九年级数学上册专题突破讲练解决圆锥问题的四字秘诀试题新版青岛版

解决坡角、坡比问题坡度、坡角1. 坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ＝h ∶l 。

2. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，且i ＝h l＝tan α。

B方法归纳：（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。

总结：1. 理解坡度、坡角的有关概念。

2. 能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。

例题 如图，某地计划在坡比为i ＝1：4的山坡OP （OQ 为地面水平线）上逐排建造楼房AB 、CD 等。

已知楼高（AB 、CD 等）均为20米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。

（1）求斜坡OP 的坡角的度数；（2）为使冬季正午时后面的楼（CD ）完全不被前面一幢楼（AB ）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离BD 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）（以下数据供选用：sin14°30'＝0.25，tan14°＝0.25，cos75°30'＝0.25，cos14°＝0.97，tan40°＝0.84）解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数．（2）可过D 作OQ 的平行线，延长AB 与平行线相交于点H ，构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。

答案：（1）∵坡比为i ＝1：4，即tan ∠POQ ＝14＝0.25，∴斜坡OP 的坡角的度数为14°。

（2）如图，过D 作OQ 的平行线，交AB 的延长线于点H ，设BH 为x ，则AH ＝20＋x ，DH ＝BH ÷tan ∠POQ ＝4x ，由题意可知，（20＋x ）：4x ＝0.84，解得x ＝8.47，即BH ＝8.47，DH ＝4x ＝33.9，BD ＝DH cos14°＝33.90.97≈35.0（米），即两楼间的斜坡距离BD 至少为35.0米。

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题24.12圆锥的计算（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023•香洲区二模）圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．25πB ．20πC ．15πD ．12π2．（2022秋•东莞市期末）一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．20cmD ．30cm3．（2023•芝罘区一模）如图，圆锥的母线长为5cm ，高是4cm ，则圆锥的侧面展开扇形的圆心角是（ ）A ．180°B ．216°C ．240°D ．270°4．（2023•天门校级模拟）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为2的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．√22πB ．√2πC ．2πD ．2√2π5．（2023•霍林郭勒市模拟）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）A ．27cm 2B ．54cm 2C ．27πcm 2D ．54πcm 26．（2023•红塔区模拟）将一个直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆锥，若这个直角三角形斜边的长为13cm ，圆锥的侧面积为65πcm 2，则该圆锥的高为（ ）A ．5cmB ．12cmC ．13cmD ．√69cm7．（2022秋•信都区校级期末）如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆半径是（ ）A ．π4B ．√24C ．√22D ．18．（2023春•江岸区校级月考）如图，将扇形OAB 纸片沿着半径剪成两个扇形，∠AOB ＝164°，其中较小的扇形的圆心角为α，围成一个圆锥甲（纸片不重合），记它的底面积为S 甲；较大的扇形的圆心角为β，围成一个圆锥乙（纸片不重合），记它的底面积为S 乙；若S 乙＝9S 甲，则α＝（ ）A ．41B ．45C ．36D ．409．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm 的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm10．（2022•建邺区一模）如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为（）A．3：2B．7：4C．9：5D．2：1二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•南通期末）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形制作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．12．（2023•常州模拟）用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为．13．（2023•阿瓦提县模拟）某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线AB＝5米，半径OB ＝4米，则圆锥的侧面积是平方米（结果保留π）．14．（2022秋•阜宁县期末）如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝2，扇形的半径R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是．15．（2023•南海区校级模拟）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母线长为．16．（2022•安阳一模）如图，菱形纸片ABCD的边长为6，∠A＝60°，在菱形中剪下一个以点A为圆心，AB长为半径的扇形后，在剩余部分中再剪下一个圆，若以剪下的扇形为侧面，以剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则纸片剩下部分的面积为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023春•永吉县期中）如图，过圆锥的顶点S和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△SAB，其中SA ＝SB，AB是圆锥底面圆O的直径，已知SA＝7cm，AB＝4cm，求截面△SAB的面积．18．（2023•古丈县一模）在半径为√3的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．（1）求这个扇形的半径；（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．19．（2021秋•长沙县期末）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径长为（结果保留根号），∠ADC的度数为；（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的周长为．（结果保留根号）20．（2021秋•海曙区期末）如图，扇形圆心角∠AOB＝α，半径OA＝6，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2．（1）求α；（2）点C是OA上的一点，若OC＝4，求S阴影．21．（2023•工业园区校级模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）22．（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．23．（2023•丰润区模拟）如图，把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在起，且∠AOB＝∠COD，连接AC．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若OA＝5cm，OC＝3cm，弧AB的长为3πcm，弧CD的长为1.8πcm，求阴影部分的面积．（3）在（2）的条件下求由扇形OAB围成的圆锥的高．。

