拉普拉斯行列式展开例题

第二讲 行列式综合训练第一部分例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零．n D =11aa解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D 11c nc a-⋅=101a aaa-=11()n a a a--=n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式．n D n 1r r -=111a aa --1nc c +=111a aa +-=na -2n a-方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式．n D 1c 展开=1n aaa -+11001(1)0n n a a +--而 11001(1)0n n a a+--最后列展开=21(1)n +-2n aa -=2n a--n D =1n a a -⋅-2n a -=n a -2n a -方法4 利用公式A O OB=A B ．将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．n D =2(2)(1)n --11a aa=11a a2n aa -=na -2n a-方法5 利用公式A O OB=A B ．例2.2 计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+ (120n b b b ≠)解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++升阶213111n r r r r r r +---=121211001010n na a ab b b --- 1112,,1jj c c b j n -+=+=111211121000000000n na a a a ab b b b b +++=1121(1)nn na ab b b b b +++这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例2.3 计算n 阶行列式：12111111111n na a Da ++=+其中120n a a a ≠．解 这道题有多种解法． 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==1121111na a a a a +--112,,j ja c c a j n+==21100nb a a其中11211n i i b a a a ==++∑1111ni i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑．方法2 升阶（或加边）法121111011101110111n naD a a +=++升阶12,3,,1i r r i n -=+=121111100101na a a --- 11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+⎪⎝⎭∑∑方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+n=按c 拆开12111111111a a +++1211011011na a a ++由于12111111111a a ++1,,1i n r r i n -=-=12111a a 121n a a a -=1211011011na a a ++n =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+=12n a a a 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12n a a a 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++ ⎪⎝⎭==12n a a a 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭=12n a a a 121111n a a a ⎛⎫++++⎪⎝⎭例２.4 设343123211211)(------=x x x x x x x f ，证明存在),1,0(∈ζ使0)(='ζf . 证 因为()f x 是关于x 的二次多项式多项式,在[]1,0上连续,(0,1)内可导,且0331221111)0(=------=f ,101(1)1110121f =-=-由罗尔定理知,存在)1,0(∈ζ,使0)(='ζf .例2.5 计算D =222244441111ab c d a b c d a b c d ． 解 这不是范得蒙行列式，但可借助求解范得蒙行列式进行求解．方法1 借助于求解范得蒙行列式的技巧进行求解：从下向上，逐行操作．D 2433221r a r r ar r ar ---=222222222111100()()()0()()()b ac ad ab b ac c ad d a b b a c c a d d a ---------1c 展开=()()()b ac ad a ---222111()()()b c d b b a c c a d d a +++ 3r 拆开=()()()b a c a d a ---（333111bc d b c d +222111a b c d b c d ）其中333111b cd b c d 23221r b r r br --=222211100()()c bd b c c b d d b ---- =()()c bd b --11()()c c bd d b ++=()()c b d b --[()()]d d b c c b +-+由于222111bcd b c d 是范德蒙行列式，故222111b c d b c d =()()()c b d b d c --- D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 方法2 D 213141c c c c c c ---=222222244444441000ab ac ad aa b a c a d a a b a c a d a --------- 1r 展开=()()()b ac ad a ---222222111()()()()()()b ac ad a b a b a c a c a d a d a +++++++++ 2131c c c c --=()()()b ac ad a ---221()()b a c b d b b a b a x y+--++ 1c 展开=()()()b ac ad a ---c b d b xy--其中222()()x c b a b c ac bc ab =-+++++，222()()y d b a b c ad bd ab =-+++++D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c ---=()a b c d +++()()()a b a c a d ---()()()b c b d c d ---方法3 用升阶法．由于行列式中各列元素缺乏3次幂的元素，在D 中添加3次幂的一 行元素，再添加一列构成5阶范得蒙行列式：5D =22222333334444411111a b c d x a b c d x a b c d x a b c d x 5D 按第5列展开得到的是x 的4次多项式，且3x 的系数为4545(1)A D D +=-=-又利用计算范得蒙行列式的公式得5D =()()()()b a c a d a x a ----()()()c b d b x b ---()()()d c x c x d ---=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -[()()()()]x a x b x c x d ----=()()()b a c a d a ---()()c b d b --()d c -43[()]x a b c d x -++++其中3x 的系数为()()()b a c a d a ----()()c b d b --()d c -()a b c d +++由3x 的系数相等得：D =()a b c d +++()()()b a c a d a ---()()()c b d b d c --- 例2.6 设4322321143113151||-=A ，计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ? 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解 直接求代数余子式的和工作量大．可将414243A A A A +++改写为4142431111A A AA ⋅+⋅+⋅+⋅，故A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=1602102310121000-==41602(1)023012+--=62100320261=-- 例2.7 求解方程:11111111()01121111(1)x f x x nx-==---解 方法1()f x 12,,i r r i n-==111100000100(2)x xn x-=---=)2()1()1(1+----n x x x n由题设知0)2()1()1()(1=+---=-n x x x x f n所以2,,1,0121-===-n x x x n 是原方程的解.