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导数单调性习题课

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《函数单调性习题》课件

《函数单调性习题》课件

解答题2
证明函数$f(x) = frac{1}{x}$在区间 $(0, +infty)$上是减函数。
THANKS
单调性的数学表达
设$f(x)$在区间$I$上可导，若$f'(x) > 0$（或$f'(x) < 0$），则函数$f(x)$在区 间$I$上单调递增（或递减）。
函数单调性的性质
1 2
3
函数的单调性与导数的关系
如果函数在某区间上单调递增（或递减），则其导数在此区 间上非负（或非正）。
单调性的传递性
若函数$f(x)$在区间$I$上单调递增，且$g(x)$在区间$J$上 单调递增，且$I subseteq J$，则复合函数$f(g(x))$在区间 $I$上也单调递增。
定义法是通过比较函数在某区间内的任意两点之间的函数值来判定函数的单调性，虽然较为繁琐，但 基础且常用。
复合函数单调性判断
需细心分析
复合函数的单调性判断需要仔细分析函数的内外层函数，根据内外层函数的增减性来判断复合函数的单调性。
03
函数单调性习题解析
单调性判断题解析
总结词
掌握判断函数单调性的基本方法
单调性与经济问题
总结词：经济问题
详细描述：在经济领域中，单调性也有着重要的应用。例如 ，股票价格的涨跌、供需关系的变化等，都可以通过单调性 来分析和预测。
单调性与物理问题
01
总结词：物理问题
02
详细描述：在物理学中，单调性 被广泛应用于各种现象的解释和 预测，如物体的运动轨迹、声音 的传播等。
05
单调性在图像上的识别
通过观察函数图像的走势，可以大致判断出函数的单调性。如果在某个区间内，图像始终上升或 始终下降，则说明函数在此区间上单调递增或递减。

函数单调性练习题高中

函数单调性练习题高中

函数单调性练习题高中函数单调性练习题高中在高中数学课程中，函数单调性是一个重要的概念。

它涉及到函数图像的变化趋势，对于理解函数的性质和解决实际问题都有着重要的作用。

本文将为大家提供一些函数单调性的练习题，帮助大家巩固和加深对这一概念的理解。

练习题1：给定函数 f(x) = x^2 + 3x + 2，判断它的单调性。

解答：首先，我们需要求出函数的一阶导数 f'(x)。

对 f(x) 求导得到 f'(x) = 2x + 3。

由于一阶导数 f'(x) 的系数 2 大于 0，所以函数 f(x) 在整个定义域上是单调递增的。

练习题2：给定函数 g(x) = -2x^3 + 5x^2 - 6x + 4，判断它的单调性。

解答：同样地，我们需要求出函数的一阶导数 g'(x)。

对 g(x) 求导得到 g'(x) = -6x^2 + 10x - 6。

我们可以通过求解方程 g'(x) = 0 来找到 g(x) 的驻点。

解这个方程得到 x = 1，将该值代入 g'(x) 的二次函数形式中，我们可以发现 g'(x) 在 x= 1 处取得极小值。

进一步观察可知，g'(x) 的二次项系数 -6 小于 0，所以 g(x)在 x < 1 时是单调递增的，在 x > 1 时是单调递减的。

练习题3：给定函数 h(x) = 3^x，判断它的单调性。

解答：由于函数 h(x) 是指数函数，我们可以通过观察底数 3 的大小来判断它的单调性。

由于 3 > 1，所以函数 h(x) 在整个定义域上是单调递增的。

通过以上的练习题，我们可以看到函数单调性的判断方法是通过求解函数的一阶导数，并观察导数的符号和零点来判断函数的单调性。

对于多项式函数，我们可以通过求解导数的根来确定函数的驻点，从而进一步判断函数的单调性。

而对于指数函数、对数函数等特殊函数，我们可以通过观察底数或底数的倒数的大小来判断函数的单调性。

高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值

高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(A)(0,1)
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,

所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .



因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .

