2011届高三数学一轮复习教案：(教师用)第十二章导数及其应用2

第3讲导数的应用(二)【2013年高考会这样考】1．利用导数求函数的极值．2．利用导数求函数闭区间上的最值．3．利用导数解决某些实际问题．【复习指导】本讲复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决．复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.基础梳理1．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． 三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． (2)f ′(x 0)＝0是y ＝f (x )在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件． 如①y ＝|x |在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导； ②f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )＝x 3的极值点．(3)若y ＝f (x )可导，则f ′(x 0)＝0是f (x )在x ＝x 0处取极值的必要条件．双基自测1．(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f (x )在x ＝1处的导数值为零，12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号．答案 D2．已知函数f(x)＝14x4－43x3＋2x2，则f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极大值，有极小值C．有极小值，无极大值D．无极小值，无极大值解析f′(x)＝x3－4x2＋4x＝x(x－2)2f′(x)，f(x)随x变化情况如下x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0＋f(x)04 3因此有极小值无极大值．答案 C3．(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件解析y′＝－x2＋81，令y′＝0解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C.答案 C4．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)当x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故当x＝2时取得极小值．答案 25．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析 ∵f (x )在x ＝1处取极值，∴f ′(1)＝0， 又f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2，∴f ′(1)＝2×1×(1＋1)－(1＋a )(1＋1)2＝0，即2×1×(1＋1)－(1＋a )＝0，故a ＝3. 答案 3考向一 函数的极值与导数【例1】►(2011·重庆)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．[审题视点] 由条件x ＝－12为y ＝f ′(x )图象的对称轴及f ′(1)＝0求得a ，b 的值，再由f ′(x )的符号求其极值． 解 (1)因f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b . 从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－a6对称， 从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6.运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 【训练1】 (2011·安徽)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立． 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.考向二 函数的最值与导数【例2】►已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值． [审题视点] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值． 解 (1)f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4. (2)因为f ′(－1)＝0，所以a ＝12，有f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，所以f ′(x )＝3x 2－x －4. 令f ′(x )＝0，所以x ＝43或x ＝－1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－1)＝92，f (－2)＝0，f (2)＝0，所以f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值分别为92、－5027.一般地，在闭区间[a ，b ]上的连续函数f (x )必有最大值与最小值，在开区间(a ，b )内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上单调递增，则f (a )是最小值，f (b )是最大值；反之，则f (a )是最大值，f (b )是最小值．【训练2】 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象 在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行 (1)求a ，b ；(2)求函数f (x )在[0，t ](t >0)内的最大值和最小值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax由已知条件⎩⎨⎧f (1)＝0，f ′(1)＝－3，即⎩⎨⎧ a ＋b ＋1＝0，2a ＋3＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2， f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)， f ′(x )与f (x )随x 变化情况如下：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x )＋－0 ＋f (x )2－2由f (x )＝f (0)解得x ＝0，或x ＝3 因此根据f (x )的图象当0<t ≤2时，f (x )的最大值为f (0)＝2 最小值为f (t )＝t 3－3t 2＋2；当2<t ≤3时，f (x )的最大值为f (0)＝2， 最小值为f (2)＝－2；当t >3时，f (x )的最大值为f (t )＝t 3－3t 2＋2，最小值为 f (2)＝－2.考向三 用导数解决生活中的优化问题【例3】►(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[审题视点] 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．解 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．【训练3】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 (1)设汽车以x 千米/小时的速度行驶时，其耗油量为 f (x )＝100x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8＝x 21 280＋800x －154(0<x ≤120) f (40)＝17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升．(2)f′(x)＝x640－800x2＝x3－512 000640x2＝(x－80)(x2＋80x＋6 400)640x2又0<x≤120，令f′(x)＝0解得x＝80，当0<x<80时，f′(x)<0；当80<x≤120时，f′(x)>0.则当x＝80时，f(x)取到最小值f(80)＝11.25(升)因此当汽车以80千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为11.25升．难点突破7——有关导数热点问题的求解策略导数的工具性使得导数在高考中的应用有得天独厚的优势，特别是在研究函数的性质、相切问题以及实际优化的问题方面．近年，各地高考都从不同的方面对导数内容进行考查，既有考查导数的小题，又有考查导数综合应用的大题．这些问题构成了高考试卷中一道亮丽的风景线．一、研究曲线切线的导数问题导数的几何意义是我们解决有关直线与曲线相切的问题以及切线的斜率问题的有力武器，它使得复杂的图象关系问题转化为简单的函数问题、因而常常与导函数在切点的函数值一起作为列出方程的重要依据．【示例】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝x＋ax2＋b ln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2(1)求a、b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.二、研究函数性质的导数问题导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题．【示例】► (2011·陕西)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立．▲解决实际问题的导数问题(教师备选)对于实际问题中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法，因此，导数被广泛地应用于实际生活中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．【示例】►如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比．(1)将此枕木翻转90°(即宽度变为了厚度)，枕木的安全负荷会变大吗？为什么？(2)现有一根横截面为半圆(半圆的半径为R)的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？。

