第七章 振动学基础
一、填空
1．简谐振动的运动学方程是 。简谐振动系统的机械能是 。
2．简谐振动的角频率由 决定，而振幅和初相位由 决定。 3.达到稳定时，受迫振动的频率等于 ，发生共振的条件 。
4．质量为10-2㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3
x t π
π=-+
的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，则振动周期为 初相位 速度最大值 。
5．物体的简谐运动的方程为s ()x A in t ωα=-+，则其周期为 ，初相位 6．一质点同时参与同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
10.1cos()4x t πω=+，20.1cos()4x t π
ω=-，其合振动的振幅为 ，初相位
为 。
7．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
)4
cos(06.01π
ω+
=t x ，250.05cos()4
x t π
ω=+
，其合振动的振幅为 ，初相位为 。
8．相互垂直的同频率简谐振动，当两分振动相位差为0或π时，质点的轨迹是 当相位差为2
π或32π时，质点轨迹是 。
二、简答
1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动0.02cos(10)6
x t π
=+,(各量均采用国际单位).
三、计算题
7.1 质量为10×10-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos （8πt+2π/3）的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，试求： （1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值； （2）最大恢复力，振动能量；
（3）t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻的相位是多少？
（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻矢量的位置。
7.2 一个沿着X 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为： （1）X 0=-A ；
（2）过平衡位置向正向运动； （3）过X=A/2处向负向运动； （4）过X=
2
A 处向正向运动。
试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。
7.3 做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m ·s -1，振幅为0.02m ，若令速度具有正最大值的时刻为t=0，试求： （1）振动周期； （2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。
7.4 有一系统做简谐振动，周期为T ，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能和势能相等？
7.5 一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m ，如果把砝码向下拉0.02m 释放，求其振动频率，振幅和能量。
7.6 如图所示，两轻弹簧与物体m 串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。试证，在这种情况下，振动频率为
m
K K f 2
121+=
π
，式中k 1，k 2为两弹簧的劲度 系数，m 为物体的质量。
7.7已知两个同方向简谐振动：
X 1=0.05cos （10t+3/5π），X 2=0.06cos （10t+1/5π）， 式中x 以m 计，t 以s 计。 求合振动的振动和初相位；
另有一同方向简谐振动x 3=0.07cos （10t+α），问α为何值时，x 1+x 3的振幅最小？
α为何值时，x 2+x 3的振幅最小？ 用旋转矢量法表示（1）和（2）的结果。
第七章 振动学基础答案
一、填空
1．()αω+=t A x cos ，2222
1
21A m kA E ω或=
2．系统自身的性质，初始条件 3．强迫力的频率，强迫力的频率等于系统的固有频率 4．20.25,,0.8(/)3
s m s π
π-
5．
2,2
π
π
αω
+
6．0.14，0 7．0.01，
4
π
8．直线，正椭圆 二、简答
1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
弹簧为轻弹簧，其质量可忽略。物体可视为质点，所受阻力忽略不计。 2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
振动系统在线性回复力作用下，在平衡位置附近做的周期性的振动，称为简谐振动。
系统在阻力作用下作振幅不断减小的振动叫阻尼振动。系统在周期性外力作用下所做的振动叫受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动0.02cos(10)6
x t π
=+,(各量均采用国际单位).
三、计算
7.1 质量为10×10-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按
X=0.1cos （8πt+2π/3）的规律做运动，式中t 以s 为单位，x 以m 为单位，试求：
(1)振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值； (2)最大恢复力，振动能量；
(3)T=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻的相位是多少？
(4)画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s ，2s ，5s ，10s 等时刻矢量的位置。
解：（1）将小球的振动方向与简谐振动的方程比较： X=Acos （ωt+α） x=0.1cos （8πt+3
2π
） 圆周率：8ωπ=；
周期：T=
ωπ
2=
4
1
s ； 初相位： α=3
2π
速度： v=dt
dx
=-A ωsin （ωt+α）=-0.1×8πsin （8πt+32π）
V max =0.1×8π=2.5m/s 加速度： a=
dt dv =-ω2Acos （ωt+α）= —（8π）2×0.1cos （8πt+3
2
π） a max =0.1（8π）2=6.4π2=63.1m/s 2 （2）最大恢复力：
F=m a max =10×10-3×63.1N=0.631N
振动能量： E=E K + E P =
2
1KA 2
=0.032 J (3)t=1s 832π ϕ=ωt+α=8π×1+32π=832
π
t=2s 时1632π ϕ=8π×2+32π=1632
π
t=3s 时4032π ϕ=8π×5+32π=4032
π
t=3s 时8032π ϕ=8×10+32π=803
2
π
(4)当t=1s 时 ϕ=83
2
π，矢量的位置和t=0时重合。
当t=2s 时 ϕ=163
2
π，矢量的位置和t=0时重
合。
当t=5s 时 ϕ=403
2π，矢量的位置和t=0时重合。
当t=10s 时 ϕ=80
32π，矢量的位置和t=0时重合。