建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤1. 恰当地建立直角坐标系;2。

将已知条件转化为点的坐标；3。

合理地设出所求函数关系式；4。

代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5. 利用关系式求解问题。

方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键；（2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；（3)设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种；（4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。

总结：1。

能分析实际问题中数量关系,建立二次函数模型.2. 能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。

例题1 如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 之间按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.36米，则立柱EF 的长为（ ）A BC E FOA. 0.4米B. 0.16米C. 0.2米 D 。

0。

24米解析：由于按相同的间距0。

2m 用5根立柱加固,则AB ＝0.2×6＝1。

2，以C 为坐标系的原点，OC 所在直线为y 轴建立坐标系，由此得到抛物线过B （0。

6,0.36）、C （0，0)、A （－0。

6，0。

36）,据此求出其解析式。

把x ＝－0.4代入后求出y ，令EF=0.36－y即可。

答案:如图，以C为坐标系的原点,OC所在直线为y轴建立坐标系,设抛物线解析式为y＝ax2,由题意知，图象过B（0。

6，0.36），代入得:0。

36＝0。

36a，∴a＝1，即y＝x2。

∵F点横坐标为－0。

4，∴当x＝－0。

4时，y＝0。

16，∴EF＝0。

36－0.16＝0.2米。

故选C.点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。

主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键.例题2一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面错误! m，与篮筐中心的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m。

拓展：15 角的三角函数值1. 三角函数sinA a c ==对边斜边 cosA b c ==邻边斜边 tanA ab==对边邻边 2. 特殊角的三角函数值3.15角的三角函数值的求法在Rt ABC ∆中，90=∠C ，30=∠BAC ，求15角的三角函数值。

解答：延长CA 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ，设BC ＝a 。

在Rt ABC ∆中，90=∠C ，30=∠BAC ，a 3,2==∴AC a AB 。

在BAD ∆中，AD ＝AB ，30=∠BAC ，15=∠=∠∴DBA D在Rt DBC ∆中，BC ＝a ，DC ＝DA ＋AC ＝a )23(+，22222)23(a a DC BC BD ++=+=∴＝2222)31(2)324(2)348(+=+=+a a a＝（1＋3）2a ＝（26+）a426)26(a 15sin -=+==∴a BD BC 3215tan 42615cos -==+==DCBCBDDC根据互为余角的三角函数的关系：42615cos 75s +== in ，42615sin 75cos -==3215cot 75tan +== 。

例题 如图，在Rt ABC ∆中，90=∠C ，30=∠BAC ，求15角的三角函数值。

解析：通过作BAC ∠的平分线AD ，构造15=∠=∠BAD DAC ，然后通过Rt ACD ∆，利用三角函数的定义求15角的三角函数值。

答案：作BAC ∠的平分线AD ，30=∠BAC ，15=∠=∠∴BAD DAC 。

在Rt ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠BAC 。

设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a 。

将ACD ∆沿AD 翻折，交AB 于点E ，则,AED ACD ∆≅∆于是BE ＝AB －AE ＝（2－3）a ，∵∠B ＝60°，∠BED ＝90°，∴30=∠BDE ，得BD ＝2（2－3）a ，∴a a a CD )332()32(2-=--=∴AD ＝a 3122422-=+AC DC a a 2)31(6)324(6-=-=＝a )13(6-∴sin15＝426-=ADDC。