【考纲解读】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．3．生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题． 4．定积分与微积分基本定理（理科）（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． （2）了解微积分基本定理的含义．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.导数是历年来高考重点内容之一,导数的应用的考查，选择题、填空题与解答题的形式都有可能出现,在考查导数知识的同时，又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力；对理科考生，高考还会以选择题或填空题的形式考查定积分与微积分基本定理.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查导数的应用,理科还会考查定积分与微积分基本定理,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】1.(函数单调性的充分条件)设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f /(x)>0,则f(x)为增函数;如果f /(x)<0,则f(x)为减函数.2.(函数单调性的必要条件) 设函数y=f (x)在某个区间内可导,如果f(x)在该区间上单调递增(或递减),则在该区间内f /(x)≥0(或f /(x)≤0). 3.利用导数判断函数单调性的一般步骤:(1)求导数'()f x ;(2)在定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <;(3)确定单调区间. 4.如果一个函数在某一范围内导数的绝对值越大,那么函数在这个范围内变化越快,这时,函数的图象就越陡峭.5.(1)函数的极值的概念:函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在x=a 附近的其他点的函数值都小, f /(a)=0;而且在点在x=a 附近的左侧'()0f x <,右侧'()0f x >,点a 叫做函数y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在x=b 附近的其他点的函数值都大, f /(b)=0;而且在点在x=b 附近的左侧'()0f x >,右侧'()0f x <,点b 叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.(2)求函数极值的步骤:①求导数'()f x ;②求方程'()0f x =的根;③检查f /(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取极小值. 6.函数的最大值与最小值在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导.f(x)在[a,b]上,求最大值和最小值的步骤: (1)求'()f x 在区间(,)a b 内的极值;(2)将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 7.生活中的优化问题(即利用导数解决实际问题中的最值问题)(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f /(x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.(3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.8.(理科)(1)函数定积分的定义:设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,用分点a=x 0<x 1<x 2…x n =b.把区间[a,b]分为n 个小区间,其长度依次为i x ∆=1i x +-i x ,i=0,1,2,…n-1.记λ为这些小区间长度的最大者,当λ趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i ξ,作和式1()n n i i i I f x ξ-==∆∑.当λ→0时,如果和式的极限存在,我们把和式n I 的极限叫做函数f(x)在区间[a,b ]上的定积分,记作()baf x dx ⎰,即()baf x dx ⎰=10lim ()n i i i f x λξ-→=∆∑,其中f(x)叫做被积函数,a 叫做积分下限,b 叫积分上限,f(x)dx 叫做被积式.(2)根据定积分的定义,曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,即S=()baf x dx ⎰.(3)求定积分与导数互为逆运算；公式/()baF x dx ⎰=()()F b F a -.微积分基本定理:如果F /(x)=f(x),且f(x)在[a,b]上可积,则()baf x dx ⎰=()()F b F a -，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.【例题精析】考点一 利用导数研究函数的单调性例1. (2012年高考浙江卷文科21第1问)已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ 求f(x)的单调区间【名师点睛】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间，并考查了学生的分析问题的能力. 【变式训练】1. （2010年高考辽宁卷文科21第1问）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.讨论函数()f x 的单调性。