方法2 由题设知,当2,,2,1,0-=n x 时,由于行列式中有两列对应元素相同,行列式值为零,因此)(x f 可写成)2()1()(+--=n x x Ax x f于是原方程0)2()1()(=+--=n x x Ax x f 的解为:2,,1,0121-===-n x x x n例2.8 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-，故01110212n n n D n n --=--1,1,,2i i r r i n n --=-=11111111n ----1,,1j n c c j n +=-=1211021(1)2(1)20001n n n n n n ------=----其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--11,2,,111111112i i r r i n n n +-=----=--12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---=12(1)2(1)n n n ----例2.9 计算行列式221111220000000b d b d c a c a D =． 解 方法1 按第一列展开：1121120000a c D a d b b =-0000111122b d c a c d =111122b d c ab a -111122b d c a c d=（22b a -111122b d c a c d ）=（22b a -）22c d （11b a -）11c d方法2 本题也可利用拉普拉斯展开定理进行计算，选定第2、3行，有：11232311(1)a c D d b +++=-2222a c db =（11b a 11dc -）（22b a 22d c -）例2.10 计算2n D =1111nnnna b a b c d c d ，其中未写出的元素都是0．解 方法1 利用公式A O OB=A B ．采用逐行操作，将最后一行逐行和上行进行对换，直到换到第2行（作22n -次相邻对换）；最后一列逐列和上列换，换到第2列（作22n -次相邻对换），得到2n D =2(22)(1)n --1111111100000n n n n n n n n a b c d a b a b c d c d ----=2D 2(1)n D -=()n n n n a d b c -2(1)n D -=()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----2(2)n D -==()n n n n a d b c -1111()n n n n a d b c -----1111()a d b c -=1()ni i i i i a d b c =-∏方法2 利用行列式展开定理进行求解．2n D 1r 展开=11111111n n nn n na b a b a c d c d d ----+12(1)n n b +-111111110n n n n na b a b c d c d c ----上面第1个行列式是A O OB的形式，而第2个行列式按第1列展开，所以2n D =2112222(1)n n n n n n n a d D b c D -+---- =()n n n n a d b c -2(1)n D - ==1()ni i i i i a d b c =-∏例2.11 计算5100011000110001100011a a aa D a a a a a ---=------． 解 方法１ 采用递推的方法进行求解．5D 125c c c ++=1000010001100011011a a aa a a aaa-------- 1c 展开=1001100110011a a a a a a a -------+51000100()(1)110011a a a a a a aa+------- 即 51454()(1)D D a a +=+--， 41343()(1)D D a a +=+--，31232()(1)D D a a +=+--， 221D a a =-+故 234551D a a a a a =-+-+-方法2 采用降阶的方法进行求解．5D 12(1)r a r +-=2210011000110001100011a a a a a a a a a a a -+---------213(1)r a a r +-+=232301011000110001100011a a a a a a a a a a a a a-+--+--------2314(1)r a a a r +-+-=23423400111000110001100011a a a a a a a a a a a a a a a-+-+-+---------23415(1)r a a a a r +-+-+=23450001110001100011011a a a a a a a a aa a a-+-+---------1r 展开=2345514(1)(1)(1)a a a a a +-+-+-⋅--=23451a a a a a -+-+-例2.12 证明D n =121100010nn n xxa a a xa ----+=111n n n n x a x a x a --++++证 方法1 递推法 按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n11111n xxx-----= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n== x1-n D 1+ a 2x2-n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍， ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D +=2112101001000n n n n x x xa xa a a xa -----++213c x c +=3212123110000100010n n n n n n x xx a xa x a a a a x a--------+++==111x fx---n r =按展开1(1)n f+-1111n xxx----=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++或 D n21123n nc xc x c x c -++++=122110000100001n n x x fa a ax a -----+1=按c 展开1(1)n f +-1111n x xx----=11(1)(1)n n f +---=f其中111n n n n f a a x a x x --=++++方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c xc c x-+++=112200000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x---+++n =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a + +x a 2+a 1+x)=111n n n n a a x a x x --++++ 方法4n r nD =按展开1(1)n na +-1000101x x ---+21(1)n n a +--000010001x x --+ +212(1)n a --1000001x x --+21(1)()n a x -+10000000x x x-=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+ +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n n n n a a x a x x --++++例2.13 计算n阶“三对角”行列式Dn=001000101αβαβαβαβαβαβ+++＋解 方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)0000101n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入上式得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n nαββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =000100010001ααβαβαβαβαβ++＋＋00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00010001000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++12,,i i c ac i n--==00010000101ββββ=βn于是得递推公式1n n n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33 D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立．第二部分这一部分的题是与矩阵、向量、特征值等后续内容有关的题，感觉困难的同学可以放到相关内容学习后再看．