相似中的“射影定理”1. 射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid ）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）2AD BD DC =⋅ （2）2AB BD BC =⋅ （3）2AC CD BC =⋅△ABC∽△ABD∽△DAC注意：（1）在Rt △ABC 中，A D 为斜边BC 上的高，图中共有6条线段：AC 、BC 、CD 、AD 、DB 、AB ，已知任意两条，便可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条； （3）平方项一定是两相似三角形的公共边。

2. 定理推论在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，且满足BAD C ∠=∠，则有2AB BD BC =⋅。

△ABD∽△CBA例题1 已知CD 是△ABC 的高，DE ⊥CA ，DF ⊥CB ，求证：△CEF ∽△CBA 。

解析：根据△CDE ∽△CAD 和△CDB ∽△CFD 得2CD CE CA =和2CD CF CB =⋅利用等量代换和变形，即可证明△CEF ∽△CBA 。

答案：证明：在Rt △ADC 中，由射影定律得，2CD CE CA =⋅， 在Rt △BCD 中，2CD CF CB =⋅ ∴CE CA CF CB ⋅=⋅ ∴CE CFCB CA=∵ECF BCA ∠=∠ ∴△CEF ∽△CBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。

做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。

例题2 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD ⊥AB 于D 。

若AE ＝AC ，BE 交⊙O 于点F ，连接CF 、DE 。

求证：（1）2•AE AD AB = （2）ACF AED ∠=∠解析：（1）根据AE ＝AC ，可以把结论转化为证明2•AC AD AB =，只需连接BC ，证明△ACD ∽△ABC 即可。

sinA=对边拓展：15 角的三角函数值1.三角函数a邻边b对边a=cosA==tanA==斜边c斜边c邻边b2.特殊角的三角函数值角度值30°45°60°函数sinαcosαtanα1232332222132123 3.15 角的三角函数值的求法在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠BAC=30 ，求15 角的三角函数值。

解答：延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，设BC＝a。

在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠BAC=30 ，∴AB=2a,AC=3a。

在∆BAD中，AD＝AB，∠BAC=30 ，∴∠D=∠DBA=15在Rt∆DBC中，BC＝a，DC＝DA＋AC＝(3+2)a，∴BD=BC2+DC2=a2+(3+2)2a2＝(8+43)a2=2a2(4+23)=2a2(1+3)2＝（1＋3）2a＝（6+2）a∴s in15 =BC a6-2==BD(6+2)a4cos15 =DCBD=6+24tan15 =BCDC=2-3根据互为余角的三角函数的关系：sin75 =cos15 =6+24tan75 =cot15 =2+3。

，cos75 =sin15 =6-24例题如图，在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠BAC=30 ，求15 角的三角函数值。

解析：通过作∠BAC的平分线AD，构造∠DAC=∠BAD=15 ，然后通过Rt∆ACD，利用三角函数的定义求15 角的三角函数值。

答案：作∠BAC的平分线AD，∠BAC=30 ，∴∠DAC=∠BAD=15 。

在Rt∆ABC中，∠C=90 ，∠BAC=30 。

设BC＝a，则AB＝2a，AC＝3a。

将∆ACD沿AD翻折，交AB于点E，则∆ACD≅∆AED,于是BE＝AB－AE＝（2－3）a，∵∠B＝60°，∠BED＝90°，∴∠BDE=30 ，得BD＝2（2－3）a，∴CD=a-2(2-3)a=(23-3)a∴AD＝DC2+AC2=24-123a=6(4-23)a=6(1-3)2a＝6(3-1)a∴sin15 ＝DCAD=6-24。

解直角三角形方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。

在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。

（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。

总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。

例题 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB ＝13，AD ＝1。

（1）求BC 的长； （2）求tan∠DAE 的值。

解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC ＝1；解Rt△ADB，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ，然后根据BC ＝BD ＋DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE ＝CE －CD ，然后在Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可求解。

答案：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。

在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，∴DC＝AD＝1。

在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，∴AB＝ADsinB＝3，∴BD＝AB2－AD2＝22，∴BC＝BD＋DC＝22＋1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE＝12BC＝2＋12，∴DE＝CE－CD＝2－12，∴tan∠DAE＝DEAD＝2－12。

点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。

解直角三角形时应注意以下问题：（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”；（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。