答案:(- , )


[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函

同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课

同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0 )均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
上页 下页 返回
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
上页 下页 返回
定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当

高中数学《导数与单调性》习题课 课件

高中数学《导数与单调性》习题课 课件

★状元笔记 单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的单调递增区间， 使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的单调递减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝xl1nx； (2)f(x)＝xx2-+11； (3)f(x)＝x+2 1-x.
所以当 f(x)在[1，2]上为单调函数时 a 的取值范围是(-∞， 0)∪(0，52]∪[1，+∞)．
【答案】 a≤0 时，增区间为(0，+∞)； a>0 时，增区间为(0，1a)，减区间为(1a，+∞)．
题型三 求参数的取值范围
已知函数 f(x)＝x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(-23，0)内是减函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调减区间是(-23，0)，求 a 的值．
(4)f′(x)＝（2+cosx（）2c+ocsxo-ssxi）nx2（-sinx）＝（22c+ocsoxs+x1）2. 当 2kπ-23π<x<2kπ+23π(k∈Z)时，cosx>-12，即 f′(x)>0； 当 2kπ+23π<x<2kπ+43π(k∈Z)时，cosx<-12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ-23π，2kπ+23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ+23π，2kπ+43π)(k∈Z)上是减函数．
f(x)在(2，3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，可得

函数单调性习题课

函数单调性习题课

自然科学中的应用
气候变化研究
气候变化是一个复杂的过程，但单调性在气 候变化研究中仍然有所应用。例如，气温随 时间呈现出单调递增或递减的趋势，这有助 于我们预测未来的气候变化趋势。
生物种群数量变化
在生态学中，生物种群的数量变化往往呈现 出单调性。例如，某些物种的数量随着时间 的推移呈现出单调递增或递减的趋势。了解 这些单调性有助于我们预测物种的未来发展 趋势，制定相应的保护措施。
单调性与导数的关系
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且导数大于零（或小于零），则函数$f(x)$ 在区间$I$上单调递增（或单调递减）。
单调性在函数图像上的表现
单调递增函数的图像
在平面直角坐标系中，单调递增函数 的图像从左到右上升，即随着自变量 $x$的增大，函数值$y$也相应增大。
单调递减函数的图像
感谢您的观看
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在定义域内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，通过比较$f(x_{1})$和$f(x_{2})$的大小来判断函数的单调性。 如果$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则函数在该区间内单调递增；如果$f(x_{1}) > f(x_{2})$，则函数在该区间内单 调递减。
增，那么对于任意的$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有$f(x_1) < f(x_2)$，从而证明了相
应的不等式。
利用单调性解方程
总结词
利用函数的单调性，可以求解一些方程。
详细描述
通过分析函数的单调性，可以确定方程的解的范围或唯一解。例如，对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递增，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递减，从而可以确定

函数的单调性与导数

函数的单调性与导数
1 2、 求证函数f(x)=x+ （0，1 ）为单 x
调减函数.
y fx = x+ 1 x 2 -1
O1
x
-2
ห้องสมุดไป่ตู้
o
f ( x) sin x x
x
(4) f ( x) 2 x3 3x 2 24 x 1.
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 24 x 1, 解：因为 所以 f ( x) 6 x 2 6 x 24
y
o
x
当 f ( x) 0 , 即x 函数
f ( x) 单调递增;
1 17 1 17 或x 时, 2 2
y
当 f ( x) 0 , 即 1 17 x 1 17 时, 2 函数 f ( x) 单调递减. 2
3 2 f ( x ) 2 x 3 x 24x 1的单调递 函数
增区间为 (, 1 17 ), ( 1 17， 单调 ,) 2 2 减区间为
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x )的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
这里，称A,B两点为“临界点”
o
2
3 x
y f '( x )的图象如 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 x1 x2
f（x）单调递增
O
x1
x2
x
y 0 x
f（x）单调递增
单调递减的图像特点：

导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1

导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1

课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,

导数的应用求单调区间(2)

导数的应用求单调区间(2)

