拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明

laplace变换公式表Laplace变换公式表引言Laplace变换是数学中一种常见的变换方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。

本文将介绍Laplace变换及其公式表，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。

一、Laplace变换简介Laplace变换是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯于18世纪末提出的一种数学变换方法。

它将一个函数f(t)在复平面上的运算转换为另一个函数F(s)，其中s是复变量。

Laplace变换在时域和频域之间建立了一种联系，使得复杂的微分方程可以转化为简单的代数方程，从而简化了问题的求解过程。

二、Laplace变换公式表下面是一些常用的Laplace变换公式，它们在不同的应用中起到重要的作用：1. 常数函数：L{1} = 1/s这个公式表明，Laplace变换会将一个常数函数1转换为1/s，其中s是复变量。

2. 单位阶跃函数：L{u(t)} = 1/s单位阶跃函数u(t)是一个在t=0时突变为1的函数。

该公式表明，Laplace变换会将单位阶跃函数转换为1/s。

3. 指数函数：L{e^at} = 1/(s-a)指数函数e^at是一个在复平面上以指数形式增长或衰减的函数。

该公式表明，Laplace变换会将指数函数转换为1/(s-a)，其中a是一个常数。

4. 正弦函数：L{sin(at)} = a/(s^2+a^2)正弦函数sin(at)是一个周期性的函数。

该公式表明，Laplace变换会将正弦函数转换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数：L{cos(at)} = s/(s^2+a^2)余弦函数cos(at)也是一个周期性的函数。

该公式表明，Laplace变换会将余弦函数转换为s/(s^2+a^2)。

6. 指数衰减函数：L{e^(-at)u(t)} = 1/(s+a)指数衰减函数e^(-at)是一个在t>0时以指数形式衰减的函数。

该公式表明，Laplace变换会将指数衰减函数转换为1/(s+a)。

拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。

它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。

下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。

首先，我们需要了解拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。

对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。

拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。

拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。

这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。

2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。

这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。

3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。

这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。

4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。

这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。

拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。

它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。

此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。

拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明拉普拉斯定理（Laplace's Theorem）是一个关于在一定条件下线性微分方程的解的存在性和唯一性的定理。

这个定理的现代形式如下：如果一个线性微分方程的系数是连续的，并且在整个实数域上满足某种条件，那么这个方程在某个区间内有且只有一个解。

首先，我们考虑一个一阶线性微分方程：y' + p(x)y = q(x)其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数，y(x) 是未知函数。

我们可以将上述方程改写为：y' = q(x) - p(x)y然后对方程两边同时积分，得到：∫y'dx = ∫(q(x) - p(x)y)dx即：y = ∫q(x)dx - ∫p(x)ydx对于右侧的积分，我们可以使用分部积分法，得到：∫p(x)ydx = p(x)y - ∫p'(x)ydx因此原方程可以改写为：y + ∫p'(x)ydx = ∫q(x)dx - p(x)y或者，如果我们定义一个新的函数F(y) = ∫p'(x)ydx，那么原方程可以简化为：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y根据初始条件 y(a)，我们可以将上述方程转化为以下等式：y + F(y) = ∫q(x)dx - p(x)y + y(a)这是一个关于 y 的线性方程，其中 F(y) 是 y 的函数。

如果 F(y) 是连续的并且满足某些条件，那么根据线性方程的理论，存在且只有一个解。

现在我们只需要证明 F(y) 满足这些条件。

为此，我们需要计算 F(y) 的导数。

根据分部积分法，我们可以得到：F'(y) = p'(x) 在整个实数域上是一致的。

这意味着 F(y) 是连续的并且具有连续的导数。

因此，根据定理的条件，F(y) 满足存在且唯一性的条件。

因此，原方程的解也存在且唯一。

这就是拉普拉斯定理的简化证明。

这个证明的关键在于将原始方程转化为一个关于 y 的线性方程。

一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。

他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。

在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。

拉普拉斯(Laplace)定理的简化证明
拉普拉斯定理是在概率论和统计学中常用的工具，它可以用于计算一些复杂的概率分布函数的期望值。

本文将对拉普拉斯定理进行简化证明，使读者能够更好地理解该定理。

假设A和B是两个随机事件，且它们的和事件为C。

即，C表示A和B中至少发生一个事件的概率。

因此，有以下的概率公式：
P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
其中，P(A∩B) 表示A和B同时发生的概率。