但应注意考研题中关于行列式内容的出题,往往与后续内容联系较多．例2.14 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为123A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,3)i A i =是A 的第i 行, 则行列式312122A A A A -=______.解312122A A A A -=312122A A A A -=3212A A A =12322||4A A A A -=-=例2.15 判断题(1) 若B A ，是可乘矩阵，则=AB B A ． （ ） (2) 若B A ，均为n 阶方阵，则A B A B -=-． （ ）解 (1) 错误，因为B A ，不一定是方阵，即不一定有对应的行列式．(2) 错误，例如取3003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2002B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15A B A B -=≠-=．例2.16 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证 ||||)1(||||||,A A A A A A A n T T -=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.例2.17 （数四，01，3分）设矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且秩()R A =3，则k = 解 由于111111111111k k A k k =124r r r ++=3333111111111k k k k k k k++++=1111111(3)111111k k k k +=11110100(3)00100001k k k k -+-- =3(3)(1)k k +-由()R A =3，知A =0，而1k =时，()R A =1，故必有3k =-．例2.18 若B A ，，C 均为3阶可逆方阵，1-=A ，2=B ，计算C B A C T 211)(2--．解 C B A C T 211)(2--=23112T C A BC -- =223112TC A BC-=22312A B=2例2.19 设3阶方阵B A ，满足方程 E B A B A =--2，试求矩阵B 以及行列式B ，其中101020201A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 解 由E B A B A =--2，得E A B E A +=-)(2，即 ()()A E A E B A E +-=+由于 201030202A E ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，180A E +=≠ 001010200A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，20A E -=≠ 111()()()()B A E A E A E A E ---=-++=-1001001/2010010200100--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以2/1||=B ．例2.20 设A 为3阶方阵，A =2，求1*1()32A A --的值． 解 方法1 化为关于*A 的形式进行计算．利用公式111()A A λλ--=，*1A A A-=，1n A A -*=有1*1()32A A --=1*23A A --=**23A A A -=**3A A -=*2A -=3*(2)A -=23(2)A -=32-方法2 化为关于1A -的形式计算． 利用公式111()A A λλ--=，*1A A A -=，1A -=1A，有 1*1()32A A --=1123A A A ---=14A --=3(4)-1A=32- 例2.21 （数四，98，3分）设B A ，均为n 阶方阵，A =2，B =-3，求1*2-B A 的值．解 1*2-BA =1*2-BA n =n21-n AB1⋅=n 212-n 31-=3212--n 例 2.22 若21321,,,,ββααα都是4维列向量，且4阶行列式n =3221,,,αβαα，m =1321,,,βααα，计算4阶行列式32112,,,αααββ+的值．解 如果行列式的列向量组为n ααα,,,21 ，则此行列式可表示为n ααα,,,21 ，利用行列式的性质，有=+21123,,,ββααα3211,,,αααβ+3212,,,αααβ=1231,,,αααβ--3221,,,ααβα=1231,,,αααβ-+1223,,,ααβα=n m -例2.23 计算行列式OB AO B A ，，||||，其中12112(1)121121n n x n x n A x n n x n n -+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪=⎪+- ⎪ ⎪+-⎝⎭， 100002000010000B n n ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 ||A =12112(1)121121n n x n x nx n nx n n-+-++-+-12,,12100000ir ri nn n x x x x x x x-=-+-=--1,,1n j c c j n +=-=(1)12120000000n n n x x x x +-+这是逆对角的上三角行列式，所以(1)12(1)(1)()2n n n n n A x x --+=-+ 又!||n B =，故12)1(!)2)1(()1(2-+-++-=n n n n x n x n n O B A O ．注 这里用了公式：若A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，则O AB O=(1)mn -A B ．例2.24 若A 为n 阶方阵，E 为单位矩阵，满足TAA E =，0A <，求 A E +． 解 方法1 由TAA E =有A E +=T A AA +=()T A E A +=()T A E A +=A ()TE A +=A E A +=A A E +即(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法2 因为 ()T A E A +=T T AA A +=TE A +=A E +即 A E +A =A E +有(1)A -A E +=0，而(1)A -0>，所以A E +=0．方法 3 由TAA E =知矩阵A 为正交矩阵，即T AA =1，2A =1，又因为0A <，所以有1A =-，故A E +=A 1E A -+=T E A -+=E A -+即2A E +=0，A E +=0．例2.25 若A 为n 阶正定矩阵，E 为n 阶单位矩阵，证明A E +的行列式大于1． 证 方法1 因为A 为正定矩阵，因此所有的特征值大于零．设A 的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ==，且0i λ>，由特征值的性质知，A E +的n 个特征值为1,1,2,,i i n λ+=，于是1(1)(1)1n λλ++>．方法2 因为正定矩阵是对称矩阵，因此A 可对角阵，且所有的特征值大于零，故存在可逆阵P 有11n P AP λλ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭ （0,1,2,,i i n λ>=）即 11n A P P λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭111n A E P P PP λλ--⎛⎫ ⎪+=+⎪ ⎪⎝⎭=1111n P P λλ-+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭A E +=1111n PP λλ-++=1(1)(1)1n λλ++>例2.26 设11112222aa A nn n n a +⎛⎫⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭，求A解 利用特征值法进行求解，即利用公式12n A λλλ=．11112222aa A nn n n a +⎛⎫ ⎪+⎪= ⎪⎪+⎝⎭=100000000a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭+11112222a nn n n a ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭==11112222aE n n nn ⎛⎫ ⎪⎪+ ⎪⎪⎝⎭矩阵11112222n n n n⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩为1，由第十三讲的注意（7）知它特征值为11122nna a aλ=++=(1)2n n+，23nλλλ====0所以A特征值为(1),,,2n na a a++，故A=1(1)[]2nn na a-++．21。