课堂师生互动复习引入结论总结例题1设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能为( )求函数的单调区间例2 试确定函数42-2+=xxy的单调区间学习札记梯度强化练习课堂小结：课后作业1.函数13)(3+-=xxxf的单调减区间为( )(A)(-1,1) (B)(1,2)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)4、如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )(A)在区间(-2,1)内f(x)是增加的(B)在区间(1,3)内f(x)是减少的(C)在区间(4,5)内f(x)是增加的(D)在区间(3,5)内是减少的5、已知函数212)(++=xxxf则函数y=f(x)的单调增区间是( )(A)(-∞,+∞) (B)(-∞,-2)(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)和(-2,+∞)8、若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为［－1,2］，则b＝________,c=________. 6、.函数y=334x-+bx在区间［-1,1］上是增函数,则b的取值范围是_________. 7、已知函数f(x)=ax-xa-2lnx(a≥0).若函数f(x)在其定义域上是单调函数,求a的取值范围.陈淑芸：例题2的变式与课后练习题2重复；例题3变为例题2的变式；课前自主学习1中加入3、已知a是实数，函数f(x)= x (x-a),求函数f(x)的单调区间房臣钢1．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()2．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数3．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．。

5.3 5.3.1 第二课时 函数单调性的应用[习题课]公开课

5.3 5.3.1 第二课时 函数单调性的应用[习题课]公开课

3．已知函数 f(x)＝x－sin x，则不等式 f(x＋1)＋f(2－2x)>0 的解集是 ( )
A.－∞，－13 C．(－∞，3)
B.－13，＋∞ D．(3，＋∞)
解析：因为 f(x)＝x－sin x，所以 f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数 f(x)为奇函
数，函数的导数 f′(x)＝1－cos x≥0，则函数 f(x)是增函数，则不等式 f(x＋1)
已知函数的单调性求参数的值或范围 [例 2] 已知函数 f(x)＝x3－ax－1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围． [解] 由已知得 f′(x)＝3x2－a， 因为 f(x)在(－∞，＋∞)内是单调增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)内恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数．所以实数 a 的 取值范围为(－∞，0]．
利用函数的单调性证明不等式
[例 3]
求证：当
x>1
时，ln
2x－2 x> x＋1 .
[证明] 令 g(x)＝ln x－2xx＋－12，则 g′(x)＝1x－2（x（＋x1＋）1－）22x＋2＝xx（2－x＋2x1＋）12＝
x（（xx－＋11））22，
∵x>1，∴g′(x)>0，
即函数 g(x)在区间(1，＋∞)内是增函数．
上恒成立，又 x2>1，所以1a≤1，所以 a<0 或 a≥1.故实数 a 的取值范围是(－∞，
0)∪[1，＋∞)． 答案：D
2．已知函数 f(x)＝mln x＋(x－1)2－m(x－1)在(2，＋∞)上不单调，则 m 的取值范围

《函数单调性与导数》课件

《函数单调性与导数》课件

导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单

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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.4.1 421.4.1 4Wednesday, April 14, 2021
10、低头要有勇气，抬头要有低气。1 8:30:46 18:30:4 618:30 4/14/20 21 6:30:46 PM
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恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2，) 那么称 在 I 上的图形是凹的；
2
如果恒有
f
(
x1
2
x2
)
2
f
( x1 )
2
f
( x2 )，那么称
在
I
上的图形是凸的；
定理1 设 f (x)在 [a, b上] 连续，在 (a, b内) 可导，那么：
（1）若在 (a, b)内 f (x)单调增加，则 f (x在) [a, b上]的图形是
而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求 导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进 一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若 遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。
2
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一．二阶导数与凸性
一．二阶导数与凸性
定义1. 设 f (x)在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1与 x，2
12、人乱于心，不宽余请。18:30:4618 :30:461 8:30W ednesda y, April 14, 2021
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人教A版高中数学选择性必修第二册习题课导数及其应用课件