将上述公式推广到n个随机事件的情况，得到：
P(C)=∑P(Ai)-∑P(Ai∩Aj)+∑P(Ai∩Aj∩Ak)-...+(-1)^(n+1)P(A1∩A2∩...∩An)
其中，每一个∑表示对于不同的 i、j、 k... 等进行求和。

现在，我们来证明拉普拉斯定理：
假设我们想要计算一个随机变量X的期望值。

根据定义，X的期望值可以表示为：
E(X)=∑x P(X=x)
其中，x代表X的某一取值，P(X=x)表示该事件发生的概率。

通过条件概率的公式，可以得到：
将上述公式代入E(X|C)的公式中，得到：
注意到∩X=x表示对于X等于x的事件进行求和。

根据拉普拉斯定理，可以将上式中的交事件拆分成求和的方式，得到：
其中，E(X|Ai)表示在事件Ai发生的情况下，X的期望值。

拉普拉斯常用推导拉普拉斯常用推导是数学中常用的一种推导方法，它在微积分、概率论、信号与系统等领域中得到广泛应用。

本文将介绍拉普拉斯常用推导的基本原理和应用。

一、拉普拉斯变换与逆变换拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。

它的基本定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s为复频域变量，f(t)为时域函数。

而逆变换则是将复频域函数转换为时域函数的过程，其定义为：f(t) = L^(-1)[F(s)] = 1/2πi ∫[γ-i∞,γ+i∞] e^(st) F(s) ds其中，L^(-1)[F(s)]表示逆变换后的函数，γ为逆变换路径，i为虚数单位。

通过拉普拉斯变换与逆变换，我们可以在复频域中对函数进行分析和处理。

二、拉普拉斯常用推导方法拉普拉斯常用推导方法是一种通过拉普拉斯变换和逆变换来求解微分方程、积分方程等问题的方法。

其基本思想是将微分方程或积分方程转换为代数方程，从而简化求解过程。

1. 拉普拉斯变换求解常微分方程对于给定的常微分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转换为复频域下的代数方程，然后解出复频域函数，最后通过逆变换得到时域函数。

这种方法在求解线性时不变系统的响应问题时特别有用。

2. 拉普拉斯变换求解偏微分方程对于给定的偏微分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转换为复频域下的代数方程组，然后解出复频域函数组，最后通过逆变换得到时域函数组。

这种方法在求解一维和二维的线性偏微分方程时常用。

3. 拉普拉斯变换求解积分方程对于给定的积分方程，我们可以通过拉普拉斯变换将其转换为复频域下的代数方程，然后解出复频域函数，最后通过逆变换得到时域函数。

这种方法在求解线性时不变系统的稳态响应问题时常用。

三、拉普拉斯常用推导的应用拉普拉斯常用推导方法在工程和科学研究中具有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用领域：1. 电路分析在电路分析中，拉普拉斯常用推导方法可以用于求解电路的响应、稳态和暂态特性，以及电路的传输函数和频率响应等问题。

§8 拉普拉斯(Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则 定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nn n n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。