导数及其应用铜峰中学数学文科组【考纲解读】1〕了解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率，理解导数的概念，能利用定义求导数；2〕理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程；3〕掌握求导公式和求导法那么，了解简单的复合函数的导数；4〕了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大、极小值，以及闭区间上函数的最大值、最小值。

【重点难点】1〕利用导数判断函数的单调性；2〕利用导数求极值与最值；3〕导数几何意义的应用；4〕导数的实际应用。

【知识网络清单】1、导数的概念1、2、几种常见的导数2、3、4、导数1、3、函数的和、差、积、商的导数2、3、4、复合函数的导数5、对数函数、指数函数的导数1、函数的单调性1、导数的应用2、函数的极值、求极值的步骤2、3、3、导数的实际应用导数及其应用4、函数的最值1、2、f (x)x33x【课前预习】1.函数ymx2mn的导数为y,4x3，那么m=__________,n=__________2 .函数y=xcosx-sinx,那么y,______________3 .x3在x=3处的导数值为____________函数f(x)3x214.曲线y=sinx在点p(,)处的切线方程是______________2设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，那么y=f(x)的图象最有可能是〔〕【典型例题】题型一导数的概念例1设函数f(x)在点x0处可导，试求当x0时，f(x0x)f(x0)的值。

题型二导数的几何意义例2如果曲线相切，求y=x-3yax2 bx a,b,c的值c通过点〔1，1〕且在点〔2，-1〕处与直线拓展曲线C：y 3x42x39x2 41〕求曲线C在点〔1，-4〕处的切线方程2〕对〔1〕中的切线与曲线是否有公共点？假设有，求出公共点；假设没有，说明理由。

题型三函数的单调性例3确定以下函数的单调区间〔1〕()23 xx〔2〕f(x)2x x2〔3〕b〔f(x)b>0〕xx拓展：x 0，证明：x ln(1 x)题型四函数的极值与最值例4求函数f(x) x2e x的极值例5求函数f(x)sin2xx在区间,的最值22（（（（（（（（（（拓展：函数f(x) x33x29x a（1〕求f(x)的单调递减区间；（2〕假设f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

第十二章 导数及其应用【知识图解】【方法点拨】导数的应用极其广泛，是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具，也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。

同时，导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容，体现了高等数学思想及方法。

1．重视导数的实际背景。

导数概念本身有着丰富的实际意义，对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发，如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。

这为我们解决实际问题提供了新的工具，应深刻理解并灵活运用。

2．深刻理解导数概念。

概念是根本，是所有性质的基础，有些问题可以直接用定义解决。

在理解定义时，要注意“函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '”与“函数()f x 在开区间(,)a b 内的导数()f x '”之间的区别与联系。

3．强化导数在函数问题中的应用意识。

导数为我们研究函数的性质，如函数的单调性、极值与最值等，提供了一般性的方法。

4．重视“数形结合”的渗透，强调“几何直观”。

在对导数和定积分的认识和理解中，在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时，应从数值、图象等多个方面，尤其是几何直观加以理解，增强数形结合的思维意识。

5．加强“导数”的实践应用。

导数作为一个有力的工具，在解决科技、经济、生产和生活中的问题，尤其是最优化问题中得到广泛的应用。

6．（理科用）理解和体会“定积分”的实践应用。

定积分也是解决实际问题（主要是几何和物理问题）的有力工具，如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等，逐步体验微积分基本定理。

第1课 导数的概念及运算【考点导读】1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;3.熟记基本导数公式；4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.（理科） 【基础练习】1．设函数f （x ）在x =x 0处可导,则0lim→h hx f h x f )()(00-+与x 0,h 的关系是 仅与x 0有关而与h 无关 。

导 数 的 应 用【复习目标】1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用；2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。