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[集训冲关]
1．函数f(x)＝1＋3x－x3
()
A．有极小值，无极大值
B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值
D．有极小值，有极大值
解析：f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)>0， ∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和 (1，＋∞)，∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3， 故选D.
递减．
(2)证明：f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)． 设h(x)＝ex－1－x，h′(x)＝ex－1－1， 由h′(x)＝0得x＝1， 则当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 因此，当x＝1时，h(x)取最小值h(1)＝0. 即对任意实数x都有h(x)≥0，又x2≥0， 所以f(x)－g(x)≥0， 故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．
[集训冲关]
1．函数 f(x)＝2x2－ln x 的单调递增区间是
A.0，12
B．－12，0和12，＋∞
C.12，＋∞
D．－∞，－12和0，12
()
解析：由题意得 f′(x)＝4x－1x＝4x2x－1，且 x>0，由 f′(x)>0，即 4x2－1>0， 解得 x>12.故选 C.
答案：C
2．已知函数 f(x)＝－12x2＋2x－aex. (1)若 a＝1，求 f(x)在 x＝1 处的切线方程；
令 g′(x)＝0，解得 x＝3，列表如下：
故函数 g(x)在 x＝3 处取得极小值，亦即最小值， 即 g(x)min＝－e13，∴a≤－e13， 故实数 a 的取值范围是－∞，－e13.

《导数习题课》课件

《导数习题课》课件
详细描述
复合函数的导数是通过对中间变量求导，然后将结果代入到外层函数中求导得 到的。掌握复合函数的导数可以帮助我们解决一些复杂的函数问题，如求极值 、判断单调性等。
隐函数的导数
总结词
掌握隐函数的导数是解决隐函数问题 的关键。
详细描述
隐函数的导数是通过对等式两边同时 求导，然后解出对x的导数得到的。掌 握隐函数的导数可以帮助我们解决一 些涉及多个变量的问题，如求最值、 判断曲线的形状等。
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总结词
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质 。
详细描述
导数具有一系列重要的性质，包括连续性、可加性、可 乘性和链式法则等。连续性是指函数在某一点的导数等 于该点附近的极限值；可加性是指函数在两点之间的导 数等于两端点导数的和；可乘性是指函数与常数的乘积 的导数等于该常数与函数导数的乘积；链式法则是指复 合函数的导数等于复合函数内部函数的导数与外部函数 的导数的乘积。这些性质在研究函数的单调性、极值和 曲线的拐点等方面具有广泛应用。
导数与函数的最值的综合题
总结词
这类题目通常涉及到利用导 数研究函数的极值和最值，
解决最优化问题。
详细描述
这类题目要求熟练掌握导数 的计算方法和函数的极值判 定，能够利用导数研究函数 的极值和最值，解决最优化
问题。
示例
设函数$f(x) = x^{3} ax^{2} + bx$，若$f(x)$在$( - infty,0)$和$(2, + infty)$上 单调递增，在$(0,2)$上单调 递减，且$f(x)$在$x = 2$处 取得极小值，求$a,b$的值及 $f(x)$的最小值。
导数与函数的零点的综合题
总结词

函数的单调性(习题课)课件

函数的单调性(习题课)课件

应用实例
1
例题分析
分析一些典型的应用实例，如何用单
求最值
2
调性解题。
通过函数的单调性，可以求函数的极
值和最值。
3
优化算法
讨论单调性在一些优化算法中的应用， 如二分查找法。
总结
单调性的重要性和应用 价值
总结单调性的重要性，对数学 和实际问题的研究有何帮助。
学习方法和技巧
分享一些学习函数单调性的方 法和技巧，如何更快地掌握这 个概念。
函数的单调性(习题课)ppt 课件
本次课程将教你们如何判断函数的单调性。单调性是数学中一个重要的概念， 它与函数的性质有关。学习这个概念将有助于我们更好地理解函数。
概述
单调性是指函数在定义域内自变量增大，函数值增大或减小的现象。函数的 单调性是函数的一种性质。掌握函数的单调性可以帮助我们更好地研究函数 的性质，对于解题和建模都有一定的帮助。
2
导数
通过函数的导数，可以更精确地判断函数的单调性。
3
高中数学常见函数的单调性
复习一些常见的函数的单调性。
求解单调区间
定义
若函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称I为f(x)的单调区间。
求解方法
讨论f(x)的导数正负号和零点，确定单调区间的端点。
例题答案解析
说明如何利用导数确定单调递增或单调递减的区间。
牢记注意事项
总结一些学习单调性时需要注 意的点，如何避免常见的错误。
单调递增函数
定义
如果x1 < x2，那么有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增函数。
判断方法
如果函数f(x)在定义域内单调递增，则它的导数f'(x)大于等于0。