第7章 拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N ，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N ．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，若广义积分dte tf pt ⎰∞+-0)(在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作)(P F ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()(（7-1）称（7-1）式为函数)(t f 的拉氏变换式，用记号)()]([P F t f L =表示．函数)(P F 称为)(t f 的拉氏变换(Laplace) (或称为)(t f 的象函数)．函数)(t f 称为)(P F 的拉氏逆变换（或称为)(P F 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求)(t f 在0≥t 时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0<t 时，0)(=t f ．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数at t f =)(（a t ，0≥为常数）的拉氏变换．解⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p ae p a dt e pa pt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p ．7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(t i ，以)(t Q 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0≠t 时，0)(=t i ；当0=t 时，∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(，当ε→0时，)(t εδ的极限 称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为-δ函数．当0≠t 时，)(t δ的值为0；当0=t 时，)(t δ的值为无穷大，即⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ．)(t εδ和)(t δ的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何0>ε，有11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ，所以1)(=⎰∞+∞-dt t δ．工程技术中，常将-δ函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将-δ函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示-δ函数的积分，叫做-δ函数的强度．例7-2 求)(t δ的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有dte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ，即1)]([=t L δ．例7-3 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u 的拉氏变换．解p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰，)0(>p ．例7-4求指数函数ate tf =)(（a 为常数）的拉氏变换．解dt e dt ee e L t a p ptat at⎰⎰∞+--∞+-=⋅=)(0][)(1a p a p >-=，即)(1][a p a p e L at >-=． 类似可得)0(][sin 22>+=p p t L ωωω；)0(][cos 22>+=p p pt L ωω．习题7–1求1-4题中函数的拉氏变换1．te tf 4)(-=．2．2)(t t f =．3．atte t f =)(4．ϕωϕω，()sin()(+=t t f 是常数）．7.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．性质1 (线性性质) 若 1a ，2a 是常数，且)()]([11p F t f L =，)()]([22p F t f L =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=． （7-2）证明dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）)1(1)(at e a t f --=； （2）t t t f cos sin )(=．解（1）)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e aL at at at +=+-=-=-=----． （2）412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L ． 性质2（平移性质） 若)()]([p F t f L =，则)()]([a p F t f e L at -=（a 为常数）． （7-3） 证明⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat at．位移性质表明：象原函数乘以ate 等于其象函数左右平移a 个单位．例7-6 求 ][at te L ，]sin [t e L atω-和 ]cos [t e L at ω-．解 因为21][p t L =，22][sin ωωω+=p t L ，22][cos ωω+=p p t L ，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若)()]([p F t f L =，则)()]([p F e a t f L ap -=-)0(>a ． （7-4）证明dtea t f a t f L pt⎰∞+--=-0)()]([=dte a tf dt ea t f apt apt⎰⎰∞+---+-)()(0，在拉氏变换的定义说明中已指出，当0<t 时，0)(=t f ．因此，对于函数)(a t f -，当0<-a t （即a t <）时，0)(=-a t f ，所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令τ=-a t ，则滞后性质指出：象函数乘以ape -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位（如图7-3所示）．由于函数)(a t f -是当a t ≥时才有非零数值．故与)(t f 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在)(a t f -这个函数上再乘)(a t u -，所以滞后性质也表示为)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--．