拉普拉斯求行列式举例

行列式的Laplace展开定理行列式的Laplace 展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。

a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。

上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。

我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。

定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。

称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即a 11a 21ML La 1, j −1a 2, j −1Ma 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1M a n , j +1L La 1n a 2n MM ij =a i −1, 1L a i −1, j −1a i +1, 1L a i +1, j −1M Ma n 1La n , j −1L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ijL a i +1, nM La n , n二、行列式的Laplace 展开定理为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。

定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。

在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。

本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。

行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。

二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。

在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。

具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。

对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。

三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。

行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 310120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式. 定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。

计算行列式的过程中，可以使用几种不同的方法。

一种常见的计算行列式的方法是拉普拉斯展开法。

该方法通过选择一个行或列，将原始矩阵划分为较小的子矩阵，并依次计算这些子矩阵的行列式，然后将它们乘以适当的符号和系数进行求和。

该方法可以分为横向展开和纵向展开两种方式。

对于一个3阶矩阵，横向展开可以选择第一行进行展开，计算公式为：detA = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13)其中det(A11)、det(A12)和det(A13)分别表示A11、A12和A13的行列式，也是较小子矩阵的行列式。

另一种常见的计算行列式的方法是行变换。

行变换可以通过对矩阵进行一系列的操作来简化计算。

常见的行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行的倍数加到另一行上。

通过行变换可以将矩阵转换为上三角矩阵，从而简化计算行列式的过程。

对于一个n阶矩阵，行变换的过程可以表示为：其中s表示进行了多少次行交换。

还可以使用行列式的性质和定义来计算行列式。

行列式的定义是一个递归的过程，对于一个2阶矩阵，它的行列式公式为：对于一个n阶矩阵，可以使用行列式的性质，如行列式的相加性和相差性、行列式的倍数以及行列式的性质和定义来计算行列式。

这种方法适用于较小的矩阵，对于较大的矩阵可能计算量较大。

还存在其他一些特殊的方法来计算特定类型的矩阵的行列式，如对称矩阵的特征值法、三对角矩阵的递推法等，这些方法在特定情况下可以更加高效地计算行列式。

计算行列式的方法有拉普拉斯展开法、行变换、行列式的性质和定义，以及特定类型矩阵的特殊方法，根据实际需求选择合适的计算方法可以更加高效地计算行列式。

关于行列式的拉普拉斯定理又称为子式的代数余子式定理，其内容是：设在n(n≥2)阶行列式D中任取定k(1≤k<n)行(列),且用这k行(列)作出的所有k阶子式为N1,N2,…, Nt,相应的代数余子式依次为A1,A2,…,At,则D=N1A1+N2A2+…+NtAt.其中t=C(n,k)=n!/[k!(n-k)!].拉普拉斯定理可以用来求行列式的值。

从定理的内容来看，第一步，也是最重要的一步就是要找到最合适的行列，其这些行或列的所有子式。

这些子式中，当然0越多越好了。

这样就可以大大的减少运算量。

然后分别取定那些非0的子列的代数余子式。

因为从定理的内容来看，等于0的子列和它的代数余子式的积，一定等于0，因此并不需要考虑等于0的子列的代数余子式。

最后将各非0子列分别乘以它们的代数余子式，并求这些积的和，就得到原行列式的值了。

下面举一个运用拉普拉斯定理计算行列式的实例。

计算五阶行列式（元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔）：D=|2,5,0,0,0；1,3,0,1,0；0,1,1,0,0；0,0,2,1,5；0,0,1,0,3|.我们可以取定第1行和第2行，其非0的子式有N1=|2,5；1,3|=1；N2=|2,0；1,1|=2以及N3=|5,0；3,1|=5。

对应的代数余子式分别为：A1=(-1)^(1+2+1+2)|1,0,0；2,1,5；1,0,3|=3；A2=(-1)^(1+2+1+4)|1,1,0；0,2,5；0,1,3|=1；A3=(-1)^(1+2+2+4)|0,1,0；0,2,5；0,1,3|=0.因此，D=N1A1+N2A2+N3A3=3+2+0=5.想要熟悉掌握运用拉普拉斯定理求行列式的值的方法，还必须多做相关的练习。

虽然我们还有其它更简单便的求行列式的值的方法，但是不能因为这种方法复杂，就不掌握。

因为在运用拉普拉斯定理求行列式的值的过程中，还可以熟练很多与行列式相关的知识。

拉普拉斯定理行列式的乘法规则det(A) = ∑(−1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中，det(A)表示矩阵A的行列式；a_ij表示矩阵A的第i行第j 列的元素；M_ij表示矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，它是将a_ij从矩阵中删去后所形成的(n-1) × (n-1)次方阵的行列式。

A=[a11,a12,a13][a21,a22,a23][a31,a32,a33]根据拉普拉斯定理，我们可以计算出该矩阵的行列式为：det(A) = a11 * M_11 - a12 * M_12 + a13 * M_13其中，M_11,M_12和M_13分别是由删去第1行第1列、第1行第2列和第1行第3列元素所形成的2×2次方阵的行列式。