人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数同步练习题

人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数同步练习题【基础演练】题型一：函数单调性的定义一般地，函数的单调性与其导函数的正负有关，如在某个区间（a ，b ）内，如果()0x f >'，那么()x f 在这个区间上单调递增，如果()0x f <'，则递减，请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 函数()x ax x f 3-=在R 上为减函数，则A. 0a ≤B. 1a <C. 2a <D. 31a ≤2. 函数()x sin x 1x f -+=在（0，π2）上是A. 增函数B. 减函数C. 在（0，π）上递增，在（π，π2）上递减D. 在（0，π）上递减，在（π，π2）上递增3. 已知()()0a d cx bx ax x f 23>+++=为增函数，则A. 0ac 4b 2>-B. 0b >，0c >C. 0b =，0c >D. 0ac 3b 2<-4. x ln x y =在（0，5）上是A. 单调增函数B. 单调减函数C. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是增函数D. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛5,e 1上是减函数题型二：求函数的单调区间利用导数求函数单调区间时注意：①确定定义域；②求()0x f >'、()<'x f 0的区间从而确定增区间、减区间；③如果在多个区间上单调性相同，不能并起来，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 函数5x 2x y 24+-=的单调减区间为A. ()1,-∞-和（0，1）B. []0,1-和),1[∞+C. []1,1-D. ()1,-∞-和),1[∞+6. 函数x cos x y =在下面哪个区间是增函数A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23,2B. ()ππ2,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ25,23D. ()ππ3,27. 已知函数()d cx bx x x f 23+++=的图象过点P （0，2），且在点M （-1，()1f -）处的切线方程为07y x 6=+-， （1）求函数()x f y =的解析式；（2）求函数()x f y =的单调区间。

1.1-1.4导数及其应用习题课

1.1-1.4导数及其应用习题课
1 由于直线 x 2 y 3 0 的斜率为 ，且过点 (1,1) ， 2
f (1) 1, 故 1 即 f '(1) 2 , b 1, a 1 2 b 2 ,
解得 a 1 ， b 1 .
例题讲解
ln x 1 , 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)= x 1 x
当 a 2 时， x1 a，x2 a ，从而 f ( x ) 在 f ( x ) 的定义域内没有零点， 故 f ( x ) 无极值． 当a
2 时， x1 a ， x2 a ， f ( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点，
由极值判别方法知 f ( x ) 在 x x1，x x2 取得极值． 综上， f ( x ) 存在极值时， a 的取值范围为 ( 2， ) ．
在该区间上的最大值.
【思路点拨】 （1）要使 f ( x ) 在 ( 2 , ) 上存在单调递增区间，需 f ' (x) 在 ( 2 , )
3
3
上恒大于零，即得 a 的取值范围.（2）首先求出 f ( x ) 在 [1, 4] 上的最小值为 f(4), 从而求出 a 的值，进一步易求 f ( x ) 在该区间上的最大值为 f(2).
2 x 2 2ax 1 （Ⅱ） f ( x ) 的定义域为 (a， ) ， f ( x) ． xa
方程 2 x 2ax 1 0 的判别式 4a 8 ．
2 2
（ⅰ）若 0 ，即 2 a （ⅱ）若 0 ，则 a
2 ，在 f ( x) 的定义域内 f ( x) 0 ，故 f ( x) 无极值．
a b 2 1 . (2)由f(α)=-1和f(β)=1可得: 2 a b 1