例7-7 求)]([a t u L -．解 因为=)]([t u L p 1，由滞后性质得p e a t u L ap1)]([-=-． 例7-8 求)]([)(ττ--t u eL t a ． 解 因为a p e L at -=1][，所以)(1)]([)(a p a p e t u e L p t a >-=---，τττ．例7-9 求下列函数的拉氏变换：（1）⎩⎨⎧≤≤≤=.,,0,)(21t a c a t c t f （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-<≤=.4,0,42,1,20,3)(t t t t f解 （1）由图7-4容易看出，当a t ≥时，)(t f 的值是在1c 的基础上加上了（12c c -），即)()(12a t u c c --．故可把)(t f 写成)()()()(121a t u c c t u c t f --+=，于是p e c c c e p c c p c t f L pa p a ---+=-+=)()]([121121．（2）仿（1），把)(t f 写成)4()2(4)(3)(-+--=t u t u t u t f ，于是p e e p e p e p t f L pp p p 42424343)]([----+-=+-=．我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果．由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子．例7-10 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=a t a t a c a t c t t f 3,03,20,0,0)(，求)]([t f L ．解：如图7-5所示，)(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=，于是)21(233ap ap ap ap e e p ce p c e p c p c ----+=-+=， 由拉氏变换定义来验证： )21()221(33ap ap ap ap ap e e p ce e e p c ------+=-+-=．性质4（微分性质） 若)()]([p F t f L =，并设)(t f 在[0，+)∞上连续，)(t f '为分段连续，则)0()()]([f p pF t f L -='． (7-5)证明 由拉氏变换定义及分部积分法，得dt et f t f L pt⎰∞+-'='0)()]([⎰∞+-∞+-+=0)(])([dte tf Pet f pt pt ，可以证明，在)]([t f L 存在的条件下，必有 0)(lim =-+∞→pt t e t f ．因此，)0()()]([)0(0)]([f p pF t f pL f t f L -=+-='．微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ，再减去函数的初始值．应用上述结果，对二阶导数可以推得)}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([2f pf p F p f f p pF p f t f pL t f L '+-='--='-'=''． 同理，可得)}0()0()0({)()]([23f f p f p p F p t f L ''+'+-='''．以此类推，可得)}0()0()0({)()]([)1(21)(---+'+-=n n n n n f f p f p p F p t f L Λ． （7-6）由此可见，)(t f 各阶导数的拉氏变换可以由p 的乘方与象函数)(p F 的代数式表示出来．特别是当初值0)0()0('')0(')0()1(====-n ff f f 时，有更简单的结果 ),2,1()()]([)(Λ==n p F p t f L n n ，． （7-7）利用这个性质，可将)(t f 的微分方程转化为)(p F 的代数方程．例7-11 利用微分性质求][sin t L ω和][cos t L ω．解 令t t f ωsin )(=，则t t f f f ωωωsin )()0(0)0(2-=''='=，，，由7-6式，得 )]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，即ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，移项化简得22][sin ωωω+=p t L ．利用上述结果，)(sin 1cos '=t t ωωω及（7-5）式，可得2222}0{1ωωωω+=-+⋅=p p p p ．性质5（积分性质） 若)()]([p F t f L =)0(≠p ，且设)(t f 连续，则⎰=t p p F dx x f L 0)(])([．（7-8）证明 令⎰=tdxx f t 0)()(ϕ，显见0)0(=ϕ，且因)()(t f t ='ϕ，由微分性质，得 )0()]([)]([ϕϕϕ-='t pL t L ，而)()]([)]([p F t f L t L =='ϕ，所以有])([)]([)(0⎰==t dx x f pL t pL p F ϕ，即)(1])([p F p dx x f L t=⎰．积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数p ．例7-12 求][n t L （n 是正整数）．解 因为⎰⎰⎰===t t tdxx t xdx t dx t 0232321，，，…，⎰-=t n ndxnx t 01，所以由（7-8）式即得…………………… 一般地，有1101!][][][+--===⎰n n tn np n p t nL dt x n L t L ．性质6 若)()]([p F t f L =，则0>a 时)(1)]([a p F a at f L =． （7-9）性质7 若)()]([p F t f L =，则)()1()]([)(p F t f t L n n n -=． （7-10）性质8 若)()]([p F t f L =，且t t f t )(lim→存在，则⎰∞+=pdpp F tt f L )(])([． （7-11）例7-13 求]sin [t t L ω．解 因为22][sin ωωω+=p t L ，由（7-10）式可得 22222)(2)()1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L ．例7-14 求]sin [t t L ．解 因为11][sin 2+=p t L ，而且1sin lim 0=→t tt ，所以由（7-11）式可得p arctg p arctg dp p t t L p p -==+=⎰∞+∞+2|11]sin [2π．即p arctg dt e t t pt -=⎰∞+-2sin 0π．因此，当0=p 时，得到一个广义积分的值⎰∞+=02sin πdt t t ．这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的．现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：求5-12题中函数的拉氏变换5．t e 43-． 6．t t cos 32sin 5-．7．