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解决圆锥问题的四字秘诀关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可以用四个字来概括：一、二、三、四.其中：“一个转化"，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形——扇形问题；“二个对应",是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径；“三个图形"，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决；“四个公式"，是指圆锥侧面问题需要用①l 2=r 2+h 2，其中,如图,圆锥的底面半径r ，圆锥母线ι,圆锥的高h ，构成直角三角形； ②2=360n S l π侧 ③S 侧=21·2πr·ι=πrι ④2=S rl r ππ+全.圆锥侧面问题公式的灵活应用圆锥侧面问题四个公式共有5个量：l 、h 、r 、n 、S 侧，由于每个公式中只有三个量,从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。

一、计算圆心角的度数例题1 （浙江中考)若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥,则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ）A. 90° B 。

120° C. 150° D 。

180° 解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用弧长公式求解。

解密一元二次方程配方法一、一元二次方程的解法——配方法 1. 配方法的依据完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±2. 配方法的步骤①二次项的系数为“1”的时候：在常数项加上一次项系数一半的平方，在减去一次项系数一半的平方，如下所示：示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同①：示例：22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-= 注意：（1）一次项系数是正数时，配方后括号内为加法，反之，括号内为减法。

（2）由②可得x =，所以，解方程时可不经过配方过程直接套用公式。

（3）在配方时加一项，同时要减一项，保证值不变；也可以在等号两边同时加一项，保证等式成立。

二、配方法应用1. 解决代数式最值问题通过配方把代数式化简为2a m +或2a m -+的形式，因为20a ≥，可知代数式有最大或最小值m 。

2. 解决二次根式开方问题a =来解决二次根式的开平方问题。

注意：（1）在代数式变形过程中，要注意保持原有代数式的数值不变。

（2）配方思想的重要依据是两个完全平方公式（包含特殊情况）、公式的变形以及两个公式之间的关系，要熟练掌握。

例题1 若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为（ ）A. －2B. －4C. －6D. 2或6解析：由题意可知：二次三项式x 2－ax ＋2a －3中，二次项系数为1，则常数项2a －3为一次项系数－a 一半的平方，据此列方程即可求得a 的值。

答案：根据题意列方程可得：2232a a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得：a ＝2或a ＝6。

故选D 。

点拨：本题考查完全平方式的定义，熟练掌握配方技巧是解题的关键。

例题2 试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

解析：利用配方法可把47102-+-x x 分成一个负的完全平方式加上一个负数的形式，从而可确定此代数式必小于0。

青岛版九年级数学上册专题突破练习圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。

说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。

方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。

方法依据：（垂径定理推论）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

3. 与切线有关的辅助线作法：（1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来, 则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。

（2）点未知，作垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径（r）。

（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

例题1 O o的弦AB cD相交于点P,且Ac=BD求证：Po 平分/ APD 解析：由等弦Ac=BD可得出弧Ac等于弧BD,进一步得出弧AB等于弧cD,从而可证等弦AB=cD由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线oE丄AB, oF丄cD,易证△ 0卩磴厶oPF,得出Po平分/ APD答案：证明：作oE丄AB于E, oF丄cD于FAc=BD••• AB=cD•••/ oPE=/ oPF••• Po 平分/ APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例题2（鞍山一模）如图，在等腰三角形ABc 中，AB=Ac以Ac为直径作圆o,与Bc交于点E,过点E作ED 丄AB,垂足为点Do求证：DE为O o的切线。

解析：连接oE,根据等边对等角，由AB=Ac得到/ B=Z c, 再由半径oc与oE相等得到/ c=Z cEo,利用等量代换得到 / B=Z cEo,由同位角相等两直线平行，得到AB与Eo平行，再根据两直线平行内错角相等，由角BDE为直角得到角DEo为直角，又oE为圆o的半径，根据切线的判断方法得到DE 为O o的切线。

九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的角试题（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册专题突破讲练与圆有关的角试题（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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与圆有关的角角是几何图形中最重要的元素，圆心角和圆周角是圆中比较常见的角。

圆的特征赋予角极强的灵活性，使得角之间能灵活的互相转化。

1。

圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. O BA CD说明：在同圆或等圆中，根据圆周角与圆心角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索.2. 圆周角定理推论：推论1:半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。