3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

【重点难点】①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

【知识梳理】1. 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 为减函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；2. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3. 一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值； ②求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4. 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤. （1）求f '（x ）.（2）确定f '（x ）在（a ，b ）内符号.（3）若f '（x ）>0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是增函数；若f '（x ）<0在（a ，b ）上恒成立，则f （x ）在（a ，b ）上是减函数. 【课前预习】1.函数y =x 2（x －3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2） C2.函数f （x ）=ax 2－b 在（－∞，0）内是减函数，则a 、b 应满足 A.a <0且b =0 B.a >0且b ∈R C.a <0且b ≠0 D.a <0且b ∈R3.已知f （x ）=（x －1）2+2，g （x ）=x 2－1，则f ［g （x ）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增 4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.5. 函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）【典型例题】题型一：借助导数处理单调性、极值和最值例1．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ．f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C ．f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）例2．（1）32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ） (A)－2 (B)0 (C)2 (D)4 例 3．设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。

13.2 导数的应用●知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）确定f'（x）在（a，b）内符号.（3）若f'（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若f'（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求f'（x）.（2）f'（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；f'（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.●点击双基y=x2（x－3）的减区间是A.（－∞，0）B.（2，+∞）C.（0，2）D.（－2，2）解析：y′=3x2－6x，由y′<0，得0<x<2.答案：Cf（x）=ax2－b在（－∞，0）内是减函数，则a、b应满足A.a<0且b=0B.a>0且b∈RC.a<0且b≠0D.a<0且b∈R解析：f'（x）=2ax，x<0且f'（x）<0，∴a>0且b∈R.答案：Bf（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］A.在（－2，0）上递增B.在（0，2）上递增C.在（－2，0）上递增D.在（0，2）上递增解析：F （x ）=f ［g （x ）］=x 4－4x 2+6，F '（x ）=4x 3－8x ，令F '（x ）>0，得－2<x <0或x >2，∴F （x ）在（－2，0）上递增.答案：C4.在（a ，b ）内f '（x ）>0是f （x ）在（a ，b ）内单调递增的________条件.解析：∵在（a ，b ）内，f （x ）>0，∴f （x ）在（a ，b ）内单调递增.答案：充分●典例剖析【例1】 设f （x ）=x 3－3ax 2+2bx 在x =1处有极小值－1，试求a 、b 的值，并求出f （x ）的单调区间.剖析：由已知x =1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f （x ）上，得方程组解之可得a 、b . 解：f '（x ）=3x 2－6ax +2b ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯+⨯-=+⨯-⨯,112131,021613232b a b a 即⎩⎨⎧=+-=+-.0232,0263b a b a 解之得a =31，b =－21. 此时f （x ）=x 3－x 2－x ，f '（x ）=3x 2－2x －1=3（x +31）（x －1）. 当f '（x ）>0时，x >1或x <－31， 当f '（x ）<0时，－31<x <1. ∴函数f （x ）的单调增区间为（－∞，－31）和（1，+∞），减区间为（－31，1）. 评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】 （2004年全国，19）已知函数f （x ）=ax 3+3x 2－x +1在R 上是减函数，某某数a 的取值X 围.剖析：在R 上为减函数，则导函数在R 上恒负.解：f '（x ）=3ax 2+6x －1.（1）当f '（x ）<0时，f （x ）为减函数.3ax 2+6x －1<0（x ∈R ），a <0时，Δ=36+12a <0，∴a <－3.∴a <－3时，f '（x ）<0，f （x ）在R 上是减函数.（2）当a =－3时，f （x ）=－3（x －31）3+98. 由y =x 3在R 上的单调性知：a =－3时，f （x ）在R 上是减函数，综上，a ≤－3. 评述：f （x ）在R 上为减函数⇒f '（x ）≤0（x ∈R ）.【例3】 （2004年全国，21）若函数y =31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试某某数a 的取值X 围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解：f '（x ）=x 2－ax +a －1=0得x =1或x =a －1，当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数，不合题意.当a －1>1，即a >2时，函数f （x ）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a －1）上为减函数，在（a －1，+∞）上为增函数.