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增减性: 1 当 x 时,y随x的增大而减小
(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
三、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________ 求出表达式后化为一般形式. *3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) _____________ 求出表达式后化为一般形式.
画二次函数的大致图象: ①画对称轴 ②确定顶点 x ③确定与y轴的交点 (-2,0) 0 (3,0) ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线 (1,-6) 25 (0,-6) 1 （—，- — ） 4 2
25 1 （—，- — 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4） 2 1 x=— 对称轴是_________ 。 2 1 x= — y 2
四、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0 c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
y
B
c
o
·
y
x
A
o
x
A、a>0,b=0,c>0,△>0 C、a>0,b=0,c<0,△>0
C B、a<0,b>0,c<0, =0
△
y
D、a<0,b=0,c<0,△<0
o
x
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (上正、下负） (左同、右异)
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0.
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
与x轴有两个不 b2-4ac＞0 同的交点 （x1 ，0） （x2 ，0）
y
O
x y
1.一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系 • 我们知道:代数式b² -4ac对于方程的根起着关键 的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
左加右减，上加下减
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以 得到函数y=x2-5x+6的图象.
5 1 2 y=x2-5x+6 ( x ) 2 4
y=x2
5 2 1 y (x ) 2 4
六.二次函数与一元二次方程的关系
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定 与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a、b同号 a、b异号 b=0
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
(2)已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根 是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 （-2、0）（5/3、0） 2 x +x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
七.二次函数的综合运用
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距 离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 解:∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又∵顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.
O
b2-4ac=0
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
2a
x y
O
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
没有实数根 x
例6:(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两 1＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2个相等的实数根,则m= 1 2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点 .
b 4ac b 2 当x 时, y最大值为 2a 4a
例2： 已知二次函数
1 2 3 y x x 2 2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、 B两点，求C，A，B的坐标。 （3）x为何值时，y随的增大而减少，x为 何值时，y有最大（小）值，这个最大（小） 值是多少？ （4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
五、抛物线的平移
练习五： ⑴二次函数y=2x2的图象向 下 平移 3 个单位可得 到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 右 平移 3个单位可得到 y=2(x-3)2的图象。 ⑵二次函数y=2x2的图象先向 左 平移 1 个单位， 再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的 图象。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的 顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.
分析:
(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)
(2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛 2a b 4ac b 2 顶点坐标是： 2a , 4a 对称轴为：直线 x
二次函数的图象: 是一条抛物线
二次函数的图象的性质: 开口方向; 对称轴; 顶点坐标;
增减性;
最值
25 1 （ —, - — ） 二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________ 4 2 1 x= — 对称轴是_________ 。如何画该二次函数的大致图象。 2 1 x= — y 2
2.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax² ＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次 方程ax² ＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 b2 – 4ac= 0 (2)有一个交点 b2 – 4ac > 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
m2 m
- 2χ+1
二、二次函数的图像及性质
y 0 x y 0 x
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
练习三： 1.根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