关于行列式的拉普拉斯定理又称为子式的代数余子式定理，其内容是：设在n(n≥2)阶行列式D中任取定k(1≤k<n)行(列),且用这k行(列)作出的所有k阶子式为N1,N2,…, Nt,相应的代数余子式依次为A1,A2,…,At,则D=N1A1+N2A2+…+NtAt.其中t=C(n,k)=n!/[k!(n-k)!].拉普拉斯定理可以用来求行列式的值。

从定理的内容来看，第一步，也是最重要的一步就是要找到最合适的行列，其这些行或列的所有子式。

这些子式中，当然0越多越好了。

这样就可以大大的减少运算量。

然后分别取定那些非0的子列的代数余子式。

因为从定理的内容来看，等于0的子列和它的代数余子式的积，一定等于0，因此并不需要考虑等于0的子列的代数余子式。

最后将各非0子列分别乘以它们的代数余子式，并求这些积的和，就得到原行列式的值了。

下面举一个运用拉普拉斯定理计算行列式的实例。

计算五阶行列式（元素间用逗号分隔，行与行之间用分号分隔）：D=|2,5,0,0,0；1,3,0,1,0；0,1,1,0,0；0,0,2,1,5；0,0,1,0,3|.我们可以取定第1行和第2行，其非0的子式有N1=|2,5；1,3|=1；N2=|2,0；1,1|=2以及N3=|5,0；3,1|=5。

对应的代数余子式分别为：A1=(-1)^(1+2+1+2)|1,0,0；2,1,5；1,0,3|=3；A2=(-1)^(1+2+1+4)|1,1,0；0,2,5；0,1,3|=1；A3=(-1)^(1+2+2+4)|0,1,0；0,2,5；0,1,3|=0.因此，D=N1A1+N2A2+N3A3=3+2+0=5.想要熟悉掌握运用拉普拉斯定理求行列式的值的方法，还必须多做相关的练习。