依题意，当x ∈（1，4）时，f '（x ）<0，当x ∈（6，+∞）时，f '（x ）>0，∴4≤a －1≤6.∴5≤a ≤7.∴a 的取值X 围为［5，7］.评述：若本题是“函数f （x ）在（1，4）上为减函数，在（4，+∞）上为增函数.”我们便知x =4两侧使函数f '（x ）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.●闯关训练夯实基础a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞)上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3.答案：Df （x ）=x 4－4x 3+10x 2，则方程f （x ）=0在区间［1，2］上的根有A.3个 C.1个解析：f '（x ）=4x （x 2－3x +5）在［1，2］上，f '（x ）>0，∴f （x ）在［1，2］上单调递增.∴f （x ）≥f （1）=7.∴f （x ）=0在［1，2］上无根.答案：Df （x ）的导函数y =f '（x ）的图象如下图，则函数f （x ）的单调递增区间为________.解析：在［－1，0］和［2，+答案：［－1，0］和［2，+∞)y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值X 围是________. 解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0.答案：b >0f （x ）=x 3－21ax 2+3x +5（a >0），求f （x ）的单调区间. 解：（1）f '（x ）=3x 2－ax +3，判别式Δ=a 2－36=（a －6）（a +6）.1°0<a <6时，Δ<0，f '（x ）>0对x ∈R 恒成立.∴当0<a <6时，f '（x ）在R 上单调递增.2°a =6时，y =x 3－3x 2+3x +5=（x －1）3+4.∴在R 上单调递增.3°a >6时，Δ>0，由f '（x ）>0⇒x >6362-+a a 或x<6362--a a .f '（x ）<0⇒6362-+a a <x <6362--a a . ∴在（63622-+a a ，+∞）和（－∞，6362--a a ）内单调递增，在（6362--a a ，6362-+a a ）内单调递减. f （x ）=x 3－22x －2x +5. （1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，某某数m 的取值X 围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上f '（x ）>0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （xf （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］. （2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7. ∴m >7.培养能力f （x ）=x 3－ax －1.（1）若f （x ）在实数集R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；（2）是否存在实数a ，使f （x ）在（－1，1）上单调递减?若存在，求出a 的取值X 围，若不存在，请说明理由；（3）证明f （x ）=x 3－ax －1的图象不可能总在直线y =a 的上方.解：f '（x ）=3x 2－a ，（1）3x 2－a >0在R 上恒成立，∴a <0.又a =0时，f （x ）=x 3－1在R 上单调递增，∴a ≤0.（2）3x 2－a <0在（－1，1）上恒成立，即a >3x 2在（－1，1）上恒成立，即a >3. 又a =3，f （x ）=x 3－3x －1，f '（x ）=3（x 2－1）在（－1，1）上，f '（x ）<0恒成立，即f （x ）在（－1，1）上单调递减，∴a ≥3.（3）当x =－1时，f （－1）=a －2<a ，因此f （x ）的图象不可能总在直线y =a 的上方.f （x ）=ax 4+bx 2+c 的图象经过点（0，1），且在x =1处的切线方程是y =x －2.（1）求y =f （x ）的解析式；（2）求y =f （x ）的单调递增区间.解：（1）由题意知f （0）=1，f '（1）=1，f （1）=－1.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=.1,124,1c b a b a c∴c =1，a =25，b =－29， f （x ）=25x 4－29x 2+1. （2）∵f '（x ）=10x 3－9x ，由10x 3－9x >0，得x ∈（－10103，0）∪（10103，+∞）， 则f （x ）的单调递增区间为（－10103，0）和（10103，+∞）. 9.已知函数f （x ）=2ax －x 3，a >0，若f （x ）在x ∈（0，1］上是增函数，求a 的取值X 围.解：f '（x ）=2a －3x 2在（0，1]上恒为正，∴2a >3x 2，即a >23x 2. ∵x ∈（0，1]， ∴23x 2∈（0，23]. ∴a >23.当a =23时也成立.∴a ≥23. 探究创新10.有点难度哟！证明方程x 3－3x +c =0在［0，1］上至多有一实根.证明：设f （x ）=x 3－3x +c ，则f '（x ）=3x 2－3=3（x 2－1）.当x ∈（0，1）时，f '（x ）<0恒成立.∴f （x ）在（0，1）上单调递减.∴f （x ）的图象与x 轴最多有一个交点.因此方程x 3－3x +c =0在［0，1）上至多有一实根.●思悟小结1.f '（x ）>0⇒f （x ）为增函数（f '（x ）<0⇒f （x ）为减函数）.2.f （x ）是增函数⇒f '（x ）≥0（f （x ）为减函数⇒f '（x ）≤0）.●教师下载中心教学点睛f （xf （x ）在x 0处连续，在x 0两侧的导数异号，那么点x 0是函数f （x ）的极值点. f （x ）的极值的步骤如下：（1）求f （x ）的定义域，求f '（x ）；（2）由f '（x ）=0，求其稳定点；（3）检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f （x ）在这个根处不取极值.f （x ）的最值的方法：（1）求f （x ）在给定区间内的极值；（2）将f （x ）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】 若函数f （x ）=ax 3－x 2+x －5在（－∞，+∞）上单调递增，求a 的取值X 围. 解：f '（x ）=3ax 2－2x +1>0恒成立.∴⎩⎨⎧<>,0,0Δa 即⎩⎨⎧<->.0124,0a a ∴a >31. 当a =31时，f （x ）在（－∞，+∞）上单调递增. ∴a ≥31. 【例2】 求证：x >1时，2x 3>x 2+1.证明：令f（x）=2x3－x2－1，则f'（x）=6x2－2x=2x（3x－1）. 当x>1时，f'（x）>0恒成立.∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.又∵f（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.。