t t 2cos 2sin ． 8．t 3sin ．9．=)(t f .4,1,40,1≥≤≤-t t 10．=)(t f .,,0,sin ππ≥≤≤t t t t11．=)(t f .4,0,42,1,20,0t t t ≤<≤<≤12．=)(t f atn e t ．7.3 拉氏变换的逆运算前面我们主要讨论了怎样由已知函数)(t f 求它的象函数)(p F 的问题．运算法的另一面是已知象函数)(p F 要求它的象原函数)(t f ，这就是拉斯逆变换问题．同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．性质1（线性性质）)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--． 性质2（平移性质）)()]([)]([11t f e p F L e a p F L atat ==---． 性质3（滞后性质） )()()]([1a t u a t f p F e L ap -⋅-=--．例7-15 求下列象函数的逆变换：（1）31)(+=p p F ； （2）3)2(1)(-=p p F ； （3）252)(p p p F -=； （4）434)(2+-=p p p F ． 解 （1）将3-=a 代入表二（5），得te p L tf 31]31[)(--=+=．（2）由性质２及表二（4），得t t t et P L e p L e p L t f 223123123121]!2[2]1[])2(1[)(===-=---．（3）由性质１及表二（2）、（3），得t p L p L p p L t f 52]1[5]1[2]52[)(21121-=-=-=---．（4）由性质１及表二（9）、（10），得tt p L p p L p p L t f 2sin 232cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=---．例7-16 求5232)(2+-+=p p p p F 的逆变换．解]4)1(5)1(2[]5232[)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f]2sin 252cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=．在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数．例7-17 求659)(2+++=p p p p F 的逆变换． 解 先将)(p F 分解为两个最简分式之和：32)3)(2(96592+++=+++=+++p Bp A p p p p p p ，用待定系数法求得7=A ，6-=B ，所以36276592+-+=+++p p p p p ，于是]3627[)]([)(11+-+==--p p L p F L t f tt e e p L p L 321167]31[6]21[7-----=+-+=．例7-18 求P p p p p F 443)(23+++=的逆变换．解 先将)(p F 分解为几个简单分式之和：2223)2(2)2(3443++++=++=+++p Cp B p A p P p P p p p ， 用待定系数法求得214343-=-==C B A ，，，所以 223)2(2124343443)(+-+-=+++=p p p P p p p p F ，于是 tt te e 22214343----=．习题7-3求13-18题中函数的拉氏逆变换13．32)(-=p p F ． 14．164)(2+=p p p F ．15．3682)(2+-=p p p F ． 16．)2)(1(1)(++=p p p p F ．17．p p p p p F 962)(232+++=． 18．22)1(1)(-+=P P p p F ．7.4 拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用．例7-19 求微分方程0)(2)(=+'t x t x 满足初值条件3)0(=x 的解． 解 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设)()]([p X t x L =：]0[)](2)('[L t x t x L =+，0)]([2)]([=+'t x L t x L ， 0)(2)0()(=+-p X x p pX ．将初始条件3)0(=x 代入上式，得3)()2(=+p X p ．这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程．第二步 解出)(p X ：)(p X =23+p ．第三步 求象函数的拉氏逆变换：te p L p X L t x 2113]23[)]([)(---=+==．这样就得到了微分方程的解te t x 23)(-=．由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3：y y +'-''231)0(2)0(-='=y y ，的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变换．设Y p Y t y L ==)()]([，则得122)]0([3)]0()0([2+=+--'--p Y y pY y py Y p ．将初值条件1)0(2)0(-='=y y ，代入，得到Y 的代数方程7212)23(2-++=+-p p Y p p ，即1552)23(22+--=+-p p p Y p p ．解出Y ，得)1)(2)(1(5522--+--=p p p p p Y ．将上式分解为部分分式23714131---++=p p p Y ，再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为tt t e e e t y 237431)(-+=-．用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组．习题 7-4用拉氏变换求解19-22题中的微分方程19．0)0(1053==+-i e i dt di t ，．20．ωω===+)0('0)0(0222y y y dt y d ，，．21．3)0('3)0(4)(2)('3)(''===+-y y t y t y t y ，，． 22．2)0('3)0(32)(16)(''-===+y y t t y t y ，，． 本章内容本章主要内容为：1．拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换．2．拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系：4求1．⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-<≤=.2,2,21,1,10,0)(t t t x f 2．t t t f 2cos 32sin 5)(-=．3．t t f 3sin 8)(2=． 4．t te t f +=1)(．5．at n e t t f =)(．求6-9题中象函数的逆变换6．2)1(1)(-=p p p F ． 7．10293)(2+++=p p p p F ．8．32)2)(1(7155)(-++-=p p p p p F ． 9．p e e p F p p 22)(---=．。