推论2:圆内接四边形的对角互补。

说明：根据圆周角定理推论,可将直角三角形引入到圆中，解决圆中有关角或线段问题；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角,可将与圆有关的角互相联系起来。

3. 弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.说明:根据弧、弦、圆心角之间的关系，可在圆中弧、弦、圆心角之间架起一道桥梁。

4. 切线性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径说明：圆的切线垂直于过切点的半径，可以把圆的有关问题转化为直角三角形的问题解决.示例:如图，AB 是⊙O 的切线,B 为切点，AO 与⊙O 交于点C ，若∠BAO=40°，则∠OCB 的度数为（ ）A。

解决仰角、俯角问题仰角、俯角1. 铅垂线：重力线方向的直线；2. 水平线：垂直于铅垂线的直线；3. 仰角：视线在水平线上方的角叫做仰角；4. 俯角：视线在水平线下方的角叫做俯角。

OC D水平线方法归纳：（1）仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”；（2）实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形或转化到直角三角形中运用，注意确定水平线。

总结：1. 能够分清仰角和俯角，正确解答与仰角和俯角有关的三角函数问题。

2. 在测量物体的高时，要善于将实际问题抽象为数学问题。

例题 我国为了维护对钓鱼岛（点P ）的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航。

在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC ＝5000m 。

轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处的飞机的仰角为30°。

试求飞机的飞行距离BD （结果保留根号）。

解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF 和△PDG 中分别求出BF 、GD 的值，由BF ＋FG ＋DG 求BD 的长。

答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F 、G ，由题意得：AF ＝PG ＝CE ＝5000m ，FG ＝AP ＝20km ，在Rt△AFB 中，∠B＝45°，则∠BAF＝45°，∴BF＝AF ＝5。

∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30°，在Rt△PGD 中，tan∠D＝GP GD ，即tan30°＝5GD，答：飞机的飞行距离BD 为25＋53km 。

点拨：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，虽然难度一般，但非常具有代表性。

用三角函数测量建筑物的高度，常见类型如下：（1）htan α＝l ，h ＝l ·tan α；（2）h tan α－h tan β＝l ，h ＝tan β－tan αtan α·tan βl ；（3）h tan α＋h tan β＝l ，h ＝tan α＋tan βtan α·tan βl 。

九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题（新版）青岛版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册专题突破讲练三招判定切线试题（新版）青岛版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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三招判定切线直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。

如何判定直线和圆相切？以下三招可以助你一臂之力!第一招：确定直线和圆交点的个数.如果直线和圆有唯一的公共点，那么这条线是圆的切线，这个点是切点. 第二招：比较圆心到直线的距离与半径的大小。

如果圆心到直线的距离等于圆的半径,那么这条线是圆的一条切线。

说明：第三招：利用切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，如图:点A 是直线AB 与圆O 的公共点，如果OA⊥AB,那么直线AB 是圆O 的一条切线。

说明：该定理必须具备两个条件:⑴经过半径的外端；⑵垂直于半径；两个条件缺一不可.例题1 如图,直线AB 、CD 相交于点O ，∠A OC=30°,半径为1cm 的圆P 的圆心在射线OA 上,开始时,PO=6cm,如果圆P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动,那么当圆P 的运动时间t （秒）满足什么条件时，圆P 与直线CD 相切？ PDC O B A解析：要想保证圆P 与直线CD 相切,就要使点P 到直线CD 的距离等于1cm.符合条件的圆有两个，圆心分别在点O 的两侧。

答案：如下图P 2P 1F E DC O BA（1）当圆P 运动到点P 1时，可得1PE CO ⊥，又因为∠AOC=30°，所以11221OP PE ==⨯ =2cm ，所以圆P 运动到圆1P 所用的时间16241t -==（秒）； （2)当圆P 继续向B 运动，当点P 到达点P 2时，F P 2=1cm 同理可得:28t =（秒）。

