关键是认真审题，注意复数的模的性质的应用，常用的模的性质：|z 1z 2|=|z 1||z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|,|z̅|=|z |,||z 1|−|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|（左侧取等号的条件是存在存在实数k ≤0，使得z 1=kz 2(z 2≠0)，右侧取等号的条件是存在存在实数k ≥0，使得z 1=kz 2(z 2≠0)，共轭复数的性质有z 1z 2̅̅̅̅̅̅=z 1̅z 2̅,λz 1+μz 2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=λz 1̅+μz 2̅(λ,μ∈R),这些公式不难证明，在考试中往往十分有用. 填空题 12、已知(−1+√3i )3(1+i )6=a +b i (a,b ∈R )，则a +b =____________．答案：1分析：利用复数四则运算法则，计算(−1+√3i )3(1+i )6=i ，然后利用复数相等，得a =0,b =1，得答案.(−1+√3i )3(1+i )6=[2(−12+√32i )]3[(1+i )2]3=88i 3=1−i =i ，所以a =0,b =1，从而a +b =1．所以答案是：1. 13、已知复数z =(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i，若μ=z +m i (m ∈R)，则当|μz |≤√2时，实数m 的取值范围是______________． 答案：[−√3+1,√3+1]分析：先对已知式子化简计算出复数z ，从而可得|z |，复数μ，代入|μz |≤√2中化简可得1+(m −1)2≤4，从而可求出实数m 的取值范围. z =(−1+3i )(1−i )−(1+3i )i=(2+4i )−(1+3i )i=1+i i=1−i ，所以|z|=√2，μ=1+(m −1)i ．由|μz|≤√2得|μ|≤2，所以1+(m−1)2≤4，即(m−1)2≤3，解得−√3+1≤m≤√3+1．所以答案是：[−√3+1,√3+1]14、在△ABC中，若面积S=b2+c2−a24，则∠A=______．答案：π4##45∘分析：结合三角形面积公式与余弦定理得sinA=cosA，进而得答案.解：由三角形的面积公式得S=12bcsinA，S=b2+c2−a24所以b2+c2−a24=12bcsinA，因为b2+c2−a2=2bccosA，所以2bccosA4=12bcsinA，即sinA=cosA，因为A∈(0,π)，所以A=π4所以答案是：π4解答题15、已知复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i，当m取何实数值时，复数z是：（1）纯虚数；（2）z=2+5i.答案：（1）m=0；（2）m=2.解析：（1）利用m(m−1)=0,(m2+2m−3)≠0，即可求解.（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等m(m−1)=2,(m2+2m−3)=5即可求解.（1）若复数是纯虚数，则{m(m−1)=0m2+2m−3≠0，解得{m=0或m=1m≠−3且m≠1，所以m=0（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得{m(m−1)=2m2+2m−3=5，m=2或m=−1 m=2或m=−4，即m=2解得{。