芯衣州星海市涌泉学校导数数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，应选A ； 〔2〕21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，那么切线的斜率为201x +，且20001y x x =++，于是切线方程为20001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点〔－1，0〕在切线上，可解得0x ＝0或者者－4，代入可验正D 正确，选D 。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

考点四：借助导数处理单调性、极值和最值例5．〔1〕对于R 上可导的任意函数f 〔x 〕，假设满足〔x －1〕f x '（）0，那么必有〔〕 A ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕B.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕C ．f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕D.f 〔0〕＋f 〔2〕2f 〔1〕〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，那么函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 〔3〕函数()11ax x f x e x-+=-。

〔Ⅰ〕设0a >，讨论()y f x =的单调性；〔Ⅱ〕假设对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

解析：〔1〕依题意，当x 1时，f 〔x 〕0，函数f 〔x 〕在〔1，＋〕上是增函数；当x1时，f 〔x 〕0，f 〔x 〕在〔－，1〕上是减函数，故f 〔x 〕当x ＝1时获得最小值，即有f 〔0〕f 〔1〕，f 〔2〕f 〔1〕，应选C ；〔2〕函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如下列图，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

专题三 导数与其应用一、考试内容导数概念及其几何意义 导数及其应用 二、考试要求（1）理解导数概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.。

（2）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.。

（3）会利用导数解决实际问题。

三、命题热点分析近几年的高考试题，导数这一知识点是高考的必考内容，对导数的考查主要是有三个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题，而且常考常新.以函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。

四、知识回顾（一）导数的概念及几何意义（1）平均变化率一般地，函数21,),(x x x f y =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子2121)()(x x x f x f --表示，这个式子称，函数的到从21),(x x x f y =平均变化率，记为=∆∆xf 2121)()(x x x f x f --=x x f x x f ∆-∆+)()(21（2）曲线的切线切线的斜率:x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(000lim lim ,切线的方程为：)(00x x k y y -=- （4）导数的概念一般地，函数0)(x x x f y ==在处的瞬间变化率是xyx x f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆lim lim0000)()(，称它为0)(x x x f y ==在处的导数，记为0)(0x x y x f =/''或，即x yx x f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆lim lim0000)()()(（5）导数的几何意义0)(x x f y 在点=处的导数)(0x f '的几何意义是：曲线0)(x x f y 上过点=的切线的斜率。