剖析与圆有关的计算圆中有关的计算问题主要涉及以下三个知识点：1. 利用勾股定理：要想利用勾股定理解题，必须确定出直角三角形，根据两直角边的平方和等于斜边的平方求出未知线段；或者用同一字母表示出三条边长，并根据勾股定理列出方程求解；2. 利用三角函数：利用三角函数求线段长也必须在直角三角形中才能实施，在直角三角形中知道一角一边即可解此直角三角形得出未知的角和边，因此熟记特殊角的三角函数值是解决问题的基础；注意：在圆中，往往利用垂径定理和直径所对的圆周角以及切线的性质构造直角三角形。

3. 利用相似三角形：利用相似三角形求线段长是圆中最重要的一种解题方法和思路。

因此要善于发现和构造相似三角形。

常见的相似三角形模型有：例题（南充）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP 于点G，E在CD的延长线上，EP＝EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF•BO。

试证明BG＝PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB CD的长。

解析：（1）连结OP，先由EP＝EG，证出∠EPG＝∠BGF，再由∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，推出∠EPG＋∠OPB＝90°来求证。

（2）连结OG，由BG2＝BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO＝∠BFG＝90°，根据垂线定理可得出结论。

（3）连结AC、BC、OG，由sinB＝33，求出OG，由（2）得出∠B＝∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度。

解答：（1）证明：连结OP，∵EP＝EG，∴∠EPG＝∠EGP，又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG＝∠BGF，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG＝∠BGF＋∠OBP＝90°，∴∠EPG＋∠OPB＝90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2＝BF•BO，∴BG BF BO BG，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°，由垂线定理知：BG ＝PG ；（3）解：如图，连结AC 、BC 、OG 、OP ，∵sinB∴OG OB = ∵OB ＝r ＝3，∴OG由（2）得∠EPG ＋∠OPB ＝90°， ∠B ＋∠BGF ＝∠OGF ＋∠BGF ＝90°， ∴∠B ＝∠OGF ，∴sin ∠OGF ＝OFOG∴OF ＝1，∴BF ＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4， 在Rt △BCA 中，CF 2＝BF •FA ，∴CF ==∴CD ＝2CF ＝点拨：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值。

解直角三角形图形已知类型已知条件解法步骤A BCa b c两边斜边，一直角边 （如c 、a ）①b ＝c 2－a 2；②由sinA ＝a c，求∠A； ③∠B＝90°－∠A 两直角边（如a 、b ）①c ＝a 2＋b 2；②由tanA ＝a b，求∠A； ③∠B＝90°－∠A 一边一角斜边，一锐角（如c ，∠A）①∠B＝90°－∠A；②由sinA ＝a c ，求a ＝c ·sinA；③由cosA ＝bc，求b ＝c ·cosA一直角边，一锐角 （如a 、∠A）①∠B＝90°－∠A；②由tanA ＝a b ，求b ＝atanA；③由sinA ＝a c ，求c ＝asinA方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。

在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。

（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。

总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。

例题 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB ＝13，AD ＝1。

（1）求BC 的长； （2）求tan∠DAE 的值。

解析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC ＝1；解Rt△ADB，得出AB ＝3，根据勾股定理求出BD ，然后根据BC ＝BD ＋DC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE 的值，则DE ＝CE －CD ，然后在Rt△ADE 中根据正切函数的定义即可求解。

答案：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°。

教学资料参考范本【精选】最新九年级数学上册专题突破讲练解直角三角形试题青岛版撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________解直角三角形的基本类型以及解法图形已知类型已知条件解法步骤AB C a bc 两边斜边，一直角边 （如c 、a ） ①b ＝c2－a2；②由sinA＝ac，求∠A；③∠B＝90°－∠A两直角边 （如a 、b ） ①c ＝a2＋b2；②由tanA＝ab，求∠A；③∠B＝90°－∠A 一边一角斜边，一锐角 （如c ，∠A） ①∠B＝90°－∠A； ②由sinA＝ac ，求a ＝c ·sinA；③由cosA＝bc，求b ＝c ·cosA一直角边，一锐角 （如a 、∠A）①∠B＝90°－∠A；②由tanA＝a b ，求b ＝atanA；③由sinA＝a c ，求c ＝asinA方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。

在没有特殊说明的情况下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。

（2）直角三角形的特殊性质：①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

（3）直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。

总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。

例题 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB ＝，AD ＝1。