虽然我们还有其它更简单便的求行列式的值的方法，但是不能因为这种方法复杂，就不掌握。

因为在运用拉普拉斯定理求行列式的值的过程中，还可以熟练很多与行列式相关的知识。

拉普拉斯定理经典例题
拉普拉斯定理是概率论中的重要定理之一，它在求解复杂的概率问题时有着广泛的应用。

下面是一些拉普拉斯定理的经典例题，可以帮助读者更好地掌握和应用该定理。

1. 一个硬币被投掷10次，每次正反面出现的概率分别为0.5。

求正面朝上的次数在5次到8次之间的概率。

2. 一批电子元件中有10%的次品，从中随机取出10个，求其中恰好有2个次品的概率。

3. 从一副扑克牌中随机取出5张牌，求其中有两对牌的概率。

4. 一个班级的学生数为40人，其中男生数为20人。

从中随机选择9个人，求其中恰好有6个男生的概率。

5. 某公司的员工中，有50%是男性，30%是高管。

从中随机选择5个员工，求其中至少有1个高管的概率。

以上这些例题均可以运用拉普拉斯定理进行求解。

读者们可以通过练习这些例题，进一步加深对拉普拉斯定理的理解和掌握。

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拉普拉斯定理计算行列式拉普拉斯定理是线性代数中用于计算行列式的一种方法。

它通过将行列式转化为更小的子行列式，从而简化计算过程。

拉普拉斯定理表述如下：设A是一个n阶矩阵，如果选择A的第i 行或第j列（其中1≤i≤n，1≤j≤n），记作A(i,j)，则行列式的值可以通过以下公式计算：|A| = (-1)^(i+j) * |A(i,j)|其中|A(i,j)|是删除第i行和第j列后留下的(n-1)阶子矩阵的行列式。

公式中的(-1)^(i+j)是符号因子，用来确保符合行列式的计算规则。

通过拉普拉斯定理，我们可以将一个较大的行列式逐步分解成较小的子行列式的和，从而简化计算过程。

对于较大的行列式，计算每个子行列式可能更加容易，而且可以利用递归的方法进行计算。

例如，考虑一个3阶矩阵A：A = [[a, b, c],[d, e, f],[g, h, i]]我们可以选择第1行进行计算。

根据拉普拉斯定理，行列式的值为：|A| = a * |A(1,1)| - b * |A(1,2)| + c * |A(1,3)|其中：|A(1,1)| = (e * i - f * h) 是去除第1行和第1列后剩余的2阶子矩阵的行列式；|A(1,2)| = (d * i - f * g) 是去除第1行和第2列后剩余的2阶子矩阵的行列式；|A(1,3)| = (d * h - e * g) 是去除第1行和第3列后剩余的2阶子矩阵的行列式。

通过计算这些子行列式的值，并将其带入原公式，我们就可以得到整个3阶矩阵A的行列式的值。

拉普拉斯定理为计算行列式提供了一种有效的方法。

它不仅在理论上给出了行列式的计算规则，而且在实际应用中也具有指导意义。

通过拉普拉斯定理，我们可以更快地计算出行列式的值，而无需进行复杂的初等变换或利用特殊属性。

总之，拉普拉斯定理是计算行列式的重要工具，它通过将行列式转化为更小的子行列式，简化了计算过程。

这个定理不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也大有用途。

行列式因子求法例题摘要：一、行列式因子求解的基本概念1.行列式因子定义2.求行列式因子的意义二、行列式因子求解的方法1.高斯消元法2.拉普拉斯展开式3.克莱姆法则三、行列式因子求解的例题解析1.二维矩阵的行列式因子求解2.三维矩阵的行列式因子求解3.一般矩阵的行列式因子求解四、行列式因子求解在实际问题中的应用1.线性方程组的求解2.矩阵的逆矩阵求解3.特征值与特征向量的求解正文：一、行列式因子求解的基本概念在线性代数中，行列式因子是矩阵行列式的一个组成部分，它可以用于求解线性方程组、逆矩阵、特征值和特征向量等问题。

首先，我们需要了解行列式因子的定义和求解行列式因子的意义。

二、行列式因子求解的方法1.高斯消元法：是一种通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或行最简矩阵的方法。