以M_11为例，它的计算公式为：M_11=a22*a33-a23*a32类似地，可以计算出M_12和M_13的值。

将它们代入行列式的展开式中，即可得到方阵A的行列式的数值。

行列式的乘法规则是指两个方阵的行列式相乘的规则。

设有两个n × n的方阵A和B，它们的行列式分别为det(A)和det(B)，则它们的乘积的行列式为：det(A * B) = det(A) * det(B)这个规则的意义在于，可以通过行列式的乘积来求解两个矩阵的乘积的行列式。

在实际计算中，我们可以先计算两个矩阵的行列式，再将它们相乘，从而避免了直接计算矩阵乘积的复杂性。

行列式的乘法规则也可以用于计算矩阵的幂。

设有一个n × n的方阵A，它的行列式为det(A)，则A的k次幂的行列式为：det(A^k) = [det(A)]^k这个公式表明，矩阵的乘幂的行列式等于该矩阵的行列式的k次幂，用于快速计算矩阵的高次幂的行列式十分有效。

拉普拉斯定理和行列式的乘法规则在许多领域都有广泛的应用，特别是在线性方程组的求解中。

通过拉普拉斯定理，我们可以将线性方程组转化为行列式的计算问题，从而可以方便地求解线性方程组的解。

一类特殊行列式的计算公式一类特殊行列式的计算公式是：拉普拉斯展开公式。

该公式用于计算任意n阶行列式的值，其中n为正整数。

具体公式如下：对于一个n阶行列式A，可以通过拉普拉斯展开公式计算其值。

首先选择A的第一行（或第一列）中的任意一个元素a[ij]作为展开元素，然后按照下列公式进行展开计算：|A| = a[ij] * C[ij] + a[ik] * C[ik] + a[ih] * C[ih] + ...其中，C[ij]表示剩余的元素构成的n-1阶行列式的值，即A中除去第i行和第j列的元素所构成的行列式值。

这个公式是通过对行列式的第一行（或第一列）进行展开，得出每一项的计算结果，然后求和得到整个行列式的值。

这种计算方法可以用递归的方式实现，即将求n阶行列式的问题转化为求n-1阶行列式的问题，直到最后求一个1阶行列式（即一个数的绝对值），从而求得整个行列式的值。

这个公式的优点是可以用于计算任意n阶行列式的值，不受行列式元素特性的限制，适用范围广。

但是由于其计算的复杂度较高，当n较大时，计算量会很大，效率较低。

除了拉普拉斯展开公式，还有其他一些特殊行列式的计算公式也可以用于求解行列式的值。

例如，以下是一些常见的特殊行列式及其计算公式：1. 对角线行列式：对于一个n阶对角线行列式D，即D的非对角线元素全为0，对角线上元素为a，可以使用以下公式计算其值：D = a^n。

2. 上三角行列式：对于一个n阶上三角行列式U，即U的下三角（包括对角线）元素全为0，可以使用以下公式计算其值：U = a[11] * a[22] * ... * a[nn]。

3. 下三角行列式：对于一个n阶下三角行列式L，即L的上三角（包括对角线）元素全为0，可以使用以下公式计算其值：L = a[nn] * a[n-1][n-1] * ... * a[11]。

4. 方阵行列式：对于一个n阶方阵行列式M，即行数等于列数的行列式，如果M满足以下条件：M的所有行（或列）元素成比例，可以使用以下公式计算其值：M = a^n * C，其中a为比例因子，C为比例因子为1时的行列式值。

拉普拉斯行列式副对角线公式在线性代数中，拉普拉斯行列式是一个重要且常用的概念。

它表示一个方阵的行列式，当方阵中的元素按照特定的规律排列时，我们可以通过副对角线公式来计算其拉普拉斯行列式。

本文将详细介绍拉普拉斯行列式的定义、副对角线公式及其在矩阵运算中的应用。

1.拉普拉斯行列式的定义和性质拉普拉斯行列式是一个方阵A的行列式，记作|A|，其定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21 + a13*a23 - a13*a23 + ...+ an1*an2 -an1*an2其中，aij表示矩阵A中的元素。

拉普拉斯行列式具有以下性质：（1）交换律：|A| = |A^T|，其中A^T表示A的转置；（2）结合律：|A| = |A|；（3）行列式与它的行（列）向量乘积的行列式相等：|A| = a1*|1 23 ...n|；（4）行列式的值与它的行（列）向量之间的点积有关：|A| = a1*(a1, a2, a3, ..., an)·(1, 2, 3, ..., n)；2.副对角线公式的一般形式对于一个n阶方阵A，我们可以通过副对角线公式计算其拉普拉斯行列式，公式如下：|A| = a11*a22 - a12*a21 + a13*a23 - a13*a23 + ...+ an1*an2 -an1*an2其中，aij表示矩阵A中的元素。

3.副对角线公式的推导副对角线公式可以通过高斯消元法推导得到。

高斯消元法是将方阵A的元素按照从左到右、从上到下的顺序进行消元，最终得到一个上三角矩阵。

在上三角矩阵中，副对角线上的元素即为原矩阵A的拉普拉斯行列式的值。

4.副对角线公式在矩阵运算中的应用副对角线公式在矩阵运算中具有广泛的应用，如：（1）计算行列式的值：直接使用副对角线公式计算行列式的值；（2）判断矩阵是否可逆：如果一个矩阵的拉普拉斯行列式的值不为0，则该矩阵可逆；（3）求解线性方程组：利用高斯消元法求解线性方程组时，副对角线公式可用来计算系数矩阵的行列式，从而判断线性方程组是否有唯一解。