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版

利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出 单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的 定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征， 利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能 用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内 没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不 恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的 充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数 的符号．

函数单调性与极值习题课.doc

函数单调性与极值习题课.doc

y顼（x）的图象大致是（A. ( —, +8)B. (0, —)C. (0, +3) a aD. (0, a)A4. y = x2 - e~x（x > 0）的单调递增区间为B5.A6.1 0如果函数y = -x2+\nx-ax在定义域上为增函数，则a的取值范围是求函数y =上亍一m工的单调区间。

【学习目标】1、明确利用导函数研究原函数性质（如单调性、极值、最值）的方法；2、总结恒成立问题的求解思路：（1）转化为最值问题（2）分离参数。

［学法指导】运用导数研究函数的性质，题型丰富多样，在处理问题中应抓住以下几点：（1）抓住基本思路：即导函数的正负决定原函数的增减；要求函数在某段闭区间上的最值，先求极值和端点函数值再比较。

（2）对于复杂问题，要善于转化，将所给问题转化为研究某个函数的某个性质，再借助导函数模拟原函数的图像，数形结合分析、处理问题（3）以三次函数为载体，熟悉借助导数研究函数性质的方法。

考点一、导函数与单调性A1.已知函数y = VV）的图象如图［其中广⑴是函数f（x）的导函数1，下面四个图象中)函数f(x)=lnx-ax(a>0)的单调递增区间为( )2 gC7.已知函数f(x) = -x-(x2-3ax一一)(♦ c R),若函数f(x)在(1, 2)内是增函数，求3 2a的取值范围。

小结:(1)求函数/(X)的单调区间即解不等式,对于定义域不是R的函数在求单调区间时要先注意；(2)己知可导函数了0)在区间(",/?)单调递增，则Pxgb),都有r(i)Oo考点二、函数的极值和最值7A1.设函数/(x) = - + ln%,则( )xA. x=L为f(x)的极大值点B. x=L为f(x)的极小值点2 2C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点A2.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在［.2, 2］上有最小值.37,求a的值，并求f(x)在［.2, 2］上的最大值。

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3.3.1利用导数判断函数的单调性(习题)
一、基础盘点
2.)('x f >0（或)('x f <0）是函数在(a ，b ）上单调增（或减）的_____________条件.
3.用导数求函数单调区间的步骤.
二、直击考点
例1. 若函数12
3+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 .
变式题1:若函数123+++=mx x x y 有三个单调区间，则实数m 的取值范围是 .
变式题2:若函数123+++=mx x x y 在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增,则实数m 的值是 .
变式题3：若函数123+++=mx x x y 在1(0,)2上既不是单调递增函数也不是单调递减函数,则整数m 的值是 .
变式题4：若函数123+++=mx x x y 的单调递减区间是4[2,]3
-，则实数m 的值是 .
例2. 设R a ∈，函数)()(2
a ax x e x f x +-=，求函数)(x f 的单调区间。

例3.设函数2
()ln 2,R 2
ax f x a x x a =+-∈.当0a ≥时，试求函数()f x 的单调区间。

例4.已知函数3211()2()32
f x x ax ax x R =-++∈,a R ∈ (1)函数f(x)是否在R 上单调递减，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由；
(2）若函数f (x)在[1,1]-上单调递增，求a 的取值范围.
例5.若2
33)(x x x f +=在区间[2m-1,m+1]上递增,求m 的取值范围.
二、解密高考
1.【2013年高考山东（文）】已知函数f(x)＝ax 2＋bx －lnx (a,b∈R)．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；
2.【2013年高考四川文】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数 (1)指出函数f(x)的单调区间；
3.【2013年高考湖北卷（文）】设0a >,0b >,已知函数()1
ax b f x x +=
+. (Ⅰ)当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性;
4.【2013年高考大纲卷（文）】已知函数()32
=33 1.f x x ax x +++
(I)求()f ;a x =的单调性;
(II)若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围。