通过高斯消元法，我们可以求解线性方程组的解，从而得到行列式因子。

2.拉普拉斯展开式：根据拉普拉斯展开式，行列式可以表示为各项的乘积，通过求解这些项的值，我们可以得到行列式因子。

3.克莱姆法则：克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，它可以直接求得行列式因子，从而进一步求解线性方程组的解。

三、行列式因子求解的例题解析1.二维矩阵的行列式因子求解：假设有一个二维矩阵A，我们可以通过初等行变换将其转化为阶梯形矩阵，从而求得行列式因子。

2.三维矩阵的行列式因子求解：对于三维矩阵，我们可以使用拉普拉斯展开式求解行列式因子。

3.一般矩阵的行列式因子求解：对于一般矩阵，我们可以使用克莱姆法则求解行列式因子。

四、行列式因子求解在实际问题中的应用1.线性方程组的求解：通过求解行列式因子，我们可以得到线性方程组的解，从而解决实际问题。

2.矩阵的逆矩阵求解：逆矩阵是线性代数中的重要概念，通过求解行列式因子，我们可以得到逆矩阵，进一步解决实际问题。

3.特征值与特征向量的求解：特征值和特征向量是矩阵的固有属性，通过求解行列式因子，我们可以得到特征值和特征向量，从而解决实际问题。

授课题目1.5 行列式按行（列）展开 拉普拉斯定理授课时数： 4 课时教学目标：掌握余子式与代数余子式的概念、熟练掌握行列式依行依列展开，拉普拉斯定理，行列式乘法定理教学重点：行列式依行依列展开，行列式的计算方法：降阶法，拉普拉斯定理， 行列式乘法定理教学难点： 应用降阶法，拉普拉斯定理， 行列式乘法定理来计算行列式教学过程我们知道，利用行列式的性质可以简化行列式的计算。

按我们这样的思路，容易提出下面问题： 阶数较高的行列式能否化成阶数较低的行列式进行计算？为了回答这个问题， 先看三阶的情形，不难验证：a 11 a 12 a 13 a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 a 21 a 22 a 23 a 11 a 32 a 33 a 12 a 31 a 33 a 13 a 31 a 32 a 31a 32a33三阶行列式的确可以化成二阶行列式来计算。

下面我们来研究 n 阶行列式如何化成 n 1 阶行列式来计算。

一．余子式及代数余子式1．余子式定义 1 在一个 n(n 2)阶行列式中 ,划去元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列 ，剩下的元素按照原来的相对位置构成的n 1阶行列式 ,称为元素 a ij 的余子式记为 M ij 。

例 1.在 4阶行列式 Da ij 中，写出 a a的余子式。

a a a a42,a a a a ,13 2413 24 3113 24 32 412．代数余子式定义 2 n 阶行列式 D 的元素 a ij 余子式附以附号 ( 1) i j 后 ，称为元素 a ij 的代数余子式，记为 A ij ，即A ij( 1)i j M ij有了如上定义， （ 1）可写成Da 11A11a12A 12a 13A13问题：能否把上式推广到n 阶行列式的情形？如能，我们可把n 阶行列式，化为n 1阶行列式来计算。

二．行列式按行（列）展开公式定理 1.5.1 [行列式按行（列）展开定理]n 阶行列式a11a12a1na21a22a2nDan1an2ann等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即a11a12a1nD a i1 A i1a i 2 A i 2a in A in Da21a22a2nan1an 2ann(i 1,2,, n).或A a1 j A1 ja2 jA2 janjAnj( j 1,2, ,n) 10先证特殊情形a11a 1nDan 1,1an 1,n0a nn 定理立2再证（利用 1 ）特殊情形a11a1, j 1a1 ja1, j 1a1nD00a ij00a n1a n , j 1a nj a n, j 1a nn定理成立；3利用性质 5 及2证一般情形三．零值定理1．实例举 2、 3 阶行列式多一个，把某行每个元素与另一行对应元素的代数余子式相乘，再加起来，看有什么结果。

行列式的Laplace展开定理行列式的Laplace 展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。

a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。

上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。

我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。

定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。

称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即a 11a 21ML La 1, j −1a 2, j −1Ma 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1M a n , j +1L La 1n a 2n MM ij =a i −1, 1L a i −1, j −1a i +1, 1L a i +1, j −1M Ma n 1La n , j −1L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ijL a i +1, nM La n , n二、行列式的Laplace 展开定理为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。

定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。